1、 2015 年甘肃省兰州市中考 真题 数学 （ a 卷 ） 一、选择题 (共 15 小题，每小题 4 分，满分 60分 ) 1.(4 分 )下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+1x解 析 ： A、 y=3x-1 是一次函数，故 A 错误； B、 y=ax2+bx+c (a0) 是二次函数，故 B 错误； C、 s=2t2-2t+1 是二次函数，故 C 正确； D、 y=x2+1x不是二次函数，故 D 错误 . 答案 ： C. 2.(4 分 )由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何
2、体三种视图叙述正确的是 ( ) A. 左视图与俯视图相同 B. 左视图与主视图相同 C.主视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 解 析 ： 如图所示几何体的左视图与主视图都是两列，每列正方形的个数从左往右都是 3， 1，左视图与主视图相同；俯视图是两列，每列正方形的个数从左往右都是 2， 1. 答案 ： B. 3.(4 分 )在下列二次函数中，其图象对称轴为 x=-2 的是 ( ) A. y=(x+2)2 B. y=2x2-2 C. y=-2x2-2 D. y=2(x-2)2 解 析 ： y=(x+2)2的对称轴为 x=-2， A 正确； y=2x2-2 的对称轴为 x=0， B 错误； y
3、=-2x2-2 的对称轴为 x=0， C 错误； y=2(x-2)2的对称轴为 x=2， D 错误 . 答案 ： A. 4.(4 分 )如图， ABC 中， B=90 ， BC=2AB，则 cosA=( ) A. 52B. 12C. 255D. 55解 析 ： B=90 ， BC=2AB， 22 2 2 25A C A B B C A B A B A B ， cosA= 555A B A BAC AB. 答案 ： D. 5.(4 分 )如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(1， 2)、 D(2， 0)，以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB，若点 B 坐标为 (5， 0)，则
4、点 A 的坐标为 ( ) A. (2， 5) B. (2.5， 5) C. (3， 5) D. (3， 6) 解 析 ： 以原点 O 为位似中心，在第一象限内，将线段 CD 放大得到线段 AB， B 点与 D 点是对应点，则位似比为： 5： 2， C(1 ， 2)， 点 A 的坐标为： (2.5， 5) 答案 ： B. 6.(4 分 )一元二次方程 x2-8x-1=0 配方后可变形为 ( ) A. (x+4)2=17 B. (x+4)2=15 C. (x-4)2=17 D. (x-4)2=15 解 析 ： 方程变形得： x2-8x=1， 配方得： x2-8x+16=17，即 (x-4)2=17
5、. 答案 ： C 7.(4 分 )下列命题错误的是 ( ) A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 解 析 ： A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； B、平行四边形的对角线互相平分，正确； C、矩形的对角线相等，正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误 . 答案 ： D. 8.(4 分 )在同一直角坐标系中，一次函数 y=kx-k 与反比例函数 y=kx(k0) 的图象大致是( ) A. B. C. D. 解 析 ： (1)当 k 0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例
6、函数经过一、三象限，如图所示： (2)当 k 0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限 .如图所示： 答案 ： A. 9.(4 分 )如图，已知经过原点的 P 与 x、 y 轴分别交于 A、 B 两点，点 C 是劣弧 OB 上一点，则 ACB=( ) A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定 解 析 ： AOB 与 ACB 是优弧 AB 所对的圆周角， AOB=ACB ， AOB=90 ， ACB=90. 答案 ： B. 10.(4 分 )如图，菱形 ABCD 中， AB=4， B=60 ， AEBC ， AFCD ，垂足分别为 E， F，连接E
7、F，则的 AEF 的面积是 ( ) A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 解 析 ： 四边形 ABCD 是菱形， BC=CD ， B=D=60 ， AEBC ， AFCD ， BCAE=CDAF ， BAE=DAF=30 ， AE=AF ， B=60 ， BAD=120 ， EAF=120 -30 -30=60 ， AEF 是等边三角形， AE=EF ， AEF=60 ， AB=4 ， AE=2 3 ， EF=AE=2 3 ， 过 A 作 AMEF ， AM=AEsin60=3 ， AEF 的面积是： 12EFAM= 122 3 3=3 3 . 答案 ： B. 11.(4 分 )
8、股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停 .已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价 .若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是 ( ) A. (1+x)2=1110B. (1+x)2=109C. 1+2x=1110D. 1+2x=109解 析 ： 设平均每天涨 x. 则 90%(1+x)2=1， 即 (1+x)2=109. 答案 ： B. 12.(4 分 )若点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上，且 x1=-x2，则 ( ) A
9、. y1 y2 B. y1=y2 C. y1 y2 D. y1=-y2 解 析 ： 点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上， y 1=1kx ， y2=2kx ， x 1=-x2， y 1=1kx =-2kx y 1=-y2. 答案 ： D. 13.(4 分 )二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，点 C 在 y轴的正半轴上，且 OA=OC，则 ( ) A. ac+1=b B. ab+1=c C. bc+1=a D. 以上都不是 解 析 ： 当 x=0 时， y=ax2+bx+c=c，则 C(0， c)(c 0)， OA=OC ， A(
10、-c， 0)， a( -c)2+b( -c)+c=0， ac -b+1=0， 即 ac+1=b. 答案 ： A. 14.(4 分 )二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的两个交点 A(x1， 0)， B(x2， 0)，且 x1 x2，点P(m， n)是图象上一点，那么下列判断正确的是 ( ) A. 当 n 0 时， m 0 B. 当 n 0 时， m x2 C. 当 n 0 时， x1 m x2 D. 当 n 0 时， m x1 解 析 ： a=1 0， 开口向上， 抛物线的对称轴为： 112 2 1 2bx a ， 二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，
11、0)， B(x2， 0)，且 x1 x2， 无法确定 x1与 x2的正负情况， 当 n 0 时， x1 m x2，但 m 的正负无法确定，故 A错误， C 正确； 当 n 0 时， m x1 或 m x2，故 B， D 错误 . 答案 ： C. 15.(4 分 )如图， O 的半径为 2， AB、 CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是 O 上任意一点 (P与 A、 B、 C、 D 不重合 )，经过 P作 PMAB 于点 M， PNCD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点P 沿着圆周转过 45 时，点 Q 走过的路径长为 ( ) A. 4B. 2C. 6D. 3解 析 ： PMy 轴于点
12、 M， PNx 轴于点 N， 四边形 ONPM 是矩形， 又 点 Q 为 MN 的中点， 点 Q 为 OP 的中点， 则 OQ=1， 点 Q 走过的路径长 = 45 1180 4 . 答案 ： A. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分 ) 16.(4 分 )若一元二次方程 ax2-bx-2015=0 有一根为 x=-1，则 a+b=_. 解 析 ： 把 x=-1 代入一元二次方程 ax2-bx-2015=0 得： a+b-2015=0， 即 a+b=2015. 答案 ： 2015. 17.(4 分 )如果 a c e kb d f (b+d+f0) ，且 a+c+e=3(
13、b+d+f)，那么 k=_. 解 析 ： 由等比性质，得 3a a c ekb b d f . 答案 ： 3. 18.(4 分 )在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 n 个小球，其中有 5 个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 根据列表，可以估计出 n 的值是 _. 解 析 ： 通过大量重 复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于 0.5， 5n=0.5， 解得： n=10. 答案 ： 10. 19.(4 分 )如图，点 P、 Q 是反比例函数 y=kx图象上的两点， P
14、Ay 轴于点 A， QNx 轴于点N，作 PMx 轴于点 M， QBy 轴于点 B，连接 PB、 QM， ABP 的面积记为 S1， QMN 的面积记为 S2，则 S1_S2.(填 “ ” 或 “ ” 或 “=”) 解 析 ： 设 p(a， b)， Q(m， n)， 则 SABP =12APAB= 12a(b-n)=12ab-12an， SQMN =12MNQN= 12(m-a)n=12mn-12， 点 P， Q 在反比例函数的图象上， ab=mn=k ， S 1=S2. 答案： = 20.(4 分 )已知 ABC 的边 BC=4cm， O 是其外接圆，且半径也为 4cm，则 A 的度数是 _
15、. 解 析 ： 如图：连接 BO， CO， ABC 的边 BC=4cm， O 是其外接圆，且半径也为 4cm， OBC 是等边三角形， BOC=60 ， A=30. 若点 A 在劣弧 BC 上时， A=150. A=30 或 150. 答案 ： 30 或 150. 三、解答题 (共 8 小题，满分 70 分 ) 21.(10 分 )(1)计算： 2-1- 3 tan60+( -2015)0+|-12|； (2)解方程： x2-1=2(x+1). 解 析 ： (1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，
16、计算即可得到结果； (2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可 . 答案 ： (1)原式 =12- 3 3 +1+12=-1； (2)方程整理得： x2-2x-3=0，即 (x-3)(x+1)=0， 解得： x1=-1， x2=3. 22.(5 分 )如图，在图中求作 P ，使 P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到 AOB 两边的距离相等 .(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑 ) 解 析 ： 作 AOB 的角平分线，作 MN 的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到 M 点 (或 N 点 )的距离为半径作圆 . 答案 ： 如图所示 .
17、圆 P 即为所作的圆 . 23.(6 分 )为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次 . (1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况； (2)求三次传球后，球回到甲脚下的概率； (3)三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？ 解 析 ： (1)画出 树状图， (2)根据 (1)的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解； (3)分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可 . 答案 ： (1)根据题意画出树状图如下： 由树形图可知三次传球有 8
18、 种等可能结果； (2)由 (1)可知三次传球后，球回到甲脚下的概率 =2184； (3)由 (1)可知球回到甲脚下的概率 =14，传到乙脚下的概率 =38， 所以球回到乙脚下的 概率大 . 24.(8 分 )如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高 10 米的旗杆 AB 和一根高度未知的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子 EF 的长度为 2 米，落在地面上的影子 BF 的长为 10 米，而电线杆落在围墙上的影子 GH 的长度为 3 米，落在地面上的影子 DH的长为 5 米，依据这些数据，该小组的
19、同学计算出了电线杆的高度 . (1)该小组的同学在这里利用的是 _投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程 . 解 析 ： (1)这是利用了平行投影的有关知识； (2)过点 E 作 EMAB 于 M，过点 G 作 GNCD 于 N.利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式： AM CNME NG，即 8310 5CD，由此求得 CD 即电线杆的高度即可 . 答案 ： (1)该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的； 故答案是：平行； (2)过点 E 作 EMAB 于 M，过点 G 作 GNCD 于 N. 则 MB=EF=2， ND=GH=3，
20、 ME=BF=10， NG=DH=5. 所以 AM=10-2=8， 由平行投影可知， AM CNME NG，即 8310 5CD， 解得 CD=7，即电线杆的高度为 7 米 . 25.(9 分 )如图，四边形 ABCD 中， ABCD ， ABCD ， BD=AC. (1)求证： AD=BC； (2)若 E、 F、 G、 H 分别是 AB、 CD、 AC、 BD 的中点，求证：线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分 . 解 析 ： (1)由平行四边形的性质易得 AC=BM=BD， BDC=M=ACD ，由全等三角形判定定理及性质得出结论； (2)连接 EH， HF， FG， GE， E， F，
21、 G， H 分别是 AB， CD， AC， BD 的中点，易得四边形 HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及 (1)结论得 HFGE 为菱形，易得 EF 与 GH 互相垂直平分 . 答案 ： (1)过点 B 作 BMAC 交 DC 的延长线于点 M，如图 1， ABCD 四边形 ABMC 为平行四边形， AC=BM=BD ， BDC=M=ACD ， 在 ACD 和 BDC 中， A C B DA C D B D CC D D C ， ACDBDC(SAS) ， AD=BC ； (2)连接 EH， HF， FG， GE，如图 2， E ， F， G， H 分别是 AB， CD， AC， BD
22、 的中点， HEAD ，且 HE=12AD， FGAD ，且 FG=12AD， 四边形 HFGE 为平行四边形， 由 (1)知， AD=BC， HE=EG ， HFGE 为菱形， EF 与 GH 互相垂直平分 . 26.(10 分 )如图， A(-4， 12)， B(-1， 2)是一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2=x图象的两个交点， ACx 轴于点 C， BDy 轴于点 D. (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时， y1-y2 0？ (2)求一次函数解析式及 m 的值； (3)P 是线段 AB 上一点，连接 PC， PD，若 PCA 和 PDB 面积相等，求点 P
23、的坐标 . 解 析 ： (1)观察函数图象得到当 -4 x -1 时，一次函数图象都在反比例函数图象上方； (2)先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把 B 点坐标 代入 y=x可计算出 m 的值； (3)设 P 点坐标为 (m， 12m+52)，利用三角形面积公式可得到 12 12(m+4)= 121(2 -12m-52)，解方程得到 m=-52，从而可确定 P 点坐标 . 答案 ： (1)当 y1-y2 0， 即： y1 y2， 一次函数 y1=ax+b 的图象在反比例函数 y2=x图象的上面， A( -4， 12)， B(-1， 2) 当 -4 x -1 时， y1-y2 0； (2)
24、y 2=x图象过 B(-1， 2)， m= -12= -2， y 1=ax+b 过 A(-4， 12)， B(-1， 2)， 14 22abab ，解得1252ab ， 一次函数解析式为； y=12x+52， (3)设 P(m， 12m+52)，过 P 作 PMx 轴于 M， PNy 轴于 N， PM= 12m+52， PN=-m， PCA 和 PDB 面积相等， 1122A C C M B D D N ， 即； 1 1 1 1 54 1 22 2 2 2 2mm ， 解得 m=-52， P( -52， 54). 27.(10 分 )如图，在 RtABC 中， C=90 ， BAC 的角平分线
25、 AD 交 BC边于 D.以 AB 上某一点 O 为圆心作 O ，使 O 经过点 A 和点 D. (1)判断直线 BC 与 O 的位置关系，并说明理由； (2)若 AC=3， B=30. 求 O 的半径； 设 O 与 AB 边的另一个交点为 E，求线段 BD、 BE 与劣弧 DE所围成的阴影部分的图形面积 .(结果保留根号和 ) 解 析 ： (1)连接 OD，根据平行线判定推出 ODAC ，推出 ODBC ，根据切线的判定推出即可； (2) 根据含有 30 角的直角三角形的性质得出 OB=2OD=2r， AB=2AC=3r，从而求得半径 r的值； 根据 S 阴影 =SBOD -S 扇形 DOE
26、求得即可 . 答案 ： (1)直线 BC 与 O 相切； 连结 OD， OA=OD ， OAD=ODA ， BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D， CAD=OAD ， CAD=ODA ， ODAC ， ODB=C=90 ， 即 ODBC. 又 直线 BC 过半径 OD 的外端， 直线 BC 与 O 相切 . (2)设 OA=OD=r，在 RtBDO 中， B=30 ， OB=2r ， 在 RtACB 中， B=30 ， AB=2AC=6 ， 3r=6 ，解得 r=2. (3)在 RtACB 中， B=30 ， BOD=60. 26 0 2 23 6 0 3ODES 扇 形. 所求图形面
27、积为 2233B O D ODESS 扇 形. 28.(12 分 )已知二次函数 y=ax2的图象经过点 (2， 1). (1)求二次函数 y=ax2的解析式； (2)一次函数 y=mx+4 的图象与二次函数 y=ax2的图象交于点 A(x1、 y1)、 B(x2、 y2)两点 . 当 m=32时 (图 ) ，求证： AOB 为直角三角形； 试判断当 m 32时 (图 ) ， AOB 的形状，并证明； (3)根据第 (2)问，说出一条你能得到的结论 .(不要求证明 ) 解 析 ： (1)把点 (2， 1)代入可求得 a 的值，可求得抛物线的解析式； (2) 可先求得 A、 B 两点的坐标，过
28、A、 B 两点作 x 轴的垂线，结合条件可证明 ACOODB ，可证明 AOB=90 ，可判定 AOB 为直角三角形； 可用 m 分别表示出 A、 B 两点的坐标，过 A、 B 两点作 x 轴的垂线，表示出 AC、 BD 的长，可证明 ACOODB ，结合条件可得到AOB=90 ，可判定 AOB 为直角三角形； (3)结合 (2)的过程可得到 AOB 恒为直角三角形等结论 . 答案 ： (1)解： y=ax 2过点 (2， 1)， 1=4a ，解得 a=14， 抛物线解析 式为 y=14x2； (2) 证明： 当 m=32时，联立直线和抛物线解析式可得23 4214yxyx ，解得 21xy或
29、 816xy， A( -2， 1)， B(8， 16)， 分别过 A、 B 作 ACx 轴， BDx 轴，垂足分别为 C、 D，如图 1， AC=1 ， OC=2， OD=8， BD=16， 12AC O DO C BD，且 ACO=ODB ， ACOODB ， AOC=OBD ， 又 OBD+BOD=90 ， AOC+BOD=90 ，即 AOB=90 ， AOB 为直角三角形； 解： AOB 为直角三角形 . 证明如下： 当 m 32时，联立直线和抛物线解析式可得2414y mxyx ，解得 2222 2 44x m my m m 或 2222 2 44x m my m m ， A(2m -
30、2 2 4m ， (m- 2 4m )2)， B(2m+2 2 4m ， (m+ 2 4m )2)， 分别过 A、 B 作 ACx 轴， BDx 轴，如图 2， AC=(m - 2 4m )2， OC=-(2m-2 2 4m )， BD=(m+ 2 4m )2， OD=2m+2 2 4m ， 2 42A C O D m mO C B D ，且 ACO=ODB ， ACOOBD ， AOC=OBD ， 又 OBD+BOD=90 ， AOC+BOD=90 ，即 AOB=90 ， AOB 为直角三角形； (3)解：由 (2)可知，一次函数 y=mx+4 的图象与二次函数 y=ax2的交点为 A、 B，则 AOB 恒为直角三角形 .(答案不唯一 ).
