1、2015年江苏省徐州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 ) 1. -2 的倒数是 ( ) A.2 B.-2 C.12D.-12解析 ： -2 (-12)=1， -2 的倒数是 -12. 答案： D 2.下列四个几何体中，主视图为圆的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 找出从正面看，主视图为圆的几何体即可 .主视图为圆的 是： 答案： B 3.下列运算正确的是 ( ) A.3a2-2a2=1 B.(a2)3=a5 C.a2 a4=a6 D.(3a)2=6a2 解析 ： A、 3a2-2a2=a2，错误； B、 (a2)3=a6，错误； C、
2、a2 a4=a6，正确； D、 (3a)2=9a2，错误 . 答案： C 4.使 1x 有意义的 x 的取值范围是 ( ) A.x 1 B.x 1 C.x 1 D.x 0 解析 ： 1x 有意义， x-1 0，即 x 1. 答案： B 5.一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、 2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3个球，下列事件为必然事件的是 ( ) A.至少有 1 个球是黑球 B.至少有 1 个球是白球 C.至少有 2 个球是黑球 D.至少有 2 个球是白球 解析 ： 一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、 2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，至少有 1 个球
3、是黑球是必然事件；至少有 1 个球是白球、至少有 2 个球是黑球和至少有 2 个球是白球都是随机事件 . 答案： A 6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.平行四边形 D.正六边形 解析 ： 选项 A 中的图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，它也不是轴对称图形，选项 A 不正确； 选项 B 中的图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，选项 B 正确； 选项 C 中的图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形，选项 C 不正确； 选项 D 中
4、的图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形，选项 D 不正确 . 答案： B 7.如图，菱形中，对角线 AC、 BD 交于点 O， E 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OE的长等于 ( ) A.3.5 B.4 C.7 D.14 解析 ： 菱形 ABCD 的周长为 28， AB=28 4=7， OB=OD， E 为 AD 边中点， OE 是 ABD 的中位线， OE=12AB=12 7=3.5. 答案： A 8.若函数 y=kx-b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 k(x-3)-b 0 的解集为 ( ) A.x 2 B.x 2 C.x
5、 5 D.x 5 解析 ： 一次函数 y=kx-b 经过点 (2， 0)， 2k-b=0， b=2k. 函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k 0； 解关于 k(x-3)-b 0，移项得： kx 3k+b，即 kx 5k； 两边同时除以 k，因为 k 0，因而解集是 x 5. 答案： C 二、填空题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 9. 4 的算术平方根是 . 解析： 如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，由此即可求出结果 . 22=4， 4 算术平方根为 2. 答案： 2 10.杨絮纤维的直径约为 0.000 010 5m，该直径用科
6、学记数法表示为 . 解析： 0.000 0105=1.05 10-5 ， 答案 ： 1.05 10-5. 11.小丽近 6 个月的手机话费 (单位：元 )分别为： 18， 24， 37， 28， 24， 26，这组数据的中位数是 元 . 解析： 把这 6 个数据按从小到大的顺序排列，可得 18、 24、 24、 26、 28、 37， 处在中间位置的数为 24、 26，又 24、 26 的平均数为 25，这组数据的中位数为 25， 答案： 25 12.若正多边形的一个内角等于 140，则这个正多边形的边数是 . 解析： 正多边形的一个内角是 140，它的外角是： 180 -140 =40， 3
7、60 40=9. 答案： 9 13.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2 3 x-k=0 有两个相等的实数根，则 k 值为 . 解析： 关于 x 的一元二次方程 x2-2 3 x-k=0 有两个相等的实数根， =0，即 (-2 3 )2-4 (-k)=12+4k=0，解得 k=-3. 答案 ： -3 14.如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 与 O 相切于点 D，若 C=20，则 CDA= . 解析： 连接 OD，则 ODC=90， COD=70； OA=OD， ODA= A=12 COD=35， CDA= CDO+ ODA=90 +35 =125 . 故答案
8、为： 125 15.如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB，垂足为 E，连接 AC.若 CAB=22.5， CD=8cm，则 O 的半径为 cm. 解析： 连接 OC，如图所示： AB 是 O 的直径，弦 CD AB， CE=DE=12CD=4cm， OA=OC， A= OCA=22.5， COE 为 AOC 的外角， COE=45， COE 为等腰直角三角形， OC= 2 CE=4 2 cm. 答案： 4 2 16.如图，在 ABC 中， C=31， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，如果 DE 垂直平分 BC，那么 A= . 解析： 在 ABC 中， C=31， ABC 的
9、平分线 BD 交 AC 于点 D， DBE=12 ABC=12(180 -31 - A)=12(149 - A)， DE 垂直平分 BC， BD=DC， DBE= C， DBE=12 ABC=12(149 - A)= C=31， A=87 . 答案 ： 87 17.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为 . 解析： 四边形 ABCD 为正方形， AB=BC=1， B=90， AC2=12+12， AC= 2 ； 同理可求： AE=( 2 )2， HE=( 2 )3，第 n 个正
10、方形的边长 an=( 2 )n-1. 答案 ： ( 2 )n-1. 18.用一个圆心角为 90，半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 . 解析： 根据扇形的弧长公式 l= 90 4180 180nr=2， 设底面圆的半径是 r，则 2 =2 r r=1. 答案： 1 三、解答题 (本大题共 10 小题，共 86 分 ) 19.计算： (1)|-4|-20150+(12)-1-( 3 )2 (2)(1+1a) 2 1aa. 解析： (1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果；
11、 (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案 ： (1)原式 =4-1+2-3=2； (2)原式 = 1aa 11aaa= 11a. 20.(1)解方程： x2-2x-3=0； (2)解不等式组： 122 4 1.xxx ，解析： (1)将方程的左边因式分解后即可求得方程的解； (2)分别求得两个不等式解集后取其公共部分即可求得不等式组的解集 . 答案 ： (1)因式分解得： (x+1)(x-3)=0，即 x+1=0 或 x-3=0，解得： x1=-1， x2=3. (2) 122 4 1xxx ， ，由得 x 3， 由得 x 1，
12、 不等式组的解集为 x 3. 21.小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图， 4 张牌分别对应价值 5， 10， 15， 20(单位：元 )的 4 件奖品 . (1)如果随机翻 1 张牌，那么抽中 20 元奖品的概率为 . (2)如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于 30元的概率为多少？ 解析： (1)随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用 1 除以 4，求出抽中 20 元奖品的概率为多少即可 . (2)首先应用树状图法，列举出随机翻 2 张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于 30
13、 元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于 30元的概率为多少即可 . 答案 ： (1) 1 4=0.25=25%， 抽中 20 元奖品的概率为 25%. 故答案为： 25%. (2)所获奖品总值不低于 30 元有 4 种情况： 30 元、 35 元、 30 元、 35元， 所获奖品总值不低于 30 元的概率为： 4 12= 4112 3. 22.某校分别于 2012 年、 2014 年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查 (开展情况分为较少、有时、常常、总是四种 )，绘制成部分统计图如下 .请根据图中信息，解答下列问题： (1)a= %， b= %，
14、“总是”对应阴影的圆心角为 ； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校 2014 年共有 1200 名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？ (4)相比 2012 年， 2014 年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？ 解析： (1)先用 80 40%求出总人数，即可求出 a， b；用 40% 360，即可得到圆心角的度数； (2)求出 2014 年“有时”，“常常”的人数，即可补全条形统计图； (3)根据样本估计总体，即可解答； (4)相比 2012 年， 2014 年数学课开展小组合作学习情况有所好转 . 答案： (1)80 40%=200(人 )， a=
15、38 200=19%， b=100%-40%-21%-19%=20%； 40% 360 =144， 故答案为： 19， 20， 144； (2)“有时”的人数为： 20% 200=40(人 )，“常常”的人数为： 200 21%=42(人 )，如图所示： (3)1200 80200=480(人 )， 答：数学课“总是”开展小组合作学习的学生有 480 人； (4)相比 2012 年， 2014 年数学课开展小组合作学习情况有所好转 . 23.如图，点 A， B， C， D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，且 AE=DF， A= D， AB=DC. (1)求证：四边形 B
16、FCE 是平行四边形； (2)若 AD=10， DC=3， EBD=60，则 BE= 时，四边形 BFCE 是菱形 . 解析： (1)由 AE=DF， A= D， AB=DC，易证得 AEC DFB，即可得 BF=EC， ACE= DBF，且 EC BF，即可判定四边形 BFCE 是平行四边形； (2)当四边形 BFCE 是菱形时， BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果 . 答案： (1) AB=DC， AC=DF， 在 AEC 和 DFB 中 AC DBADAE DF ， AEC DFB(SAS)， BF=EC， ACE= DBF EC BF，四边形 BFCE 是平行四边形 . (2)当四
17、边形 BFCE 是菱形时， BE=CE， AD=10， DC=3， AB=CD=3， BC=10-3-3=4， EBD=60， BE=BC=4，当 BE=4 时，四边形 BFCE 是菱形 . 24.某超市为促销，决定对 A， B 两种商品进行打折出售 .打折前，买 6件 A 商品和 3件 B 商品需要 54 元，买 3 件 A 商品和 4 件 B 商品需要 32 元；打折后，买 50 件 A 商品和 40 件 B商品仅需 364 元，这比打折前少花多少钱？ 解析： 设打折前 A 商品的单价为 x 元， B 商品的单价为 y 元，根据买 6件 A 商品和 3件 B 商品需要 54 元，买 3 件
18、 A 商品和 4件 B 商品需要 32 元列出方程组，求出 x、 y 的值，然后再计算出买 50 件 A 商品和 40 件 B商品共需要的钱数即可 . 答案： 设打折前 A 商品的单价为 x 元， B 商品的单价为 y 元， 根据题意得： 6 3 543 4 32xyxy，解得： 82xy，则打折前需要 50 8+40 2=480(元 )， 打折后比打折前少花 480-364=116(元 ). 答：打折后比打折前少花 116 元 . 25.如图，平面直角坐标系中，将含 30的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限 .其斜边两端点 A、 B 分别落在 x 轴、 y 轴上，且 AB=12cm (1)若
19、 OB=6cm. 求点 C 的坐标； 若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； (2)点 C 与点 O 的距离的最大值 = cm. 解析： (1)过点 C作 y 轴的垂线，垂足为 D，利用含 30角的直角三角形的性质解答即可； 设点 A 向右滑动的距离为 x，得点 B 向上滑动的距离也为 x，利用三角函数和勾股定理进行解答； (2)过 C 作 CE x 轴， CD y 轴，垂足分别为 E， D，证明 ACE 与 BCD 相似，再利用相似三角形的性质解答 . 答案： (1)过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，如图 1： 在 Rt AOB 中， AB=12， OB=
20、6，则 BC=6， BAO=30， ABO=60， 又 CBA=60， CBD=60， BCD=30， BD=3， CD=3 3 ， 所以点 C 的坐标为 (-3 3 ， 9)； 设点 A 向右滑动的距离为 x，根据题意得点 B 向上滑动的距离也为 x，如图 2： AO=12 cos BAO=12 cos30 =6 3 . AO=6 3 -x， BO=6+x， AB=AB=12， 在 AO B中，由勾股定理得， (6 3 -x)2+(6+x)2=122，解得： x=6( 3 -1)， 滑动的距离为 6( 3 -1). (2)设点 C 的坐标为 (x， y)，过 C 作 CE x 轴， CD y
21、 轴，垂足分别为 E， D，如图 3： 则 OE=-x， OD=y， ACE+ BCE=90， DCB+ BCE=90， ACE= DCB， 又 AEC= BDC=90， ACE BCD， CE ACCD BC，即 366CECD= 3 ， y=- 3 x， OC2=x2+y2=x2+(- 3 x)2=4x2， 当 |x|取最大值时，即 C 到 y 轴距离最大时， OC2有最大值，即 OC 取最大值，如图，即当CB旋转到与 y 轴垂直时 ， 此时 OC=12. 26.如图，在矩形 OABC 中， OA=3， OC=5，分别以 OA、 OC 所在直线为 x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系， D
22、 是边 CB 上的一个动点 (不与 C、 B 重合 )，反比例函数 y=kx(k 0)的图象经过点 D 且与边 BA 交于点 E，连接 DE. (1)连接 OE，若 EOA 的面积为 2，则 k= ； (2)连接 CA、 DE 与 CA 是否平行？请说明理由； (3)是否存在点 D，使得点 B 关于 DE 的对称点在 OC 上？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)连接 OE，根据反比例函数 k 的几何意义，即可求出 k 的值； (2)连接 AC，设 D(x， 5)， E(3， 53x)，则 BD=3-x， BE=5-53x，得到 BD BCBE AB，从而求出D
23、E AC. (3)假设存在点 D 满足条件 .设 D(x， 5)， E(3， 53x)，则 CD=x， BD=3-x， BE=5-53x， AE=53x.作 EF OC，垂足为 F，易得， B CD EFB，然后根据对称性求出 B E、 B D 的表达式，列出 B E B FB D CD，即 5353 x BFxx ，从而求出 (5-103 x)2+x2=(3-x)2，即可求出 x 值，从而得到 D 点坐标 . 答案 ： (1)连接 OE，如，图 1， Rt AOE 的面积为 2， k=2 2=4. (2)连接 AC，如图 1，设 D(x， 5)， E(3， 53x)，则 BD=3-x， BE
24、=5-53x， BDBE = 55 3335xx ， BCAB=53， BD BCBE AB， DE AC. (3)假设存在点 D 满足条件 .设 D(x， 5)， E(3， 53x)，则 CD=x， BD=3-x， BE=5-53x， AE=53x. 作 EF OC，垂足为 F，如图 2， 易证 B CD EFB， B E B FB D CD，即 5353 x BFxx ， B F=53 x， OB =B F+OF=B F+AE=53x+53x=103x， CB =OC-OB =5-103x， 在 Rt B CD 中， CB =5-103x， CD=x， B D=BD=3-x， 由勾股定理得
25、， CB 2+CD2=B D2， (5-103x)2+x2=(3-x)2， 解这个方程得， x1=1.5(舍去 )， x2=0.96，满足条件的点 D 存在， D 的坐标为 D(0.96， 5). 27.为加强公民的节水意识，合理利用水资源 .某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于 1： 1.5： 2.如图折线表示实行阶梯水价后每月水费 y(元 )与用水量 xm3之间的函数关系 .其中线段 AB 表示第二级阶梯时 y 与 x 之间的函数关系 (1)写出点 B 的实际意义； (2)求线段 AB 所在直线的表达式； (3)某户 5 月份按照
26、阶梯水价应缴水费 102 元，其相应用水量为多少立方米？ 解析： (1)根据图象的信息得出即可； (2)首先求出第一、二阶梯单价，再设出解析式，代入求出即可； (3)因为 102 90，求出第三阶梯的单价，得出方程，求出即可 . 答案 ： (1)图中 B 点的实际意义表示当用水 25m3 时，所交水费为 90 元 . (2)设第一阶梯用水的单价为 x 元 /m3，则第二阶梯用水单价为 1.5 x 元 /m3， 设 A(a， 45)，则 451 .5 2 5 9 0axa x x a ，解得， 153ax， A(15， 45)， B(25， 90)， 设线段 AB 所在直线的表达式为 y=kx+
27、b， 则 45 1590 25kbkb，解得92452kb ，线段 AB 所在直线的表达式为 y=92x-452. (3)设该户 5 月份用水量为 xm3(x 90)，由第 (2)知第二阶梯水的单价为 4.5 元 /m3，第三阶梯水的单价为 6 元 /m3， 则根据题意得 90+6(x-25)=102， 解得， x=27， 答：该用户 5 月份用水量为 27m3. 28.如图，在平面直角坐标系中，点 A(10， 0)，以 OA 为直径在第一象限内作半圆， B 为半圆上一点，连接 AB 并延长至 C，使 BC=AB，过 C 作 CD x 轴于点 D，交线段 OB 于点 E，已知CD=8，抛物线经
28、过 O、 E、 A 三点 . (1) OBA= . (2)求抛物线的函数表达式 . (3)若 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、 O、 A、 E 为顶点的四边形面积记作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？ 解析： (1)利用圆周角定理，直径所对的圆周角等于 90，即可得出答案； (2)利用 (1)中的结论易得 OB 是的垂直平分线，易得点 B，点 C 的坐标，由点 O，点 B 的坐标易得 OB 所在直线的解析式，从而得出点 E 的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式； (3)利用 (2)的结论易得点 P 的坐标，分类讨论若点 P 在 CD 的左侧，延长 OP 交
29、 CD 于 Q，如右图 2，易得 OP 所在直线的函数关系式，表示出 Q 点的纵坐标， 得 QE 的长，表示出四边形 POAE 的面积；若点 P 在 CD 的右侧，延长 AP 交 CD 于 Q，如右图 3，易得 AP 所在直线的解析式，从而求得 Q 点的纵坐标，得 QE 求得四边形 POAE 的面积，当 P 在 CD 右侧时，四边形 POAE 的面积最 大值为 16，此时点 P 的位置就一个，令 -38p2+94p+15=16，解得 p，得出结论 . 答案 ： (1) OA 是 O 的直径， OBA=90 . (2)连接 OC，如图 1 所示， 由 (1)知 OB AC，又 AB=BC， OB
30、 是 AC 的垂直平分线， OC=OA=10， 在 Rt OCD 中， OC=10， CD=8， OD=6， C(6， 8)， B(8， 4) OB 所在直线的函数关系为 y=12x， 又 E 点的横坐标为 6， E 点纵坐标为 3，即 E(6， 3)， 抛物线过 O(0， 0)， E(6， 3)， A(10， 0)， 设此抛物线的函数关系式为 y=ax(x-10)，把 E 点坐标代入得： 3=6a(6-10)，解得 a=-18. 此抛物线的函数关系式为 y=-18x(x-10)，即 y=-18x2+54x. (3)设点 P(p， -18p2+54p)， 若点 P 在 CD 的左侧，延长 OP
31、 交 CD于 Q，如图 2， OP 所在直线函数关系式为： y=(-18p+54)x 当 x=6 时， y=-34p+152，即 Q 点纵坐标为 -34p+152， QE=-34p+152-3=-34p+92， S 四边形 POAE=S OAE+S OPE=S OAE+S OQE-S PQE =12 OA DE+12QE OD-12 QE (Px-6) =12 10 3+12 (-34p+92) 6-12 (-34p+92) (6-p)， =-38p2+94p+15. 若点 P 在 CD 的右侧，延长 AP 交 CD于 Q，如右图 3， P(p， -18p2+54p)， A(10， 0)， 设
32、 AP 所在直线方程为： y=kx+b， 把 P 和 A 坐标代入得，21 0 01854kbp k b p p ，解得5418kpbp， AP 所在直线方程为： y=-18px+54p， 当 x=6 时， y=-18p 6+54p=12P，即 Q 点纵坐标为 12P， QE=12P-3， S 四边形 POAE=S OAE+S APE=S OAE+S AQE-S PQE =12 OA DE+12 QE DA-12 QE (Px-6) =12 10 3+12 QE (DA-Px+6) =15+12 (12p-3) (10-p)=-14p2+4p=-14(p-8)2+16， 当 P 在 CD 右侧时，四边形 POAE 的面积最大值为 16，此时点 P 的位置就一个， 令 -38p2+94p+15=16，解得， p=3 573， 当 P 在 CD 左侧时，四边形 POAE 的面积等于 16的对应 P的位置有两个， 综上所知，以 P、 O、 A、 E 为顶点的四边形面积 S 等于 16 时，相应的点 P有且只有 3个 .
