1、2015 年浙江省绍兴市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 ) 1.计算 (-1) 3 的结果是 ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析： 根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 . (-1) 3=-1 3=-3. 答案： A 2.据中国电子商务研究中心监测数据显示， 2015 年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达 27 800 000 000 元，将 27 800 000 000 用科学记数法表示为 ( ) A.2.78 1010 B.2.78 1011 C.27.8 1010 D.0.278 1011 解析： 将 27 800 00
2、0 000 用科学记数法表示为 2.78 1010. 答案： A 3.有 6 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形 . 答案： C 4.下面是一位同学做的四道题： 2a+3b=5ab； (3a3)2=6a6； a6 a2=a3； a2 a3=a5，其中做对的一道题的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析： 不是同类项不能合并，故错误； 积的乘方等于乘方的积，故错误； 同底数幂的除法底数不变指数相减，故错误； 同底数幂的乘法底数不变指数相加，故正确； 答案： D 5.
3、在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的 3 个红球和 2 个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ( ) A.13B.25C.12D.35解析： 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的 3 个红球和 2 个白球， 从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是： 223 2 5. 答案： B 6.化简 2 111xxx的结果是 ( ) A.x+1 B. 11xC.x-1 D. 11x解析： 原式 = 22 1111 11 1 1 1xxxx xx x x x . 答案： A 7.如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD， BC=DC.将仪器上的点 A 与 PRQ 的顶
4、点R 重合，调整 AB和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A， C 画一条射线 AE， AE 就是PRQ 的平分线 .此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 ABC ADC，这样就有QAE= PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 解析： 在 ADC 和 ABC 中， AD ABDC BCAC AC ， ADC ABC(SSS)， DAC= BAC，即 QAE= PAE. 答案： D 8.如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， O 的半径为 2， B=135，则 弧 AC 的长 ( ) A.2 B. C.2D.3解析：
5、连接 OA、 OC， B=135， D=180 -135 =45， AOC=90，则 弧 AC 的长 =90 2180= . 答案： B 9.如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换 .已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是 ( ) A.y=x2-1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17 解析： A、 y=x2-1，先向上平移 1 个单位得到 y=x2，再向上平移 1 个单位可以得到 y=x2+1，故 A 正确； B、 y=x2+6x+5=(x+3)2
6、-4，无法经两次简单变换得到 y=x2+1，故 B 错误； C、 y=x2+4x+4=(x+2)2，先向右平移 2 个单位得到 y=(x+2-2)2=x2，再向上平移 1 个单位得到y=x2+1，故 C 正确； D、 y=x2+8x+17=(x+4)2+1，先向右平移 2 个单位得到 y=(x+4-2)2+1=(x+2)2+1，再向右平移 2个单位得到 y=x2+1，故 D 正确 . 答案： B 10.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走 .如图中，按照这一规则，第 1 次应拿走号棒，第 2 次应拿走号棒，则第 6 次应拿走 ( ) A.号棒
7、B.号棒 C.号棒 D.号棒 解析： 仔细观察图形发现： 第 1 次应拿走号棒， 第 2 次应拿走号棒， 第 3 次应拿走号棒， 第 4 次应拿走号棒， 第 5 次应拿走号棒， 第 6 次应拿走号棒， 答案： D 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 11.分解因式： x2-4= . 解析： 直接利用平方差公式进行因式分解即可 . x2-4=(x+2)(x-2). 答案： (x+2)(x-2) 12.如图，已知点 A(0， 1)， B(0， -1)，以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C，则 BAC 等于 度 . 解析： A(0， 1)，
8、B(0， -1)， AB=2， OA=1， AC=2， 在 Rt AOC 中， cos BAC= 12OAAC， BAC=60 . 答案： 60 13.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作 .小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可 .如图 1，衣架杆 OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60，如图 2，则此时 A， B 两点之间的距离是 cm. 解析： OA=OB， AOB=60， AOB 是等边三角形， AB=OA=OB=18cm. 答案： 18 14.在 Rt ABC 中， C=90， BC=3， AC=4，点 P 在以 C 为圆心， 5 为半
9、径的圆上，连结 PA，PB.若 PB=4，则 PA 的长为 . 解析： 连 接 CP， PB 的延长线交 C 于 P，如图， CP=5， CB=3， PB=4， CB2+PB2=CP2， CPB 为直角三角形， CBP=90， CB PB， PB=P B=4， C=90， PB AC，而 PB=AC=4，四边形 ACBP 为矩形， PA=BC=3， 在 Rt APP中， PA=3， PP =8， P A= 2283 = 73 ， PA 的长为 3 或 73 . 答案： 3 或 73 . 15.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于坐标轴， A 点的坐标为 (
10、a， a).如图，若曲线 y= 3x(x 0)与此正方形的边有交点，则 a 的取值范围是 . 解析： A 点的坐标为 (a， a).根据题意 C(a-1， a-1)， 当 A 在双曲线 y=3x(x 0)时，则 a-1= 31a，解得 a= 3 +1， 当 C 在双曲线 y=3x(x 0)时，则 a=3a，解得 a= 3 ， a 的取值范围是 3 a 3 +1. 答案： 3 a 3 +1 16.实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器 (容器足够高 )，底面半径之比为 1：2： 1，用两个相同的管子在容器的 5cm 高度处连通 (即管子底端离容器底 5cm).现三个容器中，只有甲中有水，
11、水位高 1cm，如图所示 .若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水 1 分钟，乙的水位上升 56cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0.5cm. 解析： 甲、乙、丙三个圆柱形容器 (容器足够高 )，底面半径之比为 1： 2： 1， 注水 1 分钟，乙的水位上升 56cm， 注水 1 分钟，丙的水位上升 103cm， 设开始注入 t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0.5cm， 甲与乙的水位高度之差是 0.5cm 有三种情况： 当乙的水位低于甲的水位时，有 1-56t=0.5，解得： t=35分钟； 当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时， 56t-1=0.5，
12、解得： t=95， 103 95=6 5，此时丙容器已向甲容器溢水， 5 10 332分钟， 5 3 56 2 4，即经过 32分钟边容 器的水到达管子底部，乙的水位上升 54， 54+2 56(t-32)-1=0.5，解得： t=3320； 当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时， 乙的水位到达管子底部的时间为； 32+(5-54) 56 2=154分钟， 5-1-2 103(t-154)=0.5，解得： t=17140， 综上所述开始注入 35， 3320， 17140，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0.5cm. 三、解答题 (本题有 8 小题，共 80 分
13、 ) 17.(1)计算： 2cos45 -( +1)0+ 14+(12)-1； (2)解不等式： 3x-5 2(x+2) 解析： (1)原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； (2)不等式去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解 . 答案 ： (1)原式 =2 22-1+12+2= 2 +32； (2)去括号得： 3x-5 2x+4，移项合并得： x 9. 18.小敏上午 8： 00 从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中 .小敏离家的路程 y(米 )和所经过的时间
14、 x(分 )之间的函数图象如图所示 .请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？ (2)小敏几点几分返回到家？ 解析： (1)根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段； (2)求出返回家时的函数解析式，当 y=0 时，求出 x 的值，即可解答 . 答案： (1)小敏去超市途中的速度是： 3000 10=300(米 /分 )， 在超市逗留了的时间为： 40-10=30(分 ). (2)设返回家时， y 与 x 的函数解析式为 y=kx+b， 把 (40，
15、3000)， (45， 2000)代入得： 3 0 0 0 4 02 0 0 0 4 5kbkb，解得： 20011000kb，函数解析式为 y=-200x+11000， 当 y=0 时， x=55，返回到家的时间为： 8： 55. 19.为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为 A， B， C， D 四个等级，其中相应等级的里程依次为 200 千米， 210 千米， 220 千米， 230千米，获得如下不完整的统计图 . 根据以上信息，解答下列问题： (1)问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图； (2)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里
16、程数为多少千米？ 解析： (1)根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为 B 等级的有 30辆电动汽车，所占的百分比为 30%，用 30 30%即可求出电动汽车的总量；分别计算出 C、 D所占的百分比，即可得到 A 所占的百分比，即可求出 A 的电动汽车的辆数，即可补全统计图； (2)用总里程除以汽车总辆数，即可解答 . 答案： (1)这次被抽检的电动汽车共有： 30 30%=100(辆 )， C 所占的百分比为： 40 100 100%=40%， D 所占的百分比为： 20 100 100%=20%， A 所占的百分比为： 100%-40%-20%-30%=10%， A 等级
17、电动汽车的辆数为： 100 10%=10(辆 )，补全统计图如图所示： (2)这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为： 1100 (10 200+30 210+220 40+20 230)=217(千米 )， 估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为 217 千米 . 20.如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P 的仰角是 45，向前走6m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30 . (1)求 BPQ 的度数； (2)求该电线杆 PQ 的高度 (结果精确到 1m).备用数据： 3 1.7， 2 1.4. 解析： (1)延长
18、PQ 交直线 AB 于点 E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； 92)设 PE=x 米，在直角 APE 和直角 BPE 中，根据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，根据AB=AE-BE 即可列出方程求得 x 的值，再在直角 BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则 PQ的长度即可求解 . 答案： 延长 PQ 交直线 AB 于点 E， (1) BPQ=90 -60 =30； (2)设 PE=x 米 .在直角 APE 中， A=45，则 AE=PE=x 米； PBE=60 BPE=30 在直角 BPE 中， BE= 33PE= 33x 米， AB=AE-BE=6 米，则 x- 33x=6
19、，解得： x=9+3 3 .则 BE=(3 3 +3)米 . 在直角 BEQ 中， QE= 33BE= 33(3 3 +3)=(3+ 3 )米 . PQ=PE-QE=9+3 3 -(3+ 3 )=6+2 3 9(米 ). 答：电线杆 PQ 的高度约 9 米 . 21.如果抛物线 y=ax2+bx+c 过定点 M(1， 1)，则称次抛物线为定点抛物线 . (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式 .小敏写出了一个答案： y=2x2+3x-4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线 y=-x2+2bx+c+1，求
20、该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答 . 解析： (1)根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可； (2)根据顶点纵坐标得出 b=1，再利用最小值得出 c=-1，进而得出抛物线的解析式 . 答案： (1)依题意，选择点 (1， 1)作为抛物线的顶点，二次项系数是 1， 根据顶点式得： y=x2-2x+2； (2)定点抛物线的顶点坐标为 (b， c+b2+1)，且 -1+2b+c+1=1， c=1-2b， 顶点纵坐标 c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1， 当 b=1 时， c+b2+1 最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时 c=-1， 抛物线的解析式为 y=
21、-x2+2x. 22.某校规划在一块长 AD 为 18m，宽 AB 为 13m 的长方形场地 ABCD 上，设计分别与 AD， AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮 . (1)如图 1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比 AM： AN=8： 9，问通道的宽是多少？ (2)为了建造花坛，要修改 (1)中的方案，如图 2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的 2 倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为 8m，这样能在这些草坪建造花坛 .如图 3，在草坪 RPCQ 中，已知 RE PQ 于点 E， CF PQ 于
22、点 F，求花坛 RECF 的面积 . 解析： (1)利用 AM： AN=8： 9，设通道的宽为 xm， AM=8ym，则 AN=9y，进而利用 AD 为 18m，宽 AB 为 13m 得出等式求出即可； (2)根据题意得出纵向通道的宽为 2m，横向通道的宽为 1m，进而得出 PQ， RE 的长，即可得出 PE、 EF 的长，进而求出花坛 RECF 的面积 . 答 案： (1)设通道的宽为 xm， AM=8ym， AM： AN=8： 9， AN=9y， 2 24 1818 13xy，解得： 12.3xy ， 答：通道的宽是 1m； (2)四块相同草坪中的每一块，有一条边长为 8m，若 RP=8，
23、则 AB 13，不合题意， RQ=8，纵向通道的宽为 2m，横向通道的宽为 1m， RP=6， RE PQ，四边形 RPCQ 是长方形， PQ=10， RE PQ=PR QR=6 8， RE=4.8， RP2=RE2+PE2， PE=3.6，同理可得： QF=3.6， EF=2.8， S 四边形 RECF=4.8 2.8=13.44，即花坛 RECF 的面积为 13.44m2. 23.正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A，将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角 DAG=，其中 0 180，连结 DF， BF，如图 . (1)若 =0，则 DF=BF，请加以证明
24、； (2)试画一个图形 (即反例 )，说明 (1)中命题的逆命题是假命题； (3)对于 (1)中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由 . 解析： (1)利用正方形的性质证明 DGF BEF 即可； (2)当 =180时， DF=BF. (3)利用正方形的性质和 DGF BEF 的性质即可证得是真命题 . 答案： (1)如图 1，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 为正方形， AG=AE， AD=AB， GF=EF， DGF= BEF=90， DG=BE， 在 DGF 和 BEF 中， D G B ED G F B E FG
25、F E F ， DGF BEF(SAS)， DF=BF； (2)图形 (即反例 )如图 2， (3)补充一个条件为：点 F 在正方形 ABCD 内； 即：若点 F 在正方形 ABCD 内， DF=BF，则旋转角 =0 . 24. 在平面直角坐标系中， O 为原点，四边形 OABC 的顶点 A在 x 轴的正半轴上， OA=4， OC=2，点 P，点 Q 分别是边 BC，边 AB 上的点，连结 AC， PQ，点 B1是点 B 关于 PQ 的对称点 . (1)若四边形 PABC 为矩形，如图 1， 求点 B 的坐标； 若 BQ： BP=1： 2，且点 B1落在 OA 上，求点 B1的坐标； (2)若
26、四边形 OABC 为平行四边形，如图 2，且 OC AC，过点 B1作 B1F x 轴，与对角线 AC、边 OC 分别交于点 E、点 F.若 B1E： B1F=1： 3，点 B1的横坐标为 m，求点 B1的纵坐标，并直接写出 m 的取值范围 . 解析： (1)根据 OA=4， OC=2，可得点 B 的坐标；利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标； (2)根据平行四边形的性质，且分点在线段 EF 的延长线和线段上两种情况进行分析解答 . 答案： (1) OA=4， OC=2，点 B 的坐标为 (4， 2)； 如图 1，过点 P 作 PD OA，垂足为点 D， BQ： BP=1： 2，点 B 关于
27、 PQ 的对称点为 B1， B1Q： B1P=1： 2， PDB1= PB1Q= B1AQ=90， PB1D= B1QA， PB1D B1QA， 111PBPDAB B Q =2， B1A=1， OB1=3，即点 B1(3， 0)； (2)四边形 OABC 为平行四边形， OA=4， OC=2，且 OC AC， OAC=30，点 C(1， 3 )， B1E： B1F=1： 3，点 B1不与点 E， F 重合，也不在线段 EF 的延长线上， 当点 B1在线段 FE 的延长线上时，如图 2，延长 B1F 与 y 轴交于点 G，点 B1的横坐标为 m，B1F x 轴， B1E： B1F=1： 3，
28、B1G=m， 设 OG=a，则 GF= 33a， OF=233a， CF=2-233a， EF=4-433a， B1E=2-233a， B1G=B1E+EF+FG=(2-233a)+(4-433a)+ 33a=m， a=- 35m+635，即 B1的纵坐标为 - 35m+635， m 的取值范围是 1 7 1 01777m ； 当点 B1在线段 EF(除点 E， F)上时，如图 3，延长 B1F 与 y 轴交于点 G，点 B1的横坐标为 m，F x 轴， B1E： B1F=1： 3， B1G=m， 设 OG=a，则 GF= 33a， OF=233a， CF=2-233a， FE=4-433a， B1F=34EF=3- 3 a， B1G=B1F-FG=(3- 3 a)+ 33a=m， a=- 32m+3 32，即点 B1的纵坐标为 - 32m+3 32， 故 m 的取值范围是 157 m 3.
