2015年广西贵港市中考真题数学.docx

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资源描述

1、2015 年广西贵港市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,每小题四个选项,其中只有一个是正确的 ) 1. 3 的倒数是 ( ) A.3 B.-3 C.13D. 13解析:考查倒数, 乘积是 1 的两个数互为倒数 ,可得 有理数 3 的倒数是 13. 答案 : C. 2. 计算 3 5 的结果是 ( ) A. 8 B. 15 C.3 5 D.5 3 解析:考查二次根式 的乘法: 3 5 = 15 . 答案: B. 3. 如图,是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形,它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析: 考查简单组合体的三视图, 俯视图

2、是从上边看得到的图形, 原立体图形 从上边看第一层一个小正方形,第二层在第一层的正上方一个小正方形,右边一个小正方形, 答案 : B. 4. 下列因式分解错误的是 ( ) A.2a-2b=2(a-b) B.x2-9=(x+3)(x-3) C.a2+4a-4=(a+2)2 D.-x2-x+2= -(x-1)(x+2) 解析:对各选项进行分析判断: A.2a-2b=2(a-b), 提公因式法分解因式, 正确; B.x2-9=(x+3)(x-3), 公式法分解因式, 正确; C.a2+4a-4 不能因式分解,错误; D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2), 十字相乘法分解因式, 正确; 答案:

3、C. 5. 在平面直角坐标系中,若点 P(m, m-n)与点 Q(-2, 3)关于原点对称,则点 M(m, n)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:点 P(m, m-n)与点 Q(-2, 3)关于原点对称,根据平面内 关于原点对称的 两 点,横坐标与纵坐标都互为相反数 , m=2 且 m-n=-3, m=2, n=5, 点 M(m, n)在第一象限, 答案: A. 6. 若关于 x 的一元二次方程 (a-1)x2-2x+2=0 有实数根,则整数 a 的最大值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:考查 关于 一元二次方程的定义和根的判别式。 关

4、于 x 的一元二次方程 (a-1)x2-2x+2=0 有实数根, =(-2)2-8(a-1)=12-8a 0 且 a-10, a 23且 a 1,整数 a 的最大值为 0. 答案 : B. 7. 下列命题中,属于真命题的是 ( ) A.三点确定一个圆 B.圆内接四边形对角互余 C.若 a2=b2,则 a=b D.若 33ab ,则 a=b 解析:对各个选项进行分析判断: A.任意不共线的三点确定一个圆,所以错误; B.圆的内接四边形的对角互补,错误; C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b,错误; D.若 33ab ,则 a=b,正确; 答案: D. 8. 若在“正三角形、平行四边形、菱

5、形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率是 ( ) A.15B.25C.35D.45解析: 总共有 五种图形, 根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形 , 有 3 种中心对称图形,所以从这五种图形中随机抽取一种图形, 抽到的图形属于中心对称图形的概率 是 35. 答案: C. 9. 如图,直线 AB CD,直线 EF 与 AB, CD 相交于点 E, F, BEF 的平分线与 CD 相交于点N.若 1=63,则 2=( ) A.64 B.63 C.60 D.54 解析:考查平行线的性质, 先根据平行线的性质求出 BEN

6、 的度数,再由角平分线的定义得出 BEF 的度数,根据平行线的性质即可得出 2 的度数 : AB CD, 1=63, BEN= 1=63 . EN 平分 BEF, BEF=2 BEN=126, 2=180 - BEF=180 -126 =54 . 答案: D. 10. 如图,已知 P 是 O 外一点, Q 是 O 上的动点,线段 PQ 的中点为 M,连接 OP, OM.若 O 的半径为 2, OP=4,则线段 OM 的最小值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :设 OP 与 O 交于点 N,连结 MN, OQ,如图 OP=4, ON=2, N 是 OP 的中点, M 为 PQ 的

7、中点, MN 为 POQ的中位线, MN=12OQ=12 2=1,点 M 在以 N 为圆心, 1 为半径的圆上, 当点 M 在 ON 上时, OM 最小,最小值为 1,线段 OM的最小值为 1. 答案: B. 11. 如图,已知二次函数 y1=23x2-43x 的图象与正比例函数 y2=23x 的图象交于点 A(3, 2),与 x 轴交于点 B(2, 0),若 0 y1 y2,则 x的取值范围是 ( ) A.0 x 2 B.0 x 3 C.2 x 3 D.x 0 或 x 3 解析: 二次函数 y1=23x2-43x 的图象与正比例函数 y2=23x 的图象交于点 A(3, 2),与 x 轴交于

8、点 B(2, 0),由图象得:若 0 y1 y2,则 x 的取值范围是: 2 x 3. 答案: C. 12. 如图,在矩形 ABCD 中, E 是 AD 边的中点, BE AC 于点 F,连接 DF,分析下列五个结论: AEF CAB; CF=2AF; DF=DC; tan CAD= 2 ; S 四边形 CDEF=52S ABF,其中正确的结论有 ( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 解析:考查相似三角形的判定与性质,矩形的性质。 四边形 ABCD 是矩形, BE AC,则 ABC= AFB=90,又 BAF= CAB,于是 AEF CAB,故正确; 由 AE=12AD=12

9、BC,又 AD BC,所以 12AE AFBC FC,故正确; 过 D作 DM BE交 AC于 N,得到四边形 BMDE是平行四边形,求出 BM=DE=12BC,得到 CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故正确; 而 CD 与 AD 的大小不知道,于是 tan CAD 的值无法判断,故错误; 根据 AEF CBF 得到 12EF AEBF BC,求出 S AEF=12S ABF, S ABF=16S 矩形 ABCD, S 四边形 CDEF=S ACD-S AEF=12S 矩形 ABCD-112S 矩形 ABCD=512S 矩形 ABCD,即可得到 S 四边形 CDEF=52S AB

10、F,故正确 . 过 D 作 DM BE 交 AC 于 N 四边形 ABCD 是矩形, AD BC, ABC=90, AD=BC, BE AC 于点 F, EAC= ACB, ABC= AFE=90, AEF CAB,故正确; AD BC, AEF CBF, AE AFBC CF, AE=12AD=12BC, 12AFCF, CF=2AF,故正确, DE BM, BE DM,四边形 BMDE 是平行四边形, BM=DE=12BC, BM=CM, CN=NF, BE AC 于点 F, DM BE, DN CF, DF=DC,故正确; tan CAD=CDAD,而 CD 与 AD 的大小不知道, t

11、an CAD 的值无法判断,故错误; AEF CBF, 12EF AEBF BC, S AEF=12S ABF, S ABF=16S 矩形 ABCD, S AEF=112S 矩形 ABCD, 又 S 四边形 CDEF=S ACD-S AEF=12S 矩形 ABCD-112S 矩形 ABCD=512S 矩形 ABC S 四边形 CDEF=52S ABF,故正确; 答案: B. 二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分 ) 13. 若 2x 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 解析: 二次根式 2x 在实数范围内有意义,被开方数 x+2 为非负数, x+2 0,解得:

12、x -2. 答案: x -2. 14. 一种花瓣的花粉颗粒直径约为 0.0000065 米,将数据 0.0000065 用科学记数法表示为 解析:本题考查了用科学记数法表示较小的数 : 0.0000065=6.5 10-6. 答案 : 6.5 10-6. 15. 在一次数学测试中,某班 50 名学生的成绩分为六组,第一组到第四组的频数分别为 6,8, 9, 12,第五组的频率是 0.2,则第六组的频数是 。 解析:考查频数与频率。样本的 容量为 50,把它分成 6 组,第一组到第四组的频数分别为 6,8, 9, 12,第五组的频率是 0.2,则第五组的频数是 0.2 50=10, 可得出 第六

13、组的频数是50-6-8-9-10-12=5. 答案: 5. 16. 如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 CDE,连接 AE, BE,则 AEB 的度数为 解析: 考查全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,正方形的性质。 由正方形和等边三角形的性质得出 ADE= BCE=150, AD=DE=BC=CE,得出 DEA= CEB=15,即可得出AEB 的度数 : 四边形 ABCD 是正方形, BCD= ADC=90, AD=BC=DC, CDE 是等边三角形, EDC= ECD= DEC=60, DE=DC=CE, ADE= BCE=90 +60 =150, AD=DE=BC=CE

14、, DEA= CEB=12 (180 -150 )=15, AEB=60 -15 -15 =30 答案: 30 . 17. 如图,已知圆锥的底面 O 的直径 BC=6,高 OA=4,则该圆锥的侧面展开图的面积为 解析:考查圆锥侧面积的计算, 圆锥的侧面展开图是一个半径长为 AB 的长的扇形, 根据已知和勾股定理求出 AB 的长,根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积 : OB=12BC=3, OA=4,由勾股定理, AB=5, 侧面展开图的面积为: 12 6 5=15 . 答案: 15 . 18. 如图,已知点 A1, A2, An均在直线 y=x-1 上,点 B1, B2, Bn均在双曲线 1

15、yx上,并且满足: A1B1 x 轴, B1A2 y 轴, A2B2 x 轴, B2A3 y 轴, AnBn x 轴, BnAn+1 y轴,记点 An 的横坐标为 an(n 为正整数 ).若 a1=-1,则 a2015= . 解析:考查反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征,并根据所求发现规律。 根据 a1=-1,求出 a2=2, a3=12, a4=-1, a5=2,所以 a1, a2, a3, a4, a5,每 3 个数一个循环,分别是 -1、 12、 2;然后用 2015 除以 3,根据商和余数的情况,判断出 a2015是第几个循环的第几个数,进而求出它的值 : a1=-1, B1的坐标

16、是 (-1, 1), A2的坐标是 (2, 1),即 a2=2, a2=2, B2的坐标是 (2, 12), A3的坐标是 (12, - 12),即 a3=12, a3=12, B3的坐标是 (12, -2), A4的坐标是 (-1, -2),即 a4=-1, a4=-1, B4的坐标是 (-1, 1), A5的坐标是 (2, 1),即 a5=2, , a1, a2, a3, a4, a5,每 3 个数一个循环,分别是 -1、 2、 12, 2015 3=671 2, a2015是第 672 个循环的第 2 个数, a2015=2. 答案 : 2. 三、解答题 (本大题共 8 小题,满分 66

17、 分,解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤 ) 19. (1)计算: 101 6 |2 3 2 | 2 c o s 3 0 ( ); (2)解不等式组 ,25 1 4134xxxx , 并在数轴上表示 不等式组的解集 . 解析: (1)考查实数的混合运算, 根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点进行计算结果即可; (2)考查不等式组的解集, 先解每一个不等式,再把解集画在数轴上即可 . 答案 : (1)原式 1 3 1 31 3 2 2 3 2 32 2 2 2 (2) 25 1 4143xxxx解得 x 1, 解得 x -1, 把解集表示在数轴上为: 不等式组的解

18、集为 -1 x 1. 20. 如图,已知 ABC 三个顶点坐标分别是 A(1, 3), B(4, 1), C(4, 4). (1)请按要求画图: 画出 ABC 向左平移 5 个单位长度后得到的 A1B1C1; 画出 ABC 绕着原点 O 顺时针旋转 90后得到的 A2B2C2. (2)请写出直线 B1C1与直线 B2C2的交点坐标 . 解析: (1)考查平移作图,根据网格结构找出点 A、 B、 C 平移后的对应点 A1、 B1、 C1的位置,然后顺次连接可得 A1B1C1;考查旋转变换作图,根据旋转角度,旋转方向,分别找到 A、 B、 C 的对应点 A2、 B2、 C2,顺次连接可得 A2B2

19、C2; (2)根据 (1)题画出的图形可知交点坐标; 答案: (1)如图所示: A1B1C1即为所求;如图所示: A2B2C2,即为所求; (2)由图形可知:交点坐标为 (-1, -4). 21. 如图,一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 kyx的图象交于点 A 和点 B(-2, n),与 x轴交于点 C(-1, 0),连接 OA. (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)若点 P 在坐标轴上,且满足 PA=OA,求点 P 的坐标 . 解析: (1)将函数图象所过点的坐标求出,然后代入函数解析式中,即可求出函数解析式。把 C(-1, 0)代入 y=x+b,求出 b 的值,得到一次函

20、数的解析式;再求出 B 点坐标,然后将 B点坐标代入 kyx,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式; (2)考查反比例函数与一次函数的交点问题,先将反比例函数与一次函数的解析式联立,求出 A 点坐标,再分点 P 在 x 轴上;点 P在 y轴上;两种情况进行讨论 . 答案 : (1)一次函数 y=x+b 的图象与 x 轴交于点 C(-1, 0), -1+b=0,解得 b=1, 一次函数的解析式为 y=x+1, 一次函数 y=x+1 的图象过点 B(-2, n), n=-2+1=-1, B(-2, -1). 反比例函数 y=kx 的图象过点 B(-2, -1), k=-2 (-1)=2, 反比

21、例函数的解析式为 2yx; (2)由 21yy xx ,解得 12xy,或 21xy B(-2, -1), A(1, 2). 分两种情况: 如果点 P 在 x 轴上,设点 P 的坐标为 (x, 0), P1A=OA, P1O=2OM,点 P1的坐标为 (2, 0); 如果点 P 在 y 轴上,设点 P 的坐标为 (0, y), P2A=OA, P2O=2NO,点 P2的坐标为 (0, 4); 综上所述,所求点 P 的坐标为 (2, 0)或 (0, 4). 22. 某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛,甲、乙两所学校参赛人数相等,比赛结束后,发现学生成绩分别为 70 分, 80 分, 90

22、 分, 100 分,并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表: 甲校成绩扇形统计图 甲校成绩条形统计图 乙校成绩统计表 分数 (分 ) 人数 (人 ) 70 7 80 90 1 100 8 (1)在图中,“ 80 分”所在扇形的圆心角度数为 (2)请你将图补充完整; (3)求乙校成绩的平均分; (4)经计算知 S 甲 2=135, S 乙 2=175,请你根据这两个数据,对甲、乙两校成绩作出合理评价 . 解析: (1)考查条形统计图和扇形统计图。 根据 条形 统计图可知甲班 70 分的有 6 人, 根据扇形统计图可知加班 70 分的人数占总人数的 30%, 从而可求得总人数,根据条形统计图可知

23、加班 80分人数,然后 可求得成绩为 80分的同学所占的百分比,最后根据圆心角的度数 =360百分比即可求得答案; (2)用总人数减去成绩为 70 分、 80 分、 90 分的人数即可求得成绩为 100 分的人数,从而可补全统计图; (3)考查加权平均数, 先求得乙班成绩为 80 分的人数,然后利用加权平均数公式计算平均数; (4)考查对方差的理解, 根据方差的意义即可做出评价 . 答案 : (1)根据条形统计图可知甲班 70 分的有 6 人,根据扇形统计图可知加班 70 分的人数占总人数的 30%,所以加班总人数为: 6 30%=20(人 ), 根据条形统计图可知加班 80 分人有3 人,所

24、以甲班 80 分的人占总人数的: 3 20=15%, 在扇形统计图中的圆心角为: 36015%=54 (2)加班考 100 分人数: 20-6-3-6=5(人 ),统计图补充如下: 甲校成绩条形统计图 (3)乙班考 80 分的人数: 20-1-7-8=4(人 ), 7 0 7 8 0 4 9 0 1 1 020 08 85x 乙(4) S 甲 2 S 乙 2,甲班 20 同名同学的成绩比较整齐 . 23. 某工厂通过科技创新,生产效率不断提高 .已知去年月平均生产量为 120 台机器,今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了 m%,二月份的生产量又比一月份生产量多 50 台机器,而且二月份生

25、产 60 台机器所需要时间与一月份生产 45 台机器所需时间相同,三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的 2 倍 . 问:今年第一季度生产总量是多少台机器? m 的值是多少? 解析:考查分式方程的应用。 今年一月份生产量为 : 120(1+m%);二月份生产量: 120(1+m%)+50;根据 关系式 “二月份生产 60 台机器所需要时间与一月份生产 45 台机器所需时间相同,三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的 2 倍”列出方程并解答 . 答案 :设去年月平均生产效率为 1,则今年一月份的生产效率为 (1+m%),二月份的生产效率为 1+m%+512. 根据题意得: 6 0 4 55 1%

26、1%12mm ,解得: m%=14.经检验可知 m%=14是原方程的解 . m=25.第一季度的总产量 =120 1.25+120 1.25+50+120 2=590. 答:今年第一季度生产总量是 590 台, m 的值是 25. 24. 如图,已知 AB 是 O 的弦, CD 是 O 的直径, CD AB,垂足为 E,且点 E是 OD 的中点, O 的切线 BM 与 AO 的延长线相交于点 M,连接 AC, CM. (1)若 AB=43,求 AB 的长; (结果保留 ) (2)求证:四边形 ABMC 是菱形 . 解析: (1)考查弧长的计算。需要作辅助线: 连接 OB, 根据 E 为 OD中

27、点,得到 OE等于 OA的一半,在 Rt AOE 中,得出 OAB=30,进而求出 AOE 与 AOB 的度数,设 OA=x, 根据勾股定理求出 x 的值,确定出圆的半径, 根据 弧长公式即可求出 AB 的长; (2)由 (1)得到 BAM= BMA, 根据 等角对等边得到 AB=MB,利用 SAS得到 OCM与 OBM全等,利用全等三角形对应边相等得到 CM=BM,等量代换得到 CM=AB,再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等 ,进而确定出 CM 与 AB 平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到 ABMC 为平行四边形,最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证

28、 . 答案 : (1)解: 如图所示,连接 OB OA=OB, E 为 AB 的中点 AOE= BOE, OE AB, OE AB, E 为 OD 中点, OE=12OD=12OA, 在 Rt AOE 中, OAB=30, AOE=60, AOB=120, 设 OA=x,则 OE=12x, AE= 32x, AB=43, AB=2AE= 3 x=43,解得: x=4,则 AB 的长 1 2 0 4 81 8 0 3l ; (2)证明:由 (1)得 OAB= OBA=30, BOM= COM=60, AMB=30 BAM= BMA=30, AB=BM, BM 为圆 O 的切线, OB BM, 在

29、 COM 和 BOM 中, O C O BC O M B O MO M O M , COM BOM(SAS), CM=BM, CMO= BMO=30, CM=AB, CMO= MAB, CM AB,四边形 ABMC 为菱形 . 25. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B(1, 0),与 y 轴交于点 C(0, 3),其对称轴 l 为 x=-1. (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标; (2)若动点 P 在第二象限内的抛物线上,动点 N 在对称轴 l 上 . 当 PA NA,且 PA=NA 时,求此时点 P 的坐标; 当四边形 PABC 的面积最大时,求四边形

30、PABC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 . 解析: (1)将已知点的坐标代入已知抛物线的解析式,利用待定系数法即可确定抛物线的解析式; (2)求得抛物线与 x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到 PE=OA,列出方程,求得 x 的值, 即可得到 点 P 的坐标; 用分割法 求 四边形的面积 : S 四边形 BCPA=S OBC+S OPC+S OPA, 列出四边形面积的 二次函数,求得最值即可 . 答案 : (1)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B(1, 0),与 y 轴交于点 C(0, 3),其对称轴 l 为 x=-1, 0312abccba , 解得: 123

31、abc 二次函数的解析式为 y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 顶点坐标为 (-1, 4); (2)令 y=-x2-2x+3=0,解得 x=-3 或 x=1,点 A(-3, 0), B(1, 0), 作 PD x 轴于点 D, 点 P 在 y=-x2-2x+3 上,设点 P(x, -x2-2x+3) PA NA,且 PA=NA, PAD ANQ, AQ=PD, 即 y=-x2-2x+3=2,解得 2 1x (舍去 )或 12x ,点 P( 12x , 2); P(x, y),则 y=-x2-2x+3, 由于 P 在第二象限,所以其横坐标满足: -3 x 0, S 四边形 PABC=S

32、OBC+S APO+S OPC, S OBC= 12OB OC=12 3 1=32, S APO=12AO |y|=12 3 y=32y=32(-x2-2x+3)= 32x2-3x+92, S OPC=12CO |x|=12 3 (-x)= 32x, S 四边形 PABC 2 2 23 3 9 3 9 3 3 3 7 52 2 2 2 2 26 2 2 83x x x x x x ( )当 x= 32时, S 四边形 PABC 最大值 =758,此时 y=-x2-2x+3=154所以 P( 32, 154). 26. 已知: ABC 是等腰直角三角形,动点 P 在斜边 AB 所在的直线上,以

33、PC 为直角边作等腰直角三角形 PCQ,其中 PCQ=90,探究并解决下列问题: (1)如图,若点 P 在线段 AB 上,且 AC=1+ 3 , PA= 2 ,则: 线段 PB= , PC= ; 猜想: PA2, PB2, PQ2三者之间的数量关系为 ; (2)如图,若点 P 在 AB 的延长线上,在 (1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图给出证明过程; (3)若动点 P 满足 13PAPB,求 PCAC的值 .(提示:请利用备用图进行探求 ) 解析: (1)在等腰直角三角形 ACB 中, 根据 勾股定理 , 求得 AB 的长,然后根据 PA 的长,可求得 PB 的长;过点 C 作 CD A

34、B 于 D,从而可求得 CD、 PD 的长,然后在 Rt CDP 中依据勾股定理可求得 PC 的长; 根据 ACB 为等腰直角三角形 , CD AB,可求得: CD=AD=DB,根据 AP=DC-PD, PB=DC+PD,可证明 AP2+BP2=2PC2,因为在 Rt PCQ 中, PQ2=2CP2,所以可得出 AP2+BP2=PQ2的结论; (2)过点 C 作 CD AB,垂足为 D,则 AP=(AD+PD)=(DC+PD), PB=(DP-BD)=(PD-DC),可证明AP2+BP2=2PC2,因为在 Rt PCQ 中, PQ2=2CP2,所以可得出 AP2+BP2=PQ2的结论; (3)

35、根据点 P 所在的位置画出图形,然后依据题目中的比值关系求得 PD 的长 (用含有 CD 的式子表示 ), 在 Rt ACP 和 Rt DCP 中 ,根据 勾股定理求得 AC 和 PC的长度 . 答案 : (1)如图: ABC 是等腰直直角三角形, AC=1+ 3 2 2 2 262A B A C B C A C , PA= 2 , PB= 6 , 作 CD AB 于 D,则 AD=CD= 262, PD=AD-PA= 622, 在 Rt PCD 中, 22 2P C P D C D , 答案为: PB= 6 , 2PC 图 . ACB 为等腰直角三角形, CD AB, CD=AD=DB. A

36、P2=(AD-PD)2=(DC-PD)2=DC2-2DC PD+PD2, PB2=(DB+PD)2=(DC+DP)2=CD2+2DC PD+PD2 AP2+BP2=2CD2+2PD2, 在 Rt PCD 中,由勾股定理可知: PC2=DC2+PD2, AP2+BP2=2PC2. CPQ 为等腰直角三角形, 2PC2=PQ2. AP2+BP2=PQ2 (2)如图:过点 C 作 CD AB,垂足为 D. ACB 为等腰直角三角形, CD AB, CD=AD=DB. AP2=(AD+PD)2=(DC+PD)2=CD2+2DC PD+PD2, PB2=(DP-BD)2=(PD-DC)2=DC2-2DC

37、 PD+PD2, AP2+BP2=2CD2+2PD2, 在 Rt PCD 中,由勾股定理可知: PC2=DC2+PD2, AP2+BP2=2PC2. CPQ 为等腰直角三角形, 2PC2=PQ2. AP2+BP2=PQ2. (3)如图:过点 C 作 CD AB,垂足为 D. 点 P 位于点 P1处时 . 1113PAPB , 1 1142P A A B D C . 1 12PD DC . 在 Rt CP1D 中,由勾股定理得: 22 2 2115122C P D C P D D C D C D C , 在 Rt ACD 中,由勾股定理得: 2 2 22 2A C A D D C D C D C , 1 102452PCPCAC PC . 点 P 位于点 P2处时 . 2213PAPB , P2A 12 AB CD. 在 Rt CP2D 中,由勾股定理得: 22 2 222 2 5P C D C P D D C D C D C , 在 Rt ACD 中,由勾股定理得: 2 2 22 2A C A D D C D C D C , 2 5 1022DCPA DCCC . 综上所述, PCAC的比值为 104或 102.

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