1、2015年湖南省岳阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题 8 道小题，每小题 3 分，满分 24 分。在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项 ) 1. 实数 -2015 的绝对值是 ( ) A.2015 B.-2015 C. 2015 D. 12015解析： 计算绝对值要根据绝对值的定义求解 .第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号 .|-2015|=2015. 答案： A 2.有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 主视图是从正面看，茶叶盒可以看作是一个圆柱体，圆柱从正面看是长方形 . 答案： D 3.下列运算正
2、确的是 ( ) A.a-2=-a2 B.a+a2=a3 C. 2 3 5 D.(a2)3=a6 解析： A、原式 =21a ，错误； B、原式不能合并，错误； C、原式不能合并，错误； D、原式 =a6，正确 . 答案： D 4.一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是 ( ) A.-2 x 1 B.-2 x 1 C.-2 x 1 D.-2 x 1 解析： 该不等式组的解集是： -2 x 1. 答案： C 5.现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为 170cm，方 差 分别是 S甲 2、 S乙 2，且 S甲 2 S乙 2，则两个队的队员的身高较整齐的是 ( )
3、 A.甲队 B.乙队 C.两队一样整齐 D.不能确定 解析： 根据方差的意义，方差越小数据越稳定；因为 S 甲 2 S 乙 2，故有甲的方差大于乙的方差，故乙队队员的身高较为整齐 . 答案： B 6.下列命题是真命题的是 ( ) A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 解析： A、一组对边平行，且相等的四边形是平行四边形，所以 A 选项错误； B、对角线互相垂直，且相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项错误； C、四条边相等的四边形是菱形，所以 C 选项正确； D、正方
4、形是轴对称图形，也是中心对称图形，所以 D 选项错误 . 答案： C 7.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品 .若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多 3 元，且用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元购买笔袋的数量相同 .设每个笔记本的价格为 x 元，则下列所列方程正确的是 ( ) A. 200 3503xx B. 200 3503xx C. 200 3503xxD. 200 3503xx解析： 设每个笔记本的价格为 x 元，则每个笔袋的价格为 (x+3)元，根据题意得： 200 3503xx . 答案： B. 8.如图，在 ABC 中， AB=CB，以 AB
5、 为直径的 O 交 AC 于点 D.过点 C 作 CF AB，在 CF 上取一点 E，使 DE=CD，连接 AE.对于下列结论： AD=DC； CBA CDE； 弧 BD=弧 AD；AE 为 O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是 ( ) A. B. C. D. 解析： AB 为直径， ADB=90， BD AC，而 AB=CB， AD=DC，所以正确； AB=CB， 1= 2，而 CD=ED， 3= 4， CF AB， 1= 3， 1= 2= 3= 4， CBA CDE，所以正确； ABC不能确定为直角三角形， 1不能确定等于 45， 弧 BD与 弧 AD不能确定相等，所以错误； D
6、A=DC=DE，点 E 在以 AC 为直径的圆上， AEC=90， CE AE，而 CF AB， ABAE， AE 为 O 的切线，所以正确 . 答案： D. 二、 填空题 (本大题 8 道小题，每小题 4 分，满分 32 分。 ) 9.单项式 -12x2y3的次数是 . 解析： 根据单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数解答 .单项式 -12x2y3的次数是 2+3=5. 答案： 5 10.分解因式： x2-9= . 解析： x2-9=(x+3)(x-3). 答案 ： (x+3)(x-3) 11.据统计， 2015 年岳阳市参加中考的学生约为 49000 人，用科
7、学记数法可将 49000 表示为 . 解析： 用科学记数法可将 49000 表示为 4.9 104， 答案： 4.9 104. 12.若关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 有两个相等的实数根，则 m= . 解析： 方程 x2-3x+m=0 有两个相等的实数根， =9-4m=0，解得： m=94. 答案： 94. 13.在一次文艺演出中，各评委对某节目给出的分数是： 9.20， 9.25， 9.10， 9.20， 9.15，9.20， 9.15，这组数据的众数是 . 解析： 因为 9.20 出现的次数最多，所以众数是 9.20. 答案： 9.20 14.一个 n 边形的内角和是 180
8、0，则 n= . 解析： 根据题意得 180(n-2)=1800，解得： n=12. 答案： 12 15.如图，直线 a b， 1=50， 2=30，则 3= . 解析： 如图： a b， 4= 1=50 . 由三角形的外角的性质可知： 4= 2+ 3， 3= 4- 2=50 -30 =20 . 答案： 20 . 16.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点，顶点 C 的纵坐标为 -2，现将抛物线向右平移 2 个单位，得到抛物线 y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号 ) b 0 a-b+c 0 阴影部分的面积为 4 若 c=
9、-1，则 b2=4a. 解析： 抛物线开口向上， a 0， 又对称轴为 x=-2ba 0， b 0，结论不正确； x=-1 时， y 0， a-b+c 0，结论不正确； 抛物线向右平移了 2 个单位，平行四边形的底是 2， 函数 y=ax2+bx+c 的最小值是 y=-2，平行四边形的高是 2， 阴影部分的面积是： 2 2=4，结论正确； 244ac ba=-2， c=-1， b2=4a，结论正确 . 综上，结论正确的是： . 答案： . 三、解答题 (本大题 8 道小题，满分 64 分。 ) 17.计算： (-1)4-2tan60 +( 3 - 2 )0+12. 解析： 根据有理数的乘方，特
10、殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质分别求出每一部分的值，再求出即可 . 答案 ：原式 =1-2 3 +1+2 3 =2. 18.先化简，再求值： 22112 4 4xxx x x ，其中 x= 2 . 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入原式进行计算即可 . 答案 ： 22112 4 4xxx x x = 22122 1 1 22 2 12x x xx x xx x x x xx ， 当 x= 2 时，原式 = 222 =1+ 2 . 19.如图，直线 y=x+b 与双曲线 y=mx都经过点 A(2， 3)，直线 y=x+b与 x 轴、 y 轴分别交于B、
11、 C 两点 . (1)求直线和双曲线的函数关系式； (2)求 AOB 的面积 . 解析： (1)将点 A的坐标分别代入直线 y=x+b与双曲线 y=mx的解析式求出 b 和 m的值即可； (2)当 y=0 时，求出 x 的值，求出 B 的坐标，就可以求出 OB 的值，作 AE x 轴于点 E，由 A的坐标就可以求出 AE 的值，由三角形的面积公式就可以求出结论 . 答案： (1)线 y=x+b 与双曲线 y=mx都经过点 A(2， 3)， 3=2+b， 3=2m， b=1， m=6， y=x+1， y=6x， 直线的解析式为 y=x+1，双曲线的函数关系式为 y=6x. (2)当 y=0 时，
12、 0=x+1， x=-1， B(-1， 0)， OB=1.作 AE x 轴于点 E， A(2， 3)， AE=3. S AOB=1 3 322 . 答： AOB 的面积为 32. 20.如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为 AC，椅面宽为 BE，椅脚高为 ED，且 AC BE， AC CD， AC ED.从点 A 测得点 D、 E 的俯角分别为 64和 53 .已知 ED=35cm，求椅子高 AC 约为多少？ (参考数据： tan53 43， sin53 45， tan64 2， sin64910 ) 解析： 根据正切函数的定义，可得方程，根据代入消元法，可得答案 . 答案： 在
13、Rt ABD 中， tan ADC=tan64 =ACCD=2， CD=2AC . 在 Rt ABE 中 tan ABE=tan53 = 43ABBE， BE=34AB . BE=CD，得 3 5 32 2 2 4A C A B D E A B AB ，解得 AB=70cm， AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm. 21.某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目 (每位同学仅选一项 ).根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 请根据以上图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的 m=
14、， n= ； (2)在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为 ； (3)从选择“篮球”选项的 30 名学生中，随机抽取 3 名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是 . 解析： (1)根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以羽毛球所占的百分比，求出 m 的值；再用乒乓球的人数除以总人数，求出 n 的值； (2)由于已知喜欢乒乓球的百分比，故可用 360 n 的值，即可求出对应的扇形圆心角的度数； 用总人数乘以最喜爱篮球的学生人数所占的百分比即可得出答案； (3)用随机抽取学生人数除以选择“篮球”选项的学生人数，列式计算即可得出答案 . 答案 ： (1)
15、30 0.25=120(人 )， 120 0.2=24(人 )， 36120=0.3 . (2)360 0.3=108 . 故在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为 108； (3)3 30=110.故其中某位学生被选中的概率是 110. 22.如图，正方形 ABCD 中， M为 BC 上一点， F是 AM 的中点， EF AM，垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N. (1)求证： ABM EFA； (2)若 AB=12， BM=5，求 DE 的长 . 解析： (1)由正方形的性质得出 AB=AD， B=90， AD BC，得出 AMB= EAF，再由 B=
16、AFE，即可得出结论； (2)由勾股定理求出 AM，得出 AF，由 ABM EFA 得出比例式，求出 AE，即可得出 DE 的长 . 答案 ： (1)四边形 ABCD 是正方形， AB=AD， B=90， AD BC， AMB= EAF， 又 EF AM， AFE=90， B= AFE， ABM EFA. (2) B=90， AB=12， BM=5， AM= 2212 5 =13， AD=12， F 是 AM 的中点， AF=12AM=6.5， ABM EFA， BM AMAF AE，即 5 136.5 AE， AE=16.9， DE=AE-AD=4.9. 23.已知直线 m n，点 C 是直
17、线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD 与直线 m、 n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点 . (1)操作发现：直线 l m， l n，垂足分别为 A、 B，当点 A 与点 C 重合时 (如图所示 )，连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： . (2)猜想证明：在图的情况下，把直线 l 向上平移到如图的位置，试问 (1)中的 PA 与 PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 . (3)延伸探究：在图的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得 APB=90 (如图所示 )，若两平行线 m、 n 之间的距离为 2k.求证： PA PB=k
18、AB. 解析： (1)根据三角形 CBD 是直角三角形，而且点 P 为线段 CD 的 中点，应用直角三角形的性质，可得 PA=PB，据此解答即可 . (2)首先过 C 作 CE n 于点 E，连接 PE，然后分别判断出 PC=PE、 PCA= PEB、 AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 PAC PBE，即可判断出 PA=PB 仍然成立 . (3)首先延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AE BD 于点 E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出 AEF BPF，即可判断出 AF BP=AE BF，再个 AF=2PA， AE=2k， BF=AB，可得 2PA PB=2k AB，所
19、以 PA PB=k AB，据此解答即可 . 答案： (1) l n， BC BD，三角形 CBD 是直角三角形， 又点 P 为线段 CD 的中点， PA=PB. (2)把直线 l 向上平移到如图的位置， PA=PB 仍然成立，理由如下： 如图，过 C 作 CE n 于点 E，连接 PE， 三角形 CED 是直角三角形，点 P 为线段 CD 的中点， PD=PE， 又点 P 为线段 CD 的中点， PC=PD， PC=PE； PD=PE， CDE= PEB， 直线 m n， CDE= PCA， PCA= PEB， 又直线 l m， l n， CE m， CE n， l CE， AC=BE， 在
20、PAC 和 PBE 中，P C P EP C A P E BA C B E ， PAC PBE， PA=PB. (3)如图，延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AE BD 于点 E， 直线 m n， 1AP PCPF PD， AP=PF， APB=90， BP AF， 又 AP=PF， BF=AB； 在 AEF 和 BPF 中， 90A E F B P FA F E B F P ， AEF BPF， AF AEBF BP，AF BP=AE BF， AF=2PA， AE=2k， BF=AB， 2PA PB=2k AB， PA PB=k AB. 24.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A
21、(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)三点 . (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由 . (3)如图，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC，在线段 BC 上是否存在这样的点 M，使 CQM为等腰三角形且 BQM 为直角三角形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)把点 A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解； (2)A、 B 关于对称轴对称，连接 BC，则 BC
22、与对称轴的交点即为所求的点 P，此时 PA+PC=BC，四边形 PAOC 的周长最小值为： OC+OA+BC；根据勾股定理求得 BC，即可求得； (3)分两种情况分别讨论，即可求得 . 答案： (1)由已知得01 6 4 03abcbcc ，解得341543.abc， 所以，抛物线的解析式为 y= 23 15 344xx. (2) A、 B 关于对称轴对称，如图 1，连接 BC， BC 与对称轴的交点即为所求的点 P，此时 PA+PC=BC， 四边形 PAOC 的周长最小值为： OC+OA+BC， A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)， OA=1， OC=3， BC= 22OB
23、OC =5， OC+OA+BC=1+3+5=9； 在抛物线的对称轴上存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 9. (3) B(4， 0)、 C(0， 3)，直线 BC 的解析式为 y=-34x+3， 当 BQM=90时，如图 2，设 M(a， b)， CMQ 90，只能 CM=MQ=b， MQ y 轴， MQB COB， BM MQBC OC，即 553bb ，解得 b=158，代入 y=-34x+3 得， 158=-34a+3，解得 a=32， M(32， 158)； 当 QMB=90时，如图 3， CMQ=90，只能 CM=MQ， 设 CM=MQ=m， BM=5-m， BMQ= COB=90， MBQ= OBC， BMQ BOC， 534mm，解得 m=157，作 MN OB， M N C N C MO B O C B C，即 1574 3 5M N C N， MN=127， CN=97， ON=OC-CN=3-97=127， M(127， 127)， 综上，在线段 BC 上存在这样的点 M，使 CQM 为等腰三角形且 BQM 为直角三角形，点 M 的坐标为 (32， 158)或 (127， 127).
