1、 2015 年甘肃省甘南州中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 2 的相反数是（ ） A.2 B. 2 C. D. 解析： 2 的相反数为： 2. 答案： B. 2.下列运算中，结果正确的是（ ） A.x3x 3=x6 B.3x2+2x2=5x4 C.（ x2） 3=x5 D.（ x+y） 2=x2+y2 解析： A、 x3x 3=x6，本选项正确； B、 3x2+2x2=5x2，本选项错误； C、（ x2） 3=x6，本选项错误； D、（ x+y） 2=x2+2xy+y2，本选项错误， 答案 ：
2、 A 3.在 “ 百度 ” 搜索引擎中输入 “ 姚明 ” ，能搜索到与之相关的网页约 27000000 个，将这个数用科学记数法表示为（ ） A.2.710 5 B.2.710 6 C.2.710 7 D.2.710 8 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 .将 27 000 000 用科学记数法表示为 2.710 7. 答案 :C. 4.下列交通标志中，是中心对称图
3、形的是（ ） A. B. C. D. 解析： A .此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误； B： 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误； C. 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误； D.此图形旋转 180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确； 答案 :D. 5.O 过点 B， C，圆心 O 在等腰直角 ABC 内部， BAC=90 ， OA=1， BC=6，则 O 的半径为（ ） A. B.2 C. D.3 解析：过 A 作 ADBC ，由题意可知
4、AD 必过点 O，连接 OB； BAC 是等腰直角三角形， ADBC ， BD=CD=AD=3 ； OD=AD OA=2； RtOBD 中，根据勾股定理，得： OB= = . 答案 :C. 6.有一组数据： 3， 4， 5， 6， 6，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ） A.4.8， 6， 6 B.5， 5， 5 C.4.8， 6， 5 D.5， 6， 6 解析：在这一组数据中 6 是出现次数最多的，故众数是 6； 而将这组数据从小到大的顺序排列 3， 4， 5， 6， 6，处于中间位置的数是 5， 平均数是：（ 3+4+5+6+6） 5=4.8 ， 答案： C. 7.如图，在平行四
5、边形 ABCD 中， E是 AB 的中点， CE 和 BD 交于点 O，设 OCD 的面积为 m，OE B 的面积为 ，则下列结论中正确的是（ ） A.m=5 B.m=4 C.m=3 D.m=10 解析： ABCD ， OCDOEB ， 又 E 是 AB 的中点， 2EB=AB=CD ， =（ ） 2，即 =（ ） 2， 解得 m=4 . 答案 :B. 8.若函数 ，则当函数值 y=8 时，自变量 x 的值是（ ） A. B.4 C. 或 4 D.4 或 解析：把 y=8 代入函数 ， 先代入上边的方程得 x= ， x2 ， x= 不合题意舍去，故 x= ； 再代入下边的方程 x=4， x 2
6、，故 x=4， 综上， x 的值为 4 或 . 答案： D. 9.如图，直线 y=kx+b 经过 A（ 2， 1）， B（ 1， 2）两点，则不等式 x kx+b 2 的解集为（ ） A.x 2 B.x 1 C.x 1 或 x 2 D. 1 x 2 解析：把 A（ 2， 1）， B（ 1， 2）两点的坐标代入 y=kx+b， 得： 解得： 解不等式组： x x 1 2， 得： 1 x 2. 答案 :D. 10.在盒子里放有三张分别写有整式 a+1， a+2， 2 的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（ ） A. B. C. D. 解析：分母含
7、有字母的式子是分式，整式 a+1， a+2， 2 中，抽到 a+1， a+2 做分母时组成的都是分式，共有 32=6 种情况，其中 a+1， a+2 为分母的情况有 4 种，所以能组成分式的概率 = = . 答案 :B. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分） 11.分解因式： ax2 ay2= . 解析： ax2 ay2， =a（ x2 y2）， =a（ x+y）（ x y） . 答案： a（ x+y）（ x y） . 12.将点 A（ 2， 1）向上平移 3 个单位长度得到点 B 的坐标是 . 解析：原来点的横坐标是 2，纵坐标是 1，向上平移 3 个单位长度得到新点的
8、横坐标不变，纵坐标为 1+3=4. 即该坐标为（ 2， 4） . 答案 ：（ 2， 4） . 13.如图是一次函数的 y=kx+b 图象，则关于 x 的不等式 kx+b 0 的解集为 . 解析：由图可知：当 x 2 时， y 0，即 kx+b 0； 因此 kx+b 0 的解集为： x 2. 答案： x 2 14.如图， AB 为 O 的弦， O 的半径为 5， OCAB 于点 D，交 O 于点 C，且 CD=1，则弦 AB的长是 . 解析：连接 AO， 半径是 5， CD=1， OD=5 1=4， 根据勾股定理， AB=32=6 ， 因此弦 AB 的长是 6. 三、解答题（本大题共 6 小题，
9、共 44 分） 15.计算： | 1|+20120（ ） 1 3tan30 . 解析 ： 根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可 . 答案 ：原式 = 1+1（ 3） 3 = +3 =3. 16.解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来 . 解析 ：将不等式组的两不等式分别记作 和 ，由不等式 移项，将 x 的系数化为 1，求出x 的范围，由不等式 左边去括号后，移项并将 x 的系数化为 1 求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可 . 答案 ： 由不等式 移项得： 4x+x 1 6， 整理得： 5x 5， 解得： x
10、 1， 由不等式 去括号得： 3x 3x+5 ， 移项得： 3x x5+3 ， 合并得： 2x8 ， 解得： x4 ， 则不等式组的解集为 1 x4 . 在数轴上表示不等式组的解集如图所示， 17.已知 x 3y=0，求 （ x y）的值 . 解析 ： 首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将 x、 y 的关系式代入化简后的式子中进行计算即可 . 答案 ：当 x 3y=0 时， x=3y； 原式 =18.如图，从热气球 C 上测得两建筑物 A、 B 底部的俯角分别为 30 和 60 度 .如果这时气球的高度 CD 为 90 米 .且点 A、 D、 B 在同一直线上，求建筑物 A、 B
11、间的距离 . 解析 ： 在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可 . 答案 ：由已知，得 ECA=30 ， FCB=60 ， CD=90， EFAB ， CDAB 于点 D. A=ECA=30 ， B=FCB=60 . 在 RtACD 中， CDA=90 ， tanA= ， 在 RtBCD 中， CDB=90 ， tanB= ， AB=AD+BD=90 3 +30 3 =120 3 . 答：建筑物 A、 B 间的距离为 120 3 米 . 19.如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合， A， C 分别在坐标轴上，点 B 的坐标
12、为（ 4， 2），直线 y= x+3 交 AB， BC 于点 M， N，反比例函数 y= 的图象经过点 M， N. （ 1）求反比例函数的 答案 式； （ 2）若点 P 在 x 轴上，且 OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P 的坐标 . 解析 ： （ 1）求出 OA=BC=2，将 y=2 代入 y= x+3 求出 x=2，得出 M 的坐标，把 M 的坐标代入反比例函数的 答案 式即可求出答案； （ 2）求出四边形 BMON 的面积，求出 OP 的值，即可求出 P 的坐标 . 答案 ：（ 1） B （ 4， 2），四边形 OABC 是矩形， OA=BC=2 ， 将 y=2 代入
13、 y= x+3 得： x=2， M （ 2， 2）， 把 M 的坐标代入 y= 得： k=4， 反比例函数的 答案 式是 y= ； （ 2）把 x=4 代入 y= 得： y=1，即 CN=1， S 四边形 BMON=S 矩形 OABC SAOM SCON =42 22 41=4 ， 由题意得： |OP|AO=4 ， AO=2 ， |OP|=4 ， 点 P 的坐标是（ 4， 0）或（ 4， 0） . 20.如图 1，在 ABC 和 EDC 中， AC=CE=CB=CD； ACB=DCE=90 ， AB 与 CE 交于 F， ED与 AB， BC，分别交于 M， H. （ 1）求证： CF=CH；
14、 （ 2）如图 2， ABC 不动，将 EDC 绕点 C 旋转到 BCE=45 时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形？并证明你的结论 . 解析 ：（ 1）要证明 CF=CH，可先证明 BCFECH ，由 ABC=DCE=90 ， AC=CE=CB=CD，可得 B=E=45 ，得出 CF=CH； （ 2）根据 EDC 绕点 C 旋转到 BCE=45 ，推出四边形 ACDM 是平行四边形，由 AC=CD 判断出四边形 ACDM 是菱形 . 解答：（ 1）证明： AC=CE=CB=CD ， ACB=ECD=90 ， A=B=D=E=45 . 在 BCF 和 ECH 中， BCFECH （ ASA
15、）， CF=CH （全等三角形的对应边相等）； （ 2）解：四边形 ACDM 是菱形 . 证明： ACB=DCE=90 ， BCE=45 ， 1=2=45 . E=45 ， 1=E ， ACDE ， AMH=180 A=135=ACD ， 又 A=D=45 ， 四边形 ACDM 是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形）， AC=CD ， 四边形 ACDM 是菱形 . 四、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21.已知若分式 的值为 0，则 x 的值为 . 解析 ： 分式 的值为 0， 解得 x=3， 即 x 的值为 3. 答案 ： 3. 22.在第一象限内，点 P（ 2， 3），
16、M（ a， 2）是双曲线 y= （ k0 ）上的两点， PAx 轴于点 A， MBx 轴于点 B， PA 与 OM 交于点 C，则 OAC 的面积为 . 解析 ： 点 P（ 2， 3）在双曲线 y= （ k0 ）上， k=23=6 ， y= ， 当 y=2 时， x=3，即 M（ 3， 2） . 直线 OM 的 答案 式为 y= x， 当 x=2 时， y= ，即 C（ 2， ） . OAC 的面积 = 2 = . 答案 ： . 23.已知 a2 a 1=0，则 a3 a2 a+2015= . 解析 ： a 2 a 1=0， a 2 a=1， a 3 a2 a+2015=a（ a2 a） a+
17、2015=a a+2015=2015， 答案 ： 2015. 24.如图，两个同心圆，大圆半径为 5cm，小圆的半径为 3cm，若大圆的弦 AB 与小圆相交，则弦 AB 的取值范围是 . 解析 ： 如图，当 AB 与小圆相切时有一个公共点 D， 连接 OA， OD，可得 ODAB ， D 为 AB 的中点，即 AD=BD， 在 RtADO 中， OD=3， OA=5， AD=4 ， AB=2AD=8 ； 当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆相交有两个公共点， 此时 AB=10， 所以 AB 的取值范围是 8 AB10 . 答案 ： 8 AB10 25.如图，点 A 在双曲线 上
18、，点 B 在双曲线 y= 上，且 ABx 轴， C、 D在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 . 解析 ：过 A 点作 AEy 轴，垂足为 E， 点 A 在双曲线 上， 四边形 AEOD 的面积为 1， 点 B 在双曲线 y= 上，且 ABx 轴， 四边形 BEOC 的面积为 3， 四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 3 1=2. 答案 ： 2. 五、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分） 26.某酒厂每天生产 A， B 两种品牌的白酒共 600 瓶， A， B 两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表： 设每天生产 A 种品牌白酒 x 瓶，每天获利 y 元 . （ 1）
19、请写出 y 关于 x 的 函数关系式； （ 2）如果该酒厂每天至少投入成本 26400 元，那么每天至少获利多少元？ A B 成本（元 /瓶） 50 35 利润（元 /瓶） 20 15 解析 ：（ 1） A 种品牌白酒 x 瓶，则 B 种品牌白酒（ 600 x）瓶；利润 =A 种品牌白酒瓶数 A种品牌白酒一瓶的利润 +B 种品牌白酒瓶数 B 种品牌白酒一瓶的利润，列出函数关系式； （ 2） A 种品牌白酒 x 瓶，则 B 种品牌白酒（ 600 x）瓶；成本 =A 种品牌白酒瓶数 A 种品牌白酒一瓶的成本 +B 种品牌白酒瓶数 B 种品牌白酒一瓶的成本，列出方程，求 x 的值，再代入（ 1）求利
20、润 . 答案 ：（ 1） A 种品牌白酒 x 瓶，则 B 种品牌白酒（ 600 x）瓶，依题意，得 y=20x+15（ 600 x） =5x+9000； （ 2） A 种品牌白酒 x 瓶，则 B 种品牌白酒（ 600 x）瓶，依题意，得 50x+35（ 600 x） =26400，解得 x=360， 每天至少获利 y=5x+9000=10800. 27.如图，在 ABC 中， C=90 ， AC+BC=8，点 O 是斜边 AB 上一点，以 O 为圆心的 O 分别与 AC， BC 相切于点 D， E. （ 1）当 AC=2 时，求 O 的半径； （ 2）设 AC=x， O 的半径为 y，求 y
21、与 x 的函数关系式 . 解析 ：（ 1）连接 OD， OE，由 ABC 是直角三角形，以 O 为圆心的 O 分别与 AC， BC 相切于点 D， E，可知 ODBC ，在 ADO 中，解得半径 . （ 2）由题意可知， ODBC ， AOD=B ，则两角正切值相等，进而列出关系式 . 答案 ：（ 1）连接 OE， OD， 在 ABC 中， C=90 ， AC+BC=8， AC=2 ， BC=6 ； 以 O 为圆心的 O 分别与 AC， BC 相切于点 D， E， 四边形 OECD 是正方形， tanB=tanAOD= = = ，解得 OD= ， 圆的半径为 ； （ 2） AC=x ， BC=
22、8 x， 在直角三角形 ABC 中， tanB= = 以 O 为圆心的 O 分别与 AC， BC 相切于点 D， E， 四边形 OECD 是正方形 . tanAOD=tanB= = = 解得 y= x2+x. 28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c，经过 A（ 0， 4）， B（ x1， 0）， C（ x2， 0）三点，且 |x2 x1|=5. （ 1）求 b， c 的值； （ 2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形； （ 3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判
23、断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 . 解析 ： （ 1）把 A（ 0， 4）代入可求 c，运用两根关系及 |x2 x1|=5，对式子合理变形，求 b； （ 2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的 D 点，就是抛物线的顶点； （ 3）由四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，可得 PH 垂直平分 OB，求出 OB 的中点坐标，代入抛物线 答案 式即可，再根据所求点的坐标与线段 OB 的长度关系，判断是否为正方形即可 . 答案 ：（ 1） 抛物线 y= x2+bx+c，经过点 A（ 0， 4）， c= 4 又 由题意可知， x1、
24、 x2是方程 x2+bx 4=0 的两个根， x 1+x2= b， x1x2=6 由已知得（ x2 x1） 2=25 又 （ x2 x1） 2=（ x2+x1） 2 4x1x2= b2 24 b2 24=25 解得 b= ，当 b= 时，抛物线与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴上，不合题意，舍去 . b= . （ 2） 四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上， 又 y= x2 x 4= （ x+ ） 2+ ， 抛物线的顶点（ ， ）即为所求的点 D. （ 3） 四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点 B 的坐标为（ 6， 0），根据菱形的性质，点 P 必是直线 x= 3 与 抛物线 y= x2 x 4 的交点， 当 x= 3 时， y= （ 3） 2 （ 3） 4=4， 在抛物线上存在一点 P（ 3， 4），使得四边形 BPOH 为菱形 . 四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形 BPOH 为正方形，点 P 的坐标只能是（ 3， 3），但这一点不在抛物线上 .
