2015年湖北省鄂州市中考真题数学.docx

1、 2015 年湖北省鄂州市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分 ) 1.(3 分 )- 13的倒数是 ( ) A. 13B. 3 C. -3 D. 13解 析 ： -13的倒数是 - =-3. 答案： C. 2.(3 分 )某小区居民王先生改进用水设施，在 5 年内帮助他居住小区的居民累计节水 39400吨，将 39400 用科学记数法表示 (结果保留 2 个有效数字 )应为 ( ) A. 3.910 4 B. 3.9410 4 C. 39.410 3 D. 4.010 4 解 析 ： 39 4003.910 4. 答案： A. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A

2、. a4a 2=a8 B. (a2)4=a6 C. (ab)2=ab2 D. 2a3a=2a 2 解 析 ： A、 a4a 2=a6，故错误； B、 (a2)4=a8，故错误； C、 (ab)2=a2b2，故错误； D、正确； 答案： D. 4.(3 分 )为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行调查，下表是这 10 户居民 2015 年 4 月份用电量的调查结果： 那么关于这 10 户居民月用电量 (单位：度 )，下列说法错误的是 ( ) A. 中位数是 50 B. 众数是 51 C. 方差是 42 D. 极差是 21 解 析 ： 10 户居民 2015 年 4 月份用电量

3、为 30， 42， 42， 50， 50， 50， 51， 51， 51， 51， 平均数为 110(30+42+42+50+50+50+51+51+51+51)=46.8， 中位数为 50；众数为 51，极差为 51-30=21，方差为 110(30-46.8)2+2(42-46.8)2+3(50-46.8)2+4(51-46.8)2=42.96. 答案： C. 5.(3 分 )如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 解 析 ：从上面看易得左侧有 2 个正方形，右侧有一个正方形 . 答案： A. 6.(3 分 )如图， ABCD

4、 ， EF 与 AB、 CD 分别相交于点 E、 F， EPEF ，与 EFD 的平分线 FP相交于点 P，且 BEP=50 ，则 EPF=( )度 . A. 70 B. 65 C. 60 D. 55 解 析 ：如图所示， EPEF ， PEF=90 ， BEP=50 ， BEF=BEP+PEF=140 ， ABCD ， BEF+EFD=180 ， EFD=40 ， FP 平分 EFD ， =20 ， PEF+EFP+EPF=180 ， EPF=70. 答案： A. 7.(3 分 )如图，直线 y=x-2 与 y 轴交于点 C，与 x轴交于点 B，与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 A

5、，连接 OA.若 SAOB ： SBOC =1： 2，则 k的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解 析 ： 直线 y=x-2 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 B， C(0 ， -2)， B(2， 0)， S BOC =12OBOC= 1222=2 ， S AOB ： SBOC =1： 2， S AOB =12SBOC =1， 122y A=1， y A=1， 把 y=1 代入 y=x-2， 得 1=x-2，解得 x=3， A(3 ， 1). 反比例函数 y= 的图象过点 A， k=31=3. 答案： B. 8.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=8， B

6、C=12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将 ABE 沿 AE折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则 sinECF=( ) A. B. C. D. 解 析 ：过 E 作 EHCF 于 H， 由折叠的性质得： BE=EF， BEA=FEA ， 点 E 是 BC 的中点， CE=BE ， EF=CE ， FEH=CEH ， AEB+CEH=90 ， 在矩形 ABCD 中， B=90 ， BAE+BEA=90 ， BAE=CEH ， B=EHC ， ABEEHC ， ， ， 答案： D. 9.(3 分 )甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至 B 城 .在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A

7、城的距离 y(千米 )与甲车行驶的时间 t(小时 )之间的函数关系如图所示 .则下列结论： A ， B 两城相距 300 千米； 乙车比甲车晚出发 1 小时，却早到 1 小时； 乙车出发后 2.5 小时追上甲车； 当甲、乙两车相距 50 千米时， t= 或 . 其中正确的结论有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解 析 ：由图象可知 A、 B 两城市之间的距离为 300km，甲行驶的时间为 5 小时，而乙是在甲出发 1 小时后出发的，且用时 3 小时，即比甲早到 1 小时， 都正确； 设甲车离开 A 城的距离 y 与 t 的关系式为 y 甲 =kt， 把 (5，

8、300)代入可求得 k=60， y 甲 =60t， 设乙车离开 A 城的距离 y 与 t 的关系式为 y 乙 =mt+n， 把 (1， 0)和 (4， 300)代入可得 ，解得 ， y 乙 =100t-100， 令 y 甲 =y 乙 可得： 60t=100t-100，解得 t=2.5， 即甲、乙两直线的交点横坐标为 t=2.5， 此时乙出发时间为 1.5 小时，即乙车出发 1.5 小时后追上甲车， 不正确； 令 |y 甲 -y 乙 |=50，可得 |60t-100t+100|=50，即 |100-40t|=50， 当 100-40t=50 时，可解得 t= ， 当 100-40t=-50 时，

9、可解得 t= ， 正确； 综上可知正确的有 共三个， 答案： C. 10.(3 分 )在平面直角坐标系中，正方形 A1B1C1D1、 D1E1E2B2、 A2B2C2D2、 D2E3E4B3、 A3B3C3D3 按如图所示的方式放置，其中点 B1在 y 轴上，点 C1、 E1、 E2、 C2、 E3、 E4、 C3 在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1的边长为 1， B 1C1O=60 ， B1C1B 2C2B 3C3 则正方形 A2015B2015C2015D2015的边长是( ) A. ( )2014 B. ( )2015 C. ( )2015 D. ( )2014 解 析 ：如图所

10、示： 正方形 A1B1C1D1的边长为 1， B 1C1O=60 ， B1C1B 2C2B 3C3 D 1E1=B2E2， D2E3=B3E4， D 1C1E1=C 2B2E2=C 3B3E4=30 ， D 1E1=C1D1sin30= ，则 B2C2= = =( )1， 同理可得： B3C3= =( )2， 故正方形 AnBnCnDn的边长是： ( )n-1. 则正方形 A2015B2015C2015D2015的边长是： ( )2014. 答案： D. 二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 11.(3 分 )若使二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 _. 解 析 ： 二次根式 有

11、意义， 2x -40 ， 解得 x2. 故答案为： x2. 12.(3 分 )分解因式： a3b-4ab=_. 解 析 ：原式 =ab(a2-4)=ab(a+2)(a-2)， 故答案为： ab(a+2)(a-2) 13.(3 分 )下列命题中正确的个数有 _个 . 如果单项式 3a4byc 与 2axb3cz是同类项，那么 x=4， y=3， z=1； 在反比例函数 y= 中， y 随 x 的增大而减小； 要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式； 从 -3， -2， 2， 3 四个数中任意取两个数分别作为 k， b 的值，则直线 y=kx+b 经过第一、二、三象限的概率是 . 解 析 ： 由

12、同类项的定义可知： x=4， y=3， z=1，故 正确； k=3 0 函数图象在 “ 每个分支上 ” y 随 x 的增大而减小，故 错误； 具有破坏性的调查不适合普查，故 错误； 画树状图得： 共 12 中情况，当 k 0， b 0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，故符合条件的有 2 个 . 一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限的概率是： . 故填： 2. 14.(3 分 )圆锥体的底面周长为 6 ，侧面积为 12 ，则该圆锥体的高为 _. 解 析 ：让周长除以 2 即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积 = 侧面展开图的弧长 母线长可得圆锥的母线长，利用

13、勾股定理可得圆锥的高 . 答案 ： 圆锥的底面周长为 6 ， 圆锥的底面半径为 62=3 ， 圆锥的侧面积 = 侧面展开图的弧长 母线长， 母线长 =212(6)=4 ， 这个圆锥的高是 ， 故答案为： . 15.(3 分 )已知点 P 是半径为 1 的 O 外一点， PA 切 O 于点 A，且 PA=1， AB 是 O 的弦， AB=，连接 PB，则 PB=_. 解 析 ：本题应分两种情况进行讨论： (1)如图 1，可以根据已知条件证明 POAPOB ，然后即可求出 PB； (2)如图 2，此时可以根据已知条件证明 PABO 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出 PB.

14、答案 ：连接 OA， (1)如图 1，连接 OA， PA=AO=1 ， OA=OB， PA 是 的切线， AOP=45OA=OB ， BOP=AOP=45 ， 在 POA 与 POB 中， ， POAPOB ， PB=PA=1 ； (2)如图 2，连接 OA，与 PB 交于 C， PA 是 O 的切线， OAPA ， 而 PA=AO=， 1 OP= 2 ； AB= 2 ， 而 OA=OB=1， AOBO ， 四边形 PABO 是平行四边形， PB ， AO 互相平分； 设 AO 交 PB 与点 C， 即 OC=12， BC= 52， PB= 5 . 故答案为： 1 或 5 . 16.(3 分

15、)如图， AOB=30 ，点 M、 N 分别是射线 OA、 OB 上的动点， OP 平分 AOB ，且 OP=6，当 PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 _. 解 析 ：设点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D，当点 M、 N在 CD上时， PMN的周长最小，此时 COD 是等边三角形，求得三角形 PMN 和 COD 的面积，根据四边形 PMON的面积为： 12( SCOD +SPMN )求得即可 . 答案 ：分别作点 P 关于 OA、 OB 的对称点 C、 D，连接 CD，分 别交 OA、 OB 于点 M、 N，连接 OP、OC、 OD、 PM、 P

16、N. 点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， PM=CM ， OP=OC， COA=POA ； 点 P 关于 OB 的对称点为 D， PN=DN ， OP=OD， DOB=POB ， OC=OD=OP=6 ， COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60 ， COD 是等边三角形， CD=OC=OD=6. POC=POD ， OPCD ， OQ=6 =3 3 ， PQ=6 -3 ， 设 MQ=x，则 PM=CM=3-x， (3 -x)2-x2=(6-3 3 )2，解得 x=6 3 -9， S PMN =12MNPQ=MQPQ=(6 3 -

17、9)(6 -3 3 )=63 3 -108， S COD =123 3 6=9 3 ， 四边形 PMON 的面积为： ( SCOD +SPMN )= 12(72 3 -108)=36 3 -54. 故答案为 36 3 -54. 三、解答题 (17-20每题 8分， 21-22每题 9 分， 23题 10分， 24题 12分，共 72 分 ) 17.(8 分 )先化简，再求值： ，其中 a= 2 -1. 解 析 ：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = ， 当 a= 2 -1 时，原式 = .

18、 18.(8 分 )如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 BE， CE. (1)求证： BE=CE. (2)求 BEC 的度数 . 解 析 ： (1)根据正方形的性质，可得 AB=AD=CD， BAD=ADC=90 ，根据正三角形的性质，可得 AE=AD=DE， EAD=EDA=60 ，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； (2)根据等腰三角形的性质， ABE=AEB ，根据三角形的内角和定理，可得 AEB ，根据角的和差，可得答案 . 答案 ： (1)证明： 四边形 ABCD 为正方形 AB=AD=CD ， BAD=ADC=90 三角形 ADE 为正三角形 AE=A

19、D=DE ， EAD=EDA=60 BAE=CDE=150 在 BAE 和 CDE 中 ， BAECDE BE=CE ； (2)AB=AD ， AD=AE， AB=AE ， ABE=AEB ， 又 BAE=150 ， ABE=AEB=15 ， 同理： CED=15 BEC=60 -152=30. 19.(8 分 )八年级 (1)班学生在完成课题学习 “ 体质健康测试中的数据分析 ” 后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试 .现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图 . 请你根据上面提供的信

20、息回答下列问题： (1)扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 _度，该班共有学生 _人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 _. (2)老师决定从选择铅球训练的 3 名男生和 1 名女生中任选两名学生先进行测试， 请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率 . 解 析 ： (1)跳绳部分的圆心角的度数用周角乘以跳绳部分所占的百分比即可；总人数用用篮球的总人数除以其所占的百分比即可求得总人数； (2)列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可 . 答案 ： (1)扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 360(1 -50%-20%-10%-10%)=36 度； 该班共有学生 (2+

21、5+7+4+1+1)50%=40 人； 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ， 故答案为： 36， 40， 5. (2)三名男生分别用 A1， A2， A3表示，一名女生用 B 表示 .根据题意，可画树形图如下： 由上图可知，共有 12 种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生 (记为事件 M)的结果有 6 种， P(M)= 612=12. 20.(8 分 )关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实根 x1， x2. (1)求实数 k 的取值范围 . (2)若方程两实根 x1， x2满足 |x1|+|x2|=x1x 2，求 k的值 . 解 析 ： (

22、1)根据方程有两个不相等的实数根可得 =(2k+1) 2-4(k2+1)=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3 0，求出 k 的取值范围； (2)首先判断出两根均小于 0，然后去掉绝对值，进而得到 2k+1=k2+1，结合 k 的取值范围解方程即可 . 答案 ： (1) 原方程有两个不相等的实数根， =(2k+1) 2-4(k2+1)=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3 0， 解得： k 34； (2)k 34， x 1+x2=-(2k+1) 0， 又 x 1x 2=k2+1 0， x 1 0， x2 0， |x 1|+|x2|=-x1-x2=-(x1+x2)=2k+1， |x 1|+|

23、x2|=x1x 2， 2k+1=k 2+1， k 1=0， k2=2， 又 k 34， k=2. 21.(9 分 )如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度 .已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离 (AB)是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30 ；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离 (CD)是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45. 两人相距 5 米且位于旗杆同侧 (点 B、 D、 F在同一直线上 ). (1)求小敏到旗杆的距离 DF.(结果保留根号 ) (2)求旗杆 EF 的高度 .(结果保留整数，参考数据： 2 1.4 ， 3 1.7) 解 析 ： (1)过点 A 作 AM

24、EF 于点 M，过点 C 作 CNEF 于点 N.设 CN=x，分别表示出 EM、 AM的长度，然后在 RtAEM 中，根据 tanEAM= 33，代入求解即可； (2)根据 (1)求得的结果，可得 EF=DF+CD，代入求解 . 答案 ： (1)过点 A 作 AMEF 于点 M，过点 C 作 CNEF 于点 N， 设 CN=x， 在 RtECN 中， ECN=45 ， EN=CN=x ， EM=x+0.7 -1.7=x-1， BD=5 ， AM=BF=5+x ， 在 RtAEM 中， EAM=30 = 33， x -1= 33(x+5)， 解得： x=4+3 3 ， 即 DF=(4+3 3

25、)(米 )； (2)由 (1)得： EF=x+0.7=4+ +0.7 =4+31.7+0.7 =9.810( 米 ). 22.(9 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， AE 是 BAC 的平分线， ABC 的平分线 BM 交 AE 于点M，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心， OB 的长为半径的圆经过点 M，交 BC于点 G，交 AB 于点F. (1)求证： AE 为 O 的切线 . (2)当 BC=8， AC=12 时，求 O 的半径 . (3)在 (2)的条件下，求线段 BG 的长 . 解 析 ： (1)连接 OM.利用角平分线的性质和平行线的性质得到 AEOM 后即可证得 A

26、E 是 O的切线； (2)设 O 的半径为 R，根据 OMBE ，得到 OMABEA ，利用平行线的性质得到 ，即可解得 R=3，从而求得 O 的半径为 3； (3)过点 O 作 OHBG 于点 H，则 BG=2BH，根据 OME=MEH=EHO=90 ，得到四边形 OMEH是矩形，从而得到 HE=OM=3 和 BH=1，证得结论 BG=2BH=2. 答案 ： (1)证明：连接 OM. AC=AB ， AE 平分 BAC ， AEBC ， CE=BE=12BC=4， OB=OM ， OBM=OMB ， BM 平分 ABC ， OBM=CBM ， OMB=CBM ， OMBC 又 AEB C，

27、AEOM ， AE 是 O 的切线； (2)设 O 的半径为 R， OMBE ， OMABEA ， 即 ， 解得 R=3， O 的半径为 3； (3)过点 O 作 OHBG 于点 H，则 BG=2BH， OME=MEH=EHO=90 ， 四边形 OMEH 是矩形， HE=OM=3 ， BH=1 ， BG=2BH=2. 23.(10 分 )鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元 .物价部门规定其销售单价不高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元 .经市场调查发现：日销售量y(千克 )是销售单价 x(元 )的一次函数，且当 x=60 时， y=80； x=50

28、时， y=100.在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元 . (1)求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 . (2)求该公司销售该原料日获利 w(元 )与销售单价 x(元 )之间的函数关系式 . (3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 解 析 ： (1)根据 y 与 x 成一次函数解析式，设为 y=kx+b，把 x 与 y 的两对值代入求出 k与 b的值，即可确定出 y 与 x 的解析式，并求出 x 的范围即可； (2)根据利润 =单价 销售量列出 W 关于 x 的二次函数解析式即可； (3)利用二次函数的性质求出 W 的最大值，以及此

29、时 x 的值即可 . 答案 ： (1)设 y=kx+b，根据题意得 ， 解得： x=- ， y= -2x+200(30x60) ； (2)W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6450=-2(x-65)2+2000； (3)W=-2(x-65)2+2000， 30x60 ， x=60 时， w 有最大值为 1950 元， 当销售单价为 60 元时，该公司日获利最大，为 1950 元 . 24.(12 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=12x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C.抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=- 且经过 A、

30、C 两点，与 x轴的另一交点为点 B. (1) 直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 . (2)若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA， PC.求 PAC 的面积的最大值，并求出 此时点 P 的坐标 . (3)抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、 M、 N为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1) 先求的直线 y=12x+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点 B的坐标； 设抛物线的解析式为 y=y=a(x+4)(x-1)，然后将点 C的坐标代入即可

31、求得 a的值； (2)设点 P、 Q 的横坐标为 m，分别求得点 P、 Q 的纵坐标，从而可得到线段 PQ=-12m2-2m，然后利用三角形的面积公式可求得 SPAC =12PQ4 ，然后利用配方法可求得 PAC 的面积的最大值以及此时 m 的值，从而可求得点 P 的坐标； (3)首先可证明 ABCACOCBO ，然后分以下几种情况分类讨论即可： 当 M 点与 C点重合，即 M(0， 2)时， MANBAC ； 根据抛物线的对称性，当 M(-3， 2)时， MANABC ； 当点 M 在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系 . 答案 ： (1)y= 当 x=0 时， y=2，当 y

32、=0 时， x=-4， C(0 ， 2)， A(-4， 0)， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x=- 对称， 点 B 的坐标为 1， 0). 抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(-4， 0)， B(1， 0)， 可设抛物线解析式为 y=a(x+4)(x-1)， 又 抛物线过点 C(0， 2)， 2= -4a a= 12y= 12x2 x+2. (2)设 P(m， 12m2 m+2). 过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q， Q(m ， 12m+2)， PQ= 12m2 m+2-(12m+2) = 12m2-2m， S PAC =12PQ4 ， =2PQ=-m2-4m=-

33、(m+2)2+4， 当 m=-2 时， PAC 的面积有最大值是 4， 此时 P(-2， 3). (3)在 RtAOC 中， tanCAO= 12在 RtBOC 中， tanBCO= 12， CAO=BCO ， BCO+OBC=90 ， CAO+OBC=90 ， ACB=90 ， ABCACOCBO ， 如下图： 当 M 点与 C 点重合，即 M(0， 2)时， MANBAC ； 根据抛物线的对称性，当 M(-3， 2)时， MANABC ； 当点 M 在第四象限时，设 M(n， 12n2 n+2)，则 N(n， 0) MN= 12n2+32n-2， AN=n+4 当 时， MN=12AN，即 12n2+32n-2=12(n+4) 整理得： n2+2n-8=0 解得： n1=-4(舍 )， n2=2 M(2 ， -3)； 当 时， MN=2AN，即 12n2+32n-2=2(n+4)， 整理得： n2-n-20=0 解得： n1=-4(舍 )， n2=5， M(5 ， -18). 综上所述：存在 M1(0， 2)， M2(-3， 2)， M3(2， -3)， M4(5， -18)，使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似 .