1、2015 年湖南省益阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.下列实数中，是无理数的为 ( ) A. 3 B.13C.0 D.-3 解析 ： A、是无理数，选项正确； B、是分数，是有理数，选项错误； C、是整数，是有理数，选项错误； D、是整数，是有理数，选项错误 . 答案： A 2.下列运算正确的是 ( ) A.x2 x3=x6 B.(x3)2=x5 C.(xy2)3=x3y6 D.x6 x3=x2 解析 ： A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 A 错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘
2、，故 B 错误； C、积的乘方等于乘方的积，故 C 正确； D、通敌数幂的除法底数不变指数相减，故 D 错误 . 答案： C 3.某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是 ( ) A.中位数是 4，平均数是 3.75 B.众数是 4，平均数是 3.75 C.中位数是 4，平均数是 3.8 D.众数是 2，平均数是 3.8 解析 ： 这组数据中 4 出现的次数最多，众数为 4， 共有 5 个人，第 3 个人的劳动时间为中位数，故中位数为： 4， 平均数为： 3 3 .5 4 2 4 .55 =3.8. 答案： C 4.一个几何体的三视图
3、如图所示，则这个几何体是 ( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.圆柱 D.长方体 解析 ：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱 . 答案： B 5.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O，以下说法错误的是 ( ) A. ABC=90 B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD 解析 ： 四边形 ABCD 是矩形， ABC= BCD= CDA= BAD=90， AC=BD， OA=12AC， OB=12BD， OA=OB， A、 B、 C 正确， D 错误 . 答案： D 6.下列等式成立的是 ( ) A. 1 2 3a b a b
4、B. 212a b a bC.2ab aab b a b D. aaa b a b 解析 ： A、原式 = 2baab，错误； B、原式不能约分，错误； C、原式 = a b ab a b a b，正确； D、原式 = aaa b a b ，错误 . 答案： C 7.沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80万元 .设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 ( ) A.20(1+2x)=80 B.2 20(1+x)=80 C.20(1+x2)=80 D.20(1+x)2=80 解析 ：设增长率为 x，根据题意得 20(1+x)2=80
5、. 答案： D 8.若抛物线 y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为 ( ) A.m 1 B.m 0 C.m -1 D.-1 m 0 解析 ： 由 y=(x-m)2+(m+1)=x2-2mx+(m2+m+1)， 根据题意， 222 024 1 204mm m m ， ，解不等式 (1)，得 m 0，解不等式 (2)，得 m -1；所以不等式组的解集为 m 0. 答案： B. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ) 9.计算： 28 = . 解析 ： 原式 = 28 = 16 =4. 答案： 4 10
6、.已知 y 是 x 的反比例函数，当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小 .请写出一个满足以上条件的函数表达式 . 解析： 只要使反比例系数大于 0 即可 .如 y=1x(x 0)，答案不唯一 . 答案： y=1x(x 0)，答案不唯一 . 11.甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 . 解析： 甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部 6 种情况， 有 4 种甲没在中间，所以甲没排在中间的概率是 46=23. 答案： 2312.如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O， O 的半径为 1，则 弧 AB 的长
7、为 . 解析： ABCDEF 为正六边形， AOB=360 16=60， 弧 AB 的长为 60180=3. 答案：3. 13.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2个图案中有 11 根小棒，则第 n 个图案中有 根小棒 . 解析： 第 1 个图案中有 5+1=6 根小棒， 第 2 个图案中有 2 5+2-1=11 根小棒， 第 3 个图案中有 3 5+3-2=16 根小棒， 第 n 个图案中有 5n+n-(n-1)=5n+1 根小棒 . 答案： 5n+1 三、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分 ) 14.化简： (x+1
8、)2-x(x+1). 解析： 利用完全平方公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可 . 答案 ：原式 =x2+2x+1-x2-x=x+1. 15.如图，直线 AB CD， BC 平分 ABD， 1=65，求 2 的度数 . 解析： 由平行线的性质得到 ABC= 1=65， ABD+ BDC=180，由 BC 平分 ABD，得到 ABD=2 ABC=130，于是得到结论 . 答案 ： AB CD， ABC= 1=65， ABD+ BDC=180， BC 平分 ABD， ABD=2 ABC=130， BDC=180 - ABD=50， 2= BDC=50 . 四、解答题 (本大题共 3 小题，
9、每小题 10 分，共 30 分 ) 16.如图，直线 l 上有一点 P1(2， 1)，将点 P1先向右平移 1个单位，再向上平移 2 个单位得到像点 P2，点 P2恰好在直线 l 上 . (1)写出点 P2的坐标； (2)求直线 l 所表示的一次函数的表达式； (3)若将点 P2先向右平移 3 个单位，再向上平移 6 个单位得到像点 P3.请判断点 P3是否在直线 l 上，并说明理由 . 解析： (1)根据“右加左减、上加下减”的规律来求点 P2的坐标； (2)设直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=kx+b(k 0)，把点 P1(2， 1)， P2(3， 3)代入直线方程，利用方程组来求
10、系数的值； (3)把点 (6， 9)代入 (2)中的函数解析式进行验证即可 . 答案 ： (1)P2(3， 3). (2)设直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=kx+b(k 0)， 点 P1(2， 1)， P2(3， 3)在直线 l 上， 2133kbkb，解得 23kb，直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=2x-3. (3)点 P3在直线 l 上 .由题意知点 P3的坐标为 (6， 9)， 2 6-3=9，点 P3在直线 l 上 . 17. 2014 年益阳市的地区生产总值 (第一、二、三产业的增加值之和 )已进入千亿元俱乐部，如图表示 2014 年益阳市第一、二、三产业增加值的
11、部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题 . (1)2014 年益阳市的地区生产总值为多少亿元？ (2)请将条形统计图中第二产业部分补充完整； (3)求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数 . 解析： (1)用第一产业增加值除以它所占的百分比，即可解答； (2)算出第二产业的增加值即可补全条形图； (3)算出第二产业的百分比再乘以 360，即可解答 . 答案 ： (1)237.5 19%=1250(亿元 ). (2)第二产业的增加值为 1250-237.5-462.5=550(亿元 )，画图如下： (3)扇形统计图中第二产业部分的圆心角为 5501250 360 =158.4 . 18
12、.如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， CAB= ACB，过点 B 作 BE AB 交 AC于点 E. (1)求证： AC BD； (2)若 AB=14， cos CAB=78，求线段 OE 的长 . 解析： (1)根据 CAB= ACB 利用等角对等边得到 AB=CB，从而判定平行四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论； (2)分别在 Rt AOB 中和在 Rt ABE 中求得 AO 和 AE，从而利用 OE=AE-AO 求解即可 . 答案 ： (1) CAB= ACB， AB=CB， ABCD 是菱形 . AC BD. (2)在 Rt AO
13、B 中， cos CAB= 78AOAB， AB=14， AO=14 78=494， 在 Rt ABE 中， cos EAB= 78ABAE， AB=14， AE=87AB=16， OE=AE-AO=16-494=154. 五、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分 ) 19.大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同 .当生产 6 天后剩余原材料 36 吨，当生产 10 天后剩余原材料30 吨 .若剩余原材料数量小于或等于 3 吨，则需补充原材料以保证正常生产 . (1)求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原
14、材料吨数； (2)若生产 16 天后，根据市场需求每天产量提高 20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？ 解析： (1)设初期购得原材料 a 吨，每天所耗费的原材料为 b 吨，根据“当生产 6 天后剩余原材料 36 吨，当生产 10 天后剩余原材料 30 吨 .”列出方程组解决问题； (2)最多再生产 x 天后必须补充原材料，根据若剩余原材料数量小于或等于 3 吨列出不等式解决问题 . 答案 ： (1)设初期购得原材料 a 吨，每天所耗费的原材料为 b 吨， 根据题意得： 6 3610 30abab，解得 451.5ab，答：初期购得原材料 45 吨，每天所耗费的原材料为 1.5 吨 .
15、(2)设再生产 x 天后必须补充原材料， 依题意得： 45-16 1.5-1.5(1+20%)x 3，解得： x 10. 答：最多再生产 10 天后必须补充原材料 . 20.已知点 P 是线段 AB 上与点 A 不重合的一点，且 AP PB.AP 绕点 A 逆时针旋转角 (0 90 )得到 AP1， BP 绕点 B 顺时针也旋转角得到 BP2，连接 PP1、 PP2. (1)如图 1，当 =90时，求 P1PP2的度数； (2)如图 2，当点 P2在 AP1的延长线上时，求证： P2P1P P2PA； (3)如图 3，过 BP 的中点 E作 l1 BP，过 BP2的中点 F作 l2 BP2，
16、l1与 l2交于点 Q，连接 PQ，求证： P1P PQ. 解析： (1)利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出 APP1= BPP2=45，进而得出答案； (2)根据题意得出 PAP1和 PBP2均为顶角为的等腰三角形，进而得出 P1PP2= PAP2=，求出 P2P1P P2PA； (3)首先连结 QB，得出 Rt QBE Rt QBF，利用 P1PQ=180 - APP1- QPB 求出即可 . 答案 (1)由旋转的性质得： AP=AP1， BP=BP2. =90， PAP1和 PBP2均为等腰直角三角形， APP1= BPP2=45， P1PP2=180 - APP1- BPP2=90
17、. (2)由旋转的性质可知 PAP1和 PBP2均为顶角为的等腰三角形， APP1= BPP2=90 -2， P1PP2=180 -( APP1+ BPP2)=180 -2(90 -2)=， 在 PP2P1和 P2PA 中， P1PP2= PAP2=， 又 PP2P1= AP2P， P2P1P P2PA. (3)如图，连接 QB. l1， l2分别为 PB， P2B 的中垂线， EB=12BP， FB=12BP2. 又 BP=BP2， EB=FB. 在 Rt QBE和 Rt QBF中， EB FBQB QB， Rt QBE Rt QBF， QBE= QBF=12 PBP2=2， 由中垂线性质得
18、： QP=QB， QPB= QBE=2， 由 (2)知 APP1=90 -2， P1PQ=180 - APP1- QPB=180 -(90 -2)-2=90，即 P1P PQ. 六、解答题 (本题满分 15 分 ) 21.已知抛物线 E1： y=x2经过点 A(1， m)，以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B(2， 2)，点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A， B . (1)求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式； (2)如图 1，在第一象限内，抛物线 E1上是否存在点 Q，使得以点 Q、 B、 B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由
19、； (3)如图 2， P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点，连接 OP 并延长与抛物线 E2相交于点 P，求 PAA与 P BB的面积之比 . 解析： (1)直接将 (2， 2)代入函数解析式进而求出 a 的值； (2)由题意可得，在第一象限内，抛物线 E1上存在点 Q，使得 QBB为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点 B 或点 Q，分别利用当点 B 为直角顶点时以及当点 Q 为直角顶点时求出 Q 点坐标即可； (3)首先设 P(c， c2)、 P (d， 12d2)，进而得出 c 与 d 的关系，再表示出 PAA与 P BB的面积进而得出答案 . 答案 ： (1)抛物线
20、 E1经过点 A(1， m)， m=12=1. 抛物线 E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为 y=ax2(a 0)， 又点 B(2， 2)在抛物线 E2上， 2=a 22，解得： a=12， 抛物线 E2所对应的二次函数表达式为 y=12x2. (2)如图 1，假设在第一象限内，抛物线 E1上存在点 Q，使得 QBB为直角三角形， 由图象可知直角顶点只能为点 B 或点 Q. 当点 B 为直角顶点时，过 B 作 QB BB交抛物线 E1于 Q， 则点 Q 与 B 的横坐标相等且为 2，将 x=2 代入 y=x2得 y=4，点 Q的坐标为 (2， 4). 当点 Q 为直角顶点时，则有 QB
21、2+QB2=B B2，过点 Q作 GQ BB于 G， 设点 Q 的坐标为 (t， t2)(t 0)， 则有 (t+2)2+(t2-2)2+(2-t)2+(t2-2)2=4，整理得： t4-3t2=0， t 0， t2-3=0，解得 t1= 3 ， t2=- 3 (舍去 )，点 Q 的坐标为 ( 3 ， 3)， 综合，存在符合条件的点 Q 坐标为 (2， 4)与 ( 3 ， 3). (3)如图 2，过点 P 作 PC x 轴，垂足为点 C， PC 交直线 AA于点 E， 过点 P作 P D x 轴，垂足为点 D， P D 交直线 BB于点 F， 依题意可设 P(c， c2)、 P (d， 12d2) (c 0， c q)， tan POC=tan P OD， 22 12 dccd， d=2c. AA =2， BB =4，PAAPBBSS =1212AA PEBB P F =221 212114222cd = 221 142 2 2cc .
