1、2015 年湖南省株洲市中考真题数学 一 .选择题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 1. 2 的相反数是 ( ) A.-2 B.2 C. 12D.12解析：考查相反数的定义， 2 的相反数等于 -2. 答案： A. 2.已知 =35，那么的余角等于 ( ) A.35 B.55 C.65 D.145 解析：根据余角的定义：如果两个角的和等于 90 (直角 )，就说这两个角互为余角计算 . =35，它的余角等于 90 -35 =55 . 答案： B. 3.下列等式中，正确的是 ( ) A.3a-2a=1 B.a2 a3=a5 C.(-2a3)2=-4a6 D.(a-b)2=a2-b2 解析：结
2、合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等运算，对各个选项进行分析判断： A、 3a-2a=a，原式计算错误，故本选项错误； B、 a2 a3=a5，原式计算正确，故本选项正确； C、 (-2a3)2=4a6，原式计算错误，故本选项错误； D、 (a-b)2=a2-2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误 . 答案： B. 4. 下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.平行四边形 D.正方形 解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各个选项进行分析判断： A、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误；
3、 B、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形 .故正确 . 答案： D. 5.从 2， 3， 4， 5 中任意选两个数，记作 a和 b，那么点 (a， b)在函数 y=12x图象上的概率是( ) A.12B.13C.14D.16解析：考查 列表法与树状图法 ， 反比例函数图象上点的坐标特征 . 首先根据题意画出树状图 得： 共有 12 种等可能的结果，点 (a， b)在函数 y=12x图象上的有 (3， 4)， (4， 3)； 点 (a， b)在函数 y=12x图象上的概率是： 2112 6. 答案： D
4、. 6. 如图，圆 O 是 ABC 的外接圆， A=68，则 OBC 的大小是 ( ) A.22 B.26 C.32 D.68 解析：先根据圆周角定理求出 BOC 的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论 . A 与 BOC 是同弧所对的圆周角与圆心角， A=68， BOC=2 A=136 . OB=OC， OBC=180 1362 =22 . 答案： A. 7. 如图，已知 AB、 CD、 EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、 D、 F，且 AB=1， CD=3，那么 EF的长是 ( ) A.13B.23C.34D.45解析：考查相似三角形的判定与性质 .易证 DEF DAB， BEF
5、 BCD，根据相似三角形的性质可得 EF DFAB DB， EF BFCD BD，从而可得 1E F E F D F B FA B C D D B B D .然后把 AB=1，CD=3 代入即可求出 EF 的值： AB、 CD、 EF 都与 BD 垂直， AB CD EF， DEF DAB， BEF BCD， EF DFAB DB， EF BFCD BD， 1E F E F D F B FA B C D D B B D . AB=1， CD=3， 113EF EF， EF= 34. 答案： C. 8. 有两个一元二次方程 M： ax2+bx+c=0； N： cx2+bx+a=0，其中 a c
6、0， a c.下列四个结论中，错误的是 ( ) A.如果方程 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根 B.如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同 C.如果 5 是方程 M 的一个根，那么 15是方程 N 的一个根 D.如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1 解析：考查根的判别式，一元二次方程的解，根与系数的关系 .对各选项进行分析判断： A、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么 =b2-4ac=0，所以方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那
7、么 =b2-4ac 0， ca 0，所以 a 与 c 符号相同， ca 0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意； C、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a+5b+c=0，两边同时除以 25，得 11 02 5 5c b a ，所以 15是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意； D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么 ax2+bx+c=cx2+bx+a， (a-c)x2=a-c，由 a c，得 x2=1， x= 1，结论错误，符合题意； 答案： D. 二 .填空题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 9.如果手机通话每分钟收费 m 元，那么通话 n 分钟
8、收费 元 . 解析：根据通话时间通话单价 =通话费用得：通话 n 分钟收费为： mn. 答案： mn. 10. 在平面直角坐标系中，点 (-3， 2)关于 y 轴的对称点的坐标是 . 解析：考查关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标 .关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 .所以 在平面直角坐标系中，点 (-3， 2)关于 y 轴的对称点的坐标是 (3， 2)， 答案 ： (3， 2). 11. 如图， l m， 1=120， A=55，则 ACB 的大小是 . 解析：如图所示，先根据平行线的性质得 2= 1=120，然后根据三角形外角性质计算ACB 的大小 . l m， 2= 1
9、=120， 2= ACB+ A， ACB=120 -55 =65 . 答案： 65 . 12.某大学自主招生考试只考数学和物理 .计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算 .已知孔明数学得分为 95 分，综合得分为 93 分，那么孔明物理得分是 分 . 解析：考查加权平均数 .先计算孔明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分 -数学得分的折算后的得分，计算出的结果除以 40%即可： (93-95 60%) 40% =(93-57) 40% =3640% =90. 答案： 90. 13. 因式分解： x2(x-2)-16(x-2)= . 解析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可
10、： 原式 =(x-2)(x2-16)=(x-2)(x+4)(x-4). 答案： (x-2)(x+4)(x-4). 14. 已知直线 y=2x+(3-a)与 x 轴的交点在 A(2， 0)、 B(3， 0)之间 (包括 A、 B 两点 )，则 a的取值范围是 . 解析：考查一次函数图象上点的坐标特征 .根据题意得到 x 的取值范围是 2 x 3，则通过解关于 x 的方程 2x+(3-a)=0 求得 x 的值，由 x的取值范围来求 a的取值范围 . 直线 y=2x+(3-a)与 x 轴的交点在 A(2， 0)、 B(3， 0)之间 (包括 A、 B 两点 )， 2 x 3， 令 y=0，则 2x+
11、(3-a)=0， 解得 x= 32a， 则 2 32a 3， 解得 7 a 9. 答案： 7 a 9. 15. 如图是“赵爽弦图”， ABH、 BCG、 CDF 和 DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和 EFGH 都是正方形 .如果 AB=10， EF=2，那么 AH 等于 . 解析：考查勾股定理的证明 .根据面积的差得出 a+b 的值，再利用 a-b=2，解得 a， b 的值代入即可： AB=10， EF=2， 大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4， 四个直角三角形面积和为 100-4=96，设 AE 为 a， DE 为 b，即 4 12ab=96， 2ab=96，
12、a2+b2=100， (a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196， a+b=14， a-b=2， 解得： a=8， b=6， AE=8， DE=6， AH=8-2=6. 答案 ： 6. 16. “皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 12bSa ，孔明只记得公式中的 S 表示多边形的面积， a和 b 中有一个表示多边形边上 (含顶点 )的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是 a 还是 b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形 (如图 1)进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图 2 中多
13、边形的面积是 . 解析：分别找到图 1 中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表示图上的格点数的字母，图 2 中代入有关数据即可求得图形的面积 . 如图 1， 三角形内由 1 个格点，边上有 8 个格点，面积为 4，即 4=1+82-1； 矩形内由 2 个格点，边上有 10 个格点，面积为 6，即 6=2+102-1； 公式中表示多边形内部整点个数的字母是 a； 图 2 中， a=15， b=7，故 S=15+72-1=17.5. 答案： a， 17.5. 三 .解答题 (共 7 小题，共 52 分 ) 17. 计算： |-3|+(2015- )0-2sin30 . 解析：原式
14、第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案：原式 =3+1-2 12=3+1-1=3. 18. 先化简，再求值： 2342 2 3xxx x x （ ），其中 x=4. 解析：考查分式的化简求值 .先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = 223 223xxx xxx ，当 x=4 时，原式 =6. 19. 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买 20 个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品 .已知乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 22 元 .如果购买金额不超过 200 元
15、，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 解析：考查一元一次不等式的应用 .设购买球拍 x 个，根据乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 22元，购买的金额不超过 200 元，列出不等式，求解即可 . 答案：设购买球拍 x 个，依题意得： 1.5 20+22x 200， 解之得： x 8711， 由于 x 取整数，故 x 的最大值为 7， 答：孔明应该买 7 个球拍 . 20. 某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取 10 名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题： 编号 成绩 等级 编号 成绩 等级 95 A 76 B 78 B 85 A 72 C 82
16、 B 79 B 77 B 92 A 69 C (1)孔明同学这次测试的成绩是 87 分，则他的成绩等级是 等 . 解析：考查统计表 .根据题意确定各个等级的范围，得到答案 . 答案：由统计图可知 A 等是 85 x 100， 孔明同学的成绩等级是 A 等 . (2)请将条形统计图补充完整； 解析：考查条形统计图，根据频数将条形统计图补充完整 . 答案：如图： (3)已知该校所有参加这次测试的学生中，有 60 名学生成绩是 A 等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人 . 解析：考查用样本估计总体，计算 A 等的百分比，估计该校参加这次测试的学生总人数 . 答案： 60
17、310=200， 该校参加这次测试的学生总人数是 200 人 . 21. P 表示 n 边形对角线的交点个数 (指落在其内部的交点 )，如果这些交点都不重合，那么 P 与 n 的关系式是 2124nnP n a n b （ ）(其中 a， b 是常数， n 4) (1)填空：通过画图可得： 四边形时， P= (填数字 )；五边形时， P= (填数字 ) 解析：考查多边形的对角线 .根据题意画出图形，进而得出四边形和五边形中 P 的值 . 答案：如图所示：四边形时， P=1；五边形时， P=5.故答案为： 1， 5. (2)请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求 a 和 b 的值
18、.(注：本题中的多边形均指凸多边形 ) 解析：考查二元一次方程组的应用 .利用 (1)中所求，得出二元一次方程组进而求出即可 . 答案： 由 (1)得： 224 4 14 4 1245 5 15 5 524abab ， 整理得： 4 145 19abab， 解得： 56ab. 22. 如图，在 Rt ABC 中， C=90， BD 是 ABC 的一条角平分线 .点 O、 E、 F 分别在 BD、BC、 AC 上，且四边形 OECF 是正方形 . (1)求证：点 O 在 BAC 的平分线上 . 解析：考查角平分线的性质和判定，正方形的性质 .过点 O 作 OM AB，由角平分线的性质得OE=OM
19、，由正方形的性质得 OE=OF，易得 OM=OF，由角平分线的判定定理得点 O 在 BAC 的平分线上 . 答案：过点 O 作 OM AB， BD 是 ABC 的一条角平分线， OE=OM， 四边形 OECF 是正方形， OE=OF， OF=OM， AO 是 BAC 的角平分线，即点 O 在 BAC 的平分线上 . (2)若 AC=5， BC=12，求 OE 的长 . 解析： 考查全等三角形的判定与性质，勾股定理 .由勾股定理得 AB 的长，利用方程思想解得结果 . 答案：在 Rt ABC 中， AC=5， BC=12， 2 2 2 25 1 2 1 3A B A C B C ， 设 OE=C
20、F=x， BE=BM=y， AM=AF=z， 12135xyyzxz ， 解得： 2103xyz， OE=2. 23. 已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B，直线 AO 交圆 O 于 C、 D 两点， CD=2， DAB=30，动点 P 在直线 AB 上运动， PC 交圆 O 于另一点 Q. (1)当点 P 运动到使 Q、 C 两点重合时 (如图 1)，求 AP 的长 . 解析： (1)考查切线的性质，锐角三角函数的定义 .如图 1，利用切线的性质可得 ACP=90，只需求出 AC，然后在 Rt ACP 中运用三角函数就可解决问题 . 答案： (1) AB 与 O 相切于点 B， ABO=
21、90 . DAB=30， OB=12CD=12 2=1， AO=2OB=2， AC=AO-CO=2-1=1. 当 Q、 C 两点重合时， CP 与 O 相切于点 C，如图 1， 则有 ACP=90， 132ACc o s C A P A P A P ， 解得 AP=233. (2)点 P 在运动过程中，有几个位置 (几种情况 )使 CQD 的面积为 12？ (直接写出答案 ) 解析： (2)易得点 Q 到 CD 的距离为 12，结合图形 2，即可解决问题 . 答案： (2)有 4 个位置使 CQD 的面积为 12. 提示：设点 Q 到 CD 的距离为 h， S CQD=12CD h=12 2
22、h=12， h=12. 由于 h=12 1，结合图 2 可得： 有 4 个位置使 CQD 的面积为 12. (3)当 CQD 的面积为 12，且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆， CQ QD 时 (如图 2)，求 AP 的长 . 解析： (3)考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 .过点 Q 作 QN CD 于 N，过点 P 作 PM CD 于 M，连接 QD，如图 3，易证 CNQ QND，根据相似三角形的性质可求出 CN.易证 PMC QNC，根据相似三角形的性质可得 PM 与 CM 之间的关系，由 MAP=30即可得到 PM 与 AM 之间的关系，然后根据 AC=AM+C
23、M 就可得到 PM的值，即可得到 AP的值 . 答案： (3)过点 Q 作 QN CD 于 N，过点 P 作 PM CD 于 M，如图 3. S CQD=12CD QN=12 2 QN=12， QN=12. CD 是 O 的直径， QN CD， CQD= QND= QNC=90， CQN=90 - NQD= NDQ， QNC DNQ， QN NCDN NQ， QN2=CN DN， 设 CN=x，则有 14=x(2-x)， 整理得 4x2-8x+1=0， 解得：1232x ，2232x . CQ QD， 232x ， 23NCQN . QN CD， PM CD， PMC= QNC=90 . MC
24、P= NCQ， PMC QNC， 23M C N CM P N Q ， MC=(2+ 3 )MP. 在 Rt AMP 中， 330 3MPt a n M A P t a nAM ， AM= 3 MP. AC=AM+MC= 3 MP+(2+ 3 )MP=1， MP= 314， AP=2MP= 312. 24. 已知抛物线的表达式为 y=-x2+6x+c (1)若抛物线与 x 轴有交点，求 c 的取值范围 . 解析：利用二次函数与一元二次方程的关系，直接用判别式解答 . 答案： y=-x2+6x+c 与 x 轴有交点， -x2+6x+c=0 有实数根， b2=4ac 0， 即： 62-4 (-1)
25、 c 0， 解之得： c -9. (2)设抛物线与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x1、 x2，若 x12+x22=26，求 c的值 . 解析： 根据根与系数的关系，求出 c. 答案： -x2+6x+c=0 有解，且 x12+x22=26， c -9， (x1+x2)2-2x1x2=26， 即： 26( ) 2 2 611c ， 解之得： c=-5. (3)若 P、 Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点， PA、 QB 都垂直于 x 轴，垂足分别为 A、 B，且 OPA 与 OQB 全等，求证： c 214. 解析： 由全等得到 P、 Q 两点的坐标特点，然后利用 过度 参数，比较两个式子 来描述坐标方程，方程有解 . 答案： 设 P 的坐标为 (m,n)，则 Q 点坐标为 (n,m)， 且 m 0,n 0， m n， 将这两个点的坐标代入方程得： 2266m m c nn n c m (1) (2)得： n2+m2+7(m-n)=0， (m-n)(m+n-7)=0， 故可得： m+n=7， 即 n=7-m， 代入方程 (2)得： -m2+7m+(c-7)=0, 因为存在这样的点，所以上方程有解， 所以判别式 b2=4ac 0， 即 72-4 (-1) (c-7) 0， 故： c 214， 而当 c= 214时， m= 72，此时 n= 72故 c 214.
