1、2015 年广西省贺州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.下列各数是负数的是 ( ) A.0 B.13C.2.5 D.-1 解析： 在正数的前面加上一个负号就表示一个负数 . -1 是一个负数 . 答案 ： D 2.如图，下列各组角中，是对顶角的一组是 ( ) A. 1 和 2 B. 3 和 5 C. 3 和 4 D. 1 和 5 解析： 由对顶角的定义可知： 3 和 5 是一对对顶角 . 答案： B 3.下列实数是无理数的是 ( ) A.5 B.0 C.13D.2 解析： 5， 0， 13是有理
2、数，只有 2 是无理数 . 答案： D 4.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 B 错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 C 正确； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误 . 答案： C 5.一组数据 3， 2， x， 1， 2 的平均数是 2，则这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A.3， 2 B.2， 1 C.2， 2.5 D.2， 2 解析： 这组数据 3， 2， x， 1， 2 的平均数是 2， (3+2+x+
3、1+2) 5=2，解得： x=2， 把这组数据从小到大排列为 1， 2， 2， 2， 3，这组数据的中位数是 2， 2 出现的次数最多，这组数据的众数是 2. 答案： D 6.下列运算正确的是 ( ) A.(x2)3+(x3)2=2x6 B.(x2)3 (x2)3=2x12 C.x4 (2x)2=2x6 D.(2x)3 (-x)2=-8x5 解析： A、原式 =x6+x6=2x6，故 A 正确； B、原式 =x6 x6=x12，故 B 错误； C、原式 =x4 4x2=4x6，故 C 错误； D、原式 =8x3 x2=8x5，故 D 错误 . 答案： A. 7.把多项式 4x2y-4xy2-x
4、3分解因式的结果是 ( ) A.4xy(x-y)-x3 B.-x(x-2y)2 C.x(4xy-4y2-x2) D.-x(-4xy+4y2+x2) 解析： 4x2y-4xy2-x3=-x(x2-4xy+4y2)=-x(x-2y)2. 答案： B 8.如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：题 图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图 如下 . 答案 ： A 9.如图， ODC 是由 OAB 绕点 O 顺时针旋转 31后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，且 AOC 的度数为 100，则 DOB 的度数是 ( ) A.34 B.36
5、C.38 D.40 解析： 由题意得， AOD=31， BOC=31，又 AOC=100， DOB=100 -31 -31 =38 . 答案 ： C 10.已知 k1 0 k2，则函数 y=1kx和 y=k2x-1 的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： k1 0 k2， b=-1 0，直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限 . 答案 ： C 11.如图， BC是 O的直径， AD是 O的切线，切点为 D， AD与 CB的延长线交于点 A， C=30，给出下面四个结论： AD=DC； AB=BD； AB=12BC； BD=CD，其中正确的个数为 ( ) A.4 个 B.3
6、个 C.2 个 D.1 个 解析：连接 DO， BC 是 O 的直径， AD 是 O 的切线，切点为 D， BDC= ADO=90， DO=CO， C= CDO=30， A=30， DBC=60， ADB=30， AD=DC，故正确； A=30， DBC=60， ADB=30， AB=BD，故正确； C=30， BDC=90， BD=12BC， AB=BD， AB=12BC，故正确；无法得到 BD=CD，故错误 . 答案 ： B 12.观察下列等式： 21=2， 22=4， 23=8， 24=16， 25=32， 26=64， 27=128，解答下面问题：2+22+23+24+ +22015-
7、1 的末位数字是 ( ) A.0 B.3 C.4 D.8 解析： 21=2， 22=4， 23=8， 24=16， 25=32， 26=64， 27=128， 28=256， 末位数字以 2， 4， 8， 6 循环， 原式 =2+22+23+24+ +22015-1= 20152 1 2 112 =22016-3， 2016 4=504， 22016末位数字为 6， 则 2+22+23+24+ +22015-1 的末位数字是 3. 答案 ： B 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 ) 13.函数 y= 1x 的自变量 x 的取值范围为 . 解析： 由题意得， x+1
8、 0，解得 x -1. 答案： x -1. 14.中国的陆地面积约为 9600000km2，这个面积用科学记数法表示为 km2. 解析： 9600000km2用科学记数法表示为 9.6 106. 答案： 9.6 106 15.某校在一次期末考试中，随机抽取八年级 30 名学生的数学成绩进行分析，其中 3 名学生的数学成绩达 108 分以上，据此估计该校八年级 630 名学生中期末考试数学成绩达 108 分以上的学生约有 名 . 解析： 随机抽取 30 名学生的数学成绩进行分析，有 3 名学生的成绩达 108 分以上， 八年级 630 名学生中期末考试数学成绩达 108 分以上的学生约有 630
9、 330=63(名 ). 答案： 63 16. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=3， AD=4，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90得到矩形 AB C D，则点 B 经过的路径与 BA， AC， C B所围成封闭图形的面积是 (结果保留 ). 解析 ：如图，连接 BD 与 B D， 点 B 经过的路径与 BA， AC， C B所围成封闭图形的面积是： S 扇形 BDB +S 矩形 ABCD=14 52+3 4=254+12. 答案： 254+12 17.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论： abc 0， a-b+c 0， 2a=b， 4a+2b+c 0，若
10、点 (-2， y1)和 (-13， y2)在该图象上，则 y1 y2.其中正确的结论是 (填入正确结论的序号 ). 解析 ：二次函数开口向下，且与 y 轴的交点在 x 轴上方， a 0， c 0， 对称轴为 x=1， -2ba=1， b=-2a 0， abc 0，故、都不正确； 当 x=-1 时， y 0， a-b+c 0，故正确； 由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴的另一交点在 2 和 3 之间， 当 x=2 时， y 0， 4a+2b+c 0，故正确； 抛物线开口向下，对称轴为 x=1，当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大， -2 -13， y1 y2，故不正确； 综上可知正确的为
11、 . 答案： . 18.如图，在 ABC 中， AB=AC=15，点 D 是 BC 边上的一动点 (不与 B， C 重合 )， ADE= B=， DE 交 AB 于点 E，且 tan =34，有以下的结论： ADE ACD；当 CD=9 时， ACD 与 DBE 全等； BDE 为直角三角形时， BD为 12 或 214； 0 BE 255，其中正确的结论是 (填入正确结论的序号 ) 解析 ： ADE= B， DAE= BAD， ADE ABD；故错误； 作 AG BC 于 G， ADE= B=， tan =34， 34AGBG， 45BGAB， cos =45， AB=AC=15， BG=1
12、2， BC=24， CD=9， BD=15， AC=BD. ADE+ BDE= C+ DAC， ADE= C=， EDB= DAC， 在 ACD 与 DBE 中， D A C E D BBCA C B D ， ACD BDE(ASA).故正确； 当 BED=90时，由可知： ADE ABD， ADB= AED， BED=90， ADB=90，即 AD BC， AB=AC， BD=CD， ADE= B=且 tan =34， AB=15， 45BDAB， BD=12. 当 BDE=90时，易证 BDE CAD， BDE=90， CAD=90， C=且 cos =45， AC=15， cosC=AC
13、CD=45， CD=754. BC=24， BD=24-754=214.即当 DCE 为直角三角形时， BD=12 或 214.故正确； 易证得 BDE CAD，由可知 BC=24， 设 CD=y， BE=x， AC DCBD BE， 1524 yyx， 整理得： y2-24y+144=144-15x，即 (y-12)2=144-15x， 0 x 485， 0 BE 485.故错误 . 故正确的结论为： . 答案： 三、解答题 (本大题共 8 题，满分 66 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19.计算： (4- )0+(-12)-1-2cos60 +|-3| 解析： 根据零整
14、数指数幂、负整数指数幂、绝对值和三角函数计算即可 . 答案： 原式 =1-2-2 12+3=1-2-1+3=1. 20.解分式方程：21 3 44 1 2 1 4 2xx x x . 解析： 方程两边同时乘以 (2x+1)(2x-1)，即可化成整式方程，解方程求得 x 的值，然后进行检验，确定方程的解 . 答案： 原方程即 1 3 22 1 2 1 2 1 2 1xx x x x ， 两边同时乘以 (2x+1)(2x-1)得： x+1=3(2x-1)-2(2x+1)， x+1=6x-3-4x-2，解得： x=6. 经检验： x=6 是原分式方程的解 .原方程的解是 x=6. 21.在甲口袋中有
15、三张完全相同的卡片，分别标有 -1， 1， 2，乙口袋中有完全相同的卡片，分别标有 -2， 3， 4，从这两个口袋中各随机取出一张卡片 . (1)用树状图或列表表示所有可能出现的结果； (2)求两次取出卡片的数字之积为正数的概率 . 解析： (1)根据甲口袋中的 -1， 1， 2，乙口袋分别标有 -2， 3， 4，列表即可得到所有可能出现的结果； (2)利用 (1)中的表格求出两次取出卡片的数字之积为正数的概率即可 . 答案 ： (1)根据题意列表如下： 由表可知共 9 种情况 . (2)由 (1)可知两次取出卡片的数字之积为正数有 5 种情况，所以其概率 =59. 22.根据道路管理规定，在
16、贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速 40 千米 /时，已知交警测速点 M 到该公路 A 点的距离为 10 2 米， MAB=45， MBA=30 (如图所示 )，现有一辆汽车由 A 往 B 方向匀速行驶，测得此车从 A 点行驶到 B点所用的时间为 3秒 . (1)求测速点 M 到该公路的距离； (2)通过计算判断此车是否超速 .(参考数据： 2 1.41， 3 1.73， 5 2.24) 解析： (1)过 M 作 MN 垂直于 AB，在直角三角形 AMN 中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 MN 的长，即可得到结果； (2)由三角形 AMN 为等腰直角三角形得到 AN=MN=10
17、 米，在直角三角形 BMN 中，利用锐角三角函数定义求出 BN 的长，由 AN+NB 求出 AB 的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断 . 答案 ： (1)过 M 作 MN AB， 在 Rt AMN 中， AM=10 2 ， MAN=45， sin MAN= MNAM，即 2210 2MN ，解得： MN=10， 则测速点 M 到该公路的距离为 10 米 . (2)由 (1)知： AN=MN=10 米，在 Rt MNB 中， MBN=30， 由 tan MBN=MNBN，得： 3 103 BN，解得： BN=10 3 (米 )， AB=AN+NB=10+10 3 27.3(米 )， 汽
18、车从 A 到 B 的平均速度为 27.3 3=9.1(米 /秒 )， 9.1 米 /秒 =32.76 千米 /时 40 千米 /时，此车没有超速 . 23.如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折，点 C 落在 E 处， BE与 AD 相交于点 F.若 DE=4， BD=8. (1)求证： AF=EF； (2)求证： BF 平分 ABD. 解析： (1)先根据翻折变换的性质得出 ED=CD， E= C，故 ED=AB， E= A.由 AAS 定理得出 ABF EDF，故可得出结论； (2)在 Rt BCD 中根据 sin CBD= 12DCDB可得出 CBD=30， EBD= CBD=30
19、，由直角三角形的性质可知 ABF=90 -30 2=30，所以 ABF= DBF， BF 平分 ABD. 答案 (1)在矩形 ABCD 中， AB=CD， A= C=90， BED 是 BCD 翻折而成， ED=CD， E= C， ED=AB， E= A. 在 ABF 与 EDF 中， EAA F B E F DE D A B ， ABF EDF(AAS)， AF=EF. (2)在 Rt BCD 中， DC=DE=4， DB=8， sin CBD= 12DCDB， CBD=30， EBD= CBD=30， ABF=90 -30 2=30， ABF= DBF， BF 平分 ABD. 24.某商场
20、销售一批同型号的彩电，第一个月售出 50 台，为了减少库存，第二个月每台降价500 元将这批彩电全部售出，已知第一个月的销售额与第二个月的销售额相等，这两个月销售总额超过 40 万元 . (1)求第一个月每台彩电销售价格； (2)这批彩电最少有多少台？ 解析： (1)可设第一个月每台彩电售价为 x 元，则第二个月每台彩电售价为 (x-500)元，根据等量关系：第一个月的销售额与第二个月的销售额相等，列出方程求解即可； (2)设这批彩电有 y 台，根据不等关系：这两个月销售总额超过 40 万元，列出不等式求解即可 . 答案 ： (1)设 第一个月每台彩电售价为 x 元，则第二个月每台彩电售价为
21、(x-500)元，依题意有 9x=10(x-500)，解得 x=5000. 答：第一个月每台彩电售价为 5000 元 . (2)设这批彩电有 y 台，依题意有 5000 50+(5000-500)(y-50) 400000， 解得 y 8313， y 为整数， y 84. 答：这批彩电最少有 84 台 . 25.如图， AB 是 O 的直径， C 为 O 上一点， AC 平分 BAD， AD DC，垂足为 D， OE AC，垂足为 E. (1)求证： DC 是 O 的切线； (2)若 OE= 3 cm， AC=2 13 cm，求 DC 的长 (结果保留根号 ). 解析： (1)连接 OC，推出
22、 DAC= OCA= CAO，推出 OC AD，推出 OC DC，根据切线判定推出即可； (2)首先求得线段 AO 的长，然后证 AOE ACD，得出比例式，代入求出即可 . 答案： (1)连接 OC， OA=OC， OAC= OCA， AC 平分 BAD， DAC= OAC， DAC= OCA， AD OC， ADC= OCF， AD DC， ADC=90， OCF=90， OC CD， OC 为半径， CD 是 O 的切线 . (2) OE AC， AE=12AC= 13 cm， 在 Rt AOE 中， AO= 2222 1 3 3A E O E =4cm， 由 (1)得 OAC= CAD
23、， ADC= AEO=90， AOE ACD， OE AODC AC，即 342 13DC， DC= 392cm. 26.如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 AB 相交于 A(-3， 0)， B(0， 3)两点 . (1)求这条抛物线的解析式； (2)设 C 是抛物线对称轴上的一动点，求使 CBA=90的点 C 的坐标； (3)探究在抛物线上是否存在点 P，使得 APB 的面积等于 3？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 (1)把点 A(-3， 0)， B(0， 3)两点的坐标分别代入抛物线解析式求出 b 和 c 的值即可； (2)过点 B 作 CB AB，
24、交抛物线的对称轴于点 C，过点 C 作 CE y 轴，垂足为点 E，易求点 C的横坐标，再求出 OE 的长，即可得到点 C 的纵坐标； (3)假设在在抛物线上存在点 P，使得 APB 的面积等于 3，连接 PA， PB，过 P作 PD AB 于点 D，作 PF y 轴交 AB 于点 F，在 Rt OAB 中，易求 AB= 22 32O B A O，设点 P 的坐标为 (m， -m2-2m+3)，设点 F 的坐标为 (m， m+3)，再分两种情况当点 P 在直线 AB 上方时，当点 P 在直线 AB 下方时分别讨论求出符合条件点 P 的坐标即可 . 答案 ： (1)把点 A(-3， 0)， B(
25、0， 3)代入 y=-x2+bx+c 得： 9 3 03bcc ，解得： 23.bc， 抛物线的解析式是 y=-x2-2x+3. (2)如图 1：过点 B作 CB AB，交抛物线的对称轴于点 C，过点 C作 CE y 轴，垂足为点 E， y=-x2-2x+3，抛物线对称轴为直线 x=-1， CE=1， AO=BO=3， ABO=45， CBE=45， BE=CE=1， OE=OB+BE=4，点 C 的坐标为 (-1， 4). (3)假设在在抛物线上存在点 P，使得 APB 的面积等于 3，如图 2： 连接 PA， PB，过 P 作 PD AB 于点 D，作 PF y 轴交 AB 于点 F，在
26、Rt OAB 中，易求 AB=22 32O B A O， S APB=3， PD= 2 . PFD= ABO=45， PF=2， 设点 P 的坐标为 (m， -m2-2m+3)， A(-3， 0)， B(0， 3)，直线 AB 的解析式为 y=x+3，可设点 F 的坐标为 (m， m+3)， 当点 P 在直线 AB 上方时， 可得： -m2-2m+3=m+3+2，解得： m=-1 或 -2，符合条件的点 P 坐标为 (-1， 4)或 (-2， 3)， 当点 P 在直线 AB 下方时，可得： -m2-2m+3=m+3-2， 解得： m= 3 172或 3 172， 符合条件的点 P 坐标为 ( 3 172， 1 172)或 ( 3 172， 1 172). 综上可知符合条件的点 P 有 4 个，坐标分别为： (-1， 4)或 (-2， 3)或 ( 3 172， 1 172)或 ( 3 172， 1 172).
