1、2015 年湖北省十堰市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分 ) 1.函数 y= 1x 中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A.x 1 B.x 1 C.x 1 D.x 1 解析 ：由题意得， x-1 0，解得 x 1. 答案： B. 2.如图， AB CD，点 E 在线段 BC 上，若 1=40， 2=30，则 3 的度数是 ( ) A.70 B.60 C.55 D.50 解析 ： AB CD， 1=40， 1=30， C=40 . 3 是 CDE 的外角， 3= C+ 2=40 +30 =70 . 答案： A 3.如图的几何体的俯视图是 ( ) A.
2、B. C. D. 解析 ： 能看到的用实线，在内部的用虚线 . 答案 ： C 4.下列计算中，不正确的是 ( ) A.-2x+3x=x B.6xy2 2xy=3y C.(-2x2y)3=-6x6y3 D.2xy2 (-x)=-2x2y2 解析 ： A、 -2x+3x=x，正确； B、 6xy2 2xy=3y，正确； C、 (-2x2y)3=-8x6y3，错误； D、 2xy2 (-x)=-2x2y2，正确 . 答案 ： C 5.某校篮球队 13 名同学的身高如下表： 则该校篮球队 13 名同学身高的众数和中位数分别是 ( ) A.182， 180 B.180， 180 C.180， 182 D
3、.188， 182 解析 ： 众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数 (或两个数的平均数 )为中位数 .由图表可得，众数是： 180cm，中位数是：182cm. 答案 ： C 6.在平面直角坐标系中，已知点 A(-4， 2)， B(-6， -4)，以原点 O 为位似中心，相似比为 12，把 ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是 ( ) A.(-2， 1) B.(-8， 4) C.(-8， 4)或 (8， -4) D.(-2， 1)或 (2， -1) 解析 ： 点 A(-4， 2)， B(-6， -4)，以原点 O 为位似中心，相似比
4、为 12，把 ABO 缩小， 点 A 的对应点 A的坐标是： (-2， 1)或 (2， -1). 答案 ： D 7.当 x=1 时， ax+b+1 的值为 -2，则 (a+b-1)(1-a-b)的值为 ( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 解析 ： 当 x=1 时， ax+b+1 的值为 -2， a+b+1=-2， a+b=-3， (a+b-1)(1-a-b)=(-3-1) (1+3)=-16. 答案 ： A 8.如图，一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为 t时，蚂蚁与 O 点的距离为 s，则 s 关于 t 的函数图象大致是 ( ) A.
5、B. C. D. 解析 ： 一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径 OA 这一段，蚂蚁到 O 点的距离随运动时间 t 的增大而增大；到弧 AB 这一段，蚂蚁到 O 点的距离 S 不变，图象是与 x 轴平行的线段；走另一条半径 OB 时， S 随 t 的增大而减小 . 答案 ： B 9.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍 .如果搭建正三角形和正六边形共用了 2016 根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多 6 个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ( ) A.222 B.280 C.286 D.292 解析 ： 设连续搭建
6、三角形 x 个，连续搭建正六边形 y 个 .由题意得， 2 1 5 1 2 0 1 66xyxy ，解得： 292286.xy， 答案： D 10.如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、 F 分别在 AB， AD 上，若 CE=3 5 ，且 ECF=45，则 CF 的长为 ( ) A.2 10 B.3 5 C.53 10D.1053解析 ： 如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE；连接 CG、 EF； 四边形 ABCD 为正方形， 在 BCE 与 DCG 中， C B C DC B E C D GB E D G ， BCE DCG(SAS)， CG=CE， DCG= BCE， GCF
7、=45， 在 GCF 与 ECF 中， G C E CG C F E C FC F C F ， GCF ECF(SAS)， GF=EF， CE=3 5 ， CB=6， BE= 22 2 23 5 6C E C B =3， AE=3， 设 AF=x，则 DF=6-x， GF=3+(6-x)=9-x， EF= 2 2 29A E x x ， (9-x)2=9+x2， x=4，即 AF=4， GF=5， DF=2， CF= 2 2 2 262C D D F =2 10 . 答案 ： A. 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 ) 11.光的速度大约是 300000 千米 /秒
8、，将 300000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 300000 用科学记数法表示为 3.0 105. 答案： 3.0 105. 12.计算； 3-1+( -3)0-|-13|= . 解析 ： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 .原式 =13+1-13=1. 答案： 1 13.不等式组 321 2 2x x xx，的整数解是 . 解析 ： 321 2 2xx， ，解得： x -1，解得： x 1， 则不等式组的解集是： -1 x 1，则整数解是： -1， 0. 答案： -1， 0. 14.如图，分别以 Rt
9、 ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 为边向外作等边 ACD、等边 ABE， EFAB，垂足为 F，连接 DF，当 ACAB= 时，四边形 ADFE 是平行四边形 . 解析 ： 当 32ACAB时，四边形 ADFE 是平行四边形 .理由： 32ACAB， CAB=30， ABE 为等边三角形， EF AB， EF 为 BEA 的平分线， AEB=60， AE=AB， FEA=30，又 BAC=30， FEA= BAC， 在 ABC 和 EAF 中， A C B E F AB A C A E FA B A E ， ABC EAF(AAS)； BAC=30， DAC=60， DAB=90，即 D
10、A AB， EF AB， AD EF， ABC EAF， EF=AC=AD，四边形 ADFE 是平行四边形 . 答案： 32. 15.如图，小华站在河岸上的 G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来 .此时，测得小船 C 的俯角是 FDC=30，若小华的眼睛与地面的距离是 1.6 米， BG=0.7 米， BG 平行于 AC 所在的直线，迎水坡 i=4： 3，坡长 AB=8 米，点 A、 B、 C、 D、 F、 G 在同一平面内，则此时小船 C 到岸边的距离 CA 的长为 米 .(结果保留根号 ) 解析 ： 过点 B 作 BE AC 于点 E，延长 DG 交 CA 于点 H，得 Rt
11、ABE和矩形 BEHG. i= 43BEAE， AB=8 米， BE=325， AE=245. DG=1.6， BG=0.7， DH=DG+GH=1.6+325=8， AH=AE+EH=245+0.7=5.5. 在 Rt CDH 中， C= FDC=30， DH=8， tan30 = 33DHCH， CH=8 3 . 又 CH=CA+5.5，即 8 3 =CA+5.5， CA=8 3 -5.5(米 ). 答案 ： 8 3 -5.5 16.抛物线 y=ax2+bx+c(a， b， c 为常数，且 a 0)经过点 (-1， 0)和 (m， 0)，且 1 m 2，当x -1 时， y 随着 x 的增
12、大而减小 .下列结论： abc 0； a+b 0；若点 A(-3， y1)，点B(3， y2)都在抛物线上，则 y1 y2； a(m-1)+b=0；若 c -1，则 b2-4ac 4a.其中结论错误的是 .(只填写序号 ) 解析 ：如图， 抛物线开口向上， a 0， 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， b 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， abc 0，所以的结论正确； 抛物线过点 (-1， 0)和 (m， 0)，且 1 m 2， 0 -2ba 12， 12+2ba=2aba 0， a+b 0，所以的结论正确； 点 A(-3， y1)到对称轴的距离比点 B(3， y2)到对称
13、轴的距离远， y1 y2，所以的结论错误； 抛物线过点 (-1， 0)， (m， 0)， a-b+c=0， am2+bm+c=0， am2-a+bm+b=0， a(m+1)(m-1)+b(m+1)=0， a(m-1)+b=0，所以的结论正确； 244ac ba c，而 c -1， 244ac ba -1， b2-4ac 4a，所以的结论错误 . 答案 ： 三、解答题 (本题有 9 小题，共 72 分 ) 17.化简： (a-1a) (1+ 2 2aa) 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案 ：原式 = 2212a a aa
14、a = 11 21aa aa a a = 12aa. 18.如图， CA=CD， B= E， BCE= ACD.求证： AB=DE. 解析 ： 如图，首先证明 ACB= DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用 AAS 公理证明 ABC DEC，即可解决问题 . 答案 ：如图， BCE= ACD， ACB= DCE；在 ABC 与 DEC 中， A C B D C EBEC A C D ， ABC DEC(AAS)， AB=DE. 19.在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区 900 米长的污水管道改造任务 .工程队在改造完 360 米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提
15、高了 20%，结果共用 27 天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 解析 ： 首先设原来每天改造管道 x 米，则引进新设备前工程队每天改造管道 (1+20%)x 米，由题意得等量关系：原来改造 360 米管道所用时间 +引进了新设备改造 540 米所用时间 =27天，根据等量关系列出方程，再解即可 . 答案 ：设原来每天改造管道 x 米，由题意得： 3 6 0 9 0 0 3 6 01 2 0 %xx =27， 解得： x=30，经检验： x=30 是原分式方程的解， 答：引进新设备前工程队每天改造管道 30 米 . 20.端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯 .某校数
16、学兴趣小组为了了解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了 50 名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图 (注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择 ) 请根据统计图完成下列问题： (1)扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为 度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为 人； (2)若该校学生人数为 800 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和； (3)小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子 .某天小霞带了重量、外包装完全一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只 .请用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且
17、只有一人选中自己最爱吃的粽子的概率 . 解析： (1)用周角乘以很喜欢所占的百分比即可求得其圆心角，直接从条形统计图中得到喜欢糖馅的人数即可； (2)利用总人 数 800 乘以所对应的百分比即可； (3)利用列举法表示，然后利用概率公式即可求解 . 答案 ： (1)扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为 360 40%=144 度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为 3 人 . (2)学生有 800 人，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和为 800(1-25%)=600(人 ). (3)肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子分别用 A、 B、 C、 D 表示，画图如下： 共
18、12 种等可能的结果，其中小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子有 4种， P(小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子 )= 4112 3. 21.已知关于 x 的一元二次方程 x2-(2m+3)x+m2+2=0. (1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为 x1、 x2，且满足 x12+x22=31+|x1x2|，求实数 m 的值 . 解析： (1)根据根的判别式的意义得到 0，即 (2m+3)2-4(m2+2) 0，解不等式即可； (2) 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 x1+x2=2m+3 ， x1x2=m2+2 ， 再 变
19、 形 已 知 条 件 得 到(x1+x2)2-4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果 . 答案 ： (1)关于 x 的一元二次方程 x2-(2m+3)x+m2+2=0 有实数根， 0，即 (2m+3)2-4(m2+2) 0， m -112. (2)根据题意得 x1+x2=2m+3， x1x2=m2+2， x12+x22=31+|x1x2|， (x1+x2)2-2x1x2=31+|x1x2|， 即 (2m+3)2-2(m2+2)=31+m2+2，解得 m=2， m=-14(舍去 )， m=2. 22.如图，点 A(1- 5 ， 1+ 5 )在双曲线 y=kx(x 0)上 . (1)求
20、k 的值； (2)在 y 轴上取点 B(0， 1)，为双曲线上是否存在点 D，使得以 AB， AD 为邻边的平行四边形ABCD 的顶点 C 在 x 轴的负半轴上？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)直接利用反比例函数图象上点的坐标性质代入求出即可； (2)根据平行四边形的性质得出 D 点纵坐标，进而代入函数解析式得出 D 点横坐标即可 . 答案 ： (1)点 A(1- 5 ， 1+ 5 )在双曲线 y=kx(x 0)上， k=(1- 5 )(1+ 5 )=1-5=-4. (2)过点 A 作 AE y 轴于点 E，过点 D 作 DF x 轴于点 F， 四边形 AB
21、CD 是以 AB， AD 为邻边的平行四边形 ABCD， DC 平行等于 AB， A(1- 5 ， 1+ 5 )， B(0， 1)， BE= 5 ， 由题意可得： DF=BE= 5 ，则 45x，解得： x= 45x，点 D 的坐标为： ( 45x， 5 ). 23.为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过 20 亩时，所得利润 y(元 )与种植面积 m(亩 )满足关系式 y=1500m；超过 20 亩时， y=1380m+2400.而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时，每亩可获得利润 1800 元；超过 15亩时，每亩获得利润 z(元 )与种植
22、面积 x(亩 )之间的函数关系如下表 (为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种 ). (1)设小王家种植 x 亩樱桃所获得的利润为 P 元，直接写出 P 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)如果小王家计划承包 40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x(亩 )满足 0 x 20 时，求小王家总共获得的利润 w(元 )的最大值 . 解析： (1)根据图表的性质，可以得出 P 关于 x 的函数关系式和出 x 的取值范围 . (2)根据利润 =亩数每亩利润，可得当 0 x 15 时 当 15 x 20 时，利润的函数式，即可解题； 答案 ： (1)观察图表的数量关系，
23、 可以得出 P 关于 x 的函数关系式为： P= 1 8 0 0 0 1 52 0 2 1 0 0()( 1 5 .)xx ，(2)利润 =亩数每亩利润， 当 0 x 15 时， W=1800x+1380(40-x)+2400=420x+57600； 当 x=15 时， W 有最大值， W 最大 =6300+57600=63900； 当 15 x 20， W=-20x+2100+1380(40-x)+2400=-1400x+59700； -1400x+59700 61500； x=15 时有最大值为： 61500 元 . 24.如图 1， ABC 内接于 O， BAC 的平分线交 O 于点 D
24、，交 BC 于点 E(BE EC)，且 BD=23 .过点 D 作 DF BC，交 AB 的延长线于点 F. (1)求证： DF 为 O 的切线； (2)若 BAC=60， DE= 7 ，求图中阴影部分的面积； (3)若 43ABAC， DF+BF=8，如图 2，求 BF 的长 . 解析： (1)连结 OD，如图 1，由角平分线定义得 BAD= CAD，则根据圆周角定理得到 弧 BD=弧 CD，再根据垂径定理得 OD BC，由于 BC EF，则 OD DF，于是根据切线的判定定理即可判断 DF 为 O 的切线； (2)连结 OB， OD交 BC于 P，作 BH DF于 H，如图 1，先证明 O
25、BD为等边三角形得到 ODB=60，OB=BD=2 3 ，易得 BDF= DBP=30，根据含 30 度的直角三角形三边的关系，在 Rt DBP中得到 PD=12BD= 3 ， PB= 3 PD=3，接着在 Rt DEP 中利用勾股定理计算出 PE=2，由于 OP BC，则 BP=CP=3，所以 CE=1，然后利用 BDE ACE，通过相似比可得到 AE=577，再证明 ABE AFD，利用相似比可得 DF=12，最后根据扇形面积公式，利用 S 阴影部分 =S BDF-S弓形 BD=S BDF-(S 扇形 BOD-S BOD)进行计算； (3)连结 CD，如图 2，由 43ABAC可设 AB=
26、4x， AC=3x，设 BF=y，由 弧 BD=弧 CD 得到 CD=BD=23 ，先证明 BFD CDA，利用相似比得到 xy=4，再证明 FDB FAD，利用相似比得到16-4y=xy，则 16-4y=4，然后解方程易得 BF=3. 答案 ： (1)连结 OD，如图 1， AD 平分 BAC 交 O 于 D， BAD= CAD， 弧 BD=弧 CD， OD BC， BC EF， OD DF， DF 为 O 的切线 . (2)连结 OB，连结 OD 交 BC 于 P，作 BH DF于 H，如图 1， BAC=60， AD 平分 BAC， BAD=30， BOD=2 BAD=60， OBD 为
27、等边三角形， ODB=60， OB=BD=2 3 ， BDF=30， BC DF， DBP=30， 在 Rt DBP 中， PD=12BD= 3 ， PB= 3 PD=3， 在 Rt DEP 中， PD= 3 ， DE= 7 ， PE= 2273 =2， OP BC， BP=CP=3， CE=3-2=1， 易证得 BDE ACE， AE： BE=CE： DE，即 AE： 5=1： 7 ， AE=577， BE DF， ABE AFD， BE AEDF AD，即575 712 77DF ，解得 DF=12， 在 Rt BDH 中， BH=12BD= 3 ， S 阴影部分 =S BDF-S 弓形
28、BD=S BDF-(S 扇形 BOD-S BOD) =12 12 3 - 260 2 3360 + 34 (2 3 )2=9 3 -2 . (3)连结 CD，如图 2，由 43ABAC可设 AB=4x， AC=3x，设 BF=y， 弧 BD=弧 CD， CD=BD=2 3 ， F= ABC= ADC， FDB= DBC= DAC， BFD CDA， BD BFAC CD，即 233 23yx ， xy=4， FDB= DBC= DAC= FAD， 而 DFB= AFD， FDB FAD， DF BFAF DF，即 848yyy x y ， 整理得 16-4y=xy， 16-4y=4，解得 y=
29、3，即 BF 的长为 3. 25. 已知抛物线 C1： y=ax2+bx+32(a 0)经过点 A(-1， 0)和 B(3， 0). (1)求抛物线 C1的解析式，并写出其顶点 C 的坐标； (2)如图 1，把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2，此时点 A， C 分别平移到点 D， E 处 .设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的下方，若 DEF 是以 EF 为底的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； (3)如图 2，在 (2)的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点， EN EM 交直线 BF 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M 从点 B 向点 C
30、运动时： tan ENM 的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长 . 解析： (1)根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； (2)根据 A、 C 的坐标求得直线 AC 的解析式为 y=x+1，根据题意求得 EF=4，求得 EF y 轴，设 F(m， -12m2+m+32)，则 E(m， m+1)，从而得出 (m+1)-(-12m2+m+32)=4，解方程即可求得 F的坐标； (3)先求得四边形 DFBC 是矩形，作 EG AC，交 BF 于 G，然后根据 EGN EMC，对应边成比例即可求得 tan ENM=EMEN=2； 根
31、据勾股定理和三角形相似求得 EN= 10 ，然后根据三角形中位线定理即可求得 . 答案 ： (1)抛物线 C1： y=ax2+bx+32(a 0)经过点 A(-1， 0)和 B(3， 0)， 3 0239 3 02abab ，解得 121ab ，抛物线 C1的解析式为 y=-12x2+x+32， y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2，顶点 C 的坐标为 (1， 2)； (2)如图 1，作 CH x 轴于 H， A(-1， 0)， C(1， 2)， AH=CH=2， CAB= ACH=45，直线 AC 的解析式为 y=x+1， DEF 是以 EF 为底的等腰直角三角形， DEF=45
32、， DEF= ACH， EF y 轴， DE=AC=2 2 ， EF=4， 设 F(m， -12m2+m+32)，则 E(m， m+1)， (m+1)-(-12m2+m+32)=4，解得 m= 3， F(-3， -6). (3) tan ENM 的值为定值，不发生变化； 如图 2， DF AC， BC AC， DF BC， DF=BC=AC，四边形 DFBC 是矩形，作 EG AC，交 BF 于 G， EG=BC=AC=2 2 ， EN EM， MEN=90， CEG=90， CEM= NEG， EGN EMC， EM ECEN EG， F(-3， -6)， EF=4， E(-3， -2)， C(1， 2)， EC= 223 1 2 2 4 2 ， 42 222EMEN ， tan ENM=EMEN=2； tan ENM 的值为定值，不发生变化 . 点 P 经过的路径是线段 P1P2，如图 3， 四边形 BCEG 是矩形， GP2=CP2， EP2=BP2， EGN ECB， EN EGEB EC， EC=4 2 ， EG=BC=2 2 ， EB=2 10 ， 222 10 4 2EN ， EN= 10 ， P1P2是 BEN 的中位线， P1P2= 12EN= 102； 点 M 到达点 C 时，点 P 经过的路线长为 102.
