1、2015年湖北省随州市中考真题数学 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1.在 -1， -2， 0， 1 四个数中最小的数是 ( ) A.-1 B.-2 C.0 D.1 解析 ：由正数大于零，零大于负数，得 1 0 -1 -2. 答案： B 2.如图， AB CD， A=50，则 1 的大小是 ( ) A.50 B.120 C.130 D.150 解析 ： 如图： AB CD， A+ 2=180， 2=130， 1= 2=130 . 答案： C 3.用配方法解一元二次方程 x2-6x-4=0，下列变形正确的是 ( ) A.(x-6)2=-4+36 B.(x-6)
2、2=4+36 C.(x-3)2=-4+9 D.(x-3)2=4+9 解析 ： x2-6x-4=0， 移项，得 x2-6x=4， 配方，得 (x-3)2=4+9. 答案： D 4.下列说法正确的是 ( ) A.“购买 1 张彩票就中奖”是不可能事件 B.“掷一次骰子，向上一面的点数是 6”是随机事件 C.了解我国青年人喜欢的电视节目应作全面调查 D.甲、乙两组数据，若 S 甲 2 S 乙 2，则乙组数据波动大 解析 ： A、“购买 1 张彩票就中奖”是随机事件，故 A 错误； B、”掷一次骰子，向上一面的点数是 6”是随机事件，故 B 正确； C、了解我国青年人喜欢的电视节目应作抽样调查，故 C
3、 错误； D、甲、乙两组数据，若 S 甲 2 S 乙 2，则甲组数据波动大，故 D 错误 . 答案： B 5.如图， ABC 中， AB=5， AC=6， BC=4，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则 BDC 的周长是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析 ： ED 是 AB 的垂直平分线， AD=BD， BDC 的周长 =DB+BC+CD， BDC 的周长 =AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10. 答案： C 6. 若代数式 11 xx 有意义，则实数 x 的取值范围是 ( ) A.x 1 B.x 0 C.x 0 D.x 0 且 x 1 解析 ： 代数式 11 x
4、x 有意义， 100xx，解得 x 0 且 x 1. 答案： D. 7.如图，在 ABC 中，点 D、 E 分别在边 AB、 AC 上，下列条件中不能判断 ABC AED 的是( ) A. AED= B B. ADE= C C. AD ACAE ABD. AD AEAB AC解析 ： DAE= CAB， 当 AED= B 或 ADE= C 时， ABC AED； 当 AD AEAC AB时， ABC AED. 答案： D. 8.如图， O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为 r，则下列关系式错误的是 ( ) A.R2-r2=a2 B.a=2Rsin
5、36 C.a=2rtan36 D.r=Rcos36 解析 ： O 是正五边形 ABCDE 的外接圆， BOC= 15 360 =72， 1=12 BOC=12 72 =36， R2-r2=(12a)2=14a2， 12 a=Rsin36， a=2Rsin36； 12 a=rtan36， a=2rtan36， cos36 =rR ， r=Rcos36， 所以 关系式错误的是 R2-r2=a2. 答案： A 9.在直角坐标系中，将点 (-2， 3)关于原点的对称点向左平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( ) A.(4， -3) B.(-4， 3) C.(0， -3) D.(0， 3) 解析 ：
6、 在直角坐标系中，将点 (-2， 3)关于原点的对称点是 (2， -3)，再向左平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 (0， -3). 答案： C 10.甲骑摩托车从 A 地去 B 地，乙开汽车从 B 地去 A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为 s(单位：千米 )，甲行驶的时间为 t(单位：小时 )， s 与 t之间的函数关系如图所示，有下列结论： 出发 1 小时时，甲、乙在途中相遇； 出发 1.5 小时时，乙比甲多行驶了 60 千米； 出发 3 小时时，甲、乙同时到达终点； 甲的速度是乙速度的一半 . 其中，正确结论的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D
7、.1 解析 ： 由图象可得：出发 1 小时，甲、乙在途中相遇，故正确； 甲骑摩托车的速度为： 120 3=40(千米 /小时 )，设乙开汽车的速度为 a 千米 /小时， 则 12040a=1，解得： a=80，乙开汽车的速度为 80 千米 /小时， 甲的速度是乙速度的一半，故正确； 出发 1.5 小时，乙比甲多行驶了： 1.5 (80-40)=60(千米 )，故正确； 乙到达终点所用的时间为 1.5 小时，甲得到终点所用的时间为 3 小时，故错误； 正确的有 3 个 . 答案： B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 11. 4 的算术平方根是 ， 9 的平方根是 ，
8、 -27 的立方根是 . 解析 ： 4 的算术平方根是 2， 9 的平方根是 3， -27 的立方根是 -3. 答案： 2； 3， -3 12.为创建“全国环保模范城”，我市对白云湖 73 个排污口进行了封堵，每年可减少污水排放 185000 吨，将 185000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 185000 用科学记数法表示为： 1.85 105. 答案： 1.85 105. 13.如图是一个长方体的三视图 (单位： cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是 cm3. 解析 ： 该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该
9、几何体的体积为 3 2 4=24cm3. 答案： 24 14. 某校抽样调查了七年级学生每天体育锻炼时间，整理数据后制成了如下所示的频数分布表，这个样本的中位数在第 组 . 解析 ： 共 12+24+18+10+6=70 个数据， 12+24=36， 所以第 35 和第 36 个都在第 2 组，所以这个样本的中位数在第 2组 . 答案： 2. 15.观察下列图形规律：当 n= 时，图形“”的个数和“”的个数相等 . 解析 ： n=1 时，“”的个数是 3=3 1； n=2 时，“”的个数是 6=3 2； n=3 时，“”的个数是 9=3 3； n=4 时，“”的个数是 12=3 4； 第 n
10、个图形中“”的个数是 3n； 又 n=1 时，“”的个数是 1= 1 1 12 ； n=2 时，“”的个数是 3= 2 2 12； n=3 时，“”的个数是 6= 3 3 12； n=4 时，“”的个数是 10= 4 4 12； 第 n 个“”的个数是 12nn ； 由 3n= 12nn ，可得 n2-5n=0，解得 n=5 或 n=0(舍去 )， 当 n=5 时，图形“”的个数和“”的个数相等 . 答案： 5. 16.在 ABCD 中， AB BC，已知 B=30， AB=2 3 ，将 ABC 沿 AC 翻折至 AB C，使点 B落在 ABCD 所在的平面内，连接 B D.若 AB D 是直
11、角三角形，则 BC 的长为 . 解析 ： 当 B AD=90 ， AB BC 时，如图 1， AD=BC， BC=B C， AD=B C， AC B D， B AD=90， B GC=90， B=30， AB=2 3 ， AB C=30， GC=12B C=12BC， G 是 BC 的中点， 在 RT ABG 中， BG= 32AB= 32 2 3 =3， BC=6； 当 AB D=90时，如图 2， AD=BC， BC=B C， AD=B C， AC B D，四边形 ACDB是等腰梯形， AB D=90，四边形 ACDB是矩形， BAC=90， B=30， AB=2 3 ， BC=AB 32
12、=2 3 23=4， 当 BC 的长为 4 或 6 时， AB D 是直角三角形 . 答案： 4 或 6. 三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分 17.解不等式组 1 1213xx ，请结合题意，完成本题解答 . ( )解不等式，得 ； ( )解不等式，得 ； ( )把不等式和的解集在数轴上表示出来： ( )原不等式组的解集为 . 解析 ： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 . 答案： (I)解不等式得， x 2； (II)解不等式得， x 4； (III)在数轴上表示为： (IV)故不等式组的解集为： 2 x 4. 18.先化简，再求值： (2+a)(
13、2-a)+a(a-5b)+3a5b3 (-a2b)2，其中 ab=-12. 解析 ： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，把 ab 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =4-a2+a2-5ab+3ab=4-2ab， 当 ab=-12时，原式 =4+1=5. 19.端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋 (每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同 ).已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵 1.8 元，花 30 元购买粽子的个数与花 12元购买咸鸭蛋的个数相同，求粽子与咸鸭蛋的价格各多少？ 解析 ：
14、设咸鸭蛋的价格为 x 元，则粽子的价格为 (1.8+x)元，根据花 30 元购买粽子的个数与花 12 元购买咸鸭蛋的个数相同，列出分式方程，求出方程的解得到 x 的值，即可得到结果 . 答案： 设咸鸭蛋的价格为 x 元，则粽子的价格为 (1.8+x)元， 根据题意得： 30 121.8xx，去分母得： 30x=12x+21.6，解得： x=1.2， 经检验 x=1.2 是分式方程的解，且符合题意， 1.8+x=1.8+1.2=3(元 )， 故咸鸭蛋的价格为 1.2 元，粽子的价格为 3 元 . 20.如图，反比例函数 y=kx(k 0)的图象与矩形 ABCD 的边相交于 E、 F 两点，且 B
15、E=2AE，E(-1， 2). (1)求反比例函数的解析式； (2)连接 EF，求 BEF 的面积 . 解析 ： (1)将 E(-1， 2)代入 y=kx，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； (2)由矩形的性质及已知条件可得 B(-3， 2)，再将 x=-3 代入 y=-2x，求出 y 的值，得到 CF=23 ，那么 BF=2-23 =43 ，然后根据 BEF 的面积 =12 BE BF，将数值代入计算即可 . 答案： (1)反比例函数 y=kx(k 0)的图象过点 E(-1， 2)， k=-1 2=-2，反比例函数的解析式为 y=-2x. (2) E(-1， 2)， AE=1， OA
16、=2， BE=2AE=2， AB=AE+BE=1+2=3， B(-3， 2). 将 x=-3 代入 y=-2x，得 y=23， CF=23， BF=2-23=43， BEF 的面积 =12BE BF=12 2 43=43. 21.为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组 .学生报名情况如图 (每人只能选择一个小组 )： (1)报名参加课外活动小组的学生共有 人，将条形图补充完整； (2)扇形图中 m= ， n= ； (3)根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲
17、、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明 . 解析： (1)用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，减去其它小组的频数即可求得民族乐器的人数，从而补全统计图； (2)根据各小组的频数和总数分别求得 m 和 n 的值即可； (3)列树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可 . 答案： (1)根据两种统计图知地方戏曲的有 13 人，占 13%， 报名参加课外活动小组的学生共有 13 13%=100 人， 参加民族乐器的有 100-32-25-13=30 人， 统计图为： (2) m%= 25100 100%=25%， m=25， n=
18、30100 360=108， (3)树状图分析如下： 共有 12 种情况，恰好选中甲、乙的有 2 种， P(选中甲、乙 )= 2112 6. 22.如图，射线 PA 切 O 于点 A，连接 PO. (1)在 PO 的上方作射线 PC，使 OPC= OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法 )，并证明： PC 是 O 的切线； (2)在 (1)的条件下，若 PC 切 O 于点 B， AB=AP=4，求 弧 AB 的长 . 解析： (1)按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接 OA，作 OB PC，根据角平分线的性质证明 OA=OB 即可证明 PC 是 O 的切线； (2)首先证明 P
19、AB 是等边三角形，则 APB=60，进而 POA=60，在 Rt AOP 中求出 OA，用弧长公式计算即可 . 答案： (1)作图如图，连接 OA，过 O 作 OB PC， PA 切 O 于点 A， OA PA， 又 OPC= OPA， OB PC， OA=OB，即 d=r， PC 是 O 的切线 . (2) PA、 PC 是 O 的切线， PA=PB， 又 AB=AP=4， PAB 是等边三角形， APB=60， AOB=120， POA=60， 在 Rt AOP 中， tan60 = 4OA， OA=433， L 弧 AB=431208331 8 0 9. 23.如图，某足球运动员站在点
20、 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5m的 A 处正对球门踢出 (点A在 y轴上 )，足球的飞行高度 y(单位： m)与飞行时间 t(单位： s)之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行 0.8s 时，离地面的高度为 3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ (2)若足球飞行的水平距离 x(单位： m)与飞行时间 t(单位： s)之间具有函数关系 x=10t，已知球门的高度为 2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为 28m，他能否将球直接射入球门？ 解析： (1)由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过 (0， 0.5
21、)(0.8， 3.5)，于是得到 20 .53 .5 0 .8 5 0 .8cac ，求得抛物线的解析式为： y=-2516t2+5t+12，当 t=85时， y 最大 =4.5； (2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8，当 t=2.8 时， y=-2516 2.82+52.8+ 12=2.25 2.44，于是得到他能将球直接射入球门 . 答案： (1)由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过 (0， 0.5)(0.8， 3.5)， 20 .53 .5 0 .8 5 0 .8cac ，解得：251612ac ，抛物线的解析式为： y=-2516t2+5t+12，当 t=8
22、5时， y 最大 =4.5. (2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8， 当 t=2.8 时， y=-2516 2.82+5 2.8+12=2.25 2.44， 他能将球直接射入球门 . 24.问题：如图 (1)，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上， EAF=45，试判断 BE、EF、 FD 之间的数量关系 . 【发现证明】 小聪把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图 (1)证明上述结论 . 【类比引申】 如图 (2)，四边形 ABCD 中， BAD 90， AB=AD， B+ D=180，点 E、 F 分
23、别在边 BC、CD 上，则当 EAF 与 BAD 满足 关系时，仍有 EF=BE+FD. 【探究应用】 如图 (3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD.已知 AB=AD=80米， B=60， ADC=120， BAD=150，道路 BC、 CD 上分别有景点 E、 F，且 AE AD， DF=40(3 -1)米，现要在 E、 F之间修一条笔直道路，求这条道路 EF的长 (结果取整数，参考数据： 2 =1.41，3 =1.73) 解析： 【发现证明】根据旋转的性质可以得到 ADG ABE，则 GF=BE+DF，只要再证明 AFG AFE 即可 . 【类比引申】延长 CB 至
24、M，使 BM=DF，连接 AM，证 ADF ABM，证 FAE MAE，即可得出答案； 【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到 ABE 是等边三角形，则 BE=AB=80 米 .把ABE绕点 A逆时针旋转 150至 ADG，根据旋转的性质可以得到 ADG ABE，则 GF=BE+DF，只要再证明 AFG AFE 即可得出 EF=BE+FD. 答案： 【发现证明】如图 (1)， ADG ABE， AG=AE， DAG= BAE， DG=BE， 又 EAF=45，即 DAF+ BEA= EAF=45， GAF= FAE， 在 GAF 和 FAE 中， A G A EG A F F A EA F
25、 A F ， AFG AFE(SAS). GF=EF. 又 DG=BE， GF=BE+DF， BE+DF=EF. 【类比引申】 BAD=2 EAF. 理由如下：如图 (2)，延长 CB 至 M，使 BM=DF，连接 AM， ABC+ D=180， ABC+ ABM=180， D= ABM， 在 ABM 和 ADF 中， A B A DA B M DB M D F ， ABM ADF(SAS)， AF=AM， DAF= BAM， BAD=2 EAF， DAF+ BAE= EAF， EAB+ BAM= EAM= EAF， 在 FAE 和 MAE 中，A E A EF A E M A EA F A
26、M ， FAE MAE(SAS)， EF=EM=BE+BM=BE+DF，即 EF=BE+DF. 故答案是： BAD=2 EAF. 【探究应用】如图 3，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至 ADG，连接 AF. BAD=150， DAE=90， BAE=60 . 又 B=60， ABE 是等边三角形， BE=AB=80 米 . 根据旋转的性质得到： ADG= B=60， 又 ADF=120， GDF=180，即点 G 在 CD 的延长线上 . 易得， ADG ABE， AG=AE， DAG= BAE， DG=BE， 又 EAG= BAD=150， GAF= FAE， 在 GAF 和 FA
27、E 中， A G A EG A F F A EA F A F ， AFG AFE(SAS). GF=EF. 又 DG=BE， GF=BE+DF， EF=BE+DF=80+40( 3 -1) 109.2(米 )，即这条道路 EF 的长约为 109.2 米 . 25. 如图，已知抛物线 y= 28(x+2)(x-4)与 x 轴交于点 A、 B(点 A 位于点 B 的左侧 )，与 y轴交于点 C， CD x 轴交抛物线于点 D， M 为抛物线的顶点 . (1)求点 A、 B、 C 的坐标； (2)设动点 N(-2， n)，求使 MN+BN 的值最小时 n 的值； (3)P 是抛物线上一点，请你探究：
28、是否存在点 P，使以 P、 A、 B 为顶点的三角形与 ABD 相似 ( PAB 与 ABD 不重合 )？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 . 解析： (1)令 y=0 可求得点 A、点 B 的横坐标，令 x=0 可求得点 C 的纵坐标； (2)根据两点之间线段最短作 M 点关于直线 x=-2 的对称点 M，当 N(-2， N)在直线 M B 上时， MN+BN 的值最小； (3)需要分类讨论： PAB ABD、 PAB ABD，根据相似三角形的性质求得 PB 的长度，然后可求得点 P 的坐标 . 答案 ： (1)令 y=0 得 x1=-2， x2=4，点 A(-2， 0)、 B
29、(4， 0) 令 x=0 得 y=- 2 ，点 C(0， - 2 ) (2)将 x=1 代入抛物线的解析式得 y=-928， 点 M 的坐标为 (1， -928)， 点 M 关于直线 x=-2 的对称点 M的坐标为 (-5， -928)， 设直线 M B 的解析式为 y=kx+b， 将点 M、 B 的坐标代入得： 409258kbkb ，解得：282 .2kb ，所以直线 M B 的解析式为 y= 28x- 22. 将 x=-2 代入得： y=-324，所以 n=-324. (3)过点 D 作 DE BA，垂足为 E. 由勾股定理得： AD= 22 2 24 2 3 2A E D E ， BD
30、= 22 2 22 2 6D E B E ， 如 图，当 P1AB ADB 时， 1PB ABAB BD， 即：1 66 6PB， P1B=6 6 ， 过点 P1作 P1M1 AB，垂足为 M1.111PM DEPB BD ， 即： 11 26 6 6PM ， 解得： P1M1=6 2 ， 11BM BEPB BD ， 即： 1 26 6 6BM ， 解得： BM1=12， 点 P1的坐标为 (-8， 6 2 )， 点 P1不在抛物线上，所以此种情况不存在； 当 P2AB BDA 时，2PB ABAB AD， 即：2 66 32PB， P2B=6 2 ， 过点 P2作 P2M2 AB，垂足为
31、M2. 222PM DEP B AD ，即： 22 26 2 3 2PM ， P2M2=2 2 ， 22MB AEP B AD ，即： 262MB= 432， M2B=8， 点 P2的坐标为 (-4， 2 2 )， 将 x=-4 代入抛物线的解析式得： y=2 2 ，点 P2在抛物线上 . 由抛物线的对称性可知：点 P2与点 P4关于直线 x=1 对称， P4的坐标为 (6， 2 2 )， 当点 P3位于点 C 处时，两三角形全等，所以点 P3的坐标为 (0， - 2 )， 综上所述点 P 的坐标为： (-4， 2 2 )或 (6， 2 2 )或 (0， - 2 )时，以 P、 A、 B 为顶点的三角形与 ABD 相似 .
