1、2015年江苏省南通市中考真题数学 一 .选择题 (每小题 3 分，共 30 分，四个选项只有一个是符合题意的 ) 1.如果水位升高 6m 时水位变化记作 +6m，那么水位下降 6m 时水位变化记作 ( ) A.-3m B.3m C.6m D.-6m 解析 ：因为上升记为 +，所以下降记为 -，所以水位下降 6m 时水位变化记作 -6m. 答案： D 2. 下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ：从上面看，三棱柱的俯视图为三角形；圆柱的俯视图为圆；四棱锥的俯视图是四边形；球的俯视图是圆；俯视图是圆的几何体共有 2 个 . 答案：
2、 B 3. 据统计： 2014 年南通市在籍人口总数约为 7700000 人，将 7700000 用科学记数法表示为( ) A.0.77 107 B.7.7 107 C.0.77 106 D.7.7 106 解析 ： 将 7700000 用科学记数法表示为 7.7 106. 答案： D 4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 错误 . 答案：
3、A 5.下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A.5， 6， 10 B.5， 6， 11 C.3， 4， 8 D.4a， 4a， 8a(a 0) 解析 ： A、 10-5 6 10+5，三条线段能构成三角形，故本选项正确； B、 11-5=6，三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C、 3+4=7 8，三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D、 4a+4a=8a，三条线段不能构成三角形，故本选项错误 . 答案： A 6.如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点 (2， 1)，则 tan的值是 ( ) A. 55B. 5 C.12D.2 解析 ：设 (2， 1)点是 B，作 BC x
4、 轴于点 C.则 OC=2， BC=1，则 tan =BCOC=12. 答案： C 7.在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，这 a 个球中只有 3 个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子 .通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右，则 a 的值约为 ( ) A.12 B.15 C.18 D.21 解析 ： 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解 . 由题意可得， 3a 100%=20%，解得， a=15. 答案： B 8.关于 x 的不等式 x-b 0 恰有两个负整数解，
5、则 b 的取值范围是 ( ) A.-3 b -2 B.-3 b -2 C.-3 b -2 D.-3 b -2 解析 ： 不等式 x-b 0，解得： x b， 不等式的负整数解只有两个负整数解， -3 b -2. 答案： D. 9.在 20km 越野赛中，甲乙两选手的行程 y(单位： km)随时间 x(单位： h)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；出发后1 小时，两人行程均为 10km；出发后 1.5 小时，甲的行程比乙多 3km；甲比乙先到达终点 .其中正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ： 在两人出发后
6、0.5 小时之前，甲的速度小于乙的速度， 0.5 小时到 1 小时之间，甲的速度大于乙的速度，故错误； 由图可得，两人在 1 小时时相遇，行程均为 10km，故正确； 甲的图象的解析式为 y=10x，乙 AB 段图象的解析式为 y=4x+6，因此出发 1.5 小时后，甲的路程为 15 千米，乙的路程为 12 千米，甲的行程比乙多 3 千米，故正确； 甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故正确 . 答案： C 10.如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，弦 AD 平分 BAC，交 BC 于点 E， AB=6， AD=5，则 AE 的长为 ( ) A.2.5 B.2.8
7、C.3 D.3.2 解析 ： 如图 1，连接 BD、 CD， AB 为 O 的直径， ADB=90， BD= 2 2 2 26 5 1 1A B A D ， 弦 AD 平分 BAC， CD=BD= 11 ， CBD= DAB， 在 ABD 和 BED 中， B A D E B DA D B B D E ， ABD BED， DE DBDB AD，即 11511DE ，解得 DE=115 ， AE=AD-DE=5-115 =2.8. 答案： B 二 .填空题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 11.因式分解 4m2-n2= . 原式利用平方差公式分解即可 ， 原式 =(2m+n)(2m-n).
8、 答案： (2m+n)(2m-n) 12.已知方程 2x2+4x-3=0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1+x2的值等于 . 解析： 方程 2x2+4x-3=0 的两根分别为 x1和 x2， x1+x2=-42=-2. 答案： -2 13.计算 (x-y)2-x(x-2y)= . 解析： 根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可 .(x-y)2-x(x-2y)=x2-2xy+y2-x2+2xy=y2. 答案： y2 14.甲乙两人 8 次射击的成绩如图所示 (单位：环 )根据图中的信息判断，这 8 次射击中成绩比较稳定的是 (填“甲”或“乙” ). 解析
9、： 由图表明乙这 8 次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这 8 次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则 S 甲 2 S 乙 2，即两人的成绩更加稳定的是甲 . 答案：甲 . 15.如图，在 O 中，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， OD=13cm， AB=24cm，则 CD= cm. 解析： 由垂径定理，得 AC=12AB=12cm. 有半径相等，得 OA=OD=13cm. 由勾股定理，得 OC= 2 2 2 21 3 1 2O A A C =5. 由线段的和差，得 CD=OD-OC=13-5=8cm. 答案 ： 8 16.如图， ABC 中， D 是 BC 上一点， AC
10、=AD=DB， BAC=102，则 ADC= 度 . 解析 ： AC=AD=DB， B= BAD， ADC= C， 设 ADC=， B= BAD=2， BAC=102， DAC=102 -2， 在 ADC 中， ADC+ C+ DAC=180， 2 +102 -2=180，解得： =52 . 答案： 52 17.如图，矩形 ABCD 中， F 是 DC 上一点， BF AC，垂足为 E， 12ADAB， CEF 的面积为S1， AEB 的面积为 S2，则12SS 的值等于 . 解析 ： 12ADAB，设 AD=BC=a，则 AB=CD=2a， AC= 5 a， BF AC， CBE CAB，
11、AEB ABC， BC2=CE CA， AB2=AE AC， a2=CE 5 a， 2a2=AE 5 a， CE= 55a， AE=455a， 14CEAE， CEF AEB，12SS =(CEAE )2=116 . 答案 ： 11618.关于 x的一元二次方程 ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在 -1和 0之间 (不包括 -1和0)，则 a 的取值范围是 . 解析 ： 关于 x 的一元二次方程 ax2-3x-1=0 的两个不相等的实数根 ， =(-3)2-4 a (-1) 0，解得： a -94， 设 f(x)=ax2-3x-1，如图， 实数根都在 -1 和 0 之间， -1 32
12、a 0， a -32，且有 f(-1) 0， f(0) 0， 即 f(-1)=a (-1)2-3 (-1)-1 0， f(0)=-1 0，解得： a -2， -94 a -2. 答案： -94 a -2. 三 .解答题 (共 10 小题，共 96 分 ) 19.(1)计算： (-2)2-364 +(-3)0-(13)-2； (2)解方程： 1325xx . 解析 ： (1)原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； (2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的
13、解 . 答案 ： (1)原式 =4-4+1-9=-8； (2)去分母得： x+5=6x，解得： x=1， 经检验 x=1 是分式方程的解 . 20.如图，一海伦位于灯塔 P 的西南方向，距离灯塔 40 2 海里的 A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60方向上的 B 处，求航程 AB 的值 (结果保留根号 ). 解析 ： 过 P 作 PC 垂直于 AB，在直角三角形 ACP 中，利用锐角三角函数定义求出 AC与 PC 的长，在直角三角形 BCP 中，利用锐角三角函数定义求出 CB 的长，由 AC+CB 求出 AB 的长即可 . 答案 ：过 P 作 PC AB 于点
14、C， 在 Rt ACP 中， PA=40 2 海里， APC=45， sin APC=ACAP， cos APC=PCAP， AC=AP sin45 =40 2 22=40(海里 )， PC=AP cos45 =40 2 22=40(海里 )， 在 Rt BCP 中， BPC=60， tan BPC=BCPC， BC=PC tan60 =40 3 (海里 )，则 AB=AC+BC=(40+40 3 )海里 . 21.为增强学生环保意识，某中学组织全校 2000 名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图 .请根据图中提供的信息，解答下列问题：
15、(1)若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组 (79.5 89.5)”的扇形的圆心角为 度； (2)若成绩在 90 分以上 (含 90 分 )的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？ (3)某班准备从成绩最好的 4 名同学 (男、女各 2 名 )中随机选取 2 名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是 1 男 1 女的概率为 . 解析 ： (1)由第三组 (79.5 89.5)的人数即可求出其扇形的圆心角； (2)首先求出 50 人中成绩在 90 分以上 (含 90 分 )的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校约有多少名同学获奖； (3)列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名
16、主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1)由直方图 可知第三组 (79.5 89.5)所占的人数为 20 人， 所以“第三组 (79.5 89.5)”的扇形的圆心角 =2050 360 =144 . (2)估计该校获奖的学生数 =1650 100% 2000=640(人 ). (3)列表如下： 所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种， 则 P(选出的两名主持人“恰好为一男一女” )= 8212 3. 22.由大小两种货车， 3 辆大车与 4 辆小车一次可以运货 22 吨， 2 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 23
17、吨 .请根据以上信息，提出一个能用方程 (组 )解决的问题，并写出这个问题的解答过程 . 解析 ： 1 辆大车与 1 辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“ 3辆大车与 4 辆小车一次可以运货 22 吨”和“ 2 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 23 吨”，列方程组求解即可 . 答案 ： 本题的答案不唯一 . 问题： 1 辆大车与 1 辆小车一次可以运货多少吨？ 设 1 辆大车一次运货 x 吨， 1 辆小车一次运货 y 吨 . 根据题意，得 3 4 222 6 23xyxy ，解得 42.5xy，则 x+y=4+2.5=6.5(吨 ). 答： 1 辆大车与 1 辆小车一
18、次可以运货 6.5 吨 . 23.如图，直线 y=mx+n 与双曲线 y=kx相交于 A(-1， 2)， B(2， b)两点，与 y 轴相交于点 C. (1)求 m， n 的值； (2)若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求 ABD 的面积 . 解析 ： (1)由题意，将 A 坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出 m 与 n 的值； (2)得出点 C 和点 D 的坐标，根据三角形面积公式计算即可 . 答案 ： (1)把 x=-1， y=2； x=2， y=b 代入 y=kx，解得： k=-2， b=-1； 把 x=-1， y=2； x=2， y=-1 代入 y=mx+n，解得： m=
19、-1， n=1. (2)直线 y=-x+1 与 y 轴交点 C 的坐标为 (0， 1)，所以点 D的坐标为 (0， -1)， 点 B 的坐标为 (2， -1)，所以 ABD 的面积 =12 (1+1) (1+2)=3. 24.如图， PA， PB 分别与 O 相切于 A， B 两点， ACB=60 . (1)求 P 的度数； (2)若 O 的半径长为 4cm，求图中阴影部分的面积 . 解析 ： (1)由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OA 垂直于 AP， OB 垂直于 BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知 C 的度数求出 AO
20、B 的度数，在四边形 PABO 中，根据四边形的内角和定理即可求出 P 的度数 . (2)由 S 阴影 =2 (S PAO-S 扇形 )则可求得结果 . 答案 ：连接 OA、 OB， PA、 PB 是 O 的切线， OA AP， OB BP， OAP= OBP=90， 又 AOB=2 C=120， P=360 -(90 +90 +120 )=60 . P=60 . (2)连接 OP， PA、 PB 是 O 的切线， APO=12 APB=30， 在 RT APO 中， tan30 =OAAP， AP= 44ta n 3 0 333OA cm， S 阴 影 =2S AOP-S 扇形 =2 (12
21、 4 4 3 - 260 4360)=(16 3 -163)(cm2). 25.如图，在 ABCD 中，点 E， F 分别在 AB， DC 上，且 ED DB， FB BD. (1)求证： AED CFB； (2)若 A=30， DEB=45，求证： DA=DF. 解析： (1)由四边形 ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用 ASA 即可得证； (2)过 D 作 DH 垂直于 AB，在直角三角形 ADH 中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半得到 AD=2DH，在直角三角形 DEB 中
22、，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到 EB=2DH，易得四边形 EBFD 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到 EB=DF，等量代换即可得证 . 答案： (1)平行四边形 ABCD， AD=CB， A= C， AD CB， ADB= CBD， ED DB， FB BD， EDB= FBD=90， ADE= CBF， 在 AED 和 CFB 中， A D E C B FA D B CAC ， AED CFB(ASA)； (2)作 DH AB，垂足为 H， 在 Rt ADH 中， A=30， AD=2DH， 在 Rt DEB 中， DEB=45， EB=2DH， 四边形 EBFD 为平行四边
23、形， FD=EB， DA=DF. 26.某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元 .若一次性购买不超过 10件时，售价不变；若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低3 元 .已知该服装成本是每件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元 . (1)求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？ 解析： (1)根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； (2)根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可 . 答案 ： (1) 2
24、()()3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 03 0 0 3 1 0 2 0 0 3 1 3 0 1 0 3 0 .x x x x xyx x x x x x ， 且 整 ， ， 且 整为 数为 数(2)在 0 x 10 时， y=100x，当 x=10 时， y 有最大值 1000； 在 10 x 30 时， y=-3x2+130x， 当 x=2123时， y 取得最大值， x 为整数，根据抛物线的对称性得 x=22 时， y 有最大值 1408. 1408 1000，顾客一次购买 22 件时，该网站从中获利最多 . 27.如图， Rt ABC 中， C=90， AB=15， BC=
25、9，点 P， Q 分别在 BC， AC 上， CP=3x， CQ=4x(0 x 3).把 PCQ 绕点 P 旋转，得到 PDE，点 D 落在线段 PQ 上 . (1)求证： PQ AB； (2)若点 D 在 BAC 的平分线上，求 CP 的长； (3)若 PDE 与 ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12 T 16，求 x 的取值范围 . 解析： (1)先根据勾股定理求出 AC 的长，再由相似三角形的判定定理得出 PQC BAC，由相似三角形的性质得出 CPQ= B，由此可得出结论； (2)连接 AD，根据 PQ AB 可知 ADQ= DAB，再由点 D 在 BAC 的平分线上，得出 DA
26、Q=DAB，故 ADQ= DAQ， AQ=DQ.在 Rt CPQ 中根据勾股定理可知， AQ=12-4x，故可得出 x 的值，进而得出结论； (3)当点 E 在 AB 上时，根据等腰三角形的性质求出 x 的值，再分 0 x 98； 98 x 3 两种情况进行分类讨论 . 答案： (1)在 Rt ABC 中， AB=15， BC=9， AC= 2 2 2 21 5 9A B B C =12. 393PC x xBC ， 412 3QC x xAC ， PC QCBC AC. C= C， PQC BAC， CPQ= B， PQ AB. (2)连接 AD， PQ AB， ADQ= DAB. 点 D
27、在 BAC 的平分线上， DAQ= DAB， ADQ= DAQ， AQ=DQ. 在 Rt CPQ 中， PQ=5x， PD=PC=3x， DQ=2x. AQ=12-4x， 12-4x=2x，解得 x=2， CP=3x=6. (3)当点 E 在 AB 上时， PQ AB， DPE= PEB. CPQ= DPE， CPQ= B， B= PEB， PB=PE=5x， 3x+5x=9，解得 x=98. 当 0 x 98时， T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时 0 T 272； 当 98 x 3 时，设 PE 交 AB 于点 G， DE 交 AB 于 F，作 GH FQ，垂足为 H，
28、HG=DF， FG=DH， Rt PHG Rt PDE， G H P G P HE D P E P D. PG=PB=9-3x， 934 5 3G H x P Hx x x， GH=45(9-3x)， PH=35(9-3x)， FG=DH=3x-35(9-3x)， T=PG+PD+DF+FG=(9-3x)+3x+45(9-3x)+3x-35(9-3x)=12 5455x， 此时 272 T 18. 当 0 x 3 时， T 随 x 的增大而增大， T=12 时，即 12x=12，解得 x=1； TA=16 时，即 12 5455x=16，解得 x=136. 12 T 16， x 的取值范围是
29、1 x 136. 28.已知抛物线 y=x2-2mx+m2+m-1(m 是常数 )的顶点为 P，直线 l： y=x-1 (1)求证：点 P 在直线 l 上； (2)当 m=-3 时，抛物线与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，与直线 l 的另一个交点为 Q，M 是 x 轴下方抛物线上的一点， ACM= PAQ(如图 )，求点 M 的坐标； (3)若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 m 的值 . 解析： (1)利用配方法得到 y=(x-m)2+m-1，点 P(m， m-1)，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点 P
30、在直线 l 上； (2)当 m=-3 时，抛物线解析式为 y=x2+6x+5，根据抛物线与 x 轴的交点问题求出 A(-5， 0)，易得 C(0， 5)，通过解方程组 2 651y x xyx ，得 P(-3， -4)， Q(-2， -3)，作 ME y 轴于 E，PF x 轴于 F， QG x 轴于 G，如图，证明 Rt CME Rt PAF，利用相似得 ME CEAF PF，设M(x， x2+6x+5)，则 2 624x x x ，解得 x1=0(舍去 )， x2=-4，于是得到点 M 的坐标为 (-4，-3)； (3)通过解方程组 22211y x m x m myx ，得 P(m， m
31、-1)， Q(m+1， m)，利用两点间的距离公式得到 PQ2=2， OQ2=2m2+2m+1， OP2=2m2-2m+1，然后分类讨论：当 PQ=OQ 时， 2m2+2m+1=2；当 PQ=OP 时， 2m2-2m+1=2；当 OP=OQ 时， 2m2+2m+1=2m2-2m+1，再分别解关于 m 的方程求出 m即可 . 答案： (1) y=x2-2mx+m2+m-1=(x-m)2+m-1，点 P 的坐标为 (m， m-1)， 当 x=m 时， y=x-1=m-1，点 P 在直线 l 上 . (2)当 m=-3 时，抛物线解析式为 y=x2+6x+5， 当 y=0 时， x2+6x+5=0，
32、解得 x1=-1， x2=-5，则 A(-5， 0)， 当 x=0 时， y=x2+6x+5=5，则 C(0， 5)， 可得解方程组 2 651y x xyx，解得 34xy， 或 23xy，则 P(-3， -4)， Q(-2， -3)， 作 ME y 轴于 E， PF x 轴于 F， QG x 轴于 G，如图， OA=OC=5， OAC 为等腰直角三角形， ACO=45， MCE=45 - ACM， QG=3， OG=2， AG=OA-OG=3=QG， AQG 为等腰直角三角形， QAG=45， APF=90 - PAF=90 -( PAQ+45 )=45 - PAQ， ACM= PAQ，
33、APF= MCE， Rt CME Rt PAF， ME CEAF PF， 设 M(x， x2+6x+5)， ME=-x， CE=5-(x2+6x+5)=-x2-6x， 2 62 4x x x ， 整理得 x2+4x=0，解得 x1=0(舍去 )， x2=-4， 点 M 的坐标为 (-4， -3). (3)解方程组 22211y x m x m myx ，得1xmym， 或 1xmym，则 P(m， m-1)， Q(m+1，m)， PQ2=(m+1-m)2+(m-m+1)2=2， OQ2=(m+1)2+m2=2m2+2m+1， OP2=m2+(m-1)2=2m2-2m+1， 当 PQ=OQ 时， 2m2+2m+1=2，解得 m1= 312， m2= 312； 当 PQ=OP 时， 2m2-2m+1=2，解得 m1=123， m2=123； 当 OP=OQ 时， 2m2+2m+1=2m2-2m+1，解得 m=0， 综上所述， m 的值为 0， 312， 312， 123， 123.
