1、 2015 年甘肃省天水市中考 真题 数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来 ) 1.(4 分 )若 a 与 1 互为相反数，则 |a+1|等于 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解 析 ： 因为互为相反数的两数和为 0，所以 a+1=0； 因为 0 的绝对值是 0，则 |a+1|=|0|=0. 答案 ： B. 2.(4 分 )如图是某几何体的三视图，该几何体是 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正三棱柱 D. 正三棱锥 解 析 ： 根据几何体的三视图即可知道几何体是圆锥 . 答
2、案 ： B. 3.(4 分 )某种细胞的直径是 0.000067 厘米，将 0.000067 用科学记数法表示为 ( ) A. 6.710 -5 B. 6.710 -6 C. 0.6710 -5 D. 6.710 -6 解 析 ： 0.000067 中第一位非零数字前有 5 个 0， 0.000067 用科学记数法表示为 6.710 -5. 答案 ： A. 4.(4 分 )在天水市汉字听写大赛中， 10 名学生得分情况如表 那么这 10 名学生所得分数的中位数和众数分别是 ( ) A. 85 和 82.5 B. 85.5 和 85 C. 85 和 85 D. 85.5 和 80 解 析 ： 在
3、这一组数据中 85 是出现次数最多的，故众数是 85； 而将这组数据从小到大的顺序排列 80， 80， 80， 85， 85， 85， 85， 90， 90， 95， 处于中间位置的那个数是 85， 85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 85 852=85. 答案 ： C. 5.(4 分 )二次函数 y=ax2+bx-1(a0) 的图象经过点 (1， 1)，则 a+b+1 的值是 ( ) A. -3 B. -1 C. 2 D. 3 解 析 ： 二次函数 y=ax2+bx-1(a0) 的图象经过点 (1， 1)， a+b -1=1， a+b=2 ， a+b+1=3. 答案 ： D.
4、6.(4 分 )一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为 6和 8 的矩形，则该圆柱的底面圆半径是( ) A. 3B. 4C. 3或 4D. 6或 8解 析 ： 若 6 为圆柱的高， 8 为底面周长，此时底面半径为 842； 若 8 为圆柱的高， 6 为底面周长，此时底面半径为 632. 答案 ： C. 7.(4 分 )如图，将矩形纸带 ABCD，沿 EF 折叠后， C、 D 两点分别落在 C 、 D 的位置，经测量得 EFB=65 ，则 AED 的度数是 ( ) A. 65 B. 55 C. 50 D. 25 解 析 ： ADBC ， EFB=65 ， DEF=65 ， DED=2DEF=130
5、 ， AED=180 -130=50. 答案 ： C. 8.(4 分 )如图，在四边形 ABCD 中， BAD=ADC=90 ， AB=AD=2 2 ， CD= 2 ，点 P 在四边形 ABCD 的边上 .若点 P 到 BD 的距离为 32，则点 P的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解 析 ： 过点 A 作 AEBD 于 E，过点 C 作 CFBD 于 F， BAD=ADC=90 ， AB=AD=2 2 ， CD= 2 ， ABD=ADB=45 ， CDF=90 -ADB=45 ， sinABD= AEAB， AE=ABsinABD=2 2 sin45 =2 2 22=
6、2 32， 所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD的距离为 32的点 2个 . 答案 ： A. 9.(4 分 )如图， AB 为半圆所在 O 的直径，弦 CD 为定长且小于 O 的半径 (C 点与 A 点不重合 )， CFCD 交 AB 于点 F， DECD 交 AB 于点 E， G 为半圆弧上的中点 .当点 C 在 上运动时，设 的长为 x， CF+DE=y.则下列图象中，能表示 y与 x 的函数关系的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 作 OHCD 于点 H， H 为 CD 的中点， CFCD 交 AB 于 F， DECD 交 AB 于 E， OH 为直角梯形
7、的中位线， 弦 CD 为定长， CF+DE=y 为定值 . 答案 ： B. 10.(4 分 )定义运算： ab=a(1-b).下面给出了关于这种运算的几种结论： 2 (-2)=6， a b=ba， 若 a+b=0，则 (aa)+(bb)=2ab， 若 ab=0，则 a=0 或 b=1，其中结论正确的序号是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 根据题意得： 2(-2)=2(1+2)=6 ，选项 正确； ab=a(1-b)=a-ab， ba=b(1-a)=b-ab，不一定相等，选项 错误； (aa)+(bb)=a(1-a)+b(1-b)=a+b-a2-b22ab ，选项 错误； 若 ab=
8、a(1-b)=0，则 a=0 或 b=1，选项 正确 . 答案 ： A 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 4分，共 32分。只要求填写最简结果 ) 11.(4 分 )相切两圆的半径分别是 5 和 3，则该两圆的圆心距是 _. 解 析 ： 若两圆内切，圆心距为 5-3=2； 若两圆外切，圆心距为 5+3=8， 答案 ： 2 或 8 12.(4 分 )不等式组 2 1 03 1 2 123xxx的所有整数解是 _. 解 析 ： 2 1 03 1 2 123xxx ， 解不等式 得， x -12， 解不等式 得， x 1， 所以不等式组的解集为 112 x ， 所以原不等式组的整数解是 0.
9、 答案 ： 0. 13.(4 分 )如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的 O 在格点上，则 AED 的正切值为 _. 解 析 ： 由图可得， AED=ABC ， O 在边长为 1 的网格格点上， AB=2 ， AC=1， 则 tanABC= 12ACAB， tanAED= 12. 答案 ： 12. 14.(4 分 )一元二次方程 x2+3-2 3 x=0 的解是 _. 解 析 ： x2+3-2 3 x=0 (x- 3 )2=0 x 1=x2= 3 . 答案 ： x1=x2= 3 . 15.(4分 )如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图 .点 P处放一水平的
10、平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD的顶端 C处，已知 ABBD ， CDBD ，测得 AB=2 米， BP=3 米， PD=12 米，那么该古城墙的高度 CD 是 _米 . 解 析 ： 由题意可得： APE=CPE ， APB=CPD ， ABBD ， CDBD ， ABP=CDP=90 ， ABPCDP ， AB CDBP PD， AB=2 米， BP=3 米， PD=12 米， 23 12CD， CD=8 米 . 答案 ： 8. 16.(4 分 )如图， ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、 B
11、、 C，如果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 _. 解 析 ： 弧 CD 的长是 1 2 0 1 21 8 0 3 ， 弧 DE 的长是： 1 2 0 2 41 8 0 3 ， 弧 EF 的长是： 1 2 0 3 2180 ， 则曲线 CDEF 的长是： 24 2433 . 答案 ： 4. 17.(4 分 )下列函数 (其中 n 为常数，且 n 1) y= nx(x 0)； y=(n -1)x； y= 21 nx(x 0)； y=(1 -n)x+1； y= -x2+2nx(x 0)中， y的值随 x 的值增大而增大的函数有 _个 . 解 析 ： y= nx(x 0)， n 1， y 的值
12、随 x 的值增大而减小； y=(n -1)x， n 1， y 的值随 x 的值增大而增大； y= 21 nx(x 0)n 1， y 的值随 x 的值增大而增大； y=(1 -n)x+1， n 1， y 的值随 x 的值增大而减小； y= -x2+2nx(x 0)中， n 1， y 的值随 x 的值增大而增大； y 的值随 x 的值增大而增大的函数有 3 个 . 答案 ： 3. 18.(4 分 )正方形 OA1B1C1、 A1A2B2C2、 A2A3B3C3，按如图放置，其中点 A1、 A2、 A3在 x 轴的正半轴上，点 B1、 B2、 B3在直线 y=-x+2 上，则点 A3的坐标为 _.
13、解 析 ： 设正方形 OA1B1C1的边长为 t，则 B1(t， t)，所以 t=-t+2，解得 t=1，得到 B1(1， 1)； 设正方形 A1A2B2C2的边长为 a，则 B2(1+a， a)， a=-(1+a)+2，解得 a=12，得到 B2(32， 12)； 设正方形 A2A3B3C3的边长为 b，则 B3(32+b， b)， b=-(32+b)+2，解得 b=14，得到 B3(74， 14)， 所以 A3(74， 0). 答案 ： (74， 0). 三、解答题 (本大题共 3 小题，共 28 分。解答时写出必要的文字说明及演算过程。 ) 19.(9 分 )计算： (1)( -3)0+
14、 18 -2cos45 - 118(2)若 x+1x=3，求 2421xxx的值 . 解 析 ： (1)根据 0 指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答； (2)分子分母同时除以 x2，配方后整体代入即可解答 . 答案 ： (1)原式 =1+3 2 -2 22-8=2 2 -7； (2)原式 =222111 11 1x xx x 2131 191 =18. 20.(9 分 )2015 年 4 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级地震，震源深度 20 千米 .中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象 .在废墟一侧某面上选两
15、探测点 A、 B， AB 相距 2 米，探测线与该面的夹角分别是 30 和 45( 如图 ).试确定生命所在点 C 与探测面的距离 .(参考数据 2 1.41 ， 3 1.73) 解 析 ： 首先过 C 作 CDAB ，设 CD=x 米，则 DB=CD=x 米， AD= 3 CD= 3 x米，再根据 AB相距 2 米可得方程 3 x-x=2，再解即可 . 答案 ： 过 C 作 CDAB ， 设 CD=x 米， ABE=45 ， CBD=45 ， DB=CD=x 米， CAD=30 ， AD= 3 CD= 3 x 米， AB 相距 2 米， 3 x-x=2， 解得： x=20073. 答：命所在
16、点 C 与探测面的距离是 20073米 . 21.(10 分 )如图，在平面直角坐标系内， O 为原点，点 A 的坐标为 (-3， 0)，经过 A、 O 两点作半径为 52的 C ，交 y 轴的负半轴于点 B. (1)求 B 点的坐标； (2)过 B 点作 C 的切线交 x 轴于点 D，求直线 BD的解析式 . 解 析 ： (1)由于 AOB=90 ，故 AB 是直径，且 AB=5 在 RtAOB 中，由勾股定理可得 BO=2 2 2 25 3 4A B A O ，则 B 点的坐标为 (0， -4)； (2)由于 BD是 C 的切线， CB是 C 的半径，故 BDAB ，即 ABD=90 ，有
17、 DAB+ADB=90 ，又因为 BDO+OBD=90 ，所以 DAB=DBO ，由于 AOB=BOD=90 ，故 ABOBDO ，OA OBOB OD ， OD= 224 1 633OBOA ， D 的坐标为 (163 ， 0)，把 B， D 两点坐标代入一次函数的解析式便可求出 k， b 的值，从而求出其解析式 . 答案 ： (1)AOB=90 ， AB 是直径，且 AB=5， 在 RtAOB 中，由勾股定理可得 BO= 2 2 2 25 3 4A B A O ， B 点的坐标为 (0， -4)； (2)BD 是 C 的切线， CB 是 C 的半径， BDAB ，即 ABD=90 ， DA
18、B+ADB=90 又 BDO+OBD=90 ， DAB=DBO ， AOB=BOD=90 ， ABOBDO ， OA OBOB OD， OD = 224 1 633OBOA ， D 的坐标为 (163， 0) 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b(k0 ， k、 b 为常数 )， 则有 16 034kbb ， 344kb ， 直线 BD 的解析式为 y=34x-4. 四、解答题 (本大题共 50 分，解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。 ) 22.(8 分 )钓鱼岛是我国固有领土 .某校七年级 (15)班举行 “ 爱国教育 ” 为主题班会时，就有关钓鱼岛新闻的获取途径，对本班 50 名学
19、生进行调查 (要求每位同学，只选自己最认可的一项 )，并绘制如图所示的扇形统计图 . (1)该班学生选择 “ 报刊 ” 的有 _人 .在扇形统计图中， “ 其它 ” 所在扇形区域的圆心角是 _度 .(直接填结果 ) (2)如果该校七年级有 1500 名学生，利用样本估计选择 “ 网站 ” 的七年级学生约有 _人 .(直接填结果 ) (3)如果七年级 (15)班班委会就这 5 种获取途径中任选两种对全校学生进行调查，求恰好选用 “ 网站 ” 和 “ 课堂 ” 的概率 .(用树状图或列表法分析解答 ) 解 析 ： (1)根据扇形统计图及调查学生总数为 50 名，求出所求即可； (2)根据样本中选择
20、 “ 网站 ” 的七年级学生百分数，乘以 1500 即可得到结果； (3)列表得出所有等可能的情况数，找出恰好选用 “ 网站 ” 和 “ 课堂 ” 的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1)根据题意得： 5012%=6( 人 )， 36010%=36 ， 则该班学生选择 “ 报刊 ” 的有 6 人 .在 扇形统计图中， “ 其它 ” 所在扇形区域的圆心角是 36度； 故答案为： 6； 36； (2)根据题意得： 150028%=420( 人 )； 故答案为： 420； (3)列表如下： (A 表示报刊； B 表示网站； C 表示其它； D 表示课堂； E 表示电视 ) 所有等可能的情况
21、有 20 种，恰好选用 “ 网站 ” 和 “ 课堂 ” 的情况有 2 种， 则 P= 2120 10. 23.(8 分 )天水 “ 伏羲文化节 ” 商品交易会上，某商人将每件进价为 8 元的纪念品，按每件 9元出售，每天可售出 20 件 .他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价 1 元，每天的销售量会减少 4 件 . (1)写出每天所得的利润 y(元 )与售价 x(元 /件 )之间的函数关系式 . (2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？ 解 析 ： (1)根据题中等量关系为：利润 =(售价 -进价 ) 售出件数，根据等量关系列出函数关系
22、式； (2)将 (1)中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出 y 的最大 值 . 答案 ： (1)根据题中等量关系为：利润 =(售价 -进价 ) 售出件数， 列出方程式为： y=(x-8)20-4(x-9)， 即 y=-4x2+88x-448(9x14) ； (2)将 (1)中方程式配方得： y=-4(x-11)2+36， 当 x=11 时， y 最大 =36 元， 答：售价为 11 元时，利润最大，最大利润是 36 元 . 24.(10 分 )如图，点 A(m， 6)、 B(n， 1)在反比例函数图象上， ADx 轴于点 D， BCx 轴于点 C， DC=5. (1)求 m、 n 的
23、值并写出该反比例函数的解析式 . (2)点 E 在线段 CD 上， SABE =10，求点 E的坐标 . 解 析 ： (1)根据题意列出关于 m 与 n 的方程组，求出方程组的解得到 m 与 n的值，确定出 A与 B 坐标，设出反比例函数解析式，将 A 坐标代入即可确定出解析式； (2)设 E(x， 0)，表示出 DE 与 CE，连接 AE， BE，三角形 ABE 面积 =四边形 ABCD 面积 -三角形ADE 面积 -三角形 BCE 面积，求出即可 . 答案 ： (1)由题意得： 65mn， 解得： 16mn， A(1 ， 6)， B(6， 1)， 设反比例函数解析式为 y=kx， 将 A(
24、1， 6)代入得： k=6， 则反比例解析式为 y=6x； (2)设 E(x， 0)，则 DE=x-1， CE=6-x， ADx 轴， BCx 轴， ADE=BCE=90 ， 连接 AE， BE， 则 SABE =S 四边形 ABCD-SADE -SBCE =12(BC+AD)DC -12DEAD -12CEBC =12(1+6)5 -12(x-1)6 -12(6-x)1 =352-52x =10， 解得： x=3， 则 E(3， 0). 25.(12 分 )如图， AB 是 O 的直径， BC 切 O 于点 B， OC 平行于弦 AD，过点 D作 DEAB 于点 E，连结 AC，与 DE 交
25、于点 P.求证： (1)ACPD=APBC ； (2)PE=PD. 解 析 ： (1)首先根据 AB是 O 的直径， BC是切线，可得 ABBC ，再根据 DEAB ，判断出 DEBC ，AEPABC ，所以 EP AEBC AB；然后判断出 2ED AEBC AB，即可判断出 ED=2EP，据此判断出 PE=PD 即可 . (2)首先根据 AEP ABC ，判断出 AP PEAC BC；然后根据 PE=PD，可得 AP PDAC BC，据此判断出 ACPD=APBC 即可 . 答案 ： (1)AB 是 O 的直径， BC 是切线， ABBC ， DEAB ， DEBC ， AEPABC ，
26、EP AEBC AB ， 又 ADOC ， DAE=COB ， AEDOBC ， 212E D A E A E A EB C O B A BAB ， 由 ，可得 ED=2EP， PE=PD. (2)AB 是 O 的直径， BC 是切线， ABBC ， DEAB ， DEBC ， AEPABC ， AP PEAC BC， PE=PD ， AP PDAC BC， ACPD=APBC. 26.(12 分 )在平面直角坐标系中，已知 y=-12x2+bx+c(b、 c 为常数 )的顶点为 P，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 (0， -1)，点 C 的坐标为 (4， 3)，直角顶点 B在第
27、四象限 . (1)如图，若抛物线经过 A、 B 两点，求抛物线的解析式 . (2)平移 (1)中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离为 2 时，试证明：平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点 . (3)在 (2)的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线 AC 的另一交点为 Q，取 BC的中点 N，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)先求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； (2)如答题图 2，设顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离 2 时，到
28、达 P ，作 PMy轴， PMx 轴，交于 M 点，根据直线 AC 的斜率求得 PPM 是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移 1 个单位，向右平移 1 个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与 x 轴的交点，与直线 AC 的交点，即可证得结论； (3)如答图 3 所示，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B ，由分析可知，当 B 、 Q、 F(AB 中点 )三点共线时， NP+BQ 最小，最小值为线段 BF 的长度 . 答案 ： (1) 等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 (0， -1)， C 的坐标为 (4， 3) 点 B 的坐标为 (4， -1). 抛物线过 A(0， -1
29、)， B(4， -1)两点， 111 6 4 12cbc ， 解得： b=2， c=-1， 抛物线的函数表达式为： y=-12x2+2x-1. (2)如答题图 2，设顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离 2 时，到达 P ，作 PMy轴， PMx 轴，交于 M 点， 点 A 的坐标为 (0， -1)，点 C 的坐标为 (4， 3)， 直线 AC 的解析式为 y=x-1， 直线的斜率为 1， PPM 是等腰直角三角形， PP= 2 ， PM=PM=1 ， 抛物线向上平移 1 个单位，向右平移 1 个单位， y= -12x2+2x-1=-12(x-2)2+1， 平移后的抛物线的解析式
30、为 y=-12(x-3)2+2， 令 y=0，则 0=-12(x-3)2+2， 解得 x1=1， x=52， 平移后的抛物线与 x 轴的交点为 (1， 0)， (5， 0)， 解 21 3221yxyx ，得 10xy或 32xy 平移后的抛物线与 AC 的交点为 (1， 0)， 平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点 (1， 0). (3)如答图 3，取点 B 关于 AC 的对称点 B ，易得点 B 的坐标为 (0， 3)， BQ=BQ ，取 AB中点 F， 连接 QF， FN， QB ，易得 FNPQ ，且 FN=PQ， 四边形 PQFN 为平行四边形 . NP=FQ. NP+BQ=FQ+BQFB= 222 4 2 5 . 当 B 、 Q、 F 三点共线时， NP+BQ 最小，最小值为 2 5 .
