1、2015 年广西柳州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的 .每小题选对得 3 分，选错，不选或多选均得 0 分 ) 1. 如图是小李书桌上放的一本书，则这本书的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：考查简单几何体的三视图 .根据几何体的俯视图的概念：俯视图是从上向下看得到的图形进行解答即可得到答案，所以几何体的俯视图是 A 图形 . 答案： A. 2. 如图，这是某用户银行存折中 2012年 11 月到 2013 年 5 月间代扣电费的相关数据，从中可以看出扣缴电费最多的一次达到 ( ) A
2、.147.40 元 B.143.17 元 C.144.23 元 D.136.83 元 解析：考查有理数的大小比较，根据存折中的数据得到：扣缴电费最多的一次是日期为121105，金额是 147.40 元 . 答案： A. 3. 某学校小组 5 名同学的身高 (单位： cm)分别为： 147， 151， 152， 156， 159，则这组数据的中位数是 ( ) A.147 B.151 C.152 D.156 解析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数 .由于此数据已经按照从小到大的顺序排列了，发现 152 处在第 3 位 .所以这组数据的中位数是 152
3、. 答案： C. 4. 如图，图中的度数等于 ( ) A.135 B.125 C.115 D.105 解析：由图可得，与 45角互为邻补角，根据邻补角互补可得： =180 -45 =135 . 答案： A. 5. 下列图象中是反比例函数 y= 2x图象的是 ( ) A. B. C. D. 解析：因为反比例函数图象是双曲线，所以反比例函数 y= 2x图象的 C. 答案： C. 6.如图， BC 是 O 的直径，点 A 是 O 上异于 B， C 的一点，则 A的度数为 ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 解析：考查圆周角定理，直径所对的圆周角为直角： BC 是 O 的直径， A=90
4、. 答案： D. 7. 小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是 ( ) A.25% B.50% C.75% D.85% 解析：考查概率，抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果，故 P(正面朝上 )=12=50%. 答案： B. 8. 如图，点 A(-2， 1)到 y 轴的距离为 ( ) A.-2 B.1 C.2 D. 5 解析：点到 x轴的距离等于纵坐标的长度，到 y轴的距离等于横坐标 .因为点 A的坐标为 (-2，1)，所以点 A 到 y 轴的距离为 2. 答案： C. 9. 在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是 ( ) A.2x2y2 B.3y C.xy D.4x
5、 解析：考查同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关，所以与 2xy 是同类项的是 xy. 答案： C. 10. 如图，图中 1 的大小等于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70 解析：考查三角形的外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，所以1+60 =130 ， 即 1=130 -60 =70 . 答案： D. 11. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 (-2， 0)和 (4， 0)两点，当函数值 y 0时，自变量 x 的取值范围是 ( ) A.x -2 B.-2 x
6、 4 C.x 0 D.x 4 解析：当函数值 y 0 时，对应图象在 x 轴上方部分 .如图所示：当函数值 y 0 时，自变量x 的取值范围是： -2 x 4. 答案： B. 12. 如图， G， E 分别是正方形 ABCD 的边 AB， BC 的点，且 AG=CE， AE EF， AE=EF，现有如下结论： BE= 12GE； AGE ECF； FCD=45； GBE ECH；其中，正确的结论有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析：考查全等三角形的判定与性质 ,正方形的性质 ,相似三角形的判定与性质 .根据正方形的性质得出 B= DCB=90， AB=BC，求出 B
7、G=BE，根据勾股定理得出 BE= 22GE，即可判断；求出 GAE+ AEG=45，推出 GAE= FEC，根据 SAS 推出 GAE CEF，即可判断；求出 AGE= ECF=135，即可判断；求出 FEC 45，根据相似三角形的判定得出 GBE和 ECH 不相似，即可判断 . 四边形 ABCD 是正方形， B= DCB=90， AB=BC， AG=CE， BG=BE， 由勾股定理得： BE= 22GE，错误； BG=BE， B=90， BGE= BEG=45， AGE=135， GAE+ AEG=45， AE EF， AEF=90， BEG=45， AEG+ FEC=45， GAE= F
8、EC， 在 GAE 和 CEF 中 ， A G C EG A E C E FA E E F， GAE CEF，正确； AGE= ECF=135， FCD=135 -90 =45，正确； BGE= BEG=45， AEG+ FEC=45， FEC 45， GBE 和 ECH 不相似，错误； 综上所述， 正确的有 2 个 . 答案： B. 二、填空题 (本大题巩固 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分 ) 13. 计算： a a= . 解析：根据同底数幂的乘法计算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， a 的底数是 a，指数是 1，所以 a a=a2. 答案： a2. 14. 如图， ABC D
9、EF，则 EF= . 解析：考查全等三角形的对应边相等的性质 .： ABC DEF， BC=EF，则 EF=5. 答案： 5. 15. 直线 y=2x+1 经过点 (0， a)，则 a= . 解析：根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点 (0， a)代入直线方程，然后解关于 a 的方程即可求得 a 的值：直线 y=2x+1 经过点 (0， a)， a=2 0+1， a=1. 答案： 1. 16. 如图，在 Rt ABC 中， C=90， AB=13， AC=7，则 sinB= . 解析：考查锐角三角函数的定义，勾股定理 . 在 Rt ABC 中， C=90， AB=13， AC=7， sinB
10、= 713ACAB. 答案 ： 713. 17. 若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+m=0 的一个根，则 m 的值为 . 解析：考查一元二次方程的解 .因为若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+m=0 的一个根，所以将 x=1代入方程得到关于 m 的方程 12+2 1+m=0，解得 m=-3. 答案： -3. 18. 如图，矩形 EFGH 内接于 ABC，且边 FG 落在 BC 上 .若 BC=3， AD=2， EF=23EH，那么 EH的长为 . 解析：考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质 .设 EH=3x，表示出 EF，由 AD-EF 表示出三角形 AEH 的边 EH 上的高，根
11、据三角形 AEH 与三角形 ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出 x 的值，即为 EH 的长： 四边形 EFGH 是矩形， EH BC， AEH ABC， AM EH， AD BC， AM EHAD BC， 设 EH=3x，则有 EF=2x， AM=AD-EF=2-2x， 2 2 323xx ， 解得： x=12， 则 EH=32. 答案： 32. 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 66 分 ) 19. 计算： 11aaa . 解析：考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减 . 答案： 1 1 1 1 1aaa a a . 20. 如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，
12、蜗牛在以 A 为起点沿直线匀速爬向 B 点的过程中，到达 C 点时用了 6 分钟，那么还需要多长时间才能到达 B 点？ 解析：考查一元一次方程的应用，数轴 .根据题意，设蜗牛还需要 x 分钟到达 B 点 .根据路程=速度时间列出方程并解答 . 答案：设蜗牛还需要 x 分钟到达 B 点 .则 (6+x) 36=5， 解得 x=4. 答：蜗牛还需要 4 分钟到达 B 点 . 21. 如图，在 ABC 中， D 为 AC 边的中点，且 DB BC， BC=4， CD=5. (1)求 DB 的长 . 解析：利用勾股定理，即可解得 BD 的长 . 答案： DB BC， BC=4， CD=5， BD= 2
13、254 =3. (2)在 ABC 中，求 BC 边上高的长 . 解析：根据题目要求作辅助线，作出 BC 边上的高 AE，根据平行线分线段成比例定理得出 DB=12 AE，进而根据 (1)中求得的 DB 的值求得 AE. 答案：如图， 延长 CB，过点 A 作 AE CB 延长线于点 E， DB BC， AE BC， AE DB， D 为 AC 边的中点， BD=12AE， AE=6，即 BC 边上高的长为 6. 22. 如图，这是某校初三年级同学们最喜爱的一项课外运动调查结果扇形图，但负责画此图的同学忘记了最喜爱篮球运动的人数 . (1)请你求出图中的 x 值； 解析：考查扇形统计图，根据扇形
14、统计图中各部分的圆心角和为 360，即可求得 x 的值 . 答案：由题意得： x+70 +65 +50 +96 +79 =360，所以 x=360 -70 -65 -50 -96=79 . (2)如果该年级最喜爱跳绳运动的同学有 144 人，那么这个年级共有多少人？ 解析：考查扇形统计图，用样本估计总体 .根据喜爱跳绳的同学人数除以跳绳的圆心角所占的比例，即可求得总人数 . 答案：由题意已知，喜爱跳绳的同学有 144 人，根据扇形统计图可知，喜爱跳绳的同学人数的扇形的圆心角是 96，所以这个年级总人数为： 144 96360=570(人 ).答：这个年级共有570 人 . 23. 如图，在矩形
15、 OABC 中， OA=3， OC=2， F是 AB 上的一个动点 (F 不与 A， B 重合 )，过点 F的反比例函数 y=kx(k 0)的图象与 BC 边交于点 E. (1)当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解析式 . 解析：考查待定系数法求反比例函数解析式 .当 F 为 AB 的中点时，点 F 的坐标为 (3， 1)，由此代入即可求得函数解析式 . 答案：在矩形 OABC 中， OA=3， OC=2， B(3， 2)， F 为 AB 的中点， F(3， 1)， 点 F 在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上， k=3， 该函数的解析式为 y=3x(x 0). (2)当 k 为何值时
16、， EFA 的面积最大，最大面积是多少？ 解析：根据图中的点 A、 E、 F 的坐标表示出 EFA 的面积，得到关于 k 的二次函数，求二次函数的最值即可 . 答案： 由题意知 E， F 两点坐标分别为 E(2k， 2)， F(3，3k)， S EFA= 12 AF BE 1 1 132 3 2kk （ ） 2112 12kk 21 6 9 912 kk （ ）21331 2 4k （ ） ， 当 k=3 时， S 有最大值 ， S 最大值 =34 . 24. 如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， B=90， AB=8cm， AD=12cm， BC=18cm，点 P 从点A 出发以 2
17、cm/s 的速度沿 A D C 运动，点 P 从点 A 出发的同时点 Q 从点 C 出发，以 1cm/s的速度向点 B 运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q也停止运动 .设点 P， Q运动的时间为 t秒 . (1)从运动开始，当 t 取何值时， PQ CD？ 解析：考查平行四边形的判定与性质 .已知 AD BC，若 PQ CD，可判定以 PQDC 为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得 PD=CQ 进而求出此时 t 的值 . 答案：当 PQ CD 时，四边形 PDCB 是平行四边形， 此时 PD=QC， 12-2t=t， t=4. 当 t=4 时， PQ CD. (2)从运动
18、开始，当 t 取何值时， PQC 为直角三角形？ 解析：点 P 处可能为直角，点 Q 处也可能是直角， 分情况进行解答 . 答案：过 D 点， DF BC 于 F， DF=AB=8. FC=BC-AD=18-12=6， CD=10， 当 PQ BC， 则 BQ+CQ= BC= AP+CQ.即： 2t+t=18， t=6； 当 QP PC，此时 P 一定在 DC 上， CP1=10+12-2t=22-2t， CQ2=t， 易知， CDF CQ2P1， 22 26 10tt ， 解得： t=11013， 情形：当 PC BC 时，因 DCB 90，此种情形不存在 . 当 t=6 或 11013时，
19、 PQC 是直角三角形 . 25. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AD 与 ABC 的外接圆 O 恰好相切于点 A，边CD 与 O 相交于点 E，连接 AE， BE. (1)求证： AB=AC. 解析：根据弦切角定理和圆周角定理证明 ABC= ACB，进而根据等角对等边得出答案 . 答案： AD 与 ABC 的外接圆 O 恰好相切于点 A， ABE= DAE，又 EAC= EBC， DAC= ABC， AD BC， DAC= ACB， ABC= ACB， AB=AC. (2)若过点 A 作 AH BE 于 H，求证： BH=CE+EH. 解析： 作 AF CD 于 F，证明 AE
20、H AEF，得到 EH=EF，根据 ABH ACF， 可得 BH=CF，进而证得 BH=CE+EH. 答案： 作 AF CD 于 F， 四边形 ABCE 是圆内接四边形， ABC= AEF，又 ABC= ACB， AEF= ACB，又 AEB= ACB， AEH= AEF， 在 AEH 和 AEF 中， A H E A F EA E H A E FA E A E， AEH AEF， EH=EF， CE+EH=CF， 在 ABH 和 ACF 中， A B H A C FA H B A F CA B A C， ABH ACF， BH=CF=CE+EF=CE+EH. 即 BH=CE+EH 得证 .
21、26. 如图，已知抛物线 y= 12(x2-7x+6)的顶点坐标为 M，与 x 轴相交于 A， B 两点 (点 B 在点 A 的右侧 )，与 y 轴相交于点 C. (1)用配方法将抛物线的解析式化为顶点式： y=a(x-h)2+k(a 0)，并指出顶点 M 的坐标 . 解析：利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标 . 答案： y= 2 2 21 1 1 7 2 57 6 7 32 2 2 2 8x x x x x （ ） （ ） （ ）， 抛物线的解析式化为顶点式为： y= 21 7 2 52
22、 2 8x （ ）， 顶点 M 的坐标是 (72， 258). (2)在抛物线的对称轴上找点 R，使得 CR+AR 的值最小，并求出其最小值和 点 R 的坐标 . 解析：连接 BC，则 BC 与对称轴的交点为 R，此时 CR+AR 的值最小；先求出点 A、 B、 C 的坐标，再利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，进而求出其最小值和点 R 的坐标 . 答案： y= 21 762 xx （ ）， 当 y=0 时， 21 762 xx （ ）=0， 解得 x=1 或 6， A(1， 0)， B(6， 0)， x=0 时， y=-3， C(0， -3). 连接 BC，则 BC 与对称轴 x=72的
23、交点为 R，连接 AR， 则 CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时 CR+AR 的值最小， 最小值为 BC= 2263 =3 5 . 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， B(6， 0)， C(0， -3)， 603kbb， 解得 123kb， 直线 BC 的解析式为： y=12x-3， 令 x= 72，得 y=12 72-3= 54， R 点坐标为 (72， 54). (3)以 AB 为直径作 N 交抛物线于点 P(点 P 在对称轴的左侧 )，求证：直线 MP 是 N 的切线 . 解析： 设点 P 坐 标 为 (x ， 217322xx ). 根据 NP= 12AB
24、= 52列出方程2 2222 (1 7 7 1 7 5332 2 2 2 ) ( )22x x x x x （ ），解方程得到点 P 坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出 MPN=90，然后利用切线的判定定理即可证明直线 MP 是 N 的切线 . 答案： 设点 P 坐标为 (x， 217322xx ). A(1， 0)， B(6， 0)， N(72， 0)， 以 AB 为直径的 N 的半径为 12AB=52， NP=52， 即 (x-72)2+( 217322xx )2=(52)2， 化简整理得， x4-14x3+65x2-112x+60=0， (x-1)(x-2)(x-5)(x-6)=0， 解得 x1=1(与 A 重合，舍去 )， x2=2， x3=5(在对称轴的右侧，舍去 )， x4=6(与 B 重合，舍去 )， 点 P 坐标为 (2， 2). M(72， 258)， N(72， 0)， PM2=(2-72)2+(2-258)2=22564， PN2=(2-72)2+22=254=40064， MN2=(258)2=62564， PM2+PN2=MN2， MPN=90， 点 P 在 N 上， 直线 MP 是 N 的切线 .
