1、 2015 年辽宁省抚顺市中考 真题 数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 )6 的绝对值是 ( ) A. 6 B. -6 C. 16D. -16解 析 ： 6 是正数，绝对值是它本身 6. 答案 ： A. 2.(3 分 )下列图形是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 根据中心对称图形的概念，绕旋转中心旋转 180 与原图形重合，可知 A、 C、 D 都不是中心对称图形， B 是中心对称图形 . 答案 ： B. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 3a2a 3=3a6 B. 5x4-x2=4x2 C.(2a2)
2、3( -ab)=-8a7b D. 2x22x 2=0 解 析 ： A、 3a2a 3=3a53a 6，故 A 错误； B、 5x4-x2不是同类项，所以不能合并，故 B 错误； C、 (2a2)3( -ab)=-8a7b，计算正确，故 C 正确； D、 2x22x 2=10 ，计算错误，故 D 错误 . 答案 ： C. 4.(3 分 )下列一元二次方程有两个相等实数根的是 ( ) A. x2-2x+1=0 B. 2x2-x+1=0 C. 4x2-2x-3=0 D. x2-6x=0 解 析 ： A、 =4 -4=0， 方程 x2-2x+1=0 有两个相等实数根； B、 =1 -42 0， 方程
3、2x2-x+1=0 无实数根； C、 =4+443=52 0， 方程 4x2-2x-3=0 有两个不相等实数根； D、 =36 0， 方程 x2-6x=0 有两个不相等实数根 . 答案 ： A. 5.(3 分 )一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为 ( ) A. -1 x2 B. -1x 2 C. -1 x 2 D. 无解 解 析 ： 由图可得，这个不等式组的解集为 -1 x2. 答案 ： A. 6.(3 分 )图中几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 图中几何体的左视图是 . 答案 ： B. 7.(3 分 )直线 y=x+b(b 0)与直线
4、 y=kx(k 0)的交点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解 析 ： 直线 y=x+b(b 0)与直线 y=kx(k 0)的大致图象如图所示： 所以交点 A 位于第二象限 . 答案 ： B. 8.(3 分 )学校团委组织 “ 阳光助残 ” 捐款活动，九年一班学生捐款情况如下表： 则学生捐款金额的中位数是 ( ) A. 13 人 B. 12 人 C. 10 元 D. 20 元 解 析 ： 10+13+12+15=50 ， 按照从小到大顺序排列的第 25 个和第 26 个数据都是 20(元 )， 它们的平均数即为中位数， 20 202=20(元 )，
5、学生捐款金额的中位数是 20 元 . 答案 ： D. 9.(3 分 )如图， ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， EF、 GH 过点 O，且点 E、 H 在边 AB 上，点 G、 F 在边 CD 上，向 ABCD 内部投掷飞镖 (每次均落在 ABCD 内，且落在 ABCD 内任何一点的机会均等 )恰好落在阴影区域的概率为 ( ) A. 12B. 13C. 14D. 18解 析 ： 四边形 ABCD 为平行四边形， OEH 和 OFG 关于点 O 中心对称， S OEH =SOFG ， S 阴影部分 =SAOB =14S 平行四边形 ABCD， 飞镖 (每次均落在 ABCD 内，且
6、落在 ABCD 内任何一点的机会均等 )恰好落在阴影区域的概率 = 1=4A B C DSS 影 部 分平 行 四 形阴 边. 答案 ： C. 10.(3 分 )如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 ABCD 位置，此时 AC的中点恰好与 D点重合， AB 交 CD 于点 E.若 AB=3，则 AEC 的面积为 ( ) A. 3 B. 1.5 C. 2 3 D. 3 解 析 ： 旋转后 AC 的中点恰好与 D 点重合，即 AD=12AC= 12AC， 在 RtACD 中， ACD=30 ，即 DAC=60 ， DAD=60 ， DAE=30 ， EAC=ACD=30 ， AE=CE ，
7、 在 RtADE 中，设 AE=EC=x，则有 DE=DC-EC=AB-EC=3-x， AD= 333= 3 ， 根据勾股定理得： x2=(3-x)2+( 3 )2， 解得： x=2， EC=2 ， 则 SAEC =12ECAD= 3 . 答案 ： D. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 11.(3 分 )2014 年抚顺市城区植树造林约为 2030000 株，将 2030000 这个数用科学记数法表示为 _. 解 析 ： 将 2030000 用科学记数法表示为： 2.0310 6. 答案 ： 2.0310 6. 12.(3 分 )分解因式： ab3-ab=_. 解
8、 析 ： ab3-ab， =ab(b2-1)， =ab(b+1)(b-1). 答案 ： ab(b+1)(b-1). 13.(3 分 )已知数据： -1， 4， 2， -2， x 的众数是 2，那么这组数据的平均数为 _. 解 析 ： 数据： -1， 4， 2， -2， x 的众数是 2，即的 2 次数最多； 即 x=2. 则其平均数为： (-1+4+2-2+2)5=1. 答案 ： 1. 14.(3 分 )如图，分别过等边 ABC 的顶点 A、 B 作直线 a， b，使 ab. 若 1=40 ，则 2的度数为 _. 解 析 ： ABC 是等边三角形， BAC=60. 1=40 ， BAC+1=1
9、00. ab ， 2=180 -(BAC+1)=180 -100=80. 答案 ： 80. 15.(3 分 )如图，六边形 ABCDEF 为 O 的内接正六边形，若 O 的半径为 2 3 ，则阴影部分的面积为 _. 解 析 ： 圆的半径为 2 3 ， 面积为 12 ， 空白正六边形为六个边长为 2 3 的正三角形， 每个三角形面积为 122 3 2 3 sin60=3 3 ， 正六边形面积为 18 3 ， 阴影面积为 (12 -18 3 ) 16=2 33 . 答案 ： 2 33 . 16.(3 分 )如图，在 A 处看建筑物 CD 的顶端 D 的仰角为 ，且 tan=0.7 ，向前行进 3
10、米到达 B 处，从 B 处看 D 的仰角为 45( 图中各点均在同一平面内， A、 B、 C三点在同一条直线上， CDAC) ，则建筑物 CD 的高度为 _米 . 解 析 ： DBC=45 ， BC=CD ， tan= 710CDAC， 则 73 10CDCD ， 解得 CD=7. 答案 ： 7. 17.(3 分 )如图，过原点 O 的直线 AB 与反比例函数 y=kx(k 0)的图象交于 A、 B两点，点 B坐标为 (-2， m)，过点 A 作 ACy 轴于点 C， OA 的垂直平分线 DE 交 OC 于点 D，交 AB 于点 E.若 ACD 的周长为 5，则 k 的值为 _. 解 析 ：
11、过原点 O 的直线 AB 与反比例函数 y=kx(k 0)的图象交于 A、 B 两点， A 、 B 两点关于原点对称， 点 B 坐标为 (-2， m)， 点 A 坐标为 (2， -m)， ACy 轴于点 C， AC=2 ， DE 垂直平分 AO， AD=OD ， ACD 的周长为 5， AD+CD=5 -AC=3， OC=AD+CD=3 ， A(2 ， 3)， 点 A 在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上， k=23=6 ， 答案 ： 6. 18.(3 分 )如图，正方形 ABCD 的边长为 a，在 AB、 BC、 CD、 DA 边上分别取点 A1、 B1、 C1、 D1，使 AA1=BB
12、1=CC1=DD1=13a，在边 A1B1、 B1C1、 C1D1、 D1A1上分别取点 A2、 B2、 C2、 D2，使 A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13 A1B2， . 依次规律继续下去，则正方形 AnBnCnDn的面积为 _. 解 析 ： 在 RtA 1BB1中，由勾股定理可知； 222 2 2 21 1 1 12 1 53 3 9A B A B B B a a a ，即正方形 A1B1C1D1的面积 = 259a； 在 RtA 2B1B2中，由勾股定理可知：22 22 2 2 22 2 2 1 2 12 5 1 5 53 3 3 3 9A B A B B B a a a ；
13、即正方形 A2B2C2D2的面积= 2 259 a 正方形 AnBnCnDn的面积 = 225599n nnaa . 答案 ： 259nna. 三、解答题 (共 2 小题，第 19 题 10 分，第 20题 12 分，满分 22 分 ) 19.(10 分 )先化简，再求值： 12111xxx，从 -1， 2， 3 中选择一个适当的数作为 x值代入 . 解 析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = 112xx=2xx， 当 x=3 时，原式 = 332=3. 20.(12分 )如图，将 ABC 在网格中 (网格中每个小正方形的边
14、长均为 1)依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到 A 1B1C1. (1)ABC 与 A 1B1C1的位似比等于 _； (2)在网格中画出 A 1B1C1关于 y 轴的轴对称图形 A 2B2C2； (3)请写出 A 1B1C1是由 A 2B2C2怎样平移得到的？ (4)设点 P(x， y)为 ABC 内一点，依次经过上述三次变换后，点 P 的对应点的坐标为 _. 解 析 ： (1)根据位似图形可得位似比即可； (2)根据轴对称图形的画法画出图形即可； (3)根据 A 1B1C1与 A 2B2C2的关系过程其变化过程即可； (4)根据三次变换规律得出坐标即可 . 答案 ： (1)ABC
15、与 A 1B1C1的位似比等于 =112142ABAB ； (2)如图所示： (3)A 1B1C1是由 A 2B2C2沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 2 个单位得到； (4)点 P(x， y)为 ABC 内一点，依次经过上述三次变换后，点 P 的对应点的坐标为 (-2x-2，2y+2). 四、解答题 (共 2 小题，第 21 题 12 分，第 22题 12 分，满分 24 分 ) 21.(12 分 )某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买 1 个甲礼品比购买 1 个乙礼品多花 40 元，并且花费 600 元购买甲礼品和花费 360 元购买乙礼品的数量相等 .
16、(1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ (2)学校准备购买甲、乙两种礼品共 30 个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000 元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 解 析 ： (1)设购买一个乙礼品需要 x 元，根据 “ 花费 600 元购买甲礼品和花费 360 元购买乙礼品的数量相等 ” 列分式方程求解即可； (2)设总费用不超过 2000 元，可购买 m 个甲礼品，则购买乙礼品 (30-m)个，根据题意列不等式求解即可 . 答案 ： (1)设购买一个乙礼品需要 x 元，根据题意得： 600 36040xx ， 解得： x=60， 经检验 x=60 是原方程的根， x+40=100
17、. 答：甲礼品 100 元，乙礼品 60 元； (2)设总费用不超过 2000 元，可购买 m 个甲礼品，则购买乙礼品 (30-m)个， 根据题意得： 100m+60(30-m)2000 ， 解得： m5. 答：最多可购买 5 个甲礼品 . 22.(12 分 )电视节目 “ 奔跑吧兄弟 ” 播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位 “ 兄弟 ” ，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查 (每人只能选一个自己最喜欢的“ 兄弟 ”) ，将调查结果进行了整理后绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题： (1)本 次被调查的学生有 _人 . (2)将两幅统计图补充完整
18、. (3)若小刚所在学校有 2000 名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢 “Angelababy” 的人数 . (4)若从 3 名喜欢 “ 李晨 ” 的学生和 2 名喜欢 “Angelababy” 的学生中随机抽取两人参加文体活动，则两人都是喜欢 “ 李晨 ” 的学生的概率是 _. 解 析 ： (1)由喜欢 “ 陈赫 ” 的人数除以占的百分比得出被调查学生总数即可； (2)求出喜欢 “ 李晨 ” 的人数，找出喜欢 “Angelababy” 与喜欢 “ 黄晓明 ” 占的百分比，补全统计图即可； (3)由喜欢 “Ang elababy” 的百分比乘以 2000 即可得到结果； (4)列表得出所有
19、等可能的情况数，找出两人都是喜欢 “ 李晨 ” 的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1)根据题意得： 4020%=200( 人 )， 则本次被调查的学生有 200 人； 故答案为： 200； (2)喜欢 “ 李晨 ” 的人数为 200-(40+20+60+30)=50(人 )，喜欢 “Angelababy” 的百分比为100%=10% ，喜欢其他的百分比为 100%=30% ， 补全统计图，如图所示： (3)根据题意得： 200030%=600( 人 )， 则全校喜欢 “Angelababy” 的人数为 600 人； (4)列表如下： (B 表示喜欢 “ 李晨 ” ， D 表示喜欢
20、“Angelababy”) 所有等可能的情况有 20 种，其中两人都是喜欢 “ 李晨 ” 的学生有 6 种， 则 6320 10P . 故答案为： 310. 五、解答题 (共 1 小题，满分 12 分 ) 23.(12 分 )一个批发商销售成本为 20 元 /千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过 90 元，在销售过程中发现的售量 y(千克 )与售价 x(元 /千克 )满足一次函数关系，对应关系如下表： (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为多少元？ (3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润 w(元 )最大？此
21、时的最大利润为多少元？ 解 析 ： (1)根据图表中的各数可得出 y 与 x 成一次函数关系，从而结合图表的数可得出 y与x 的关系式 . (2)根据想获得 4000 元的利润， 列出方程求解即可； (3)根据批发商获得的总利润 w(元 )=售量 每件利润可表示出 w与 x 之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值 . 答案 ： (1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0) ，根据题意得 50 10060 90kbkb， 解得 1150kb. 故 y 与 x 的函数关系式为 y=-x+150； (2)根据题意得 (-x+150)(x-20)=4000， 解得 x1=
22、70， x2=100 90(不合题意，舍去 ). 故该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为 70 元； (3)w 与 x 的函数关系式为： w=(-x+150)(x-20) =-x2+170x-3000 =-(x-85)2+4225， -1 0， 当 x=85 时， w 值最大， w 最大值是 4225. 该产品每千克售价为 85 元时，批发商获得的利润 w(元 )最大，此时的最大利润为 4225 元 . 六、解答题 (共 1 小题，满分 12 分 ) 24.(12 分 )如图，四边形 ABCD 为矩形， E 为 BC 边中点，连接 AE，以 AD 为直径的 O 交 AE于点 F，
23、连接 CF. (1)求证： CF 与 O 相切； (2)若 AD=2， F 为 AE 的中点，求 AB 的长 . 解 析 ： (1)利用平行四边形的判定方法得出四边形 OAEC 是平行四边形，进而得出ODCOFC(SAS) ，求出 OFCF ，进而得出答案； (2)利用勾股定理得出 DC 的长，即可得出 AB 的长 . 答案 ： (1)证明：如图所示：连接 OF、 OC， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC ， AD=BC， ADC=90 ， E 为 BC 边中点， AO=DO， AO= 12AD， EC=12BC， AO=EC ， AOEC ， 四边形 OAEC 是平行四边形， AEOC
24、， DOC=OAF ， FOC=OFA ， OA=OF ， OAF=OFA ， DOC=FOC ， 在 ODC 和 OFC 中 O D O FD O C F O CO C O C ， ODCOFC(SAS) ， OFC=ODC=90 ， OFCF ， CF 与 O 相切； (2)解：如图所示：连接 DE， AO=DO ， AF=EF， AD=2， DE=20F=2 ， E 是 BC 的中点， EC=1 ， 在 RtDCE 中，由勾股定理得： 2 2 2 22 1 3D C D E E C ， AB=CD= 3 . 七、解答题 (共 1 小题，满分 12) 25.(12 分 )在 RtABC 中
25、， BAC=90 ，过点 B 的直线 MNAC ， D为 BC 边上一点，连接 AD，作 DEAD 交 MN 于点 E，连接 AE. (1)如图 ，当 ABC=45 时，求证： AD=DE； (2)如图 ，当 ABC=30 时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？并请说明理由； (3)当 ABC= 时，请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系 .(用含 的三角函数表示 ) 解 析 ： (1)首先过点 D作 DFBC ，交 AB 于点 F，得出 BDE=ADF ，以及 EBD=AFD ，再得出 BDEFDA(ASA) ，求出即可； (2)首先过点 D 作 DGBC ，交 AB 于点 G，进而得
26、出 EBD=AGD ，证出 BDEGDA 即可得出答案； (3)首先过点 D 作 DGBC ，交 AB 于点 G，进而得出 EBD=AGD ，证出 BDEGDA 即可得出答案 . 答案 ： (1)证明：如图 1，过点 D 作 DFBC ，交 AB 于点 F， 则 BDE+FDE=90 ， DEAD ， FDE+ADF=90 ， BDE=ADF ， BAC=90 ， ABC=45 ， C=45 ， MNAC ， EBD=180 -C=135 ， BFD=45 ， DFBC ， BFD=45 ， BD=DF， AFD=135 ， EBD=AFD ， 在 BDE 和 FDA 中 E B D A F
27、DB D D FB D E A D F ， BDEFDA(ASA) ， AD=DE ； (2)解： DE= 3 AD， 理由：如图 2，过点 D 作 DGBC ，交 AB 于点 G，则 BDE+GDE=90 ， DEAD ， GDE+ADG=90 ， BDE=ADG ， BAC=90 ， ABC=30 ， C=60 ， MNAC ， EBD=180 -C=120 ， ABC=30 ， DGBC ， BGD=60 ， AGD=120 ， EBD=AGD ， BDEGDA ， AD DGDE BD， 在 RtBDG 中， DGBD =tan30 = 33 ， DE= 3 AD； (3)AD=DEt
28、an ； 理由：如图 2， BDE+GDE=90 ， DEAD ， GDE+ADG=90 ， BDE=ADG ， EBD=90+ ， AGD=90+ ， EBD=AGD ， EBDAGD ， AD DGDE BD， 在 RtBDG 中， DGBD =tan ，则 ADDE =tan ， AD=DEtan. 八、解答题 (共 1 小题，满分 14 分 ) 26.(14 分 )已知， ABC 在平面直角坐标系中的位置如图 所示， A 点坐标为 (-6， 0)， B 点坐标为 (4， 0)，点 D 为 BC 的中点，点 E 为线段 AB上一动点，连接 DE经过点 A、 B、 C三点的抛物线的解析式为
29、 y=ax2+bx+8. (1)求抛物线的解析式； (2)如图 ，将 BDE 以 DE 为轴翻折，点 B 的对称点为点 G，当点 G恰好落在抛物线的对称轴上时，求 G 点的坐标； (3)如图 ，当点 E 在线段 AB 上运动时，抛物线 y=ax2+bx+8 的对称轴上是否存在点 F，使得以 C、 D、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)根据抛物线 y=ax2+bx+8 经过点 A(-6， 0)， B(4， 0)，应用待定系数法，求出抛物线的解析式即可 . (2)首先作 DM 抛物线的对称轴于点 M，设 G 点的坐
30、标为 (-1， n)，根据翻折的性质，可得BD=DG；然后分别求出点 D、点 M 的坐标各是多少，以及 BC、 BD 的值各是多少；最后在 RtGDM中，根据勾股定理，求出 n 的值，即可求出 G 点的坐标 . (3)根据题意，分三种情况： 当 CDEF ，且点 E 在 x 轴的正半轴时； 当 CDEF ，且点 E在 x 轴的负半轴时； 当 CEDF 时；然后根据平行四边形的性质，求出点 F 的坐标各是多少即可 . 答案 ： (1) 抛物线 y=ax2+bx+8 经过点 A(-6， 0)， B(4， 0)， 3 6 6 8 01 6 4 8 0abab 解得1323ab 抛物线的解析式是： y
31、=-13x2-23x+8. (2)如图 ，作 DM 抛物线的对称轴于点 M， 设 G 点的坐标为 (-1， n)， 由翻折的性质，可得 BD=DG， B(4 ， 0)， C(0， 8)，点 D 为 BC 的中点， 点 D 的坐标是 (2， 4)， 点 M 的坐标是 (-1， 4)， DM=2-(-1)=3， B(4 ， 0)， C(0， 8)， 224 8 4 5BC ， 25BD ， 在 RtGDM 中， 32+(4-n)2=20， 解得 n=4 11 ， G 点的坐标为 (-1， 4+ 11 )或 (-1， 4- 11 ). (3)抛物线 y=ax2+bx+8 的对称轴上存在点 F，使得以
32、 C、 D、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形 . 当 CDEF ，且点 E 在 x 轴的正半轴时，如图 ， 由 (2)，可得点 D 的坐标是 (2， 4)， 设点 E 的坐标是 (c， 0)，点 F 的坐标是 (-1， d)， 则0 1 2228 0 422cd 解得 14cd 点 F 的坐标是 (-1， 4)，点 C 的坐标是 (1， 0). 当 CDEF ，且点 E 在 x 轴的负半轴时，如图 ， 由 (2)，可得点 D 的坐标是 (2， 4)， 设点 E 的坐标是 (c， 0)，点 F 的坐标是 (-1， d)， 则 01 2228 0 422cd 解得 34cd 点 F 的坐标是 (-1， -4)，点 C 的坐标是 (-3， 0). 当 CEDF 时，如图 ， 由 (2)，可得点 D 的坐标是 (2， 4)， 设点 E 的坐标是 (c， 0)，点 F 的坐标是 (-1， d)， 则 102228 4 022cd 解得 312cd 点 F 的坐标是 (-1， 12)，点 C 的坐标是 (3， 0). 综上，可得 抛物线 y=ax2+bx+8 的对称轴上存在点 F，使得以 C、 D、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形， 点 F 的坐标是 (-1， 4)、 (-1， -4)或 (-1， 12).
