1、2015年福建省泉州市中考真题数学 一、选择题 (共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分 ) 1. -7 的倒数是 ( ) A.7 B.-7 C.17D.-17解析： 根据乘积是 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数 .-7 的倒数是 -17. 答案： D. 2.计算： (ab2)3=( ) A.3ab2 B.ab6 C.a3b6 D.a3b2 解析： (ab2)3=a3(b2)3=a3b6. 答案： C. 3.把不等式 x+2 0 的解集在数轴上表示出来，则正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 解不等式 x+2 0，得 x -2.表示在数轴上 如下 . 答案： D 4.甲
2、、乙、丙、丁四人参加训练，近期的 10 次百米测试平均成绩都是 13.2 秒，方差如表 则这四人中发挥最稳定的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析： 0.019 0.020 0.021 0.022，乙的方差最小， 这四人中乙发挥最稳定 . 答案： B 5.如图， ABC 沿着由点 B 到点 E 的方向，平移到 DEF，已知 BC=5.EC=3，那么平移的距离为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.7 解析： 观察图象，发现平移前后， B、 E 对应， C、 F 对应，根据平移的性质，易得平移的距离 =BE=5-3=2. 答案： A 6.已知 ABC 中， AB=6， BC=4，那么
3、边 AC 的长可能是下列哪个值 ( ) A.11 B.5 C.2 D.1 解析： 根据三角形的三边关系， 6-4 AC 6+4，即 2 AC 10，符合条件的只有 5. 答案： B 7.在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断， a 0， b 0；而对于抛物线 y=ax2+bx来说，对称轴 x=-2ba 0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误 . B、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断， a 0， b 0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，图象应开
4、口向下，故不合题意，图形错误 . C、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断， a 0， b 0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，图象开口向下，对称轴 y=-2ba位于 y 轴的右侧，故符合题意， D、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断， a 0， b 0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，图象开口向下， a 0，故不合题意，图形错误 . 答案： C 二、填空题 (共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分 ) 8.比较大小： 4 15 (填“”或“” ) 解析： 4= 16 ， 16 15 ， 4 15 . 答案： 9.因式分解： x2-49= . 解析： x2
5、-49=(x-7)(x+7). 答案： (x-7)(x+7). 10.声音在空气中每小时约传播 1200 千米，将 1200 用科学记数法表示为 . 解析： 1200=1.2 103. 答案： 1.2 103 11.如图，在正三角形 ABC 中， AD BC 于点 D，则 BAD= . 解析： ABC 是等边三角形， BAC=60， AB=AC， AD BC， BAD=12 BAC=30 . 答案： 30 . 12.方程 x2=2 的解是 . 解析： x2=2， x= 2 . 答案： 2 . 13.计算： 2 1 1aaa = . 解析： 原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果 .
6、 原式 = 2 1 1 2aa =2. 答案： 2 14.如图， AB 和 O 切于点 B， AB=5， OB=3，则 tanA= . 解析： 直线 AB 与 O 相切于点 B，则 OBA=90 . AB=5， OB=3， tanA= 35OBAB. 答案： 3515.方程组 421xyxy ， 的解是 . 解析： 421xyxy ， +得： 3x=3，即 x=1， 把 x=1 代入得： y=-3， 则方程组的解为 13.xy， 答案： 13.xy， 16.如图，在 O的内接四边形 ABCD中，点 E在 DC的延长线上 .若 A=50，则 BCE= . 解析： 四边形 ABCD 内接于 O，
7、BCE= A=50 . 答案： 50 17.在以 O 为圆心 3cm 为半径的圆周上，依次有 A、 B、 C 三个点，若四边形 OABC 为菱形，则该菱形的边长等于 cm；弦 AC 所对的弧长等于 cm. 解析： 连接 OB 和 AC 交于点 D， 四边形 OABC 为菱形， OA=AB=BC=OC， O 半径为 3cm， OA=OC=3cm， OA=OB， OAB 为等边三角形， AOB=60， AOC=120，弧 AC=120 3180=2，优弧 AC=240 3180=4 . 答案： 3， 2或 4 三、解答题 (共 9 小题，满分 89 分 ) 18. 计算： |-4|+(2- )0-
8、8 4-1+ 18 2 . 解析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用二次根式的除法法则变形，计算即可得到结果 . 答案： 原式 =4+1-2+3=6. 19.先化简，再求值： (x-2)(x+2)+x2(x-1)，其中 x=-1. 解析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =x2-4+x3-x2=x3-4， 当 x=-1 时，原式 =-5. 20.如图，在矩形 ABCD 中 .点 O 在边 AB 上， AOC= B
9、OD.求证： AO=OB. 解析： 先根据矩形的性质得到 A= B=90， AD=BC，利用角角之间的数量关系得到 AOD= BOC，利用 AAS 证明 AOD BOC，即可得到 AO=OB. 答案： 四边形 ABCD 是矩形， A= B=90， AD=BC， AOC= BOD， AOC- DOC= BOD- DOC， AOD= BOC， 在 AOD 和 BOC 中， ABA O D B O CA D B C ， AOD BOC， AO=OB. 21.为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排 1 位女选手和 3位男 选手的出场顺序时，采用随机抽签方式 . (1)请直接写
10、出第一位出场是女选手的概率； (2)请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率 . 解析： (1)根据 4 位选手中女选手只有 1 位，求出第一位出场是女选手的概率即可； (2)列表得出所有等可能的情况数，找出第一、二位出场都为男选手的情况数，即可求出所求的概率 . 答案： (1)P(第一位出场是女选手 )= 14； (2)列表得： 所有等可能的情况有 12 种，其中第一、二位出场都是男选手的情况有 6 种， 则 P(第一、二位出场都是男选手 )= 6112 2. 22.清明期间，某校师生组成 200 个小组参加“保护环境，美化家园”植树活动
11、.综合实际情况，校方要求每小组植树量为 2 至 5 棵，活动结束后，校方随机抽查了其中 50 个小组，根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图 .请根据图中提供的信息，解答下面的问题： (1)请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中，植树量为“ 5 棵树”的圆心角是 . (2)请你帮学校估算此次活动共种多少棵树 . 解析： (1)利用 360乘以对应的比例即可求解； (2)先求出抽查的 50 个组植树的平均数，然后乘以 200 即可求解 . 答案： (1)植树量为“ 5 棵树”的圆心角是： 360 1050=72， 故答案是： 72； (2)每个小组的植树棵树： 150(2 8+3
12、15+4 17+5 10)=17950(棵 )， 则此次活动植树的总棵树是： 17950 200=716(棵 ). 答：此次活动约植树 716 棵 . 23.如图，在平面直角坐标系中，点 A( 3 ， 1)、 B(2， 0)、 O(0， 0)，反比例函数 y=kx图象经过点 A. (1)求 k 的值； (2)将 AOB 绕点 O 逆时针旋转 60，得到 COD，其中点 A 与点 C 对应，试判断点 D 是否在该反比例函数的图象上？ 解析： (1)根据函数 y=kx的图象过点 A( 3 ， 1)，直接求出 k 的值； (2)过点 D 作 DE x 轴于点 E，根据旋转的性质求出 OD=OB=2，
13、 BOD=60，利用解三角形求出 OE 和 OD 的长，进而得到点 D 的坐标，即可作出判断点 D是否在该反比例函数的图象上 . 答案： (1)函数 y=kx的图象过点 A( 3 ， 1)， k=xy= 3 1= 3 . (2) B(2， 0)， OB=2， AOB 绕点 O 逆时针旋转 60得到 COD， OD=OB=2， BOD=60， 如图，过点 D 作 DE x 轴于点 E， DE=OE sin60 =2 32= 3 ， OE=OD cos60 =2 12=1， D(1， 3 )， 由 (1)可知 y= 3x，当 x=1 时， y= 31= 3 ， D(1， 3 )在反比例函数 y=
14、3x的图象上 . 24.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙 (墙足够长 )，另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 3 米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： (1)设 AB=x 米 (x 0)，试用含 x 的代数式表示 BC 的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？ 解析： (1)设 AB=x 米，根据等式 x+x+BC=69+3，可以求出 BC 的表达式； (2)得出面积关系式，根据所求关系式进行判断即可 . 答案： (1)设 AB=
15、x 米，可得 BC=69+3-2x=72-2x； (2)小英说法正确； 矩形面积 S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648， 72-2x 0， x 36， 0 x 36，当 x=18 时， S 取最大值， 此时 x 72-2x，面积最大的不是正方形 . 25. (1)如图 1 是某个多面体的表面展开图 . 请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点； 如果沿 BC、 GH 将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么 BMC 应满足什么条件？ (不必说理 ) (2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图 2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是
16、多少？为什么？ (注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计 ) 解析： (1)根据这个多面体的表面展开图，可得这个多面体是直三棱柱，点 A、 M、 D 三个字母表示多面体的同一点，据此解答即可 . 根据图示，要使沿 BC、 GH 将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，则 BMC 应满足两个条件： BMC 中的三个内角有一个是直角； BMC 中的一条直角边和 DH 的长度相等，据此解答即可 . (2)首先判断出矩形 ACKL、 BIJC、 AGHB 为棱柱的三个侧面，且四边形 DGAL、 EIBH、 FKCJ 须拼成与底面 ABC 全等的另一个底面的三角形， AC=LK，且 AC=DL+FK， 12ACD
17、F，同理，可得 12A B B C A CD E E F D F ，据此判断出 ABC DEF，即可判断出 S DEF=4S ABC；然后求出该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少即可 . 答案： (1)根据这个多面体的表面展开图，可得 ： 这个多面体是直三棱柱， 点 A、 M、 D 三个字母表示多面体 的同一点 . BMC 应满足的条件是： a、 BMC=90，且 BM=DH，或 CM=DH； b、 MBC=90，且 BM=DH，或 BC=DH； c、 BCM=90，且 BC=DH，或 CM=DH； (2)如图 2，连接 AB、 BC、 CA， DEF 是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，矩形
18、ACKL、 BIJC、 AGHB 为棱柱的三个侧面， 且四边形 DGAL、 EIBH、 FKCJ 须拼成与底面 ABC 全等的另一个底面的三角形， AC=LK，且 AC=DL+FK， 12ACDF， 同理，可得 12A B B C A CD E E F D F ， ABC DEF， 14ABCDEFSS ，即 S DEF=4S ABC， = 22 142D E F A B C A B CD E F A B CS S S SS S S 面表 面侧 积积.即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 12. 26.阅读理解 抛物线 y=14x2上任意一点到点 (0， 1)的距离与到直线 y=-1 的距离相等
19、，你可以利用这一性质解决问题 . 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+1 与 y 轴交于 C 点，与函数 y=14x2的图象交于 A， B两点，分别过 A， B 两点作直线 y=-1 的垂线，交于 E， F 两点 . (1)写出点 C 的坐标，并说明 ECF=90； (2)在 PEF 中， M 为 EF 中点， P 为动点 . 求证： PE2+PF2=2(PM2+EM2)； 已知 PE=PF=3，以 EF 为一条对角线作平行四边形 CEDF，若 1 PD 2，试求 CP 的取值范围 . 解析： (1)如图 1，只需令 x=0，即可得到点 C 的坐标 .根据题意可得 AC=AE，
20、从而有 AEC= ACE.易证 AE CO，从而有 AEC= OCE，即可得到 ACE= OCE，同理可得 OCF= BCF，然后利用平角的定义即可证到 ECF=90； (2)过点 P 作 PH EF 于 H，分点 H 在线段 EF 上 (如图 2 )和点 H 在线段 EF 的延长线 (或反向延长线 )上 (如图 2 )两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及平方差公式即可证到PE2+PF2-2PM2=2EM2，即 PE2+PF2=2(PM2+EM2)； 连接 CD， PM，如图 3.易证 CEDF 是矩形，从而得到 M是 CD 的中点，且 MC=EM，然后根据中的结论，可得：在 PEF 中，有
21、PE2+PF2=2(PM2+EM2)，在 PCD 中，有 PC2+PD2=2(PM2+CM2).由 MC=EM 可得 PC2+PD2=PE2+PF2.根据 PE=PF=3 可求得 PC2+PD2=18.根据 1 PD 2 可得 1 PD2 4，即 1 18-PC2 4，从而可求出 PC 的取值范围 . 答案： (1)当 x=0 时， y=k 0+1=1，则点 C 的坐标为 (0， 1). 根据题意可得： AC=AE， AEC= ACE. AE EF， CO EF， AE CO， AEC= OCE， ACE= OCE. 同理可得： OCF= BCF. ACE+ OCE+ OCF+ BCF=180
22、， 2 OCE+2 OCF=180， OCE+ OCF=90，即 ECF=90 . (2)过点 P 作 PH EF 于 H， .若点 H 在线段 EF 上，如图 2 . M 为 EF 中点， EM=FM=12EF. 根据勾股定理可得： PE2+PF2-2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2-2PM2 =2PH2+EH2+HF2-2(PH2+MH2) =EH2-MH2+HF2-MH2 =(EH+MH)(EH-MH)+(HF+MH)(HF-MH) =EM(EH+MH)+MF(HF-MH) =EM(EH+MH)+EM(HF-MH) =EM(EH+MH+HF-MH) =EM EF=2EM2， PE2
23、+PF2=2(PM2+EM2)； .若点 H 在线段 EF 的延长线 (或反向延长线 )上，如图 2 . 同理可得： PE2+PF2=2(PM2+EM2). 综上所述：当点 H 在直线 EF 上时，都有 PE2+PF2=2(PM2+EM2)； 连接 CD、 PM，如图 3. ECF=90， CEDF 是矩形， M 是 EF 的中点， M 是 CD 的中点，且 MC=EM. 由中的结论可得： 在 PEF 中，有 PE2+PF2=2(PM2+EM2)， 在 PCD 中，有 PC2+PD2=2(PM2+CM2). MC=EM， PC2+PD2=PE2+PF2. PE=PF=3， PC2+PD2=18. 1 PD 2， 1 PD2 4， 1 18-PC2 4， 14 PC2 17. PC 0， 14 PC 17 .
