2015年甘肃省兰州市中考真题数学(a卷).docx

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1、 2015 年甘肃省兰州市中考 真题 数学 ( a 卷 ) 一、选择题 (共 15 小题,每小题 4 分,满分 60分 ) 1.(4 分 )下列函数解析式中,一定为二次函数的是 ( ) A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+1x解 析 : A、 y=3x-1 是一次函数,故 A 错误; B、 y=ax2+bx+c (a0) 是二次函数,故 B 错误; C、 s=2t2-2t+1 是二次函数,故 C 正确; D、 y=x2+1x不是二次函数,故 D 错误 . 答案 : C. 2.(4 分 )由五个同样大小的立方体组成如图的几何体,则关于此几何

2、体三种视图叙述正确的是 ( ) A. 左视图与俯视图相同 B. 左视图与主视图相同 C.主视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 解 析 : 如图所示几何体的左视图与主视图都是两列,每列正方形的个数从左往右都是 3, 1,左视图与主视图相同;俯视图是两列,每列正方形的个数从左往右都是 2, 1. 答案 : B. 3.(4 分 )在下列二次函数中,其图象对称轴为 x=-2 的是 ( ) A. y=(x+2)2 B. y=2x2-2 C. y=-2x2-2 D. y=2(x-2)2 解 析 : y=(x+2)2的对称轴为 x=-2, A 正确; y=2x2-2 的对称轴为 x=0, B 错误; y

3、=-2x2-2 的对称轴为 x=0, C 错误; y=2(x-2)2的对称轴为 x=2, D 错误 . 答案 : A. 4.(4 分 )如图, ABC 中, B=90 , BC=2AB,则 cosA=( ) A. 52B. 12C. 255D. 55解 析 : B=90 , BC=2AB, 22 2 2 25A C A B B C A B A B A B , cosA= 555A B A BAC AB. 答案 : D. 5.(4 分 )如图,线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(1, 2)、 D(2, 0),以原点为位似中心,将线段 CD 放大得到线段 AB,若点 B 坐标为 (5, 0),则

4、点 A 的坐标为 ( ) A. (2, 5) B. (2.5, 5) C. (3, 5) D. (3, 6) 解 析 : 以原点 O 为位似中心,在第一象限内,将线段 CD 放大得到线段 AB, B 点与 D 点是对应点,则位似比为: 5: 2, C(1 , 2), 点 A 的坐标为: (2.5, 5) 答案 : B. 6.(4 分 )一元二次方程 x2-8x-1=0 配方后可变形为 ( ) A. (x+4)2=17 B. (x+4)2=15 C. (x-4)2=17 D. (x-4)2=15 解 析 : 方程变形得: x2-8x=1, 配方得: x2-8x+16=17,即 (x-4)2=17

5、. 答案 : C 7.(4 分 )下列命题错误的是 ( ) A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 解 析 : A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形,正确; B、平行四边形的对角线互相平分,正确; C、矩形的对角线相等,正确; D、对角线相等的平行四边形是矩形,故错误 . 答案 : D. 8.(4 分 )在同一直角坐标系中,一次函数 y=kx-k 与反比例函数 y=kx(k0) 的图象大致是( ) A. B. C. D. 解 析 : (1)当 k 0 时,一次函数 y=kx-k 经过一、三、四象限,反比例

6、函数经过一、三象限,如图所示: (2)当 k 0 时,一次函数 y=kx-k 经过一、二、四象限,反比例函数经过二、四象限 .如图所示: 答案 : A. 9.(4 分 )如图,已知经过原点的 P 与 x、 y 轴分别交于 A、 B 两点,点 C 是劣弧 OB 上一点,则 ACB=( ) A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定 解 析 : AOB 与 ACB 是优弧 AB 所对的圆周角, AOB=ACB , AOB=90 , ACB=90. 答案 : B. 10.(4 分 )如图,菱形 ABCD 中, AB=4, B=60 , AEBC , AFCD ,垂足分别为 E, F,连接E

7、F,则的 AEF 的面积是 ( ) A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 解 析 : 四边形 ABCD 是菱形, BC=CD , B=D=60 , AEBC , AFCD , BCAE=CDAF , BAE=DAF=30 , AE=AF , B=60 , BAD=120 , EAF=120 -30 -30=60 , AEF 是等边三角形, AE=EF , AEF=60 , AB=4 , AE=2 3 , EF=AE=2 3 , 过 A 作 AMEF , AM=AEsin60=3 , AEF 的面积是: 12EFAM= 122 3 3=3 3 . 答案 : B. 11.(4 分 )

8、股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%,即当涨了原价的 10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的 10%后,便不能再跌,叫做跌停 .已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价 .若这两天此股票股价的平均增长率为 x,则 x 满足的方程是 ( ) A. (1+x)2=1110B. (1+x)2=109C. 1+2x=1110D. 1+2x=109解 析 : 设平均每天涨 x. 则 90%(1+x)2=1, 即 (1+x)2=109. 答案 : B. 12.(4 分 )若点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上,且 x1=-x2,则 ( ) A

9、. y1 y2 B. y1=y2 C. y1 y2 D. y1=-y2 解 析 : 点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上, y 1=1kx , y2=2kx , x 1=-x2, y 1=1kx =-2kx y 1=-y2. 答案 : D. 13.(4 分 )二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,点 C 在 y轴的正半轴上,且 OA=OC,则 ( ) A. ac+1=b B. ab+1=c C. bc+1=a D. 以上都不是 解 析 : 当 x=0 时, y=ax2+bx+c=c,则 C(0, c)(c 0), OA=OC , A(

10、-c, 0), a( -c)2+b( -c)+c=0, ac -b+1=0, 即 ac+1=b. 答案 : A. 14.(4 分 )二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的两个交点 A(x1, 0), B(x2, 0),且 x1 x2,点P(m, n)是图象上一点,那么下列判断正确的是 ( ) A. 当 n 0 时, m 0 B. 当 n 0 时, m x2 C. 当 n 0 时, x1 m x2 D. 当 n 0 时, m x1 解 析 : a=1 0, 开口向上, 抛物线的对称轴为: 112 2 1 2bx a , 二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的两个交点 A(x1,

11、0), B(x2, 0),且 x1 x2, 无法确定 x1与 x2的正负情况, 当 n 0 时, x1 m x2,但 m 的正负无法确定,故 A错误, C 正确; 当 n 0 时, m x1 或 m x2,故 B, D 错误 . 答案 : C. 15.(4 分 )如图, O 的半径为 2, AB、 CD 是互相垂直的两条直径,点 P 是 O 上任意一点 (P与 A、 B、 C、 D 不重合 ),经过 P作 PMAB 于点 M, PNCD 于点 N,点 Q 是 MN 的中点,当点P 沿着圆周转过 45 时,点 Q 走过的路径长为 ( ) A. 4B. 2C. 6D. 3解 析 : PMy 轴于点

12、 M, PNx 轴于点 N, 四边形 ONPM 是矩形, 又 点 Q 为 MN 的中点, 点 Q 为 OP 的中点, 则 OQ=1, 点 Q 走过的路径长 = 45 1180 4 . 答案 : A. 二、填空题 (共 5 小题,每小题 4 分,满分 20分 ) 16.(4 分 )若一元二次方程 ax2-bx-2015=0 有一根为 x=-1,则 a+b=_. 解 析 : 把 x=-1 代入一元二次方程 ax2-bx-2015=0 得: a+b-2015=0, 即 a+b=2015. 答案 : 2015. 17.(4 分 )如果 a c e kb d f (b+d+f0) ,且 a+c+e=3(

13、b+d+f),那么 k=_. 解 析 : 由等比性质,得 3a a c ekb b d f . 答案 : 3. 18.(4 分 )在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 n 个小球,其中有 5 个黑球,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,之后把它放回袋中,搅匀后,再继续摸出一球,以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表: 根据列表,可以估计出 n 的值是 _. 解 析 : 通过大量重 复试验后发现,摸到黑球的频率稳定于 0.5, 5n=0.5, 解得: n=10. 答案 : 10. 19.(4 分 )如图,点 P、 Q 是反比例函数 y=kx图象上的两点, P

14、Ay 轴于点 A, QNx 轴于点N,作 PMx 轴于点 M, QBy 轴于点 B,连接 PB、 QM, ABP 的面积记为 S1, QMN 的面积记为 S2,则 S1_S2.(填 “ ” 或 “ ” 或 “=”) 解 析 : 设 p(a, b), Q(m, n), 则 SABP =12APAB= 12a(b-n)=12ab-12an, SQMN =12MNQN= 12(m-a)n=12mn-12, 点 P, Q 在反比例函数的图象上, ab=mn=k , S 1=S2. 答案: = 20.(4 分 )已知 ABC 的边 BC=4cm, O 是其外接圆,且半径也为 4cm,则 A 的度数是 _

15、. 解 析 : 如图:连接 BO, CO, ABC 的边 BC=4cm, O 是其外接圆,且半径也为 4cm, OBC 是等边三角形, BOC=60 , A=30. 若点 A 在劣弧 BC 上时, A=150. A=30 或 150. 答案 : 30 或 150. 三、解答题 (共 8 小题,满分 70 分 ) 21.(10 分 )(1)计算: 2-1- 3 tan60+( -2015)0+|-12|; (2)解方程: x2-1=2(x+1). 解 析 : (1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用零指数幂法则计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,

16、计算即可得到结果; (2)方程整理后,利用因式分解法求出解即可 . 答案 : (1)原式 =12- 3 3 +1+12=-1; (2)方程整理得: x2-2x-3=0,即 (x-3)(x+1)=0, 解得: x1=-1, x2=3. 22.(5 分 )如图,在图中求作 P ,使 P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到 AOB 两边的距离相等 .(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑 ) 解 析 : 作 AOB 的角平分线,作 MN 的垂直平分线,以角平分线与垂直平分线的交点为圆心,以圆心到 M 点 (或 N 点 )的距离为半径作圆 . 答案 : 如图所示 .

17、圆 P 即为所作的圆 . 23.(6 分 )为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练,球从一个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传给其余两人的机会是均等的,由甲开始传球,共传球三次 . (1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况; (2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率; (3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大? 解 析 : (1)画出 树状图, (2)根据 (1)的树形图,利用概率公式列式进行计算即可得解; (3)分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率,比较大小即可 . 答案 : (1)根据题意画出树状图如下: 由树形图可知三次传球有 8

18、 种等可能结果; (2)由 (1)可知三次传球后,球回到甲脚下的概率 =2184; (3)由 (1)可知球回到甲脚下的概率 =14,传到乙脚下的概率 =38, 所以球回到乙脚下的 概率大 . 24.(8 分 )如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高 10 米的旗杆 AB 和一根高度未知的电线杆 CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子 EF 的长度为 2 米,落在地面上的影子 BF 的长为 10 米,而电线杆落在围墙上的影子 GH 的长度为 3 米,落在地面上的影子 DH的长为 5 米,依据这些数据,该小组的

19、同学计算出了电线杆的高度 . (1)该小组的同学在这里利用的是 _投影的有关知识进行计算的; (2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程 . 解 析 : (1)这是利用了平行投影的有关知识; (2)过点 E 作 EMAB 于 M,过点 G 作 GNCD 于 N.利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式: AM CNME NG,即 8310 5CD,由此求得 CD 即电线杆的高度即可 . 答案 : (1)该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的; 故答案是:平行; (2)过点 E 作 EMAB 于 M,过点 G 作 GNCD 于 N. 则 MB=EF=2, ND=GH=3,

20、 ME=BF=10, NG=DH=5. 所以 AM=10-2=8, 由平行投影可知, AM CNME NG,即 8310 5CD, 解得 CD=7,即电线杆的高度为 7 米 . 25.(9 分 )如图,四边形 ABCD 中, ABCD , ABCD , BD=AC. (1)求证: AD=BC; (2)若 E、 F、 G、 H 分别是 AB、 CD、 AC、 BD 的中点,求证:线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分 . 解 析 : (1)由平行四边形的性质易得 AC=BM=BD, BDC=M=ACD ,由全等三角形判定定理及性质得出结论; (2)连接 EH, HF, FG, GE, E, F,

21、 G, H 分别是 AB, CD, AC, BD 的中点,易得四边形 HFGE为平行四边形,由平行四边形的性质及 (1)结论得 HFGE 为菱形,易得 EF 与 GH 互相垂直平分 . 答案 : (1)过点 B 作 BMAC 交 DC 的延长线于点 M,如图 1, ABCD 四边形 ABMC 为平行四边形, AC=BM=BD , BDC=M=ACD , 在 ACD 和 BDC 中, A C B DA C D B D CC D D C , ACDBDC(SAS) , AD=BC ; (2)连接 EH, HF, FG, GE,如图 2, E , F, G, H 分别是 AB, CD, AC, BD

22、 的中点, HEAD ,且 HE=12AD, FGAD ,且 FG=12AD, 四边形 HFGE 为平行四边形, 由 (1)知, AD=BC, HE=EG , HFGE 为菱形, EF 与 GH 互相垂直平分 . 26.(10 分 )如图, A(-4, 12), B(-1, 2)是一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2=x图象的两个交点, ACx 轴于点 C, BDy 轴于点 D. (1)根据图象直接回答:在第二象限内,当 x 取何值时, y1-y2 0? (2)求一次函数解析式及 m 的值; (3)P 是线段 AB 上一点,连接 PC, PD,若 PCA 和 PDB 面积相等,求点 P

23、的坐标 . 解 析 : (1)观察函数图象得到当 -4 x -1 时,一次函数图象都在反比例函数图象上方; (2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把 B 点坐标 代入 y=x可计算出 m 的值; (3)设 P 点坐标为 (m, 12m+52),利用三角形面积公式可得到 12 12(m+4)= 121(2 -12m-52),解方程得到 m=-52,从而可确定 P 点坐标 . 答案 : (1)当 y1-y2 0, 即: y1 y2, 一次函数 y1=ax+b 的图象在反比例函数 y2=x图象的上面, A( -4, 12), B(-1, 2) 当 -4 x -1 时, y1-y2 0; (2)

24、y 2=x图象过 B(-1, 2), m= -12= -2, y 1=ax+b 过 A(-4, 12), B(-1, 2), 14 22abab ,解得1252ab , 一次函数解析式为; y=12x+52, (3)设 P(m, 12m+52),过 P 作 PMx 轴于 M, PNy 轴于 N, PM= 12m+52, PN=-m, PCA 和 PDB 面积相等, 1122A C C M B D D N , 即; 1 1 1 1 54 1 22 2 2 2 2mm , 解得 m=-52, P( -52, 54). 27.(10 分 )如图,在 RtABC 中, C=90 , BAC 的角平分线

25、 AD 交 BC边于 D.以 AB 上某一点 O 为圆心作 O ,使 O 经过点 A 和点 D. (1)判断直线 BC 与 O 的位置关系,并说明理由; (2)若 AC=3, B=30. 求 O 的半径; 设 O 与 AB 边的另一个交点为 E,求线段 BD、 BE 与劣弧 DE所围成的阴影部分的图形面积 .(结果保留根号和 ) 解 析 : (1)连接 OD,根据平行线判定推出 ODAC ,推出 ODBC ,根据切线的判定推出即可; (2) 根据含有 30 角的直角三角形的性质得出 OB=2OD=2r, AB=2AC=3r,从而求得半径 r的值; 根据 S 阴影 =SBOD -S 扇形 DOE

26、求得即可 . 答案 : (1)直线 BC 与 O 相切; 连结 OD, OA=OD , OAD=ODA , BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D, CAD=OAD , CAD=ODA , ODAC , ODB=C=90 , 即 ODBC. 又 直线 BC 过半径 OD 的外端, 直线 BC 与 O 相切 . (2)设 OA=OD=r,在 RtBDO 中, B=30 , OB=2r , 在 RtACB 中, B=30 , AB=2AC=6 , 3r=6 ,解得 r=2. (3)在 RtACB 中, B=30 , BOD=60. 26 0 2 23 6 0 3ODES 扇 形. 所求图形面

27、积为 2233B O D ODESS 扇 形. 28.(12 分 )已知二次函数 y=ax2的图象经过点 (2, 1). (1)求二次函数 y=ax2的解析式; (2)一次函数 y=mx+4 的图象与二次函数 y=ax2的图象交于点 A(x1、 y1)、 B(x2、 y2)两点 . 当 m=32时 (图 ) ,求证: AOB 为直角三角形; 试判断当 m 32时 (图 ) , AOB 的形状,并证明; (3)根据第 (2)问,说出一条你能得到的结论 .(不要求证明 ) 解 析 : (1)把点 (2, 1)代入可求得 a 的值,可求得抛物线的解析式; (2) 可先求得 A、 B 两点的坐标,过

28、A、 B 两点作 x 轴的垂线,结合条件可证明 ACOODB ,可证明 AOB=90 ,可判定 AOB 为直角三角形; 可用 m 分别表示出 A、 B 两点的坐标,过 A、 B 两点作 x 轴的垂线,表示出 AC、 BD 的长,可证明 ACOODB ,结合条件可得到AOB=90 ,可判定 AOB 为直角三角形; (3)结合 (2)的过程可得到 AOB 恒为直角三角形等结论 . 答案 : (1)解: y=ax 2过点 (2, 1), 1=4a ,解得 a=14, 抛物线解析 式为 y=14x2; (2) 证明: 当 m=32时,联立直线和抛物线解析式可得23 4214yxyx ,解得 21xy或

29、 816xy, A( -2, 1), B(8, 16), 分别过 A、 B 作 ACx 轴, BDx 轴,垂足分别为 C、 D,如图 1, AC=1 , OC=2, OD=8, BD=16, 12AC O DO C BD,且 ACO=ODB , ACOODB , AOC=OBD , 又 OBD+BOD=90 , AOC+BOD=90 ,即 AOB=90 , AOB 为直角三角形; 解: AOB 为直角三角形 . 证明如下: 当 m 32时,联立直线和抛物线解析式可得2414y mxyx ,解得 2222 2 44x m my m m 或 2222 2 44x m my m m , A(2m -

30、2 2 4m , (m- 2 4m )2), B(2m+2 2 4m , (m+ 2 4m )2), 分别过 A、 B 作 ACx 轴, BDx 轴,如图 2, AC=(m - 2 4m )2, OC=-(2m-2 2 4m ), BD=(m+ 2 4m )2, OD=2m+2 2 4m , 2 42A C O D m mO C B D ,且 ACO=ODB , ACOOBD , AOC=OBD , 又 OBD+BOD=90 , AOC+BOD=90 ,即 AOB=90 , AOB 为直角三角形; (3)解:由 (2)可知,一次函数 y=mx+4 的图象与二次函数 y=ax2的交点为 A、 B,则 AOB 恒为直角三角形 .(答案不唯一 ).

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