1、 2015 年湖北省黄冈市红安县西河中学中考模拟 数学 一、选择题（每小题 3 分，共 21 分） 1. 计算 2（ -2） =2 的结果是（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 解析：直接利用二次根式的性质化简求出即可 . 答案： B 2.资料显示， 2015 年“五一”全国实现旅游收入约 463 亿元，用科学记数法表示 463 亿这个数是（ ） A.463 108 B.4.63 108 C.4.63 1010 D.0.463 1011 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n
2、的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案： C 3. 函数 123y x 中，自变量 x 的取值范围为（ ） A.x 32B.x 32C.x 32且 x 0 D.x 32解析：该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于 0，故分母 2x-3 0，解得 x 32. 答案： B 4. 若 x y，则下列式子中错误的是（ ） A.x-3 y-3 B.x+3 y+3 C.-3x -3y D. 33x y解析：根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
3、不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变故选： C. 答案： C 5. 下列方程没有实数根的是（ ） A.x2+4x=10 B.3x2+8x-3=0 C.x2-2x+3=0 D.（ x-2）（ x-3） =12 解析： A、方程变形为： x2+4x-10=0， =42-4 1（ -10） =56 0，所以方程有两个不相等的实数根，故 A 选项不符合题意； B、 =82-4 3（ -3） =100 0，所以方程有两个不相等的实数根，故 B 选项不符合题意； C、 =（ -2） 2-4 1 3=-8 0，所以方程没有实数根，故 C 选项符合题意； D、方程变形为： x2-5x-6=
4、0， =52-4 1（ -6） =49 0，所以方程有两个不相等的实数根，故 D 选项不符合题意 故选： C. 答案： C 6. 如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 解析：俯视图是从上面看到的图形，从上面看，是正方形右边有一条斜线，故选： A. 答案： A 7. 二次函数 y=ax2+b（ b 0）与反比例函数 ayx在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 解析： A、对于反比例函数 ayx经过第二、四象限，则 a 0，所以抛物线开口向下，故 A选项错误； B、对于反比例函数 ayx经过第一、三象限，则 a 0，所以抛物线开口
5、向上， b 0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，故 B 选项正确； C、对于反比例函数 ayx经过第一、三象限，则 a 0，所以抛物线开口向上，故 C 选项错误； D、对于反比例函数 ayx经过第一、三象限，则 a 0，所以抛物线开口向上，而 b 0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，故 D 选项错误 故选： B 答案： B 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 8. a2-4a= 解析： 由于原式子中含有公因式 a，可用提取公因式法求解 . a2-4a=a（ a-4） 答案： a（ a-4） 9. 若 -2xm-ny2与 3x4y2m+n是同类项，则 m-3n的立方根是 解析
6、：若 -2xm-ny2与 3x4y2m+n是同类项， 422mnmn， 解方程得： 22mn m-3n=2-3（ -2） =8 8 的立方根是 2 答案： 2 10. 不等式组 132 3 0xx 的解集是 解析： 132 3 0xx ， 解得： x 4， 解得： x -32 则不等式组的解集是： -32 x 4. 答案： -32 x 4 11.为了估计湖里有多少条鱼，我们从湖里捕上 100 条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得 200 条，发现其中带标记的鱼 8 条，通过这种调查方式，我们可以估计湖里有鱼 条 . 解析： 200 条鱼，发现带有记号
7、的鱼只有 8 条，则可求出带记号的鱼所占的百分比，再根据带记号的总计有 100 条，即可求得湖里鱼的总条数 . 100（ 8 200 100%） =2500（条） 答案： 2500 12.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上点 A、 B 的读数分别为 86、 30，则 ACB 的大小为 解析：设半圆圆心为 O，连 OA， OB，如图， ACB=12 AOB， 而 AOB=86 -30 =56， ACB=12 56 =28 答案： 28 13. 如图，将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、 B、 C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ABC，能够完全
8、覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 解析：如图所示： 点 O 为 ABC 外接圆圆心，则 AO 为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： 5 答案： 5 14. 若直线 y=m（ m 为常数）与函数2( 2)24 ( 2)x xxx 的图象恒有三个不同的交点，则常数 m 的取值范围是 解析：如图所示：当 x=2 时， y=2， 故直线 y=m（ m 为常数）与函数2( 2)24 ( 2)x xxx 的图象恒有三个不同的交点， 则常数 m 的取值范围是： 0 m 2 答案： 0 m 2 三、解答题（共 10 小题，共 78 分） 15. 计算： |-3|+(-3)2+(6- )
9、0-(12)-1 解析：直接利用负整数指数幂的性质和绝对值的性质、零指数幂的性质化简各数进而求出 . 答案： 原式 =3+9+1-2=11. 16. 张凯同学到邮局买了两种型号的信封，共 30 个，其中买 A 型号的信封用了 3 元，买 B型号的信封用了 2 元 4 角，其中 B 型号的信封每个比 A 型号的信封便宜 4 分两种型号的信封的单价各是多少？ 解析：本题中的两个等量关系为“两种型号的信封共 30 个”和“ B 型号的信封每个比 A 型号的信封便宜 3 分”，根据这两个等量关系可以设出未知数并列出方程 . 答案：设 A 型号信封单价是 x 分，依题意得： 3 0 0 2 4 0 30
10、4xx ， 解得 x1=20， x2=2， 经检验 x1=20， x2=2 都是原方程的根， 因为 x-4 0，故 x=2 不符合实际情况，舍去 所以 x=20， x-4=16 答： A 型号信封单价是 2 角， B 型号信封单价是 1 角 6分 . 17. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，连接 EB、 ED （ 1）求证： BCE DCE； （ 2）延长 BE 交 AD 于点 F，若 DEB=140，求 AFE 的度数 . 解析：（ 1）根据正方形的性质得出 BC=DC， BCE= DCE=45，根据 SAS 推出即可； （ 2）根据全等求出 DEC= BEC=70，
11、根据三角形内角和定理求出 FBC，根据平行线的性质求出即可 . 答案：（ 1）正方形 ABCD 中， E 为对角线 AC 上一点， BC=DC， BCE= DCE=45， 在 BCE 和 DCE 中 C E C EB C E D C EB C D C BCE DCE（ SAS）； （ 2）由全等可知， BEC= DEC=12 DEB=12 140 =70， 在 BCE 中， CBE=180 -70 -45 =65， 在正方形 ABCD 中， AD BC，有 AFE= CBE=65 . 18. 如图，已知双曲线 1yx与两直线 14yx， y=-kx（ k 0，且 k 14）分别相交于A、 B、
12、 C、 D 四点 （ 1）当点 C 的坐标为（ -1， 1）时， A、 B、 D 三 点坐标分别是 A（ ， ）， B（ ， ），D（ ， ） （ 2）证明：以点 A、 D、 B、 C 为顶点的四边形是平行四边形 （ 3）当 k 为何值时，平行四边形 ADBC 是矩形 . 解析：（ 1）由 C 坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出 D 坐标，联立双曲线 1yx与直线 14yx，求出 A 与 B 坐标即可； （ 2）由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到 OA=OB， OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证； （ 3）由 A与 B坐标，利用两点间的距离公式求出 A
13、B 的长，联立双曲线 1yx与直线 y=-kx，表示出 CD 的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到 AB=CD，即可求出此时 k 的值 . 答案：（ 1） C（ -1， 1）， C， D 为双曲线 1yx与直线 y=-kx 的两个交点，且双曲线 1yx为中心对称图形， D（ 1， -1）， 联立得：114y xyx ， 消去 y 得： 114 x x ，即 x2=4， 解得： x=2 或 x=-2， 当 x=2 时， y=-12；当 x=-2 时， y=12， A（ -2， 12）， B（ 2， -12）； 答案： -2， 12， 2， -12， 1， -1； （ 2）双曲线 1yx为
14、中心对称图形，且双曲线 1yx与两直线 14yx， y=-kx（ k 0，且 k 14）分别相交于 A、 B、 C、 D 四点， OA=OB， OC=OD， 则以点 A、 D、 B、 C 为顶点的四边形是平行四边形； （ 3）若 平行四边形 ADBC 是矩形，可得 AB=CD， 联立得： 1y xy kx ， 消去 y 得： 1x=-kx，即 x2=1k， 解得： x= 1k或 x=- 1k， 当 x= 1k时， y=- k ；当 x=- 1k时， y= k ， C（ - 1k， k ）， D（ 1k， - k ）， 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( 2 2 ) ( ) 1 72
15、2C D k k A Bkk ， 整理得：（ 4k-1）（ k-4） =0， k1=14， k2=4， 又 k 14， k=4， 则当 k=4 时， 平行四边形 ADBC 是矩形 . 19. 在一个不透明的布袋里装有 4 个完全相同的标有数字 1、 2、 3、 4 的小球小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，小红从布袋里剩下的小球中随机取出一个，记下数字为 y计算由 x、 y 确定的点（ x， y）在函数 y=-x+5 的图象上的概率 . 解析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（ x， y）在函数y=-x+5 的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案 .
16、答案：画树状图得： 共有等可能的结果 12 种：（ x， y）为（ 1， 2）、（ 1， 3）、（ 1， 4）、（ 2， 1）、（ 2， 3）、（ 2， 4）、（ 3， 1）、（ 3， 2）、（ 3， 4）、（ 4， 1）、（ 4， 2）、（ 4， 3）；其中（ x， y）所表示的点在函数 y=-x+5的图象上的有 4 种， P（点（ x， y）在函数 y=-x+5 的图象上） = 4112 3. 20. 如图：已知 AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线， OC 与 O 相交于点 D，连接 AD 并延长，与 BC 相交于点 E （ 1）若 BC= 3 ， CD=1，求 O 的半径； （
17、 2）取 BE 的中点 F，连接 DF，求证： DF 是 O 的切线 . 解析：（ 1）先设 O 的半径为 r，由于 AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线，根据切线性质可知 AB BC，在 Rt OBC 中，利用勾股定理可得（ r+1） 2=r2+（ 3 ） 2，解得 r=1； （ 2）连接 OF，由于 OA=OB， BF=EF，可知 OF 是 BAE 的中位线，那么 OF AE，于是 A= 2，根据三角形外角性质可得 BOD=2 A，易证 1= 2，而 OD=OB， OF=OF，利用 SAS 可证 OBF ODF，那么 ODF=OBF=90，于是 OD DF， 从而可证 FD 是 O
18、 的切线 . 答案：（ 1）设 O 的半径为 r， AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线， AB BC， 在 Rt OBC 中， OC2=OB2+CB2， （ r+1） 2=r2+（ 3 ） 2， 解得 r=1， O 的半径为 1； （ 2）连接 OF， OA=OB， BF=EF， OF 是 BAE 的中位线， OF AE， A= 2， 又 BOD=2 A， 1= 2， 在 OBF 和 ODF 中， 12OB ODOF OF OBF ODF， ODF= OBF=90， 即 OD DF， FD 是 O 的切线 . 21.“知识改变命运，科技繁荣祖国”我区中小学每年都要举办一届科技比赛如图
19、为我区某校 2011 年参加科技比赛（包括电子百拼、航模、机器人、建模四个类别）的参赛人数统计图 （ 1）该校参加机器人、建模比赛的人数分别是 人和 人； （ 2）该校参加科技比赛的总人数是 人，电子百拼所在扇形的圆心角的度数是 ，并把条形统计图补充完整； （ 3）从全区中小学参加科技比赛选手中随机抽取 80 人，其中有 32 人获奖今年我区中小学参加科技比赛人数共有 2485 人，请你估算今年参加科技比赛的获奖人数约是多 少人？ 解析：（ 1）由图知参加机器人、建模比赛的人数； （ 2）参加建模的有 6 人，占总人数的 25%，根据总人数 =参加航模比赛的人数 25%，算出电子百拼比赛的人数
20、，再算出所占的百分比 360； （ 3）先求出随机抽取 80 人中获奖的百分比，再乘以我市中小学参加科技比赛比赛的总人数 . 答案：（ 1）由条形统计图可得：该校参加机器人、建模比赛的人数分别是 4 人， 6 人； 答案 ： 4， 6 （ 2）该校参加科技比赛的总人数是： 6 25%=24， 电子百拼所在扇形的圆心角的度数是：（ 24-6-6-4） 24 360 =120， 答案 ： 24， 120 （ 3） 32 80=0.4， 0.4 2485=994， 答：今年参加科技比赛比赛的获奖人数约是 994 人 . 22. 如图，一台起重机，他的机身高 AC 为 21m，吊杆 AB 长为 40m
21、，吊杆与水平线的夹角BAD 可从 30升到 80求这台起重机工作时，吊杆端点 B 离地面 CE 的最大高度和离机身AC 的最大水平距离（结果精确到 0.1m）（参考数据： sin80 0.98， cos80 0.17， tan33 5.67） . 解析：当 BAD=30时，吊杆端点 B 离机身 AC 的水平距离最大；当 B AD=80时，吊杆端点 B离地面 CE 的高度最大作 BF AD 于 F， B G CE 于 G，交 AD于 F，在 Rt BAF中， AFcos B A FAB可求出 AF 的长，在 Rt B AF中由 BFsin B A FAB 可得出 BF的长 . 答案：如图， 当
22、BAD=30时，吊杆端点 B 离机身 AC 的水平距离最大； 当 B AD=80时，吊杆端点 B离地面 CE 的高度最大 作 BF AD 于 F， B G CE 于 G，交 AD 于 F 在 Rt BAF 中， AFcos B A FAB， AF=AB cos BAF=40 cos30 34.6（ m） 在 Rt B AF中， BFsin B A FAB ， B F =AB sin B AF =40 sin80 39.2（ m） B G=B F +F G=60.2（ m） 答：吊杆端点 B 离地面 CE 的最大高度为 60.2 m，离机身 AC 的最大水平距离为 34.6m. 23. 某店因为
23、经营不善欠下 38400 元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金“中国梦想秀”栏目组决定借给该店 30000 元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的品牌服装的进价为每件 40 元，该品牌服装日销售量 y（件）与销售价 x（元 /件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示该店应支付 员工的工资为每人每天 82 元，每天还应支付其它费用为 106 元（不包含债务） （ 1）求日销售量 y（件）与销售价 x（元 /件）之间的函数关系式； （ 2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价 为 48 元 /件时，当天正好收支平衡（收人 =支出），求该店员工
24、的人数； （ 3）若该店只有 2 名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？ 解析： （ 1）根据待定系数法，可得函数解析式； （ 2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （ 3）分类讨论 40 x 58，或 58 x 71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案 . 答案：（ 1）当 40 x 58 时，设 y 与 x 的函数解析式为 y=k1x+b1，由图象可得 111140 6058 24kbkb， 解得 11 40kb -2 1 y=-2x+140 当 58 x 71 时，设 y 与 x 的函
25、数解析式为 y=k2x+b2，由图象得 222258 2471 11kbkb， 解得 22kb -1 82， y=-x+82， 综上所述： ()2 1 4 0 ? 4 0 5 88 2 5 8 7 1()xxy ； （ 2）设人数为 a，当 x=48 时， y=-2 48+140=44， （ 48-40） 44=106+82a， 解得 a=3； （ 3）设需要 b 天，该店还清所有债务，则： b（ x-40） y-82 2-106 68400， 684004 0 8 2 2 1 0 6b xy ， 当 40 x 58 时， 26 8 4 0 0 6 8 4 0 04 0 2 1 4 0 2 7
26、 0 2 2 2 0 5 8 7 0b xx xx ， 220 5522x 时， -2x2+220x-5870 的最大值为 180， 68400180b ，即 b 380； 当 58 x 71 时， 26 8 4 0 0 6 8 4 0 04 0 8 2 2 7 0 1 2 2 3 5 5 0b xx xx ， 当 122 6121x 时， -x2+122x-3550 的最大值为 171， 68400171b ，即 b 400 综合两种情形得 b 380，即该店最早需要 380 天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为 55 元 . 24. 如图，抛物线与 x 轴交于 A（ x1， 0），
27、B（ x2， 0）两点，且 x1 x2，与 y 轴交于点 C（ 0，4），其中 x1， x2是方程 x2-2x-8=0 的两个根 （ 1）求这条抛物线的解析式； （ 2）点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PE AC，交 BC 于点 E，连接 CP，当 CPE 的面积最大时，求点 P 的坐标； （ 3）探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 Q，使 QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析：（ 1）先通过解方程求出 A， B 两点的坐标，然后根据 A， B， C 三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式
28、（ 2）本题要通过求 CPE 的面积与 P 点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求 CPE 的面积的最大值以及对应的 P 的坐标 CPE 的面积无法直接表示出，可用 CPB 和 BEP的面积差来求，设出 P 点的坐标，即可表示出 BP 的长，可通过相似三角形 BEP 和 BAC求出 BEP 中 BP 边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出 CEP 的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值 （ 3）本题要分三种情况进行讨论： QC=BC，那么 Q点的纵坐标就是 C点的纵坐标减去或加上 BC 的长由此可得出 Q点的坐标 QB=BC，此时 Q， C 关于 x 轴对称，据此可求出 Q
29、点的坐标 QB=QC， Q 点在 BC 的垂直平分 线上，可通过相似三角形来求出 QC 的长，进而求出 Q 点的坐标 . 答案：（ 1） x2-2x-8=0，（ x-4）（ x+2） =0 x1=4， x2=-2 A（ 4， 0）， B（ -2， 0） 又抛物线经过点 A、 B、 C，设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c（ a 0）， 41 6 4 04 2 0ca b ca b c 1214abc 所求抛物线的解析式为 y=- 12x2+x+4 （ 2）设 P 点坐标为（ m， 0），过点 E 作 EG x 轴于点 G 点 B 坐标为（ -2， 0），点 A 坐标（ 4， 0）， AB=6
30、， BP=m+2 PE AC， BPE BAC EGBPAB CO 246EG m 243mEG S CPE=S CBP-S EBP = 12BP CO- 12BP EG S CPE= 12（ m+2）（ 4- 243m） =- 13m2+ 23m+ 83 S CPE=-13（ m-1） 2+3 又 -2 m 4， 当 m=1 时， S CPE 有最大值 3 此时 P 点的坐标为（ 1， 0） （ 3）存在 Q 点， BC=2 5 ， 设 Q（ 1， n）， 当 BQ=CQ 时， 则 32+n2=12+（ n-4） 2， 解得： n=1， 即 Q1（ 1， 1）； 当 BC=BQ=2 5 时， 9+n2=20， 解得： n= 11 ， Q2（ 1， 11 ）， Q3（ 1， - 11 ）； 当 BC=CQ=2 5 时， 1+（ n-4） 2=20， 解得： n=4 19 ， Q4（ 1， 4+ 19 ）， Q5（ 1， 4- 19 ） 综上可得：坐标为 Q1（ 1， 1）， Q2（ 1， 11 ）， Q3（ 1， - 11 ）， Q4（ 1， 4+ 19 ）， Q5（ 1，4- 19 ） .
