1、 2015年甘肃省酒泉市中考 真题 数学 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30分） 1. 64 的立方根是（ ） A.4 B.4 C.8 D.8 解析： 如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根， 4 的立方等于 64， 64 的立方根等于 4. 答案： A. 2.中国航空母舰 “ 辽宁号 ” 的满载排水量为 67500吨 .将数 67500用科学记数法表示为（ ） A.0.67510 5 B.6.7510 4 C.67.510 3 D.67510 2 解析： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，
2、要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 .将 67500 用科学记数法表示为： 6.7510 4. 答案： B. 3.若 A=34 ，则 A 的补角为（ ） A.56 B.146 C.156 D.166 解析： A=34 ， A 的补角 =180 34=146 . 答案： B. 4.下列运算正确的是（ ） A.x2+x2=x4 B.（ a b） 2=a2 b2 C.（ a2） 3= a6 D.3a2 2a3=6a6 解析： 根据同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法计算
3、. A、 x2+x2=2x2，错误； B、（ a b） 2=a2 2ab+b2，错误； C、（ a2） 3= a6，正确； D、 3a2 2a3=6a5，错误； 答案： C. 5.如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 解析： 从上面看易得上面第一层中间有 1 个正方形，第二层有 3 个正方形 .下面一层左边有 1 个正方形 . 答案： A. 6.下列命题中，假命题是（ ） A.平行四边形是中心对称图形 B.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 C.对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 D.
4、若 x2=y2，则 x=y 解析： A、平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，故该命题是真命题； B、三角形三边的垂直平分线相交于一点，为三角形的外心，这点到三角形三个顶点的距离相等，故该命题是真命题； C、用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差，故该命题是真命题； D、若 x2=y2，则 x=y ，不是 x=y，故该命题是假命题； 答案： D. 7.今年来某县加大了对教育经费的投入， 2013 年投入 2500 万元， 2015 年投入 3500 万元 .假设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据题意列方程，则下列方程正确的
5、是（ ） A.2500x2=3500 B.2500（ 1+x） 2=3500 C.2500（ 1+x%） 2=3500 D.2500（ 1+x） +2500（ 1+x） 2=3500 解析： 设增长率为 x，根据题意得 2500 （ 1+x） 2=3500， 答案： B. 8.ABC 为 O 的内接三角形，若 AOC=160 ，则 ABC 的度数是（ ） A.80 B.160 C.100 D.80 或 100 解析： 如图， AOC=160 ， ABC= AOC= 160=80 ， ABC+ABC=180 ， ABC=180 ABC=180 80=100 . ABC 的度数是： 80 或 10
6、0 . 答案： D. 9.如图， D、 E 分别是 ABC 的边 AB、 BC 上的点， DEAC ，若 SBDE ： SCDE =1： 3，则 SDOE ： SAOC的值为（ ） A. B. C. D. 解析： 证明 BE： EC=1： 3，进而证明 BE： BC=1： 4；证明 DOEAOC ，得到 ，借助相似三角形的性质即可解决问题 . 解答： 解： S BDE ： SCDE =1： 3， BE ： EC=1： 3； BE ： BC=1： 4； DEAC ， DOEAOC ， ， S DOE ： SAOC = = ， 答案： D. 10.如图，矩形 ABCD 中， AB=3， BC=5，
7、点 P 是 BC 边上的一个动点（点 P 与点 B、 C 都不重合），现将 PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作 BPF 的角平分线交 AB 于点 E.设BP=x， BE=y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 解析： 证明 BPECDP ，根据相似三角形的对应边的比相等求得 y 与 x 的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断 . 解答： CPD=FPD ， BPE=FPE ， 又 CPD+FPD+BPE+FPE=180 ， CPD+BPE=90 ， 又 直角 BPE 中， BPE+BEP=90 ， BEP=C
8、PD ， 又 B=C ， BPECDP ， ，即 ，则 y= x2+ ， y 是 x 的二次函数，且开口向下 . 答案： C. 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3分，共 24分） 11.分解因式： x3y 2x2y+xy= . 解析： 原式 =xy（ x2 2x+1） =xy（ x 1） 2. 答案 ： xy（ x 1） 2 12.分式方程 的解是 . 解析： 方程的两边同乘 x（ x+3），得 2（ x+3） =5x， 解得 x=2. 检验：把 x=2 代入 x（ x+3） =100 ，即 x=2 是原分式方程的解 . 故原方程的解为： x=2. 答案 ： x=2. 13.在函数 y=
9、 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析： 根据题意得： x+10 且 x0 ， 解得： x 1 且 x0 . 答案 ： x 1 且 x0 . 14.定义新运算：对于任意实数 a， b 都有： ab=a （ a b） +1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算 .如： 25=2 （ 2 5） +1=2 （ 3） +1= 5，那么不等式 3x 13 的解集为 . 解析： 3x 13， 3（ 3 x） +1 13， 解得： x 1. 答案 ： x 1. 15.已知 、 均为锐角，且满足 |sin |+ =0，则 += . 解析： |sin |+ =0， sin= ， tan=1 ， =30 ，
10、 =45 ， 则 +=30+45=75 . 答案 ： 75 . 16.关于 x 的方程 kx2 4x =0 有实数根，则 k 的取值范围是 . 解析： 当 k=0 时， 4x =0，解得 x= ， 当 k0 时，方程 kx2 4x =0 是一元二次方程， 根据题意可得： =16 4k （ ） 0 ， 解得 k 6， k0 ， 综上 k 6， 答案 ： k 6. 7.如图，半圆 O 的直径 AE=4，点 B， C， D 均在半圆上，若 AB=BC， CD=DE，连接 OB， OD，则图中阴影部分的面积为 . 解析： 根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形 BOD 的面积，根据扇形面积公式即可求
11、解 . 解答： AB=BC ， CD=DE， = ， = ， + = + ， BOD=90 ， S 阴影 =S 扇形 OBD= . 答案 ： . 18.古希腊数学家把数 1， 3， 6， 10， 15， 21， 叫做三角形数，其中 1 是第一个三角形数，3 是第 2 个三角形数， 6 是第 3 个三角形数， 依此类推，那么第 9 个三角形数是 ， 2016是第 个三角形数 . 解析： 第 9 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， 1+2+3+4+n=2016 ， n（ n+1） =4032， 解得： n=63. 答案 ： 45， 63. 三、解答题（本题共 5 小题，共 2
12、6 分） 19.计算： + +（ 1） 2015 tan60 . 解析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案 ： 原式 =1+2 1 =2 3 = 1. 20.先化简，再求值： ，其中 x=0. 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x=0 代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = 当 x=0 时，原式 = . 21.如图，已知在 ABC 中， A=90 （ 1）请用圆规和直尺作出 P ，使圆心 P在 AC 边上，且与 AB， BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证
13、明） . （ 2）若 B=60 ， AB=3，求 P 的面积 . 解析： （ 1）作 ABC 的平分线交 AC 于 P，再以 P 为圆心 PA为半径即可作出 P ； （ 2）根据角平分线的性质得到 ABP=30 ，根据三角函数可得 AP= ，再根据圆的面积公式即可求解 . 答案 ：（ 1）如图所示，则 P 为所求作的圆 . （ 2） B=60 ， BP 平分 ABC ， ABP=30 ， tanABP= ， AP= ， S P =3 . 22.如图 所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点 D， E， F， G，已知 CGD=42 （ 1）求 CEF 的度数； （ 2）将直尺向
14、下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点 B，交 AC 边于点 H，如图 所示，点 H， B 在直尺上的度数分别为 4， 13.4，求 BC 的长（结果保留两位小数） . （参考数据： sin420.67 ， cos420.74 ， tan420.90 ） 解析： （ 1）先根据直角三角形的两锐角互为求出 CDG 的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出 DEF ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出EFA ； （ 2）根据度数求出 HB 的长度，再根据 CBH=CGD=42 ，利用 42 的余弦值进求解 . 答案 ：（ 1） CGD=42 ， C=90 ， CDG=90
15、42=48 ， DGEF ， CEF=CDG=48 ； （ 2） 点 H， B 的读数分别为 4， 13.4， HB=13.4 4=9.4（ m）， BC=HBcos429.40.746.96 （ m） . 答： BC 的长为 6.96m. 23.有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别下上整式 x2+1， x2 2， 3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为 A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为 B，于是得到代数式 . （ 1）请用画树状图成列表的方法，写出代数式 所有可能的结果； （ 2）求代数式 恰好是分式的概率 . 解析： （ 1）
16、首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果； （ 2）由（ 1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果能组成分式的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 . 答案 ：（ 1）画树状图： 列表： 第一次 x2+1 x2 2 3 第二次 x2+1 x2 2 3 （ 2）代数式 所有可能的结果共有 6 种，其中代数式 是分式的有 4 种： ， ， ， 所以 P （是分式） = . 四、解答题（本题共 5 小题，共 40 分） 24.某班同学响应 “ 阳光体育运动 ” 号召，利用课外活动积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行了训练，训练前后都进
17、行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮进球数进行整理，作出如下统计图表 . 训练后篮球定点投篮测试进球统计表 进球数（个） 8 7 6 5 4 3 人数 2 1 4 7 8 2 请你根据图表中的信息回答下列问题： （ 1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 个； （ 2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有同学 人； （ 3）根据测试资料，参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了 25%，求参加训练之前的人均进球数 . 解析： （ 1）根据平均数的概念计算平均进球数； （ 2）根据所有人数的比例和为 1 计算选择长跑训练的人数占全班人数的百分比；由总人
18、数 =某种运动的人数 所占比例计算总人数； （ 3）通过比较训练前后的成绩，利用增长率的意义即可列方程求解 . 答案 ：（ 1）参加篮球训练的人数是： 2+1+4+7+8+2=24（人） . 训练后篮球定时定点投篮人均进球数 = =5（个） . 故答案是： 5； （ 2）由扇形图可以看出： 选择长跑训练的人数占全班人数的百分比 =1 60% 10% 20%=10%， 则全班同学的人数为 2460%=40 （人）， 故答案是： 10%， 40； （ 3）设参加训练之前的人均进球数为 x 个， 则 x（ 1+25%） =5，解得 x=4. 即参加训练之前的人均进球数是 4 个 . 25.如图，平行
19、四边形 ABCD 中， AB=3cm， BC=5cm， B=60 ， G 是 CD 的中点， E 是边 AD 上的动点， EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连结 CE， DF. （ 1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （ 2） 当 AE= cm 时，四边形 CEDF 是矩形； 当 AE= cm 时，四边形 CEDF 是菱形 . （直接写出答案，不需要说明理由） 解析： （ 1）证 CFGEDG ，推出 FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可； （ 2） 求出 MBAEDC ，推出 CED=AMB=90 ，根据矩形的判定推出即可； 求出 CDE 是等边三角形，推出 CE=DE
20、，根据菱形的判定推出即可 . 解答： （ 1）证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， CFED ， FCG=EDG ， G 是 CD 的中点， CG=DG ， 在 FCG 和 EDG 中， ， FCGEDG （ ASA） FG=EG ， CG=DG ， 四边形 CEDF 是平行四边形； （ 2） 解：当 AE=3.5 时，平行四边形 CEDF 是矩形， 理由是：过 A 作 AMBC 于 M， B=60 ， AB=3， BM=1.5 ， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDA=B=60 ， DC=AB=3， BC=AD=5， AE=3.5 ， DE=1.5=BM ， 在 MBA 和 EDC
21、中， ， MBAEDC （ SAS）， CED=AMB=90 ， 四边形 CEDF 是平行四边形， 四边形 CEDF 是矩形， 故答案为： 3.5； 当 AE=2 时，四边形 CEDF 是菱形， 理由是： AD=5 ， AE=2， DE=3 ， CD=3 ， CDE=60 ， CDE 是等边三角形， CE=DE ， 四边形 CEDF 是平行四边形， 四边形 CEDF 是菱形， 故答案为： 2. 26.如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 C 与原点 O 重合，点 B在 y 轴的正半轴上，点 A 在反比例函数 y= （ k x， x 0）的图象 上，点 D 的坐标为（ 4， 3） .
22、 （ 1）求 k 的值； （ 2）若将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，当菱形的顶点 D 落在函数 y= （ k 0， x 0）的图象上时，求菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移的距离 . 解析： （ 1）过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，首先得出 A 点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可； （ 2）将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 （ x 0）的图象 D 点处，得出点 D 的纵坐标为 3，求出其横坐标，进而得出菱形 ABCD 平移的距离 . 答案 ：（ 1）过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F， 点 D 的坐标为（ 4， 3）， OF=4
23、 ， DF=3， OD=5 ， AD=5 ， 点 A 坐标为（ 4， 8）， k=xy=48=32 ， k=32 ； （ 2）将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 （ x 0）的图象 D 点处， 过点 D 做 x 轴的垂线，垂足为 F . DF=3 ， DF=3 ， 点 D 的纵坐标为 3， 点 D 在 的图象上 3= ， 解得： x= ， 即 OF= ， FF= 4= ， 菱形 ABCD 平移的距离为 . 27.已知 ABC 内接于 O ，过点 A 作直线 EF. （ 1）如图 所示，若 AB 为 O 的直径，要使 EF 成为 O 的切线，还需要添加的一个条件是（至少
24、说出两种）： 或者 . （ 2）如图 所示，如果 AB 是不过圆心 O 的弦，且 CAE=B ，那么 EF 是 O 的切线吗？试证明你的判断 . 解析： （ 1）求出 BAE=90 ，再根据切线的判定定理推出即可； （ 2）作直径 AM，连接 CM，根据圆周角定理求出 M=B ， ACM=90 ，求出 MAC+CAE=90 ，再根据切线的判定推出即可 . 答案 ：（ 1） BAE=90 ， EAC=ABC ， 理由是： BAE=90 ， AEAB ， AB 是直径， EF 是 O 的切线； AB 是直径， ACB=90 ， ABC+BAC=90 ， EAC=ABC ， BAE=BAC+EAC=
25、BAC+ABC=90 ， 即 AEAB ， AB 是直径， EF 是 O 的切线； （ 2） EF 是 O 的切线 . 证明：作直径 AM，连接 CM， 则 ACM=90 ， M=B ， M+CAM=B+CAM=90 ， CAE=B ， CAM+CAE=90 ， AEAM ， AM 为直径， EF 是 O 的切线 . 28.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（ 0， 4）， B（ 1， 0）， C（ 5， 0），其对称轴与 x轴相交于点 M. （ 1）求抛物线的解析式和对称轴； （ 2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使 PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说
26、明理由； （ 3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： （ 1）抛物线经过点 A（ 0， 4）， B（ 1， 0）， C（ 5， 0），可利用两点式法设抛物线的解析式为 y=a（ x 1）（ x 5），代入 A（ 0， 4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴； （ 2）点 A 关于对称轴的对称点 A 的坐标为（ 6， 4），连接 BA 交对称轴于点 P，连接 AP，此时 PAB 的周长最小，可求出直线 BA 的解析式，即可得出点 P 的坐标 . （ 3）在直线 AC 的下方
27、的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大 .设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（ t， t2 t+4）（ 0 t 5），再求得直线 AC 的解析式，即可求得 NG 的长与 ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案 . 答案 ：（ 1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（ x 1）（ x 5）， 把点 A（ 0， 4）代入上式得： a= ， y= （ x 1）（ x 5） = x2 x+4= （ x 3） 2 ， 抛物线的对称轴是： x=3； （ 2） P 点坐标为（ 3， ） . 理由如下： 点 A（ 0， 4），抛物线的对称轴是 x=3， 点 A 关于对称轴的对称点 A 的
28、坐标为（ 6， 4） 如图 1，连接 BA 交对称轴于点 P，连接 AP，此 时 PAB 的周长最小 . 设直线 BA 的解析式为 y=kx+b， 把 A （ 6， 4）， B（ 1， 0）代入得 ， 解得 ， y= x ， 点 P 的横坐标为 3， y= 3 = ， P （ 3， ） . （ 3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大 . 设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（ t， t2 t+4）（ 0 t 5）， 如图 2，过点 N 作 NGy 轴交 AC 于 G；作 ADNG 于 D， 由点 A（ 0， 4）和点 C（ 5， 0）可求出直线 AC 的解析式为： y= x+4， 把 x=t 代入得： y= t+4，则 G（ t， t+4）， 此时： NG= t+4（ t2 t+4） = t2+4t， AD+CF=CO=5 ， S ACN =SANG +SCGN = AMNG+ NGCF= NG OC= （ t2+4t） 5= 2t2+10t= 2（ t） 2+ ， 当 t= 时， CAN 面积的最大值为 ， 由 t= ，得： y= t2 t+4= 3， N （ ， 3） .
