1、2015年湖南省怀化市中考真题数学 一、选择题 (每小题 4 分，共 40 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上 ) 1.某地一天的最高气温是 12，最低气温是 2，则该地这天的温差是 ( ) A.-10 B.10 C.14 D.-14 解析： 用最高气温减去最低气温，然后根据有理数的减法运算法则减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解 . 12-2=10 . 答案： B 2.下列计算正确的是 ( ) A.x2+x3=x5 B.(x3)3=x6 C.x x2=x2 D.x(2x)2=4x3 解析： A、原式不能合并，错误； B、原式 =x9
2、，错误； C、原式 =x3，错误； D、原式 =4x3，正确 . 答案： D 3.体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的 ( ) A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 解析： 根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立 .故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩的方差 . 答案： B 4.下列不等式变形正确的是 ( ) A.由 a b 得 ac bc B.由 a b 得 -2a -2b C.由 a b 得 -a
3、-b D.由 a b 得 a-2 b-2 解析： a b， c 0 时， ac bc； c=0 时， ac=bc； c 0 时， ac bc，选项 A 不正确； a b， -2a -2b，选项 B 不正确； a b， -a -b，选项 C 正确； a b， a-2 b-2，选项 D 不正确 . 答案： C 5.下列事件是必然事件的是 ( ) A.地球绕着太阳转 B.抛一枚硬币，正面朝上 C.明天会下雨 D.打开电视，正在播放新闻 解析： A、地球绕着太阳转是必然事件，故 A 符合题意； B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故 B 不符合题意； C、明天会下雨是随机事件，故 C 不符合题意； D
4、、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故 D 不符合题意 . 答案： A 6.一个多边形的内角和是 360，这个多边形是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.六边形 D.不能确定 解析： 设这个多边形的边数为 n， 则有 (n-2)180 =360，解得： n=4，故这个多边形是四边形 . 答案： B 7.设 x1， x2是方程 x2+5x-3=0 的两个根，则 x12+x22的值是 ( ) A.19 B.25 C.31 D.30 解析： x1， x2是方程 x2+5x-3=0 的两个根， x1+x2=-5， x1x2=-3， x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=25+6=31. 答案
5、： C 8.下列各点中，在函数 y=-8x图象上的是 ( ) A.(-2， 4) B.(2， 4) C.(-2， -4) D.(8， 1) 解析： 反比例函数 y=-8x中， k=-8， 只需把各点横纵坐标相乘，结果为 -8 的点在函数图象上， 四个选项中只有 A 选项符合 . 答案： A 9.如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数 .其中主视图相同的是 ( ) A.仅有甲和乙相同 B.仅有甲和丙相同 C.仅有乙和丙相同 D.甲、乙、丙都相同 解析： 根据分析可知，甲的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2， 2；乙的
6、主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2， 1；丙的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2， 2；则主视图相同的是甲和丙 . 答案： B 10.一次函数 y=kx+b(k 0)在平面直角坐标系内的图象如图所示，则 k 和 b 的取值范围是( ) A.k 0， b 0 B.k 0， b 0 C.k 0， b 0 D.k 0， b 0 解析： 一次函数 y=kx+b 的图象经过一、二、四象限， k 0， b 0. 答案： C 二、填空题 (每小题 4 分，共 16 分 ) 11.二次函数 y=x2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 . 解析： y=x2+2x=(x+1)2-1， 二
7、次函数 y=x2+4x 的顶点坐标是： (-1， -1)，对称轴是直线 x=-1. 答案： (-1， -1)， x=-1. 12.分解因式： ax2-ay2= . 解析： ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y). 答案： a(x+y)(x-y) 13.方程 211xx =0 的解是 . 解析： 去分母得： 2+2x-x=0， 解得： x=-2， 经检验 x=-2 是分式方程的解 . 答案： x=-2. 14.如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF=BE，那么 AOD 的度数是 . 解析： 由 ABCD 是正方形，得 AD=AB， DAB= B=90 . 在 ABE 和 DA
8、F 中 ， A B A DA B E D A FB E A F ， ABE DAF， BAE= ADF. BAE+ EAD=90， OAD+ ADO=90， AOD=90， 答案： 90 . 三、解答题 (本大题共 8 小题，共 64 分 ) 15.计算： | 2 -1|+4sin30 -(12)-1-(3-) 0+ 9 . 解析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果 . 答案： 原式 = 2 -1+4 12-2-1+3= 2 +1. 16.解不等式组：
9、202 1 3 0xxx ， ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可 . 答案： 由得， x 2， 由得， x -1， 故此不等式组的解集为： -1 x 2. 在数轴上表示为： 17.已知：如图，在 ABC 中， DE、 DF 是 ABC 的中位线，连接 EF、 AD，其交点为 O.求证： (1) CDE DBF； (2)OA=OD. 解析： (1)根据三角形中位线，可得 DF 与 CE 的关系， DB与 DC 的关系，根据 SAS，可得答案； (2)根据三角形的中位线，可得 DF 与 AE 的关系，根据平行四边形的判定与性质
10、，可得答案 . 答案： (1) DE、 DF 是 ABC 的中位线， DF=CE， DF CE， DB=DC. DF CE， C= BDF.在 CDE 和 DBF 中 DC BDC BDFCE DF ， CDE DBF (SAS). (2) DE、 DF 是 ABC 的中位线， DF=AE， DF AE，四边形 DEAF 是平行四边形， EF 与 AD 交于 O 点， AO=OD. 18.小明从今年 1 月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加，而且增加的距离相同 .2 月份， 5 月份他的跳远成绩分别为 4.1m， 4.7m.请你算出小明 1 月份的跳远成绩以及每个月增加的距
11、离 . 解析： 设小明 1 月份的跳远成绩为 xm，则 5 月份 -2 月份 =3(2 月份 -1 月份 )，据此列出方程并解答 . 答案 ：设小明 1 月份的跳远成绩为 xm，则 4.7-4.1=3(4.1-x)， 解得 x=3.9. 则每个月的增加距离是 4.1-3.9=0.2(m). 答：小明 1 月份的跳远成绩是 3.9m，每个月增加的距离是 0.2m. 19.如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， AC=1， AB=2 (1)求作 O，使它过点 A、 B、 C(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 )； (2)在 (1)所作的圆中，求出劣弧 BC 的长 l. 解析： (1)使
12、以 O 为圆心的圆经过 A、 B、 C 三点，即做三角形的外接圆，因为 ABC 为直角三角形，所以作斜边的中点，以该点为圆心 OA 为半径作圆即可； (2)由， ACB=90， AC=1， AB=2，易得 B=30， A=60， BOC=120，由弧长计算公式得出结论 . 答案： (1)如图所示， O 即为所求； (2) AC=1， AB=2， B=30， A=60， BOC=120， l=120 1 2180 3. 20.甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1， 2， 3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽
13、取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜 . (1)用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； (2)请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由 . 解析： (1)列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即可； (2)分别求出甲乙两人获胜的概率，比较 即可得到结果 . 答案： (1)列表如下： 所有等可能的情况有 9 种，分别为 (1， 1)； (1， 2)； (1， 3)； (2， 1)； (2， 2)； (2， 3)； (3，1)； (3， 2)； (3， 3)， 则甲乙两人抽得的数字之积所有可
14、能出现的情况有 1， 2， 3， 2， 4， 6， 3， 6， 9，共 9 种； (2)该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 其中积为奇数的情况有 4 种，偶数有 5 种， P(甲 ) P(乙 )， 则该游戏对甲乙双方不公平 . 21.如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， E是 BC 的中点，以 AC 为直径的 O与 AB 边交于点D，连接 DE (1)求证： ABC CBD； (2)求证：直线 DE 是 O 的切线 . 解析： (1)根据 AC 为 O 的直径，得出 BCD为 Rt，通过已知条件证明 BCD BAC 即可； (2)连结 DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由 BD
15、C=90， E 为 BC 的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得 EDC= ECD， ODC= OCD，由于 OCD+ DCE=ACB=90，所以 EDC+ ODC=90，即 EDO=90，于是根据切线的判定定理即可得到 DE与 O 相切 . 答案： (1) AC 为 O 的直径， ADC=90， BDC=90， 又 ACB=90， ACB= BDC， 又 B= B， BCD BAC； (2)连结 DO，如图， BDC=90， E 为 BC 的中点， DE=CE=BE， EDC= ECD， 又 OD=OC， ODC= OCD， 而 OCD+ DCE= ACB=90， EDC+ O
16、DC=90，即 EDO=90， DE OD， DE 与 O 相切 . 22.如图，已知 Rt ABC 中， C=90， AC=8， BC=6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A B C 方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P， Q 运动的时间为 t 秒 . (1)在运动过程中，求 P， Q 两点间距离的最大值； (2)经过 t 秒的运动，求 ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； (3)P， Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得 PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的 t 值；若不存在，请说
17、明理由 ( 5 2.24，结果保留一位小数 ) 解析： (1)如图 1，过 Q作 QE AC于 E，连接 PQ，由 ABC AQE，得到比例式 A Q A E Q EA B A C B C，求得 PE=35t， QE=65t，根据勾股定理得到 PQ2=QE2+PE2，求出 PQ=355t，当 Q与 B 重合时，PQ 的值最大，于是得到当 t=5 时， PQ 的最大值 =3 5 ； (2)由三角形的面积公式即可求得； (3)存在，如图 2，连接 CQ， PQ，分三种情况当 CQ=CP 时，当 PQ=CQ 时，当 PQ=PC 时，列方程求解即可 . 答案： (1)如图 1，过 Q 作 QE AC
18、于 E，连接 PQ， C=90， QE BC， ABC AQE， A Q A E Q EA B A C B C， AQ=2t， AP=t， C=90， AC=8， BC=6， AB=10， 21 0 8 6t t P E Q E， PE=35t， QE=65t， PQ2=QE2+PE2， PQ=355t， 当 Q 与 B 重合时， PQ 的值最大，当 t=5 时， PQ的最大值 =3 5 . (2)如图 1， ABC 被直线 PQ 扫过的面积 =S AQP， 当 Q 在 AB 边上时， S=12AP QE=12t 65t=35t2， (0 t 5) 当 Q 在 BC 边上时， ABC 被直线
19、PQ 扫过的面积 =S四边形 ABQP， S 四边形 ABQP=S ABC-S PQC=12 8 6-12(8-t) (16-2t)=-t2+16t-40， (5 t 8)； 经过 t 秒的运动， ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式是： S= 223 0551 6 4 0()( 58)ttt t t ，. (3)存在 . 当点 Q 在 AB 边上时，如图 2，连接 CQ， PQ， 由 (1)知 QE=65t， CE=AC-AE=8-85t， PQ=355t， CQ= 222 2 2 26 8 1 2 8 3 28 4 6 4 2 1 65 5 5 5Q E C E t t t t t t ， 当 CQ=CP 时，即： 2 322 1 65tt=8-t，解得； t=165， 当 PQ=CQ 时，即 ： 355t= 2 322 1 65tt，解得： t=4011， t=8(不合题意舍去 )， 当 PQ=PC 时，即 355t=8-t，解得： t 3.4； 当点 Q 在 BC 边上时， ACB=90， PQC 是等腰直角三角形， CQ=CP， 8-t=16-2t， t=8， P， Q， C 重合，不合题意， 综上所述：当 t=165， t=4011， t=3.4 时， PQC 为等腰三角形 .
