1、2015年辽宁省大连市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确 ) 1. -2 的绝对值是 ( ) A.2 B.-2 C.12D.-12解析 ： -2 的绝对值是 2，即 |-2|=2. 答案： A 2.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ( ) A.球 B.圆柱 C.圆锥 D.三棱柱 解析 ： 根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形和圆心可判断出这个几何体应该是圆锥， 答案： C 3.下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A.1， 2， 3 B.1， 2 ， 3 C.3， 4， 8
2、D.4， 5， 6 解析 ： A、 1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误； B、 1+ 2 3，不能组成三角形，故本选项错误； C、 3+4 8，不能组成三角形，故本选项错误； D、 4+5 6，能组成三角形，故本选项正确 . 答案： D 4.在平面直角坐标系中，将点 P(3， 2)向右平移 2 个单位，所得的点的坐标是 ( ) A.(1， 2) B.(3， 0) C.(3， 4) D.(5， 2) 解析 ： 将点 P(3， 2)向右平移 2 个单位，所得的点的坐标是 (3+2， 2)，即 (5， 2). 答案： D 5. 方程 3x+2(1-x)=4 的解是 ( ) A.x= 25B.x
3、=65C.x=2 D.x=1 解析 ： 去括号得： 3x+2-2x=4，解得： x=2. 答案： C 6.计算 (-3x)2的结果是 ( ) A.6x2 B.-6x2 C.9x2 D.-9x2 解析 ： (-3x)2=9x2. 答案： C 7.某舞蹈队 10 名队员的年龄分布如下表所示： 则这 10 名队员年龄的众数是 ( ) A.16 B.14 C.4 D.3 解析 ： 这组数据中 14 岁出现频数最大，所以这组数据的众数为 14； 答案： B 8. 如图，在 ABC 中， C=90， AC=2，点 D 在 BC 上， ADC=2 B， AD= 5 ，则 BC 的长为 ( ) A. 3 -1
4、 B. 3 +1 C. 5 -1 D. 5 +1 解析 ： ADC=2 B， ADC= B+ BAD， B= DAB， DB=DA= 5 ， 在 Rt ADC 中， DC= 22 2 25 2A D A C =1； BC= 5 +1. 答案： D 二、填空题 (本题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分 ) 9.比较大小： 3 -2.(填“”、“”或“ =” ) 解析 ： 根据有理数比较大小的方法，可得 3 -2. 答案 ： . 10.若 a=49， b=109，则 ab-9a 的值为 . 解析 ： 当 a=49， b=109 时，原式 =a(b-9)=49 100=4900. 答案：
5、4900 11.不等式 2x+3 -1 的解集为 . 解析 ： 移项得， 2x -1-3，合并同类项得， 2x -4 解得 x -2. 答案 ： x -2. 12.如图， AB CD， A=56， C=27，则 E 的度数为 . 解析 ： AB CD， DFE= A=56， 又 C=27， E=56 -27 =29 . 答案 ： 29 13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有 1 到 6 的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是 7 的概率为 . 解析 ： 画树状图为： 共有 36 种等可能的结果数，其中点数之和是 7 的结果数为 6， 所以点数之和是 7 的概率 = 6136 6. 答
6、案 ： 1614.如图，在 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O， AB=10cm， AD=8cm， AC BC，则 OB= cm. 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD=8cm， OA=OC=12AC， AC BC， ACB=90， AC= 2 2 2 21 0 8A B B C =6， OC=3， OB= 2 2 2 28 3 7 3B C O C . 答案 ： 73 15.如图，从一个建筑物的 A处测得对面楼 BC的顶部 B的仰角为 32，底部 C的俯角为 45，观测点与楼的水平距离 AD为 31m，则楼 BC的高度约为 m(结果取整数 ).(参考数据：sin32
7、 0.5， cos32 0.8， tan32 0.6) 解析 ： 在 Rt ABD 中， AD=31， BAD=32， BD=AD tan32 =31 0.6=18.6， 在 Rt ACD 中， DAC=45， CD=AD=31， BC=BD+CD=18.6+31 50m. 答案： 50. 16.在平面直角坐标系中，点 A， B 的坐标分别为 (m， 3)， (3m-1， 3)，若线段 AB 与直线 y=2x+1相交，则 m 的取值范围为 . 解析 ： 当 y=3 时， 2x+1=3，解得 x=1， 所以直线 y=3 与直线 y=2x+1 的交点为 (1， 3)， 当点 B 在点 A 的右侧，
8、则 m 1 3m-1，解得 23 m 1； 当点 B 在点 A 的左侧，则 3m-1 1 m，无解， 所以 m 的取值范围为 23 m 1. 答案： 23 m 1 三、解答题 (本题共 4 小题，其中 17、 18、 19 题各 9 分， 20 题 12，共 39分 ) 17.计算： ( 3 +1)( 3 -1)+ 24 -(12)0. 解析： 先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式 =3-1+2 6 -1，然后进行加减运算 . 答案 ：原式 =3-1+2 6 -1=1+2 6 . 18.解方程： x2-6x-4=0. 解析 ： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用
9、，把左边配成完全平方式，右边化为常数 . 答案 ：移项得 x2-6x=4， 配方得 x2-6x+9=4+9， 即 (x-3)2=13， 开方得 x-3= 13 ， x1=3+ 13 ， x2=3- 13 . 19.如图，在 ABCD 中，点 E， F 在 AC 上，且 ABE= CDF，求证： BE=DF. 解析 ： 根据平行四边形的性质，证明 AB=CD， AB CD，进而证明 BAC= CDF，根据 ASA 即可证明 ABE CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证明 . 答案 ：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD， AB CD， BAC= CDF， ABE 和 CDF 中， A
10、 B E C D FA B C DA B E C D F ， ABE CDF， BE=DF. 20.某地区共有 1800 名初三学生，为了解这些学生的体质健康状况，开学之初随机选取部分学生进行体育测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分 . 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次测试学生体质健康成绩为良好的有 人，达到优秀的人数占本次测试总人数的百分比为 %. (2)本次测试的学生数为 人，其中，体质健康成绩为及格的有 人，不及格的人数占本次测试总人数的百分比为 %. (3)试估计该地区初三学生开学之初体质健康成绩达到良好及以上等级的学生数 . 解析： (1)根据统计图和统计表即可直接
11、解答； (2)根据优秀的有 140 人，所占的百分比是 70%即可求得总人数，利用总人数减去其它组的人数即可求 得及格的人数，然后根据百分比的意义求得不及格的人数所占百分比； (3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解 . 答案： (1)本次测试学生体质健康成绩为良好的有 36 人 . 达到优秀的人数占本次测试总人数的百分比为 70%. (2)调查的总人数是： 140 70%=200(人 )， 体质健康成绩为及格的有 200-140-36-6=18(人 )， 不及格的人数占本次测试总人数的百分比是： 6200 100%=3%. (3)本次测试学生体质健康成绩为良好的有 36 人， 6200 10
12、0%=18%， 估计该地区初三学生开学之初体质健康成绩达到良好及以上等级的学生数是： 1800(70%+18%)=1584(人 ). 四、解答题 (本题共 3 小题，其中 21、 22 题各 9 分， 23 题 10 分，共 28 分 ) 21.甲、乙两人制作某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 3 个，甲做 96 个所用的时间与乙做 84 个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 解析： 由题意可知：设乙每小时做的零件数量为 x 个，甲每小：时做的零件数量是 x+3；根据甲做 90 个所用的时间 =乙做 60 个所用的时间列出方程求解 . 答案 ：设乙每小时做的零件数量为 x 个，
13、甲每小时做的零件数量是 x+3， 由题意得 96 843xx， 解得 x=21，经检验 x=21 是原分式方程的解，则 x+3=24. 答：甲每小时做 24 个零件，乙每小时做 21 个零件 . 22.如图，在平面直角坐标系中， AOB=90， AB x 轴， OB=2，双曲线 y=kx经过点 B，将 AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴的正半轴上 .若 AB 的对应线段 CB 恰好经过点 O. (1)求点 B 的坐标和双曲线的解析式； (2)判断点 C 是否在双曲线上，并说明理由 . 解析 ： (1)先求得 BOD 是等边三角形，即可求得 B 的坐标，然后根据待
14、定系数法即可求得双曲线的解析式； (2)求得 OB=OC，即可求得 C 的坐标，根据 C 的坐标即可判定点 C 是否在双曲线上 . 答案 ： (1) AB x 轴， ABO= BOD， ABO= CBD， BOD= OBD， OB=BD， BOD= BDO， BOD 是等边三角形， BOD=60， B(1， 3 )； 双曲线 y=kx经过点 B， k=1 3 = 3 .双曲线的解析式为 y= 3x. (2) ABO=60， AOB=90， A=30， AB=2OB， AB=BC， BC=2OB， OC=OB， C(-1， - 3 )， -1 (- 3 )= 3 ，点 C 在双曲线上 . 23.
15、如图， AB 是 O 的直径，点 C， D 在 O 上，且 AD 平分 CAB，过点 D 作 AC 的垂线，与AC 的延长线相交于点 E，与 AB 的延长线相交于点 F. (1)求证： EF 与 O 相切； (2)若 AB=6， AD=4 2 ，求 EF 的长 . 解析 ： (1)连接 OD，由题可知， E 已经是圆上一点，欲证 CD 为切线，只需证明 OED=90即可 . (2)连接 BD，作 DG AB 于 G，根据勾股定理求出 BD，进而根据勾股定理求得 DG，根据角平分线性质求得 DE=DG=432 ，然后根据 ODF AEF，得出比例式，即可求得 EF 的长 . 答案 ： (1)连接
16、 OD， AD 平分 CAB， OAD= EAD. OD=OA， ODA= OAD. ODA= EAD. OD AE. ODF= AEF=90且 D 在 O 上， EF 与 O 相切 . (2)连接 BD，作 DG AB 于 G， AB 是 O 的直径， ADB=90， AB=6， AD=4 2 ， BD= 22AB AD =2， OD=OB=3， 设 OG=x，则 BG=3-x， OD2-OG2=BD2-BG2，即 32-x2=22-(3-x)2，解得 x=73， OG=73， DG= 22OD OG =432 ， AD 平分 CAB， AE DE， DG AB， DE=DG=432 ， A
17、E= 22AD DE =163， OD AE， ODF AEF， DF ODEF AE，即 EF ED O DEF AE ， 4 23 3163EFEF ， EF=64212 . 五、解答题 (本题共 3 小题，其中 24 题 11 分， 25、 26 题各 12 分，共 35 分 ) 24.如图 1，在 ABC 中， C=90，点 D 在 AC 上，且 CD DA， DA=2，点 P， Q 同时从点 D出发，以相同的速度分别沿射线 DC、射线 DA 运动，过点 Q 作 AC 的垂线段 QR，使 QR=PQ，连接 PR，当点 Q 到达点 A 时，点 P， Q 同时停止运动 .设 PQ=x， P
18、QR 与 ABC 重叠部分的面积为 S， S 关于 x 的函数图象如图 2 所示 (其中 0 x 87， 87 x m 时，函数的解析式不同 ). (1)填空： n 的值为 ； (2)求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 . 解析： (1)当 x=87时， PQR 与 ABC 重叠部分的面积就是 PQR 的面积，然后根据 PQ=87，QR=PQ，求出 n 的值是多少即可 . (2)首先根据 S关于 x的函数图象，可得 S关于 x的函数表达式有两种情况：当 0 x 87时，S=12 PQRQ= 12x2，判断出当点 Q 点运动到点 A 时， x=2AD=4，据此求出 m=4；然
19、后求出当87 x 4 时， S 关于 x 的函数关系式即可 . 答案 ： (1)如图 1， 当 x=87时， PQR 与 ABC 重叠部分的面积就是 PQR 的面积， PQ=87， QR=PQ， QR=87， n=S=12 (87)2=12 64 3249 49. (2)如图 2， 根据 S 关于 x 的函数图象，可得 S 关于 x的函数表达式有两种情况： 当 0 x 87时， S=12 PQ RQ=12x2， 当点 Q 点运动到点 A 时， x=2AD=4， m=4. 当 87 x 4 时， S=S APF-S AQE=12AP FG-12AQ EQ， AP=2+2x， AQ=2-2x， A
20、QE AQ1R1，1 1 1AQ QEAQ Q R ， QE=45 (2-2x )， 设 FG=PG=a， AGF AQ1R1，1 1 1AG FGAQ Q R ， AG=2+2x-a， 2 210 877x aa ， a=49(2+2x)， S=S APF-S AQE =12AP FG-12AQ EQ =12(2+2x) 49(2+2x)-12(2-2x) 45(2-2x) =- 245x2+5645x-3245 S=- 245x2+5645x-3245. 综上，可得 S=220 8 72 5 6 3 2 8 4.4 5 4 5 4 5127xxx x x ， ， 25.在 ABC 中，点
21、D， E， F 分别在 AB， BC， AC 上，且 ADF+ DEC=180， AFE= BDE. (1)如图 1，当 DE=DF 时，图 1 中是否存在与 AB 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由； (2)如图 2，当 DE=kDF(其中 0 k 1)时，若 A=90， AF=m，求 BD 的长 (用含 k， m 的式子表示 ). 解析： (1)如图 1，连结 AE.先由 DE=DF，得出 DEF= DFE，由 ADF+ DEC=180，得出ADF= DEB.由 AFE= BDE，得出 AFE+ ADE=180，那么 A、 D、 E、 F 四点共圆，根据圆周角定理得
22、出 DAE= DFE= DEF， ADF= AEF.再由 ADF= DEB= AEF，得出 AEF+AED= DEB+ AED，则 AEB= DEF= BAE，根据等角对等边得出 AB=BE； (2)如图 2，连结 AE.由 A、 D、 E、 F四点共圆，得出 ADF= AEF，由 DAF=90，得出 DEF=90，再证明 DEB= AEF.又 AFE= BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出 BDE AFE，利用相似三角形对应边成比例得到 BD DEAF FE.在直角 DEF 中，利用勾股定理求出 EF=2 2 21D F D E k DF，然后将 AF=m， DE=kDF 代入，计算即
23、可求解 . 答案 ： (1)如图 1，连结 AE. DE=DF， DEF= DFE， ADF+ DEC=180， ADF= DEB. AFE= BDE， AFE+ ADE=180， A、 D、 E、 F 四点共圆， DAE= DFE= DEF， ADF= AEF. ADF= DEB= AEF， AEF+ AED= DEB+ AED， AEB= DEF= DFE= BAE， AB=BE. (2)如图 2，连结 AE. AFE= BDE， AFE+ ADE=180， A、 D、 E、 F 四点共圆， ADF= AEF， DAF=90， DEF=90， ADF+ DEC=180， ADF= DEB.
24、 ADF= AEF， DEB= AEF. 在 BDE 与 AFE 中， D E B A E FB D E A F E ， BDE AFE， BD DEAF FE. 在直角 DEF 中， DEF=90， DE=kDF， EF= 2 2 21D F D E k D F ， BDm=2211k D F kk D F k， BD= 2211mk kk. 26.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 (2m， m)，翻折矩形 OABC，使点 A 与点 C 重合，得到折痕 DE，设点 B 的对应点为 F，折痕 DE 所在直线与 y
25、 轴相交于点 G，经过点 C， F， D的抛物线为 y=ax2+bx+c. (1)求点 D 的坐标 (用含 m 的式子表示 )； (2)若点 G 的坐标为 (0， -3)，求该抛物线的解析式； (3)在 (2)的条件下，设线段 CD 的中点为 M，在线段 CD 上方的抛物线上是否存在点 P，使 PM=12 EA？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 . 解析： (1)由折叠的性质得出 CF=AB=m， DF=DB， DFC= DBA=90， CE=AE，设 CD=x，则DF=DB=2m-x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果； (2)证明 OEG CDG，得出比例式，求出 m
26、 的值，得出 C、 D 的坐标，作 FH CD 于 H，证明 FCH DCF，得出比例式求出 F 的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； (3)由直角三角形斜边上的中线性质得出 MF=12CD=12EA，点 P与点 F重合 ，得出点 P的坐标；由抛物线的对称性得另一点 P 的坐标即可 . 答案 ： (1)根据折叠的性质得： CF=AB=m， DF=DB， DFC= DBA=90， CE=AE， CED= AED， 设 CD=x，则 DF=DB=2m-x， 根据勾股定理得： CF2+DF2=CD2， 即 m2+(2m-x)2=x2，解得： x=54m，点 D 的坐标为： (54m， m).
27、 (2)四边形 OABC 是矩形， OA=2m， OA BC， CDE= AED， CDE= CED， CE=CD=54m， AE=CE=54m， OE=OA-AE=34m， OA BC， OEG CDG， OE OGCD CG，即34 3354mmm ，解得： m=2， C(0， 2)， D(52， 2)， 作 FH CD 于 H，如图 1 所示： 则 FHC=90 = DFC， FCH= FCD， FCH DCF， 245 52F H C H C FD F C F C D ， 即 235222FH C H， FH=65 ， CH=85 ， 65 +2=165 ， F(85 ， 165 )，
28、 把点 C(0， 2)， D(52， 2)， F(85， 165)代入 y=ax2+bx+c 得：22 5 522426 4 8 1 62 5 5 5caba b c ，解得： a=-65， b=2512， c=2，抛物线的解析式为： y=-65x2+2512x+2. (3)存在；点 P 的坐标为： (85， 165)，或 (910， 165)；理由如下： 如图 2 所示： CD=CE， CE=EA， CD=EA， 线段 CD 的中点为 M， DFC=90， MF=12CD=12EA，点 P 与点 F 重合，点 P 的坐标为： (85， 165)； 由抛物线的对称性得另一点 P 的坐标为 (910， 165)； 在线段 CD 上方的抛物线上存在点 P，使 PM=12EA，点 P 的坐标为： (85， 165)，或 (910，165 ).
