1、2015年浙江省温州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 ) 1.给出四个数 0， 3 ， 12， -1，其中最小的是 ( ) A.0 B. 3 C.12D.-1 解析 ：根据实数比较大小的方法，可得 -1 0 12 3 ， 四个数 0， 3 ， 12， -1，其中最小的是 -1. 答案： D 2.将一个长方体内部挖去一个圆柱 (如图所示 )，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线 . 答案： A 3.某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有 25 人，则
2、参加人数最多的小组有 ( ) A.25 人 B.35 人 C.40 人 D.100 人 解析 ： 参加兴趣小组的总人数 25 25%=100(人 )， 参加乒乓球小组的人数 100 (1-25%-35%)=40(人 ). 答案： C 4.下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是 ( ) A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆 解析 ： A、不是中心对称图形，故本选项正确； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误 . 答案： A 5.如图，在 ABC 中， C=90， AB=5， BC=3，则 cosA 的值是 ( )
3、A.34B.43C.35D.45解析 ： AB=5， BC=3， AC=4， cosA= 45ACAB. 答案： D 6.若关于 x 的一元二次方程 4x2-4x+c=0 有两个相等实数根，则 c 的值是 ( ) A.-1 B.1 C.-4 D.4 解析 ： 一元二次方程 4x2-4x+c=0 有两个相等实数根， =42-4 4c=0， c=1. 答案： B 7.不等式组 1212xx ， 的解是 ( ) A.x 1 B.x 3 C.1 x 3 D.1 x 3 解析 ： 1212xx ，解不等式得： x 1，解不等式得： x 3，不等式组的解集为 1 x 3. 答案： D 8.如图，点 A 的
4、坐标是 (2， 0)， ABO 是等边三角形，点 B 在第一象限 .若反比例函数 y= kx的图象经过点 B，则 k 的值是 ( ) A.1 B.2 C. 3 D.2 3 解析 ： 过点 B 作 BC 垂直 OA 于 C， 点 A 的坐标是 (2， 0)， AO=2， ABO 是等边三角形， OC=1， BC= 3 ，点 B 的坐标是 (1， 3 )， 把 (1， 3)代入 y=kx，得 k= 3 . 答案： C 9.如图，在 Rt AOB 的平分线 ON 上依次取点 C， F， M，过点 C 作 DE OC，分别交 OA， OB于点 D， E，以 FM 为对角线作菱形 FGMH.已知 DFE
5、= GFH=120， FG=FE，设 OC=x，图中阴影部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是 ( ) A.y= 32x2 B.y= 3 x2 C.y=2 3 x2 D.y=3 3 x2 解 析 ： ON 是 Rt AOB 的平分线， DOC= EOC=45， DE OC， ODC= OEC=45， CD=CE=OC=x， DF=EF， DE=CD+CE=2x， DFE= GFH=120， CEF=30， CF=CE tan30 = 33x， EF=2CF=233x， S DEF=12DE CF= 33x2， 四边形 FGMH 是菱形， FG=MG=FE=233x， G=180 -
6、 GFH=60， FMG 是等边三角形， S FGH= 33x2， S 菱形 FGMH=233x2， S 阴影 =S DEF+S 菱形 FGMH= 3 x2. 答案： B 10.如图， C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，连结 AC， BC，分别以 AC， BC 为边向外作正方形 ACDE， BCFG.DE， FC， 弧 AC， 弧 BC 的中点分别是 M， N， P， Q.若 MP+NQ=14， AC+BC=18，则 AB 的长为 ( ) A.9 2 B.907C.13 D.16 解析 ：连接 OP， OQ， DE， FC， 弧 AC， 弧 BC 的中点分别是 M， N， P， Q，
7、OP AC， OQ BC， H、 I 是 AC、 BD 的中点， OH+OI=12(AC+BC)=9， MH+NI=AC+BC=18， MP+NQ=14， PH+QI=18-14=4， AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13. 答案： C 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 11.分解因式： a2-2a+1= . 解析 ： a2-2a+1=a2-2 1 a+12=(a-1)2. 答案： (a-1)2 12.一个不透明的袋中只装有 1 个红球和 2 个篮球，它们除颜色外其余均相同 .现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是 . 解析 ： 画树状
8、图得： 共有 6 种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有 4 种情况， 随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是： 4263. 答案： 2313.已知扇形的圆心角为 120，弧长为 2，则它的半径为 . 解析 ： L= 180nR， R=180 2120=3. 答案： 3 14.方程 231xx 的根为 . 解析 ： 去分母得： 2(x+1)=3x， 即 2x+2=3x， 解得： x=2， 经检验： x=2 是原方程的解 . 答案： x=2 15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙 (墙足够长 )，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1m 宽的门 .已知计划中的
9、材料可建墙体 (不包括门 )总长为 27m，则能建成的饲养室面积最大为 m2. 解析 ： 设垂直于墙的材料长为 x 米， 则平行于墙的材料长为 27+3-3x=30-3x，则总面积 S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75， 故饲养室的最大面积为 75 平方米 . 答案： 75 16.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品 .该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成 (不重叠、无缝隙 ).图乙中 67ABBC， EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为 54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm. 解析： 如图乙，取 CD 的中点 G，连接
10、HG， 设 AB=6acm，则 BC=7acm，中间菱形的对角线 HI 的长度为 xcm， BC=7acm， MN=EF=4cm， CN=742a， GH BC， GH DGCN DC，7127422axa ， x=3.5a-2 (1)； 上下两个阴影三角形的面积之和为 54cm2， 6a (7a-x) 2=54， a(7a-x)=18 (2)； 由 (1)(2)，可得 a=2， x=5， CD=6 2=12(cm)， CN=742a=7 2 42=9(cm)， DN= 2212 9 =15(cm)， 又 DH= 2 2 2 2( 72 )562D G G H =7.5(cm)， HN=15-
11、7.5=7.5(cm)， AM FC， 449 4 5K N M NH K C N ， HK= 5 2 57 .54 5 6(cm)，该菱形的周长为： 25 50463(cm). 答案： 503. 三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分） 17.(1)计算： 20150+ 12 +2( -12) (2)化简： (2a+1)(2a-1)-4a(a-1) 解析： (1)先算乘方、化简二次根式与乘法，最后算加法； (2)利用平方差公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可 . 答案： (1)原式 =1+2 3 -1=2 3 ； (2)原式 =4a2-1-4a2+4a=4a-1. 18.如图，点
12、 C， E， F， B 在同一直线上，点 A， D 在 BC 异侧， AB CD， AE=DF， A= D. (1)求证： AB=CD. (2)若 AB=CF， B=30，求 D 的度数 . 解析： (1)易证得 ABE CDF，即可得 AB=CD； (2)易证得 ABE CDF，即可得 AB=CD，又由 AB=CF， B=30，即可证得 ABE 是等腰三角形，解答即可 . 答案： (1) AB CD， B= C， 在 ABE 和 CDF 中， ADCBAE DF ， ABE CDF(AAS)， AB=CD. (2) ABE CDF， AB=CD， BE=CF， AB=CF， B=30， AB
13、=BE， ABE 是等腰三角形， D=12 (180 -30 )=75 . 19.某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核 .甲、乙、丙各项得分如下表： (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序 . (2)该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分， 80 分， 70 分，并按 60%， 30%，10%的比例计入总分 .根据规定，请你说明谁将被录用 . 解析： (1)代入求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果； (2)由于甲的面试成绩低于 80 分，根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩，比较得
14、出结果 . 答案： (1)x甲=(83+79+90) 3=84， x乙 =(85+80+75) 3=80， x丙 =(80+90+73) 3=81. 从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲，丙，乙； (2)该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分， 80 分， 70 分，甲淘汰； 乙成绩 =85 60%+80 30%+75 10%=82.5， 丙成绩 =80 60%+90 30%+73 10%=82.3， 乙将被录取 . 20.各顶点都在方格纸格点 (横竖格子线的交错点 )上的多边形称为格点多边形 .如何计算它的面积？奥地利数学家皮克 (G Pick， 1859 1942 年 )
15、证明了格点多边形的面积公式 S=a+12b-1，其中 a 表示多边形内部的格点数， b 表示多边形边界上的格点数， S 表示多边形的面积 .如图， a=4， b=6， S=4+12 6-1=6. (1)请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有 4 个格点，并写出它的面积 . (2)请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为 72，且每条边上除顶点外无其它格点 .(注：图甲、图乙在答题纸上 ) 解 析： (1)根据皮克公式画图计算即可； (2)根据题意可知 a=3， b=3，画出满足题意的图形即可 . 答案： (1)如图所示， a=4， b=4， S=4+ 12 4-1=5； (2)因为 S=7
16、2， b=3，所以 a=3，如图所示 . 21.如图， AB 是半圆 O 的直径， CD AB 于点 C，交半圆于点 E， DF 切半圆于点 F.已知AEF=135 . (1)求证： DF AB； (2)若 OC=CE， BF=2 2 ，求 DE 的长 . 解析： (1)连接 OF，根据圆内接四边形的性质得到 AEF+ B=180，由于 AEF=135，得出 B=45，于是得到 AOF=2 B=90，由 DF 切 O 于 F，得到 DFO=90，由于 DC AB，得到 DCO=90，于是结论可得； (2)过 E 作 EM BF 于 M，由四边形 DCOF 是矩形，得到 OF=DC=OA，由于
17、OC=CE，推出 AC=DE，设 DE=x，则 AC=x，在 Rt FOB 中， FOB=90， OF=OB， BF=2 2 ，由勾股定理得： OF=OB=2，则 AB=4， BC=4-x，由于 AC=DE， OCDF=CE，由勾股定理得： AE=EF，通过 Rt ECA Rt EMF，得出 AC=MF=DE=x，在 Rt ECB 和 Rt EMB 中，由勾股定理得： BC=BM，问题可得 . 答案： (1)连接 OF， A、 E、 F、 B 四点共圆， AEF+ B=180， AEF=135， B=45， AOF=2 B=90， DF 切 O 于 F， DFO=90， DC AB， DCO=
18、90，即 DCO= FOC= DFO=90，四边形 DCOF 是矩形， DF AB. (2)过 E 作 EM BF 于 M， 四边形 DCOF 是矩形， OF=DC=OA， OC=CE， AC=DE， 设 DE=x，则 AC=x， 在 Rt FOB 中， FOB=90， OF=OB， BF=2 2 ，由勾股定理得： OF=OB=2，则 AB=4， BC=4-x， AC=DE， OCDF=CE，由勾股定理得： AE=EF， ABE= FBE， EC AB， EM BF， EC=EM， ECB= M=90， 在 Rt ECA 和 Rt EMF 中 AE EFEC EM， Rt ECA Rt EMF
19、， AC=MF=DE=x， 在 Rt ECB 和 Rt EMB 中，由勾股定理得： BC=BM， BF=BM-MF=BC-MF=4-x-x=2 2 ，解得： x=2- 2 ，即 DE=2- 2 . 22.某农业观光园计划将一块面积为 900m2的圆圃分成 A， B， C 三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲 3 株或乙 6 株或丙 12 株 .已知 B 区域面积是 A 区域面积的 2倍 .设 A 区域面积为 x(m2). (1)求该园圃栽种的花卉总株数 y 关于 x 的函数表达式 . (2)若三种花卉共栽种 6600 株，则 A， B， C 三个区域的面积分别是多少？ (3)
20、若三种花卉的单价 (都是整数 )之和为 45 元，且差价均不超过 10 元，在 (2)的前提下，全部栽种共需 84000 元 .请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价 . 解析： (1)设 A 区域面积为 x，则 B 区域面积是 2x， C 区域面积是 900-3x，根据每平方米栽种甲 3 株或乙 6 株或丙 12 株，即可解答； (2)当 y=6600 时，即 -21x+10800=6600，解得： x=200，则 2x=400， 900-3x=300，即可解答； (3)设三种花卉的单价分别为 a 元、 b 元、 c， 根据根据题意得： 456 0 0 2 4 0 0 3 6 0
21、 0 8 4 0 0 0abca b z ，整理得： 3b+5c=95，根据三种花卉的单价 (都是整数 )之和为 45 元，且差价均不超过 10 元，所以 b=15， c=10， a=20，即可解答 . 答案： (1)y=3x+12x+12(900-3x)=-21x+10800. (2)当 y=6600 时，即 -21x+10800=6600，解得： x=200， 2x=400， 900-3x=300， 答： A， B， C 三个区域的面积分别是 200m2， 400m2， 300m2. (3)设三种花卉的单价分别为 a 元、 b 元、 c 元，在 (2)的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花卉的
22、株数为 600 株， 2400 株， 3600 株， 根据题意得： 456 0 0 2 4 0 0 3 6 0 0 8 4 0 0 0abca b z ，整理得： 3b+5c=95， 三种花卉的单价 (都是整数 )之和为 45 元，且差价均不超过 10 元， b=15， c=10， a=20， 种植面积最大的花卉总价为： 2400 15=36000(元 )， 答：种植面积最大的花卉总价为 36000 元 . 23.如图，抛物线 y=-x2+6x 交 x 轴正半轴于点 A，顶点为 M，对称轴 MB 交 x 轴于点 B.过点C(2， 0)作射线 CD交 MB 于点 D(D在 x 轴上方 )， OE
23、 CD交 MB 于点 E， EF x 轴交 CD 于点 F，作直线 MF. (1)求点 A， M 的坐标 . (2)当 BD 为何值时，点 F 恰好落在该抛物线上？ (3)当 BD=1 时 求直线 MF 的解析式，并判断点 A 是否落在该直线上 . 延长 OE 交 FM 于点 G，取 CF 中点 P，连结 PG， FPG，四边形 DEGP，四边形 OCDE 的面积分别记为 S1， S2， S3，则 S1： S2： S3= . 解析： (1)在抛物线解析式中令 y=0，容易求得 A 点坐标，再根据顶点式，可求得 M 点坐标； (2)由条件可证明四边形 OCFE 为平行四边形，可求得 EF 的点，
24、可求得 F 点坐标，可得出 BE的长，再利用平行线的性质可求得 BD 的长； (3)由条件可求得 F 点坐标，可求得直线 MF 的解析式，把 A 点坐标代 入其解析式可判断出A 点在直线 MF 上；由点的坐标结合勾股定理求得 OE、 GE、 CD、 DM、 MF 的长，再结合面积公式可分别表示出 S1， S2， S3，可求得答案 . 答案： (1)令 y=0，则 -x2+6x=0，解得 x=0 或 x=6， A 点坐标为 (6， 0)， 又 y=-x2+6x=-(x-3)2+9， M 点坐标为 (3， 9)； (2) OE CF， OC EF，四边形 OCFE 为平行四边形，且 C(2， 0)
25、， EF=OC=2， 又 B(3， 0)， OB=3， BC=1， F 点的横坐标为 5， 点 F 落在抛物线 y=-x2+6x 上， F 点的坐标为 (5， 5)， BE=5， OE CF， BD BCBE OB，即 153BD， BD=53； (3)当 BD=1 时，由 (2)可知 BE=3BD=3， F(5， 3)， 设直线 MF 解析式为 y=kx+b， 把 M、 F 两点坐标代入可得 9335kbkb，解得 318kb，直线 MF 解析式为 y=-3x+18， 当 x=6 时， y=-3 6+18=0，点 A 落在直线 MF 上 . 如图所示， E(3， 3)，直线 OE 解析式为
26、y=x， 联立直线 OE 和直线 MF 解析式可得3 18yx ，解得9292xy ， G(92， 92)， OG= 229 9 9 22 2 2 ， OE=CF=3 2 ， EG=OG-OE= 9 2 3 23 2 =22， 13CDOE， CD=13OE=2， P 为 CF 中点， PF= 12CF=322， DP=CF-CD-PF=3 2 - 2 -322= 22， OG CF，可设 OG 和 CF 之间的距离为 h， S FPG=12PF h=12 322h=324h， S 四边形 DEGP=12(EG+DP)h=12 (322+ 22)h= 2 h， S 四边形 OCDE=12(OE
27、+CD)h=12(3 2 + 2 )h=2 2 h， S1， S2， S3=324h： 2 h： 2 2 h=3： 4： 8. 故答案为： 3： 4： 8. 24.如图，点 A 和动点 P 在直线 l 上，点 P 关于点 A 的对称点为 Q，以 AQ 为边作 Rt ABQ，使 BAQ=90， AQ： AB=3： 4，作 ABQ 的外接圆 O.点 C 在点 P 右侧， PC=4，过点 C 作直线m l，过点 O 作 OD m 于点 D，交 AB 右侧的圆弧于点 E.在射线 CD 上取点 F，使 DF=32CD，以 DE， DF 为邻边作矩形 DEGF.设 AQ=3x. (1)用关于 x 的代数式
28、表示 BQ， DF. (2)当点 P 在点 A 右侧时，若矩形 DEGF 的面积等于 90，求 AP 的长 . (3)在点 P 的整个运动过程中， 当 AP 为何值时，矩形 DEGF 是正方形？ 作直线 BG 交 O 于点 N，若 BN 的弦心距为 1，求 AP 的长 (直接写出答案 ). 解析： (1)由 AQ： AB=3： 4， AQ=3x，易得 AB=4x，由勾股定理得 BQ，再由中位线的性质得 AH=BH=12 AB，求得 CD， FD； (2)利用 (1)的结论，易得 CQ的长，作 OM AQ于点 M(如图 1)，则 OM AB，由垂径定理得 QM=AM=32 x，由矩形性质得 OD
29、=MC，利用矩形面积，求得 x，得出结论； (3)点 P 在 A 点的右侧时 (如图 1)，利用 (1)(2)的结论和正方形的性质得 2x+4=3x，得 AP；点 P 在 A 点的左侧时，当点 C在 Q 右侧， 0 x 47时 (如图 2)， 4-7x=3x，解得 x，易得 AP；当 47 x 23时 (如图 3)， 7-4x=3x，得 AP；当点 C在 Q 的左侧时，即 x 23(如图 4)，同理得 AP； 连接 NQ，由点 O 到 BN 的弦心距为 l，得 NQ=2，当点 N 在 AB 的左侧 时 (如图 5)，过点 B作 BM EG 于点 M， GM=x， BM=x，易得 GBM=45，
30、 BM AQ，易得 AI=AB，求得 IQ，由 NQ 得AP；当点 N在 AB 的右侧时 (如图 6)，过点 B作 BJ GE 于点 J，由 GJ=x， BJ=4x 得 tan GBJ=14 ，利用 (1)(2)中结论得 AI=16x， QI=19x，解得 x，得 AP. 答案： (1)在 Rt ABQ 中， AQ： AB=3： 4， AQ=3x， AB=4x， BQ=5x， OD m， m l， OD l， OB=OQ， AH=BH=12AB=2x， CD=2x， FD=32CD=3x. (2) AP=AQ=3x， PC=4， CQ=6x+4，作 OM AQ 于点 M(如图 1)， OM A
31、B， O 是 ABQ 的外接圆， BAQ=90，点 O 是 BQ 的中点， QM=AM=32x OD=MC=92x+4， OE=12BQ=52x， ED=2x+4， S 矩形 DEGF=DF DE=3x(2x+4)=90，解得： x1=-5(舍去 )， x2=3， AP=3x=9. (3)若矩形 DEGF 是正方形，则 ED=DF， I.点 P 在 A 点的右侧时 (如图 1)， 2x+4=3x，解得： x=4， AP=3x=12； II.点 P 在 A 点的左侧时， 当点 C 在 Q 右侧， 0 x 47时 (如图 2)， ED=4-7x， DF=3x， 4-7x=3x，解得： x=25，
32、AP=65； 当 47 x 23时 (如图 3)， ED=7-4x， DF=3x， 7-4x=3x，解得： x=1(舍去 )， 当点 C 在 Q 的左侧时，即 x 23(如图 4)， DE=7x-4， DF=3x， 7x-4=3x，解得： x=1， AP=3， 综上所述：当 AP 为 12 或 65或 3 时，矩形 DEGF是正方形； 连接 NQ，由点 O 到 BN 的弦心距为 l，得 NQ=2， 当点 N 在 AB 的左侧时 (如图 5)，过点 B 作 BM EG 于点 M， GM=x， BM=x， GBM=45， BM AQ， AI=AB=4x， IQ=x， NQ=2x =2， x=2 2 ， AP=6 2 ； 当点 N 在 AB 的右侧时 (如图 6)，过点 B 作 BJ GE 于点 J， GJ=x， BJ=4x， tan GBJ=14， AI=16x， QI=19x， NQ=1917x =2， x=2 1719 ， AP=6 1719 ， 综上所述： AP 的长为 6 2 或 6 1719.
