1、2015年浙江省金华市中考真题数学 一、选择题：本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 . 1.计算 (a2)3的结果是 ( ) A.a5 B.a6 C.a8 D.3a2 解析： 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案 . (a2)3=a6. 答案： B 2.要使分式 12x有意义，则 x 的取值应满足 ( ) A.x=-2 B.x 2 C.x -2 D.x -2 解析： 分式 12x有意义， x+2 0， x -2，即 x 的取值应满足： x -2. 答案： D 3.点 P(4， 3)所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：
2、 因为点 P(4， 3)的横坐标是正数，纵坐标是正数，所以点 P 在平面直角坐标系的第一象限 . 答案： A 4.已知 =35，则的补角的度数是 ( ) A.55 B.65 C.145 D.165 解析： 根据互补即两角的和为 180，由此即可得出的补角度数 . 的补角 =180 -35 =145 . 答案： C 5.一元二次方程 x2+4x-3=0 的两根为 x1、 x2，则 x1 x2的值是 ( ) A.4 B.-4 C.3 D.-3 解析： 根据根与系数的关系求解 . x1 x2=ca=-3. 答案： D. 6.如图，数轴上的 A、 B、 C、 D 四点中，与数 - 3 表示的点最接近的
3、是 ( ) A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 解析： 3 1.732， - 3 -1.732， 点 A、 B、 C、 D 表示的数分别为 -3、 -2、 -1、 2，与数 - 3 表示的点最接近的是点 B. 答案： B. 7.如图的四个转盘中， C、 D 转盘分成 8 等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： 360 90 3360 4 ； B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： 360 120 2360 3 ； C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： 12
4、； D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： 58， 34 58 23 12， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是： 34. 答案： A 8.图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O， B，以点 O 为原点，水平直线OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 y=- 1400(x-80)2+16，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC x 轴，若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为 ( ) A.16 940米 B.174米 C. 71640米 D.154米 解析 ： AC x 轴， OA=10 米，点 C 的横坐标为 -10，
5、当 x=-10 时， y=- 1400(x-80)2+16=- 1400(-10-80)2+16=-174， C(-10， -174)，桥面离水面的高度 AC 为 174m. 答案： B. 9.以下四种沿 AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线 a， b 互相平行的是 ( ) A.如图 1，展开后测得 1= 2 B.如图 2，展开后测得 1= 2 且 3= 4 C.如图 3，测得 1= 2 D.如图 4，展开后再沿 CD 折叠，两条折痕的交点为 O，测得 OA=OB， OC=OD 解析 ： A、 1= 2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确； B、 1= 2 且 3= 4，由图可
6、知 1+ 2=180， 3+ 4=180， 1= 2= 3= 4=90， a b(内错角相等，两直线平行 )，故正确； C、测得 1= 2， 1 与 2 即不是内错角也不是同位角，不一定能判定两直线平行，故错误； D、在 AOB 和 COD 中， O A O BA O B C O DO C O D ， AOB COD， CAO= DBO， a b(内错角相等，两直线平行 )，故正确 . 答案： C. 10.如图，正方形 ABCD 和正 AEF 都内接于 O， EF 与 BC、 CD 分别相交于点 G、 H，则 EFGH的值是 ( ) A. 62B. 2 C. 3 D.2 解析 ： 如图，连接
7、AC、 BD、 OF， 设 O 的半径是 r，则 OF=r， AO 是 EAF 的平分线， OAF=60 2=30， OA=OF， OFA= OAF=30， COF=30 +30 =60， FI=r sin60 = 32r， EF= 32r 2= 3 r， AO=2OI， OI=12r， CI=r-12r=12r， GH CIBD CO=12， GH=12BD=12 2r=r， EFGH= 3rr= 3 ，即则 EFGH的值是 3 . 答案： C 二、填空题：本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11.实数 -3 的相反数是 . 解析 ： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一
8、个数的相反数 .实数 -3 的相反数是 3， 答案： 3 12.数据 6， 5， 7， 7， 9 的众数是 . 解析 ： 数字 7 出现了 2 次，为出现次数最多的数，故众数为 7. 答案： 7 13.已知 a+b=3， a-b=5，则代数式 a2-b2的值是 . 解析 ： a+b=3， a-b=5，原式 =(a+b)(a-b)=15. 答案： 15 14.如图，直线 l1、 l2、 l6是一组等距的平行线，过直线 l1上的点 A 作两条射线，分别与直线 l3、 l6相交于点 B、 E、 C、 F.若 BC=2，则 EF 的长是 . 解析 ： l3 l6， BC EF， ABC AEF， 25
9、AB BCAE EF， BC=2， EF=5. 答案： 5 15.如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 OB 在 x 轴正半轴上，反比例函数 y=kx(x 0)的图象经过该菱形对角线的交点 A，且与边 BC 交于点 F.若点 D 的坐标为 (6， 8)，则点F 的坐标是 . 解析 ： 过点 D 作 DM x 轴于点 M，过点 F 作 FE x 于点 E， 点 D 的坐标为 (6， 8)， OD= 2268 =10， 四边形 OBCD 是菱形， OB=OD=10，点 B 的坐标为： (10， 0)， AB=AD，即 A 是 BD 的中点，点 A 的坐标为： (8， 4)， 点 A 在反
10、比例函数 y=kx上， k=xy=8 4=32， OD BC， DOM= FBE， tan FBE=tan DOM= 8463DMOM ， 设 EF=4a， BE=3a，则点 F 的坐标为： (10+3a， 4a)， 点 F 在反比例函数 y=32x上， 4a(10+3a)=32， 即 3a2+10a-8=0，解得： a1=23， a2=-4(舍去 )，点 F 的坐标为： (12， 83). 答案： (12， 83). 16.图 1 是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点 A、 B、 C 在同一直线上，且 ACD=90，图 2 是小床支撑脚 CD折叠的示意图，在折叠过程中，
11、 ACD 变形为四边形 ABC D，最后折叠形成一条线段 BD . (1)小床这样设计应用的数学原理是 . (2)若 AB： BC=1： 4，则 tan CAD 的值是 . 解析： (1)小床这样设计应用的数学原理是：三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性 . (2) AB： BC=1： 4，设 AB=x， DC=y，则 BC=4x， C D =y， 由图形可得： BC =4x，则 AC =3x， AD=AD =3x+y， 故 AC2+DC2=AD2，即 (5x)2+y2=(3x+y)2，解得： y=83x，则 tan CAD 的值是： 8 835 15xDCAC x. 答案： 815
12、. 三、解答题：本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程。 17.计算： 12 +2-1-4cos30+| -12|. 解析： 首先根据算术平方根、负整数指数幂的运算方法，以及 30的三角函数值，还有绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和加法结合律，求出算式 12 +2-1-4cos30+| -12|的值是多少即可 . 答案： 12 +2-1-4cos30+| -12| =2 3 +12-4 32+12=2 3 +12-2 3 +12=(2 3 -2 3 )+(12+12) =0+1 =1 18.解不等式组 5 3 44 1 3 2 .xx ， . 解析： 分别求出不等式组中两
13、不等式的解集，找出解集的公共部分即可 . 答案： 5 3 44 1 3 2 .xx ，由得： x 3， 由得： x 12，则不等式组的解集为 12 x 3. 19.在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (0， 3)，点 B 在 x 轴上，将 AOB 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AEF，点 O、 B 的对应点分别是点 E、 F. (1)若点 B 的坐标是 (-4， 0)，请在图中画出 AEF，并写出点 E、 F 的坐标 . (2)当点 F 落在 x 轴的上方时，试写出一个符合条件的点 B 的坐标 . 解析： (1) AOB 绕点 A 逆时针旋转 90后得到 AEF，所以 AO AE， AB
14、AF， BO EF， AO=AE，AB=AF， BO=EF，据此在图中画出 AEF，并写出点 E、 F 的坐标即可 . (2)根据点 F 落在 x 轴的上方，可得 EF AO；然后根据 EF=OB，判断出 OB 3，即可求出一个符合条件的点 B 的坐标是多少 . 答案： (1) AOB 绕点 A 逆时针旋转 90后得到 AEF， AO AE， AB AF， BO EF， AO=AE， AB=AF， BO=EF， AEF 在图中表示为： AO AE， AO=AE，点 E 的坐标是 (3， 3)， EF=OB=4，点 F 的坐标是 (3， -1). (2)点 F 落在 x 轴的上方， EF AO，
15、 又 EF=OB， OB AO， AO=3， OB 3，一个符合条件的点 B 的坐标是 (-2， 0). 20.小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间 t(单位：分 )，将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题： (1)这次被调查的总人数是多少？ (2)试求表示 A 组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图 . (3)如果骑自行车的平均速度为 12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过 6km 的人数所占的百分比 . 解析： (1)根据 B 类人数是 19，所占的百分比是 38%，据此即可求得调查的总人数； (2)利用 360乘以对应的百分
16、比即可求解； (3)求得路程是 6km 时所用的时间，根据百分比的意义可求得路程不超过 6km 的人数所占的百分比 . 答案： (1)调查的总人数是： 19 38%=50(人 )； (2)A 组所占圆心角的度数是： 360 1550=108， C 组的人数是： 50-15-19-4=12. (3)路程是 6km 时所用的时间是： 6 12=0.5(小时 )=30(分钟 )， 则骑车路程不超过 6km 的人数所占的百分比是： 50 450 100%=92%. 21.如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DE AF，垂足为点 E. (1)求证： DE=A
17、B. (2)以 D 为圆心， DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G.若 BF=FC=1，试求 弧 EG 的长 . 解析： (1)由矩形的性质得出 B= C=90， AB=BC=AD=DC， AD BC，得出 EAD= AFB，由AAS 证明 ADE FAB，得出对应边相等即可； (2)连接 DF，先证明 DCF ABF，得出 DF=AF，再证明 ADF是等边三角形，得出 DAE=60， ADE=30，由 AE=BF=1，根据三角函数得出 DE，由弧长公式即可求出 弧 EG 的长 . 答案： (1)四边形 ABCD 是矩形， B= C=90， AB=BC=AD=DC， AD BC， EAD= A
18、FB， DE AF， AED=90， 在 ADE 和 FAB 中， 90A E D BE A D A F BA D A B ， ADE FAB(AAS)， DE=AB. (2)连接 DF，如图所示： 在 DCF 和 ABF 中， DC=AB C= B FC=BF ， DCF ABF(SAS)， DF=AF， AF=AD， DF=AF=AD， ADF 是等边三角形， DAE=60， DE AF， AED=90， ADE=30， ADE FAB， AE=BF=1， DE= 3 AE= 3 ， 弧 EG 的长 = 3 0 3 31 8 0 6 . 22.小慧和小聪沿图 1 中的景区公路游览 .小慧乘
19、坐车速为 30km/h 的电动汽车，早上 7： 00从宾馆出发，游玩后中午 12： 00 回到宾馆 .小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为 20km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点 .上午 10： 00 小聪到达宾馆 .图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程 s(km)与时间 t(h)的函数关系 .试结合图中信息回答： (1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？ (2)试求线段 AB、 GH 的交点 B 的坐标，并说明它的实际意义 . (3)如果小聪到达宾馆后，立即以 30km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？ 解析： (1)根据时间 =路程速度，可得小聪骑车从
20、飞瀑出发到宾馆所用时间为： 5020=2.5(小时 )，从 10 点往前推 2.5 小时，即可解答； (2)利用得到待定系数法求 GH 的解析式，当 s=30 时，求出 t 的值，即可确定点 B的坐标； (3)根据 50 30=53(小时 )=1 小时 40 分钟，确定当小慧在 D 点时，对应的时间点是 10： 20，而小聪到达宾馆返回的时间是 10： 00，设小聪返回 x小时后两人相遇，根据题意得： 30x+30(x-13 )=50，解得： x=1， 10+1=11 点，即可解答 . 答案： (1)小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为： 50 20=2.5(小时 )， 上午 10： 00 小聪
21、到达宾馆，小聪上午 7 点 30 分从飞瀑出发 . (2)3-2.5=0.5，点 G 的坐标为 (0.5， 50)， 设 GH 的解析式为 s=kt+b， 把 G(0.5， 50)， H(3， 0)， 代入得 ： 0.5 5030kbkb，解得： 2060kb， s=-20t+60， 当 s=30 时， t=1.5， B 点的坐标为 (1.5， 30)， 点 B 的实际意义是当小慧出发 1.5 小时时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为 30km. (3)50 30=53(小时 )=1 小时 40 分钟， 12-53=1013， 当小慧在 D 点时，对应的时间点是 10： 20， 而小聪到达宾馆
22、返回的时间是 10： 00， 设小聪返回 x 小时后两人相遇，根据题意得： 30x+30(x-13)=50， 解得： x=1， 10+1=11=11 点， 小聪到达宾馆后，立即以 30km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他 11 点遇见小慧 . 23.图 1、图 2 为同一长方体房间的示意图，图 3 为该长方体的表面展开图 . (1)蜘蛛在顶点 A处 . 苍蝇在顶点 B 处时，试在图 1 中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线 . 苍蝇在顶点 C 处时，图 2 中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板 ABCD 爬行的最近路线 A GC 和往墙面 BB C C 爬行的最近路线 A HC
23、，试通过计算判断哪条路线更近 . (2)在图 3 中，半径为 10dm 的 M 与 D C相切，圆心 M 到边 CC的距离为 15dm，蜘蛛 P在线段 AB 上，苍蝇 Q 在 M 的圆周上，线段 PQ 为蜘蛛爬行路线，若 PQ与 M 相切，试求PQ 长度的范围 . 解析： (1)根据“两点之间，线段最短”可知：线段 A B 为最近路线； .将长方体展开，使得长方形 ABB A和长方形 ABCD 在同一平面内，如图 2，运用勾股定理求出 AC 长； .将长方体展开，使得长方形 ABB A和长方形 BCC B在同一平面内，如图 2，运用勾股定理求出 A C 长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题
24、； (2)过点 M 作 MH AB 于 H，连接 MQ、 MP、 MA、 MB，如图 3.由 M 与 D C相切于点 Q 可得MQ PQ，即 MQP=90，根据勾股定理可得 PQ= 2 2 2 100M P M Q M P .要求 PQ 的取值范围，只需先求出 MP 的取值范围，就可解决问题 . 答案： (1)根据“两点之间，线段最短”可知： 线段 A B 为最近路线，如图 1 所示 . .将长方体展开，使得长方形 ABB A和长方形 ABCD 在同一平面内，如图 2 . 在 Rt A B C 中， B =90， A B =40， B C=60， AC= 224 0 6 0 5 2 0 0 2
25、 0 1 3 . .将长方体展开，使得长方形 ABB A和长方形 BCC B在同一平面内，如图 2 . 在 Rt A C C 中， C =90， A C =70， C C=30， A C= 227 0 3 0 5 8 0 0 1 0 5 8 . 5 2 0 0 5 8 0 0 ，往天花板 ABCD 爬行的最近路线 A GC 更近； (2)过点 M 作 MH AB 于 H，连接 MQ、 MP、 MA、 MB，如图 3. 半径为 10dm 的 M 与 D C相切，圆心 M 到边 CC的距离为 15dm， BC =60dm， MH=60-10=50， HB=15， AH=40-15=25， 根据勾股
26、定理可得 AM= 2 2 2 22 5 5 0 3 1 2 5A H M H ， MB= 2 2 2 21 5 5 0 2 7 2 5B H M H ， 50 MP 3125 . M 与 D C相切于点 Q， MQ PQ， MQP=90， PQ= 2 2 2 100M P M Q M P . 当 MP=50 时， PQ= 2400 =20 6 ； 当 MP= 3125 时， PQ= 3025 =55. PQ 长度的范围是 20 6 dm PQ 55dm. 24.如图，抛物线 y=ax2+c(a 0)与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B， C 两点 (点 C在 x 轴正半轴上 )， ABC
27、为等腰直角三角形，且面积为 4，现将抛物线沿 BA 方向平移，平移后的抛物线过点 C 时，与 x 轴的另一点为 E，其顶点为 F，对称轴与 x轴的交点为 H. (1)求 a、 c 的值 . (2)连接 OF，试判断 OEF 是否为等腰三角形，并说明理由 . (3)现将一足够大的三角板的直角顶点 Q 放在射线 AF 或射线 HF 上，一直角边始终过点 E，另一直角边与 y 轴相交于点 P，是否存在这样的点 Q，使以点 P、 Q、 E 为顶点的三角形与POE 全等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)先求出 A(0， c)，则 OA=c，再根据 等腰直角三角形的性质
28、得 OA=OB=OC=c，理由三角形面积公式得 12 c 2c=4，解得 c=2，接着把 C(2， 0)代入 y=ax2+2 可求出 a 的值； (2)如图 1，先利用待定系数法求出直线 AB 的解析式为 y=x+2，设 F(t， t+2)，利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为 y=-12(x-t)2+t+2，再把 C(2， 0)代入得 -12(2-t)2+t+2=0，可解得 t=6，则平移后的抛物线解析式为 y=-12(x-6)2+8，所以 F(6， 8)，利用勾股定理计算出 OF=10，接着根据抛物线与 x 轴的交点问题确定 E(10， 0)，则 OE=OF=10，于是可判断 O
29、EF 为等腰三角形； (3)分类讨论：当点 Q 在射线 HF 上，如图 2，利用三角形全等的判定方法，当 EQ=EO=10 时， EQP EOP，则可根据勾股定理计算出 QH=2 21 ，于是可得 Q 点坐标为 (6， 2 21 )；当点 Q 在射线 AF 上，如图 3，利用三角形全等的判定方法，当 EQ=EO=10 时， EQP EOP，设 Q(m， m+2)，利用两点间的距离公式得到 (m-10)2+(m+2)2=102，解方程求出 m 的值即可得到Q 点坐标 . 答案： (1)抛物线 y=ax2+c(a 0)与 y 轴交于点 A， A(0， c)，则 OA=c， ABC 为等腰直角三角形
30、， OA=OB=OC=c， 12 c 2c=4，解得 c=2， C(2， 0)， 把 C(2， 0)代入 y=ax2+2 得 4a+2=0，解得 a=-12； (2) OEF 是等腰三角形 .理由如下：如图， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 把 A(0， 2)、 B(-2， 0)代入得 220bkb ，解得 12kb，则直线 AB 的解析式为 y=x+2， 设 F(t， t+2)， 抛物线 y=-12x2+2 沿 BA 方向平移，平移后的抛物线过点 C 时，顶点为 F， 平移后的抛物线解析式为 y=-12(x-t)2+t+2， 把 C(2， 0)代入得 -12(2-t)2+t+2=0
31、，解得 t=6， 平移后的抛物线解析式为 y=-12(x-6)2+8， F(6， 8)， OF= 2268 =10， 令 y=0， -12(x-6)2+8=0，解得 x1=2， x2=10， OE=10， OE=OF， OEF 为等腰三角形； (3)存在 .点 Q 的位置分两种情形 . 情形一：点 Q 在射线 HF 上， 当点 P 在 x 轴上方时，如图， EQP=90， EP=EP，当 EQ=EO=10 时， EQP EOP， 而 HE=10-6=4， QH= 221 0 4 2 2 1 ，此时 Q 点坐标为 (6， 2 21 )； 当点 P 在 x 轴下方时，如图，有 PQ=OE=10，过
32、 P 点作 PK HF 于点 K，则有 PK=6， 在 Rt PQK 中， QK=PQ2-PK2=102-62=8， PQE=90， PQK+HQE=90， PKQ= QHE=90， PKQ QHE， PK QKQH HE， 684QH，解得 QH=3， Q(6， 3). 情形二、点 Q 在射线 AF 上， 当 PQ=OE=10 时，如图，有 QE=PO， 四边形 POEQ 为矩形， Q 的横坐标为 10， 当 x=10 时， y=x+2=12， Q(10， 12). 当 QE=OE=10 时，如图， 过 Q 作 QM y 轴于点 M，过 E 点作 x 轴的垂线交 QM 于点 N. 设 Q 的
33、坐标为为 (x， x+2)， MQ=x， QN=10-x， EN=x+2， 在 Rt QEN 中，有 QE2=QN2+EN2，即 102=(10-x)2+(x+2)2，解得 x=4 14 ， 当 x=4+ 14 时，如图， y=x+2=6+ 14 ， Q(4+ 14 ， 6+ 14 )， 当 x=4- 14 时，如图， y=x+2=6- 14 ， Q(4- 14 ， 6- 14 )， 综上所述， Q 点的坐标为 (6， 2 21 )或 (6， 3)或 (10， 12)或 (4+ 14 ， 6+ 14 )或 (4- 14 ，6- 14 )，使 P， Q， E 三点为顶点的三角形与 POE 全等 .
