2015年辽宁省丹东市中考真题数学.docx

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1、2015 年辽宁省丹东市中考 真题 数学 一、选择题 (下列各题的备选答案中,只有一个是正确的 .每小题 3 分,共 24分 ) 1. -2015 的绝对值是 ( ) A.-2015 B.2015 C. 12015D.- 12015解析: 根据相反数的意义,求解 .注意正数的绝对值是本身, 0 的绝对值为 0,负数的绝对值是其相反数 .-2015 是负数, 绝对值等于其相反数, 即 -2015 的绝对值是 2015; 答案: B. 2.据统计, 2015 年在 “ 情系桃源,好运丹东 ” 的鸭绿江桃花观赏活动中, 6 天内参与人次达27.8 万 .用科学记数法将 27.8 万表示为 ( ) A

2、.2.7810 6 B.27.810 6 C.2.7810 5 D.27.810 5 解析: 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式,其中 1|a| 10, n 为整数 .确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时, n 是正数;当原数的绝对值 1 时, n 是负数 .将 27.8 万用科学记数法表示为 2.7810 5. 答案 : C. 3.如图,是某几何体的俯视图,该几何体可能是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.正方体 解析: 根据几何体的俯视图是从上面看,所得到的图形分别写出各个几何体的俯视图判断

3、.圆柱的俯视图是圆, A 错误;圆锥的俯视图是圆,且中心由一个实点, B 正确;球的俯视图是圆, C 错误;正方体的俯视图是正方形, D 错误 . 答案: B. 4.如果一组数据 2, 4, x, 3, 5 的众数是 4,那么该组数据的平均数是 ( ) A.5.2 B.4.6 C.4 D.3.6 解析: 根据这组数据的众数是 4,求出 x 的值, x=4.根据平均数的公式求出平均数 . 15x(2+4+4+3+5)=3.6. 答案: D. 5.下列计算正确的是 ( ) A.2a+a=3a2 B.4-2=-116C. 9 =3 D.(a3)2=a6 解析: A、依据合并同类项法则计算 , 2a+

4、a=3a,故 A 错误; B、根据负整数指数幂的法则计算 , 4-2=214 =116 ,故 B 错误; C、根据算术平方根的定义 , 9 =3,故 C 错误; D、依据幂的乘方的运算法则进行计算 , (a3)2=a32 =a6,故 D 正确 . 答案: D. 6.如图,在 ABC 中, AB=AC, A=30 , E 为 BC 延长线上一点, ABC 与 ACE 的平分线相交于点 D,则 D 的度数为 ( ) A.15 B.17.5 C.20 D.22.5 解析 : ABC 的平分线与 ACE 的平分线交于点 D, 1= 2, 3= 4, ACE= A+ ABC, 即 1+ 2= 3+ 4+

5、 A, 2 1=2 3+ A, 1= 3+ D, D=12 A=1230=15 . 答案: A. 7.过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF AC,交 BC 边于点 E,交 AD 边于点 F,分别连接AE、 CF.若 AB= 3 , DCF=30 ,则 EF 的长为 ( ) A.2 B.3 C. 32D. 3 解析: 矩形对边 AD BC, ACB= DAC, O 是 AC 的中点, AO=CO, 在 AOF 和 COE 中, A C B D A CA O C OA O F C O E , AOF COE(ASA), OE=OF, 又 EF AC, 四边形 AECF 是菱形,

6、DCF=30 , ECF=90 -30=60 , CEF 是等边三角形, EF=CF, AB= 3 , CD=AB= 3 , DCF=30 , CF= 3 32=2, EF=2. 答案: A. 8.一次函数 y=-x+a-3(a 为常数 )与反比例函数 y=-4x的图象交于 A、 B 两点,当 A、 B 两点关于原点对称时 a 的值是 ( ) A.0 B.-3 C.3 D.4 解析:设 A(t, -4t), A、 B 两点关于原点对称, B(-t, 4t), 把 A(t, -4t), B(-t, 4t)分别代入 y=-x+a-3 得 -4t=-t+a-3, 4t=t+a-3, 两式相加得 2a

7、-6=0, a=3. 答案: C. 二、填空题 (每小题 3 分,共 24 分 ) 9.如图,正六边形卡片被分成六个全等的正三角形 .若向该六边形内投掷飞镖,则飞镖落在阴影区域的概率为 . 解析: 如图:转动转盘被均匀分成 6 部分,阴影部分占 2 份,飞镖落在阴影区域的概率是2163 ; 答案: 13. 10.如图, 1= 2=40 , MN 平分 EMB,则 3= . 解析: 2= MEN, 1= 2=40 , 1= MEN, AB CD, 3+ BMN=180 , MN 平分 EMB, BMN=12 (180 -40 )=70 , 3=180 -70=110 . 答案 : 110. 11

8、.分解因式: 3x2-12x+12= . 解析:原式 =3(x2-4x+4)=3(x-2)2, 答案 : 3(x-2)2 12.若 a 6 b,且 a、 b 是两个连续的整数,则 ab= . 解析: 先估算出 6 的范围, 2 6 3, a=2, b=3, ab=8. 答案 : 8. 13.不等式组 2 3 53 2 1xx的解集为 . 解析: 2 3 53 2 1xx, 由 得, x -1, 由 得, x 1. 所以,不等式组的解集为 -1 x 1. 答案 : -1 x 1. 14.在菱形 ABCD 中,对角线 AC, BD 的长分别是 6 和 8,则菱形的周长是 . 解析: AC 与 BD

9、 相交于点 O,如图, 四边形 ABCD 为菱形, AC BD, OD=OB=12BD=4, OA=OC=12AC=3, AB=BC=CD=AD, 在 Rt AOD 中, OA=3, OB=4, AD= 2234 =5, 菱形 ABCD 的周长 =45=20 . 答案 : 20. 15.若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根,那么 a= . 解析:将 x=1 代入得: 1+2+a=0, 解得: a=-3. 答案 : -3. 16.如图,直线 OD 与 x 轴所夹的锐角为 30 , OA1的长为 1, A1A2B1、 A2A3B2、 A3A4B3 AnAn+1Bn均为等边三角形

10、,点 A1、 A2、 A3A n+1在 x 轴的正半轴上依次排列,点 B1、B2、 B3B n在直线 OD 上依次排列,那么点 Bn的坐标为 . 解析: A1B1A2为等边三角形, B1A1A2=60 , B1OA2=30 , B1OA2= A1B1O=30 ,可求得 OA2=2OA1=2, 同理可求得 OAn=2n-1, BnOAn+1=30 , BnAnAn+1=60 , BnOAn+1= OBnAn=30 BnAn=OAn=2n-1, 即 AnBnAn+1的边长为 2n-1,则可求得其高为 322 n-1= 3 2 n-2, 点 Bn的横坐标为 122 n-1+2n-1=322 n-1=

11、32 n-2, 点 Bn的坐标为 (32 n-2, 3 2 n-2). 答案 : (32 n-2, 3 2 n-2). 三、解答题 17.先化简,再求值: 211122aaa, 其中 a=3. 解析: 先计算括号里面的,再把分子、分母因式分解,约分即可,把 a=3 代入计算即可 . 答案: 原式 = 122 1 1aaa a a = 11a, 当 a=3 时,原式 = 113 1 2. 18.如图,在平面直角坐标系中, ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1, 4), B(4, 2), C(3, 5)(每个方格的边长均为 1 个单位长度 ). (1)请画出 A1B1C1,使 A1B1C1与 AB

12、C 关于 x轴对称; (2)将 ABC 绕点 O 逆时针旋转 90 ,画出旋转后得到的 A2B2C2,并直接写出点 B 旋转到点B2所经过的路径长 . 解析: (1)根据网格特点,找出点 A、 B、 C 关于 x 轴的对称点 A1、 B1、 C1的位置,然后顺次连接即可; (2)分别找出点 A、 B、 C 绕点 O 逆时针旋转 90 的对应点 A2、 B2、 C2的位置,然后顺次连接即可,观察可知点 B 所经过的路线是半径为 2242 , 圆心角是 90 的扇形,然后根据弧长公式进行计算即可求解 . 答案: (1)如图, A1B1C1即为所求 . (2)如图, A2B2C2即为所求 . 点 B

13、 旋转到点 B2所经过的路径长为: 229 0 4 2 5180 . 故点 B 旋转到点 B2所经过的路径长是 5 . 19.某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况,随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目 (被调查的学生只选一类并且没有不选择的 ),并将调查结果制成了如下的两个统计图 (不完整 ).请你根据图中所提供的信息,完成下列问题: (1)求本次调查的学生人数; (2)请将两个统计图补充完整,并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数; (3)若该中学有 2000 名学生,请估计该校喜爱电视剧节目的人数 . 解析: (1)根据喜爱电视剧的人数是 69 人,占总人数的 23%,

14、即可求得总人数; (2)根据总人数和喜欢娱乐节目的百分数可求的其人数,补全即可;利用 360 乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数; (3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解 . 答案 : (1)6923%=300 (人 ) 本次共调查 300 人; (2) 喜欢娱乐节目的人数占总人数的 20%, 20%300=60 (人 ),补全如图; 36012%=43.2 , 新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数为 43.2 ; (3)200023%=460 (人 ), 估计该校有 460 人喜爱电视剧节目 . 20.从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为 180 千米,乘坐普通列车的路程为 240 千米

15、.高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的 3 倍 .高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了 2 小时 .高速列车的平均速度是每小时多少千米? 解析:设普通列车平均速度每小时 x 千米,则高速列车平均速度每小时 3x 千米,根据题意可得,坐高铁走 180 千米比坐普通车 240 千米少用 2 小时,据此列方程求解 . 答案 :设普通列车平均速度每小时 x 千米,则高速列车平均速度每小时 3x 千米, 根据题意得, 2 4 0 1 8 0 23xx, 解得: x=90, 经检验, x=90 是所列方程的根, 则 3x=390=270 . 答:高速列车平均速度为每小时 270 千米 . 21

16、.一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数字 -1, -2, 3, 4 的小球,它们的形状、大小完全相 同 .小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为 x;小颖在剩下的 3 个小球中随机摸出一个小球记下数字为 y. (1)小红摸出标有数字 3 的小球的概率是 ; (2)请用列表法或画树状图的方法表示出由 x, y 确定的点 P(x, y)所有可能的结果; (3)若规定:点 P(x, y)在第一象限或第三象限小红获胜;点 P(x, y)在第二象限或第四象限则小颖获胜 .请分别求出两人获胜的概率 . 解析: (1)直接根据概率公式求解; (2)通过列表展示所有 12 种等可能性的结果数; (3)找

17、出在第一象限或第三象限的结果数和第二象限或第四象限的结果数,然后根据概率公式计算两人获胜的概率 . 答案 : (1)小红摸出标有数字 3 的小球的概率是 14; 故答案为 14; (2)列表如下: (3)从上面的表格可以看出,所有可能出现的结果共有 12 种,且每种结果出现的可能性相同,其中点 (x, y)在第一象限或第三象限的结果有 4 种,第二象限或第四象限的结果有 8 种, 所以小红获胜的概率 = 4112 3,小颖获胜的概率 = 8212 3. 22.如图, AB 是 O 的直径, = ,连接 ED、 BD,延长 AE 交 BD 的延长线于点 M,过点 D作 O 的切线交 AB 的延长

18、线于点 C. (1)若 OA=CD=2 2 ,求阴影部分的面积; (2)求证: DE=DM. 解析: (1)连接 OD,根据已知和切线的性质证明 OCD 为等腰直角三角形,得到 DOC=45 ,根据 S 阴影 =S OCD-S 扇 OBD计算即可; (2)连接 AD,根据弦、弧之间的关系证明 DB=DE,证明 AMD ABD,得到 DM=BD,得到答案 . 答案 : (1)解:如图,连接 OD, CD 是 O 切线, OD CD, OA=CD=2 2 , OA=OD, OD=CD=2 2 , OCD 为等腰直角三角形, DOC= C=45 , S 阴影 =S OCD-S 扇 OBD= 24 5

19、 2 21 2 2 2 22 3 6 0 =4- ; (2)证明:如图,连接 AD, AB 是 O 直径, ADB= ADM=90 , 又 = , ED=BD, MAD= BAD, 在 AMD 和 ABD 中, A D M A D BA D A DM A D B A D , AMD ABD, DM=BD, DE=DM. 23.如图,线段 AB, CD 表示甲、乙两幢居民楼的高,两楼间的距离 BD 是 60 米 .某人站在 A处测得 C 点的俯角为 37 , D 点的俯角为 48 (人的身高忽略不计 ),求乙楼的高度 CD.(参考数据: sin37 35, tan37 34, sin48 710

20、, tan48 1110) 解析:过点 C作 CE AB交 AB 于点 E,在直角 ADB 中利用三角函数求得 AB 的长,然后在直角 AEC 中求得 AE 的长,即可求解 . 答案 :过点 C 作 CE AB 交 AB 于点 E, 则四边形 EBDC 为矩形, BE=CD CE=BD=60, 如图,根据题意可得, ADB=48 , ACE=37 , tan 48 ABBD, 在 Rt ADB 中, 则 AB=tan48 BD 11 60 6610(米 ), tan 37 AECE, 在 Rt ACE 中, 则 AE=tan37 CE 3 60 454 (米 ), CD=BE=AB-AE=66

21、-45=21(米 ), 乙楼的高度 CD 为 21 米 . 24.某商店购进一种商品,每件商品进价 30 元 .试销中发现这种商品每天的销售量 y(件 )与每件销售价 x(元 )的关系数据如下: (1)已知 y 与 x 满足一次函数关系,根据上表,求出 y 与 x之间的关系式 (不写出自变量 x的取值范围 ); (2)如果商店销售这种商品,每天要获得 150 元利润,那么每件商品的销售价应定为多少元? (3)设该商店每天销售这种商品所获利润为 w(元 ),求出 w 与 x 之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大? 解析: (1)根据待定系数法解出解析式即可; (2)根据题意列出

22、方程解答即可; (3)根据题意列出函数解析式,利用函数解析式的最值解答即可 . 答案 : (1)设该函数的表达式为 y=kx+b,根据题意,得 40 = 3036 32kbkb, 解得: 2100kb. 故该函数的表达式为 y=-2x+100; (2)根据题意得, (-2x+100)(x-30)=150, 解这个方程得, x1=35, x2=45, 故每件商品的销售价定为 35 元或 45 元时日利润为 150 元; (3)根据题意,得 w=(-2x+100)(x-30) =-2x2+160x-3000 =-2(x-40)2+200, a=-2 0 则抛物线开口向下,函数有最大值, 即当 x=

23、40 时, w 的值最大, 当销售单价为 40 元时获得利润最大 . 25.在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O;在 Rt PMN 中, MPN=90 . (1)如图 1,若点 P 与点 O 重合且 PM AD、 PN AB,分别交 AD、 AB于点 E、 F,请直接写出PE 与 PF 的数量关系; (2)将图 1 中的 Rt PMN 绕点 O 顺时针旋转角度 (0 45 ). 如图 2,在旋转过程中 (1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; 如图 2,在旋转过程中,当 DOM=15 时,连接 EF,若正方形的边长为 2,请直接写出线段 EF 的长

24、; 如图 3,旋转后,若 Rt PMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动 (不与点 O、 B 重合 ),当 BD=3BP时,猜想此时 PE 与 PF 的数量关系,并给出证明;当 BD=m BP 时,请直接写出 PE与 PF 的数量关系 . 解析: (1)根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可; (2) 根据正方形的性质和旋转的性质证明 FOA EOD,得到答案; 作 OG AB 于 G,根据余弦的概念求出 OF 的长,根据勾股定理求值即可; 过点 P 作 HP BD 交 AB 于点 H,根据相似三角形的判定和性质求出 PE与 PF 的数量关系,根据解答结果总结规律得到当 BD=m BP 时,

25、 PE 与 PF 的数量关系 . 答案 : (1)PE=PF,理由: 四边形 ABCD 为正方形, BAC= DAC,又 PM AD、 PN AB, PE=PF; (2) 成立,理由: AC、 BD 是正方形 ABCD 的对角线, OA=OD, FAO= EDO=45 , AOD=90 , DOE+ AOE=90 , MPN=90 , FOA+ AOE=90 , FOA= DOE, 在 FOA 和 EOD 中, F A O E D OO A O DF O A D O E , FOA EOD, OE=OF,即 PE=PF; 作 OG AB 于 G, DOM=15 , AOF=15 ,则 FOG=

26、30 , cos FOG=OGOF, 1 2 3332OF , 又 OE=OF, EF=263; PE=2PF, 证明:如图 3,过点 P 作 HP BD 交 AB 于点 H, 则 HPB 为等腰直角三角形, HPD=90 , HP=BP, BD=3BP, PD=2BP, PD=2 HP, 又 HPF+ HPE=90 , DPE+ HPE=90 , HPF= DPE, 又 BHP= EDP=45 , PHF PDE, 12PF PHPE PD, 即 PE=2PF, 由此规律可知,当 BD=m BP 时, PE=(m-1) PF. 26.如图,已知二次函数 y=ax2+32x+c 的图象与 y

27、轴交于点 A(0, 4),与 x轴交于点 B、 C,点 C 坐标为 (8, 0),连接 AB、 AC. (1)请直接写出二次函数 y=ax2+32x+c 的表达式; (2)判断 ABC 的形状,并说明理由; (3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点 N 的坐标; (4)若点 N 在线段 BC 上运动 (不与点 B、 C 重合 ),过点 N作 NM AC,交 AB 于点 M,当 AMN面积最大时,求此时点 N 的坐标 . 解析: (1)根据待定系数法即可求得; (2)根据抛物线的解析式求得 B 的坐标,然后根据勾股定理分别求得 AB

28、2=20, AC2=80, BC10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得 ABC 是直角三角形 . (3)分别以 A、 C 两点为圆心, AC 长为半径画弧,与 x 轴交于三个点,由 AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点,即可求得点 N 的坐标; (4)设点 N 的坐标为 (n, 0),则 BN=n+2,过 M 点作 MD x 轴于点 D,根据三角形相似对应边成比例求得 MD=25(n+2),然后根据 S AMN=S ABN-S BMN得出关于 n的二次函数,根据函数解析式求得即可 . 答案 : (1) 二次函数 y=ax2+32x+c 的图象与 y 轴交于点 A(0, 4),与 x轴交于点 B

29、、 C,点C 坐标为 (8, 0), 46 4 1 2 0cac , 解得 144ac . 抛物线表达式: y=-14x2+32x+4; (2) ABC 是直角三角形 . 令 y=0,则 -14x2+32x+4=0, 解得 x1=8, x2=-2, 点 B 的坐标为 (-2, 0), 由已知可得, 在 Rt ABO 中 AB2=BO2+AO2=22+42=20, 在 Rt AOC 中 AC2=AO2+CO2=42+82=80, 又 BC=OB+OC=2+8=10, 在 ABC 中 AB2+AC2=20+80=102=BC2 ABC 是直角三角形 . (3) A(0, 4), C(8, 0),

30、AC= 2248 =4 5 , 以 A 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为 (-8, 0), 以 C 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为 (8-4 5 , 0)或 (8+4 5 ,0) 作 AC 的垂直平分线,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为 (3, 0), 综上,若点 N在 x 轴上运动,当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标分别为 (-8, 0)、 (8-4 5 , 0)、 (3, 0)、 (8+4 5 , 0). (4)设点 N 的坐标为 (n, 0),则 BN=n+2,过 M 点作 MD x 轴于点 D, MD OA, BMD BAO, BM MDBA OA, MN AC BM BNBA BC, MD BNOA BC, OA=4, BC=10, BN=n+2 MD=25(n+2), S AMN=S ABN-S BMN =12BN OA-12BN MD =12(n+2)4 -12 25(n+2)2 =-15(n-3)2+5, 当 AMN 面积最大时, N 点坐标为 (3, 0).

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