1、2015 年湖南省衡阳市中考真题数学 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算 (-1)0+|-2|的结果是 ( ) A.-3 B.1 C.-1 D.3 解析： 原式 =1+2=3. 答案： D. 2.下列计算正确的是 ( ) A.a+a=2a B.b3 b3=2b3 C.a3 a=a3 D.(a5)2=a7 解析： A、 a+a=2a，故本选项正确； B、 b3 b3=b3+3=b6，故本选项错误； C、 a3 a=a3-1=a2，故本选项错误； D、 (a5)2=a5 2=a10，故本选项错误 . 答案
2、： A. 3.如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆， 答案 ： C. 4.若分式 21xx的值为 0，则 x 的值为 ( ) A.2 或 -1 B.0 C.2 D.-1 解析： 由题意可得： x-2=0 且 x+1 0，解得 x=2. 答案 ： C. 5.函数 y= 1x 中自变量 x 的取值范围为 ( ) A.x 0 B.x -1 C.x -1 D.x 1 解析： 根据题意得： x+1 0，解得： x -1. 答案 ： B 6.不等式组 21xx，的解集在数轴上表示为 ( ) A
3、. B. C. D. 解析： 不等式组的解集为： -2 x 1，其数轴表示 如下 ： 答案 ： A 7. 已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A.11 B.16 C.17 D.16 或 17 解析： 6 是腰长时，三角形的三边分别为 6、 6、 5，能组成三角形，周长 =6+6+5=17； 6 是底边时，三角形的三边分别为 6、 5、 5，能组成三角形，周长 =6+5+5=16. 综上所述，三角形的周长为 16 或 17. 答案 ： D 8.若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为 -1，则另一个根为 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.-3
4、 解析： 设一元二次方程的另一根为 x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得 -1+x1=-3，解得： x1=-2. 答案： A 9. 下列命题是真命题的是 ( ) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的四边形是正方形 解析： A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以 A 选项为真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项为假命题； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项为假命题； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以 D 选项为假命题 . 答案： A 10.在今年“全国助
5、残日”捐款活动中，某班级第一小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是 (单位：元 )50、 20、 50、 30、 25、 50、 55，这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A.50 元， 30 元 B.50 元， 40 元 C.50 元， 50 元 D.55 元， 50 元 解析： 50 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 50； 把这组数据从小到大排列为： 20， 25， 30， 50， 50， 50， 55， 最中间的数是 50，则中位数是 50. 答案： C 11.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿
6、地，并且长比宽多 10 米 .设绿地的宽为 x 米，根据题意，可列方程为 ( ) A.x(x-10)=900 B.x(x+10)=900 C.10(x+10)=900 D.2x+(x+10)=900 解析： 设绿地的宽为 x，则长为 10+x； 根据长方形的面积公式可得： x(x+10)=900. 答案： B 12.如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A的仰角为 30，再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60，则这个电视塔的高度 AB(单位：米 )为 ( ) A.50 3 B.51 C.50 3 +1
7、 D.101 解析： 设 AG=x， 在 Rt AEG 中， tan AEG=AGEG， EG=3AG = 33 x， 在 Rt ACG 中， tan ACG=AGCG， CG=tan30x = 3 x， 3 x- 33x=100，解得： x=50 3 .则 AB=50 3 +1(米 ). 答案： C 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分。 13.在 -1， 0， -2 这三个数中，最小的数是 . 解析： 根据有理数比较大小的方法，可得 -2 -1 0，所以在 -1， 0， -2 这三个数中，最小的数是 -2. 答案： -2 14.如图，已知直线 a b， 1=120
8、，则 2 的度数是 . 解析： a b， 1=120， 2=180 - 1=180 -120 =60 . 答案： 60 15.计算： 8 - 2 = . 解析： 原式 =2 2 - 2 = 2 . 答案： 2 . 16.方程 132xx 的解为 . 解析： 方程两边同乘 x(x-2)，得 x-2=3x， 解得： x=-1， 经检验 x=-1 是方程的解 . 答案： x=-1 17.圆心角为 120的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 (结果保留 ). 解析： 扇形的面积 = 2120 3360=3 cm2. 答案： 3 . 18.如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度 AB，选取可以直达
9、A、 B 两点的点 O 处，再分别取 OA、 OB 的中点 M、 N，量得 MN=20m，则池塘的宽度 AB 为 m. 解析： 点 M、 N 是 OA、 OB 的中点， MN 是 ABO 的中位线， AB=AMN. 又 MN=20m， AB=40m. 答案： 40 19.已知 a+b=3， a-b=-1，则 a2-b2的值为 . 解析： a+b=3， a-b=-1，原式 =(a+b)(a-b)=-3. 答案： -3. 20.如图， A1B1A2， A2B2A3， A3B3A4， AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点 A1、 A2、An在 x 轴上，点 B1、 B2、 Bn在直线 y=x
10、上，已知 OA1=1，则 OA2015的长为 . 解析： 因为 OA1=1， OA2=2， OA3=4， OA4=8，由此得出 OAn=2n-1，所以 OA2015=22014， 答案： 22014. 三、解答题：本大题共 8 个小题，满分 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21.先化简，再求值： a(a-2b)+(a+b)2，其中 a=-1， b= 2 . 解析： 原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =a2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2， 当 a=-1， b= 2 时，原
11、式 =2+2=4. 22. 为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题： (1)在扇形统计图中，“合格”的百分比为 ； (2)本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 人； (3)若该校九年级有 400 名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 人 . 解析： (1)用 1 减去其它各组的百分比，据此即可求解； (2)根据优秀的人数是 8，所占的百分比是 16%即可求得调查的总人数，利用总人
12、数乘以对应的百分比即可求解； (3)利用总人数 400 乘以对应的百分比即可求解 . 答案 ： (1)“合格”的百分比为 1-12%-16%-32%=40%，故答案是： 40%； (2)抽测的总人数是： 8 16%=50(人 )， 则抽测结果为“不合格”等级的学生有： 50 32%=16(人 ). 故答案是： 16； (3)该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 400 32%=128(人 ). 故答案是： 128. 23.如图，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点坐标分别为 A(3， 2)、 B(3， 5)、 C(1， 2). (1)在平面直角坐标系中画出 ABC 关于 x 轴对称的
13、A1B1C1； (2)把 ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度，得图中的 AB2C2，点 C2在 AB上 . 旋转角为多少度？ 写出点 B2的坐标 . 解析： (1)分别得到点 A、 B、 C 关于 x 轴的对称点，连接点 A1， B1， C1，即可解答； (2)根据点 A， B， C的坐标分别求出 AC， BC， AC的长度，根据勾股定理逆定理得到 CAB=90，即可得到旋转角； 根据旋转的性质可知 AB=AB2=3，所以 CB2=AC+AB2=5，所以 B2的坐标为 (6， 2). 答案 ： (1)A(3， 2)、 B(3， 5)、 C(1， 2)关于 x 轴的对称点分别为 A1(3，
14、-2)， B1(3， -5)， C1(1，-2)， 如图所示， (2) A(3， 2)、 B(3， 5)、 C(1， 2)， AB=3， AC=2， BC= 223 1 5 2 1 3 ， AB2+AC2=13， BC2=( 13 )2=13， AB2+AC2=BC2， CAB=90， AC 与 AC2的夹角为 CAC2，旋转角为 90； AB=AB2=3， CB2=AC+AB2=5， B2的坐标为 (6， 2). 24.某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从 4 名 (其中两男两女 )节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一
15、男一女”的概率 . 解析： 列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ：列表如下： 所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种， 则 P(选出的两名主持人“恰好为一男一女” )= 8212 3. 25.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 y(微克 /毫升 )与服药时间 x小时之间函数关系如图所示 (当 4 x 10时， y 与 x 成反比例 ). (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式
16、. (2)问血液中药物浓度不低于 4 微克 /毫升的持续时间多少小时？ 解析： (1)分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； (2)利用 y=4 分别得出 x 的值，进而得出答案 . 答案 ： (1)当 0 x 4 时，设直线解析式为： y=kx， 将 (4， 8)代入得： 8=4k，解得： k=2，故直线解析式为： y=2x， 当 4 x 10 时，设直反比例函数解析式为： y=ax， 将 (4， 8)代入得： 8=4a，解得： a=32， 故反比例函数解析式为： y=32x； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为 y=2x(0 x 4)，下降阶段的函数关系式为 y=32x
17、 (4 x 10). (2)当 y=4，则 4=2x，解得： x=2， 当 y=4，则 4=32x，解得： x=8， 8-2=6(小时 )，血液中药物浓度不低于 4 微克 /毫升的持续时间 6 小时 . 26.如图， AB 是 O 的直径，点 C、 D 为半圆 O 的三等分点，过点 C作 CE AD，交 AD 的延长线于点 E. (1)求证： CE 是 O 的切线； (2)判断四边形 AOCD 是否为菱形？并说明理由 . 解析： (1)连接 AC，由题意得 弧 AD=弧 CD=弧 CB， DAC= CAB，即可证明 AE OC，从而得出 OCE=90，即可证得结论； (2)四边形 AOCD 为
18、菱形 .由 弧 AD=弧 CB，则 DCA= CAB 可证明四边形 AOCD 是平行四边形，再由 OA=OC，即可证明平行四边形 AOCD 是菱形 (一组邻边相等的平行四边形是菱形 ). 答案 ： (1)连接 AC， 点 CD 是半圆 O 的三等分点， 弧 AD=弧 CD=弧 CB， DAC= CAB， OA=OC， CAB= OCA， DAC= OCA， AE OC(内错角相等，两直线平行 )， OCE= E， CE AD， OCE=90， OC CE， CE 是 O 的切线； (2)四边形 AOCD 为菱形 . 理由是： 弧 AD=弧 CB， DCA= CAB， CD OA， 又 AE O
19、C，四边形 AOCD 是平行四边形， OA=OC，平行四边形 AOCD 是菱形 . 27.如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B的横坐标为 2，连结 AM、 BM. (1)求抛物线的函数关系式； (2)判断 ABM 的形状，并说明理由； (3)把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点 .若将 (1)中抛物线平移，使其顶点为 (m，2m)，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 . 解析： (1)由条件可分别求得 A、 B 的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式； (2)结合 (1)中
20、A、 B、 C 的坐标，根据勾股定理可分别求得 AB、 AM、 BM，可得到 AB2+AM2=BM2，可判定 ABM 为直角三角形； (3)由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立 y=x，可得到关于 x 的一元二次方程，根据根的判别式可求得 m 的范围 . 答案 ： (1) A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点， A(-1， 0)， 又 B 点横坐标为 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， B(2， 3)， 抛物线顶点在 y 轴上， 可设抛物线解析式为 y=ax2+c， 把 A、 B 两点坐标代入可得 043acac，解得 11ac，抛物线解析式为 y=x2-1. (2) ABM 为
21、直角三角形 .理由如： 由 (1)抛物线解析式为 y=x2-1 可知 M 点坐标为 (0， -1)， AM= 2 ， AB= 223 3 18 =3 2 ， BM= 222 3 1 =2 5 ， AM2+AB2=2+18=20=BM2， ABM 为直角三角形； (3)当抛物线 y=x2-1平移后顶点坐标为 (m， 2m)时，其解析式为 y=(x-m)2+2m，即 y=x2-2mx+m2+2m， 联立 y=x，可得2222yxy x m x m m ，消去 y 整理可得 x2-(2m+1)x+m2+2m=0， 平移后的抛物线总有不动点， 方程 x2-(2m+1)x+m2+2m=0 总有实数根，
22、0，即 (2m+1)2-4(m2+2m) 0， 解得 m 14，即当 m 14时，平移后的抛物线总有不动点 . 28.如图，四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，点 P为 OA 边上任意一点 (与点 O、 A 不重合 )，连接 CP，过点 P 作 PM CP 交 AB 于点 D，且 PM=CP，过点 M 作 MN OA，交 BO 于点 N，连接ND、 BM，设 OP=t. (1)求点 M 的坐标 (用含 t 的代数式表示 ). (2)试判断线段 MN 的长度是否随点 P 的位置的变化而改变？并说明理由 . (3)当 t 为何值时，四边形 BNDM 的面积最小 . 解析： (1)作 ME x
23、 轴于 E，则 MEP=90，先证出 PME= CPO，再证明 MPE PCO，得出 ME=PO=t， EP=OC=4，求出 OE，即可得出点 M 的坐标； (2)连接 AM，先证明四边形 AEMF 是正方形，得出 MAE=45 = BOA， AM OB，证出四边形OAMN 是平行四边形，即可得出 MN=OA=4； (3)先证明 PAD PEM，得出比例式 AD APME EP，得出 AD，求出 BD，求出四边形 BNDM 的面积 S 是关于 t 的二次函数，即可得出结果 . 答案 ： (1)作 ME x 轴于 E，如图 1 所示： 则 MEP=90， ME AB， MPE+ PME=90，
24、四边形 OABC 是正方形， POC=90， OA=OC=AB=BC=4， BOA=45， PM CP， CPM=90， MPE+ CPO=90， PME= CPO， 在 MPE 和 PCO 中，90M E P P O CP M E C P OP M C P ， MPE PCO(AAS)， ME=PO=t， EP=OC=4， OE=t+4，点 M 的坐标为： (t+4， t)； (2)线段 MN 的长度不发生改变；理由如下：连接 AM，如图 2 所示： MN OA， ME AB， MEA=90，四边形 AEMF 是矩形， 又 EP=OC=OA， AE=PO=t=ME，四边形 AEMF 是正方形， MAE=45 = BOA， AM OB，四边形 OAMN 是平行四边形， MN=OA=4. (3) ME AB， PAD PEM， AD APME EP，即 44AD tt ， AD=-14t2+t， BD=AB-AD=4-(-14t2+t)=14t2-t+4， MN OA， AB OA， MN AB， 四边形 BNDM 的面积 S=12MN BD=12 4(14t2-t+4)=12(t-2)2+6， S 是 t 的二次函数， 12 0， S 有最小值， 当 t=2 时， S 的值最小； 当 t=2 时，四边形 BNDM 的面积最小 .
