1、 2015 年福建省福州市中考真题数学 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分） 1. a 的相反数是（ ） A. |a| B. 1aC.-a D. a 解析： a 的相反数是 -a故选： C. 答案： C 2. 下列图形中，由 1= 2 能得到 AB CD 的是（ ） A. B. C. D. 解析：如图所示： 1= 2（已知）， AB CD（内错角相等，两直线平行）， 故选 B. 答案： B 3. 不等式组 12xx 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 解析： 不等式组 12xx 的解集是： -1 x 2， 不等式组 12xx 的解集在数轴上表示为：
2、故选 A. 答案： A 4. 计算 3.8 710 -3.7 710 ，结果用科学记数法表示为（ ） A.0.1 710 B.0.1 610 C.1 710 D.1 610 解析： 3.8 710 -3.7 710 =（ 3.8-3.7） 710 =0.1 710 =1 610 故选： D 答案： D 5. 下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ） A.扇形图 B.条形图 C.折线图 D.直方图 解析： 根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的
3、具体数目 . 在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图 . 故选： A 答案： A 6. 计算 1aa 的结果为（ ） A.-1 B.0 C.1 D. a 解析： 1aa = 0a =1 故选： C 答案： C 7. 如图，在 3 3 的正方形网格中由四个格点 A， B， C， D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ） A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 解析：当以点 B 为原点时， A（ -1， -1）， C（ 1， -1）， 则点 A 和点 C 关于 y 轴对称， 符合
4、条件， 故选： B 答案： B 8. 如图， C， D 分别是线段 AB， AC 的中点，分别以点 C， D 为圆心， BC 长为半径画弧，两弧交于点 M，测量 AMB 的度数，结果为（ ） A.80 B.90 C.100 D.105 解析：如图， AB 是以点 C 为圆心， BC 长为半径的圆的直径， 因为直径对的圆周角是 90， 所以 AMB=90， 所以测量 AMB 的度数，结果为 90 故选： B. 答案： B 9. 若一组数据 1， 2， 3， 4， x 的平均数与中位数相同，则实数 x 的值不可能是（ ） A.0 B.2.5 C.3 D.5 解析：（ 1）将这组数据从小到大的顺序排
5、列为 1， 2， 3， 4， x， 处于中间位置的数是 3， 中位数是 3， 平均数为（ 1+2+3+4+x） 5， 3=（ 1+2+3+4+x） 5， 解得 x=5；符合排列顺序； （ 2）将这组数据从小到大的顺序排列后 1， 2， 3， x， 4， 中位数是 3， 此时平均数是（ 1+2+3+4+x） 5=3， 解得 x=5，不符合排列顺序； （ 3）将这组数据从小到大的顺序排列后 1， x， 2， 3， 4， 中位数是 2， 平均数（ 1+2+3+4+x） 5=2， 解得 x=0，不符合排列顺序； （ 4）将这组数据 从小到大的顺序排列后 x， 1， 2， 3， 4， 中位数是 2， 平
6、均数（ 1+2+3+4+x） 5=2， 解得 x=0，符合排列顺序； （ 5）将这组数据从小到大的顺序排列后 1， 2， x， 3， 4， 中位数， x， 平均数（ 1+2+3+4+x） 5=x， 解得 x=2.5，符合排列顺序； x 的值为 0、 2.5 或 5 故选 C. 答案： C 10. 已知一个函数图象经过（ 1， -4），（ 2， -2）两点，在自变量 x 的某个取值范围内，都有函数值 y 随 x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.反比 例函数 D.二次函数 解析： 设一次函数解析式为： y=kx+b， 由题意得， 422kbkb ，
7、 解得， 26kb， k 0， y 随 x 的增大而增大， A、 B 错误， 设反比例函数解析式为： kyx， 由题意得， k=-4， k 0， 在每个象限， y 随 x 的增大而增大， C 错误， 当抛物线开口向上， x 1 时， y 随 x 的增大而减小 故选： D. 答案： D 二、填空题（共 6 小题，满分 24 分） 11. 分解因式 2a -9 的结果是 . 解析： 直接运用平方差公式分解： 2a -9=（ a+3）（ a-3） 答案：（ a+3）（ a-3） 12. 计算（ x -1）（ x +2）的结果是 . 解析： 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（ a+b）（ m+n）
8、 =am+an+bm+bn，则， （ x -1）（ x +2） = 2x +2x -x -2 = 2x +x -2 答案 ： 2x +x -2 13. 一个反比例函数图象过点 A（ -2， -3），则这个反比例函数的解析式是 . 解析： 设这个反比例函数解析式为 kyx， 2k=-3， 解得 k=6， 这个反比例函数的解析式是 6yx. 答案： 6yx14. 一组数据： 2015， 2015， 2015， 2015， 2015， 2015 的方差是 . 解析： 方差是用来衡量一组数据波动大小的量数据 2015， 2015， 2015， 2015， 2015， 2015全部相等，没有波动，故其方
9、差为 0. 答案： 0 15. 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为 2 cm，则正方体的体积为 3cm . 解析： 该几何体的俯视图如图： 圆柱底面周长为 2 cm， OA=OB=1cm， AOB=90， AB= 2 OA= 2 ， 该正方体的体积为 3( 2) =22， 答案： 22 16. 如图，在 Rt ABC 中， ABC=90， AB=BC= 2 ，将 ABC 绕点 C 逆时针旋转 60，得到 MNC，连接 BM，则 BM 的长是 . 解析： 如图，连接 AM， 由题意得： CA=CM， ACM=60
10、， ACM 为等边三角形， AM=CM， MAC= MCA= AMC=60； ABC=90， AB=BC= 2 ， AC=2=CM=2， AB=BC， CM=AM， BM 垂直平分 AC， BO=12AC=1， OM=CM sin60 = 3 ， BM=BO+OM=1+ 3 ， 答案： 1+ 3 三、解答题（共 10 小题，满分 96 分） 17.计算： 2015( 1) +sin30 +（ 2- 3 ） （ 2+ 3 ） . 解析： 运用 -1 的奇次方等于 -1， 30角的正弦等于 12，结合平方差公式进行计算 . 答案：原式 =-1+12+4-3 =1218.化简： 22 2 2 2()
11、 2ab aba b a b . 解析：根据同分母分式的减法法则计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项后约分计算即可求解 . 答案： 22 2 2 2() 2ab aba b a b = 222222a a b b a bab = 22ab=1 19. 如图， 1= 2， 3= 4，求证： AC=AD. 解析： 先证出 ABC= ABD，再由 ASA 证明 ABC ABD，得出对应边相等即可 . 答案： 3= 4， ABC= ABD， 在 ABC 和 ABD 中， 12A B A BA B C A B D ， ABC ABD（ ASA）， AC=AD. 20. 已知关于 x 的方程 2x +
12、（ 2m -1） x +4=0 有两个相等的实数根，求 m 的值 . 解析： 先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出 =0 即可得到关于 m 的方程，解方程求出 m 的值即可 . 答案 ： 2x +（ 2m -1） x +4=0 有两个相等的实数根， = 221m（ ） -4 4=0， 解得 3=2m 或 5=2m. 21. 有 48 支队 520 名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队 10 人，每支排球队 12人，每名运动员只能参加一项比赛问：篮球、排球队各有多少支？ 解析：设篮球队有 x 支，排球队有 y 支，根据共有 48 支队， 520 名运动员建立方程组求出其解即可 . 答案
13、：设篮球队有 x 支，排球队有 y 支，由题意，得 = 4 81 0 1 2 = 5 2 0xyxy， 解得： =28=20xy. 答：篮球队有 28 支，排球队有 20 支 . 22. 一个不透明袋子中有 1 个红球， 1 个绿球和 n 个白球，这些球除颜色外无其他差别 （ 1）当 n=1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）； （ 2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于 0.25，则 n 的值是 ； （ 3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下： 根据树状图呈现的结
14、果，求两次摸出的球颜色不同的概率 解析： （ 1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同； （ 2）根据摸到绿球的频率稳定于 0.25，即可求出 n 的值； （ 3）根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率 . 答案：（ 1）当 n=1 时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同， 答案：相同； （ 2）摸到绿球的频率稳定于 0.25， 111n=14， n =2， 答案： 2 （ 3）由树状图可知，共有 12 种结果，其中两次摸出的球颜色不同的 10 种， 所以其概率 =1012=56. 23. 如图， Rt ABC 中， C=90， AC= 5 ， tanB=12， 半
15、径为 2 的 C，分别交 AC， BC 于点 D， E，得到 . （ 1）求证： AB 为 C 的切线； （ 2）求图中阴影部分的面积 . 解析：（ 1）过点 C作 CH AB于 H，如图，先在 Rt ABC 中，利用正切的定义计算出 BC=2AC=2 5 ，再利用勾股定理计算出 AB=5，接着利用面积法计算出 CH=2，则可判断 CH 为 C 的半径，然后根据切线的判定定理即可得到 AB 为 C 的切线； （ 2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用 S 阴影部分 =S ACB-S 扇形 CDE进行计算即可 . 答案：（ 1）证明：过点 C 作 CH AB 于 H，如图， 在 Rt AB
16、C 中， tanB=ACBC=12， BC=2AC=2 5 ， AB= 22AC BC = 2255（ ） （ 2）=5， 12CH AB=12AC BC， CH= 5 2 55=2， C 的半径为 2， CH 为 C 的半径， 而 CH AB， AB 为 C 的切线； （ 2）解： S 阴影部分 =S ACB-S 扇形 CDE =12 2 5- 290 2360=5- . 24. 定义：长宽比为 n ： 1（ n 为正整数）的矩形称为 n 矩形 . 下面，我们通过折叠的方式折出一个 2 矩形，如图所示 操作 1：将正方形 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使折叠后的点 C 落在对角线 BD
17、上的点 G 处，折痕为 BH 操作 2：将 AD 沿过点 G 的直线折叠，使点 A，点 D分别落在边 AB， CD上，折痕为 EF 则四边形 BCEF 为 2 矩形 证明：设正方形 ABCD 的边长为 1，则 BD= 2211 = 2 . 由折叠性质可知 BG=BC=1， AFE= BFE=90，则四边形 BCEF 为矩形 A= BFE EF AD BG BFBD AB，即 112 BF. BF= 12. BC： BF=1： 12= 2 ： 1. 四边形 BCEF 为 2 矩形 阅读以上内容，回答下列问题： （ 1）在图中，所有与 CH 相等的线段是 ， tan HBC 的值是 ； （ 2）已
18、知四边形 BCEF 为 2 矩形，模仿上述操作，得到四边形 BCMN，如图，求证：四边形 BCMN 是 3 矩形； （ 3）将图中的 3 矩形 BCMN 沿用（ 2）中的方式操作 3 次后，得到一个“ n 矩形”，则n 的值是 . 解析： （ 1）由折叠即可得到 DG=GH=CH，设 HC=x，则有 DG=GH=x， DH= 2 x，根据 DC=DH+CH=1，就可求出 HC，然后运用三角函数的定义即可求出 tan HBC 的值； （ 2）只需借鉴阅读中证明“四边形 BCEF 为 2 矩形”的方法就可解决问题； （ 3）同（ 2）中的证明可得：将 3 矩形沿用（ 2）中的方式操作 1 次后，得
19、到一个“ 4 矩形”，将 4 矩形沿用（ 2）中的方式操作 1 次后，得到一个“ 5 矩形”，将 5 矩形沿用（ 2）中的方式操作 1 次后，得到一个“ 6 矩形”，由此就可得到 n 的值 答案：（ 1）由折叠可得： DG=HG， GH=CH， DG=GH=CH 设 HC=x，则 DG=GH=x DGH=90， DH= 2 x， DC=DH+CH= 2 x+x=1， 解得 x= 2 1 tan HBC=HCBC= 211= 2 -1. 答案： GH、 DG、 2 -1； （ 2） BC=1， EC=BF= 22， BE= 22EC BC = 62. 由折叠可得 BP=BC=1， FNM= BN
20、M=90， EMN= CMN=90 四边形 BCEF 是矩形， F= FEC= C= FBC=90， 四边形 BCMN 是矩形， BNM= F=90， MN EF， BNBPBE BF，即 BP BF=BE BN， 1 22= 62BN， BN= 13， BC： BN=1： 13= 3 ： 1， 四边形 BCMN 是 3 的矩形； （ 3）同理可得： 将 3 矩形沿用（ 2）中的方式操作 1 次后，得到一个“ 4 矩形”， 将 4 矩形沿用（ 2）中的方式操作 1 次后，得到一个“ 5 矩形”， 将 5 矩形沿用（ 2）中的方式操作 1 次后，得到一个“ 6 矩形”， 所以将图中的 3 矩形
21、BCMN 沿用（ 2）中的方式操作 3 次后，得到一个“ 6 矩形”， 故答案为 6. 25. 如图，在锐角 ABC 中， D， E 分别为 AB， BC 中点， F 为 AC 上一点，且 AFE= A，DM EF 交 AC 于点 M （ 1）求证： DM=DA； （ 2）点 G 在 BE 上，且 BDG= C，如图，求证： DEG ECF； （ 3）在图中，取 CE 上一点 H，使 CFH= B，若 BG=1，求 EH 的长 解析： （ 1）证明 A= DMA，用等角对等边即可证明结论； （ 2）由 D、 E 分别是 AB、 BC 的中点，可知 DE AC，于是 BDE= A， DEG= C
22、，又 A=AFE， AFE= C+ FEC，根据等式性质得 FEC= GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证； （ 3）通过证明 BDG BED 和 EFH ECF，可得 BGBE=EHEC，又 BE=EC，所以 EH=BG=1. 答案：（ 1）证明：如图 1 所示， DM EF， AMD= AFE， AFE= A， AMD= A， DM=DA； （ 2）证明：如图 2 所示， D、 E 分别是 AB、 BC 的 中点， DE AC， BDE= A， DEG= C， AFE= A， BDE= AFE， BDG+ GDE= C+ FEC， BDG= C， DGE= FEC， DEG EC
23、F； （ 3）解：如图 3 所示， BDG= C= DEB， B= B， BDG BED， BGBDBE BD， 2BD BG BE， AFE= A， CFH= B， C=180 - A- B=180 - AFE- CFH=EFH， 又 FEH= CEF， EFH ECF， EH EFEF EC， 2EF EH EC， DE AC， DM EF， 四边形 DEFM 是平行四边形， EF=DM=DA=BD， BG BE=EH EC， BE=EC， EH=BG=1. 26. 如图，抛物线 y= 2x -4x 与 x 轴交于 O， A 两点， P 为抛物线上一点，过点 P 的直线 y=x+m与对称轴
24、交于点 Q （ 1）这条抛物线的对称轴是 ，直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是 ； （ 2）若两个三角形面积满足 S POQ=13S PAQ，求 m 的值； （ 3）当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时，过点 C（ 2， 2）的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D，求： PD+DQ 的最大值； PD DQ 的最大值 . 解析： （ 1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线 PQ与 x轴所夹锐角的度数； （ 2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过 OBE ABF 对应边成比例即可求得； （ 3）过
25、点 C 作 CH x 轴交直线 PQ 于点 H，可得 CHQ 是等腰三角形，进而得出 AD PH，得出 DQ=DH，从而得出 PD+DQ=PH，过 P 点作 PM CH 于点 M，则 PMH 是等腰直角三角形，得出 PH= 2 PM，因为当 PM 最大时， PH 最大，通过求得 PM 的最大值，从而求得 PH 的最大值；由可知： PD+PH 6 2 ，设 PD=a，则 DQ6 2 -a，得出 PDDQ a（ 6 2 -a） =-a2+6 2a=-（ a-3 2 ） 2+18，当点 P 在抛物线的顶点时， a=3 2 ，得出 PDDQ 18. 答案 ：（ 1） y= 2x -4x =（ x -2
26、） 2-4， 抛物线的对称轴是 x =2， 直线 y=x +m， 直线与坐标轴的交点坐标为（ -m， 0），（ 0， m）， 交点到原点的距离相等， 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是 45， 故答案为 x =2、 45 （ 2）设直线 PQ 交 x 轴于点 B，分别过 O 点， A点作 PQ的垂线，垂足分别是 E、 F，显然当点 B 在 OA 的延长线时， S POQ=13S PAQ不成立； 当点 B 落在线段 OA 上时，如图 S POQS PAQ =OEAF =13 ， 由 OBE ABF 得， OB OEAB AF=13， AB=3OB，
27、 OB=14OA， 由 y= 2x -4x 得点 A（ 4， 0）， OB=1， B（ 1， 0）， 1+m=0， m=-1； 当点 B 落在线段 AO 的延长线上时，如图，同理可得 OB=12OA=2， B（ -2， 0）， -2+m=0， m=2， 综上，当 m=-1 或 2 时， S POQ=13S PAQ； （ 3）过点 C 作 CH x 轴交直线 PQ 于点 H，如图，可得 CHQ是等腰三角形， CDQ=45 +45 =90， AD PH， DQ=DH， PD+DQ=PH， 过 P 点作 PM CH 于点 M， 如图， 则 PMH 是等腰直角三角形， PH= 2 PM， 当 PM 最大时， PH 最大， 当点 P 在抛物线顶点出时， PM 最大，此时 PM=6， PH 的最大值为 6 2 ， 即 PD+DQ 的最大值为 6 2 . 由可知： PD+PH 6 2 ， 设 PD=a，则 DQ6 2 -a， PD DQ a（ 6 2 -a） =-a2+6 2 a=-（ a-3 2 ） 2+18， 当点 P 在抛物线的顶点时， a=3 2 ， PD DQ 18 PD DQ 的最大值为 18.
