1、2015年辽宁省本溪市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.实数 -12的相反数是 ( ) A.12B.-12C.2 D.-2 解析： 根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答 . 实数 -12的相反数是 12. 答案： A 2.如图是由多个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从左边看第一层是三个小正方形，第二层靠左边两个小正方形，第三层靠左边一个小正方形 . 答案： C 3. 下列运算正确的是 ( ) A.5m+2m=7m2 B.-2m2 m
2、3=2m5 C.(-a2b)3=-a6b3 D.(b+2a)(2a-b)=b2-4a2 解析： A、 5m+2m=(5+2)m=7m，故 A 错误； B、 -2m2 m3=-2m5，故 B 错误； C、 (-a2b)3=-a6b3，故 C 正确； D、 (b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=4a2-b2，故 D 错误 . 答案： C. 4.下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，是中心对称图
3、形 . 答案： B 5.为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了 A、 B 两类玩具，其中 A 类玩具的进价比 B 类玩具的进价每个多 3 元，经调查：用 900 元购进 A 类玩具的数量与用 750 元购进B 类玩具的数量相同 .设 A 类玩具的进价为 m 元 /个，根据题意可列分式方程为 ( ) A. 900 7503mm B. 900 7503mmC. 900 7503mm D. 900 7503mm解析 ：设 A 类玩具的进价为 m 元 /个，则 B 类玩具的进价为 (m-3)元 /个， 由题意得， 900 7503mm . 答案： C. 6.射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人
4、射击 10 次，平均环数均为 8.7 环，方差分别为 S甲2=0.51， S乙2=0.41、 S丙2=0.62、 S丁2=0.45，则四人中成绩最稳定的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析 ： S 甲 2=0.51， S 乙 2=0.41、 S 丙 2=0.62、 S 丁 2=0.45， S 丙 2 S 甲 2 S 丁 2 S 乙 2，四人中乙的成绩最稳定 . 答案： B 7.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 4 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是 0.2，则估计盒子中大约有红球 (
5、) A.16 个 B.20 个 C.25 个 D.30 个 解析 ： 设红球有 x 个，根据题意得， 4： (4+x)=1： 5，解得 x=16. 答案： A 8.如图， ABCD 的周长为 20cm， AE 平分 BAD，若 CE=2cm，则 AB 的长度是 ( ) A.10cm B.8cm C.6cm D.4cm 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD， AD=BC， AD BC， DAE= BAE， AE 平分 BAD， DAE= BAE， BAE= AEB， AB=BE， 设 AB=CD=xcm，则 AD=BC=(x+2)cm， ABCD 的周长为 20cm， x+x+
6、2=10，解得： x=4，即 AB=4cm， 答案： D 9.如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与 x 轴交于点 A(-2， 0)，与 x 轴夹角为 30，将ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y=kx(k 0)上，则 k的值为 ( ) A.4 B.-2 C. 3 D.- 3 解析 ：设点 C 的坐标为 (x， y)，过点 C 作 CD x 轴，作 CE y轴， 将 ABO 沿直线 AB 翻折， CAB= OAB=30， AC=AO=2， ACB=AOB=90， CD=y=AC sin60 =2 32= 3 ， ACB= DCE=90， BCE= ACD=30，
7、 BC=BO=AO tan30 =2 33=233， CE=x=BC cos30 =233 32=1， 点 C 恰好落在双曲线 y=kx(k 0)上， k=x y=-1 3 =- 3 . 答案： D. 10.如图，在 ABC 中， C=90，点 P 是斜边 AB 的中点，点 M 从点 C 向点 A 匀速运动，点N 从点 B 向点 C 匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接 PM、 PN、 MN，在整个运动过程中， PMN 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 如图 1，连接 CP， 点 P 是斜边 AB 的中点， S ACP=S B
8、CP=12S ABC， 出发时， S PMN=S BCP=12S ABC； 两点同时出发，同时到达终点， 点 N 到达 BC 的中点时，点 M 也到达 AC的中点， S PMN=14S ABC； 结束时， S PMN=S ACP=12S ABC， MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化， PMN 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系图象大致是： 答案： A. 二、填空题 (本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 ) 11.据本溪日报报道：本溪市高新区 2015 年 1 月份公共财政预算收入完成 259 610 000元，首月实现税收收入“开门红” .将
9、259 610 000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 259 610 000 用科学记数法表示为 2.5961 108. 答案： 2.5961 108. 12.分解因式： 9a3-ab2= . 9a3-ab2=a(9a2-b2)=a(3a-b)(3a+b). 答案： a(3a-b)(3a+b) 13.如图，直线 a b，三角板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两条直线分别交直线 b 于 B、 C两点 .若 1=42，则 2 的度数是 . 解析 ： BAC=90， 1=42， 3=90 - 1=90 -42 =48 . 直线 a b， 2= 3=48 . 答案： 48 . 14.从 -1
10、、 -12、 1 这三个数中任取两个不同的数作为点 A 的坐标，则点 A 在第二象限的概率是 . 解析 ： 画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中在第二象限的点有 2 个， 所以点 A 在第二象限的概率 =26=13. 答案 ： 13. 15.关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2-2x+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 . 解析 ： 关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2-2x+1=0 有两个不相等的实数根， k-1 0 且 =(-2)2-4(k-1) 0，解得： k 2 且 k 1. 答案： k 2 且 k 1. 16. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线
11、 AC 与 BD 相交于点 O， AC=8， BD=6， OE BC，垂足为点 E，则 OE= . 解析 ： 四边形 ABCD 为菱形， AC BD， OB=OD=12BD=3， OA=OC=12AC=4， 在 Rt OBC 中， OB=3， OC=4， BC= 2234 =5， OE BC， 12OE BC=12OB OC， OE=345=125. 答案 ： 125. 17.在 ABC 中， AB=6cm， AC=5cm，点 D、 E 分别在 AB、 AC 上 .若 ADE 与 ABC 相似，且 SADE： S 四边形 BCED=1： 8，则 cm. 解析 ： S ADE： S 四边形 BC
12、ED=1： 8， S ADE： S ABC=1： 9， ADE 与 ABC 相似比为： 1： 3， 若 AED 对应 B 时，则 13ADAC， AC=5cm， AD=53cm； 当 ADE 对应 B 时，则 13ADAB， AB=6cm， AD=2cm. 答案 ： 2 或 53. 18.如图，已知矩形 ABCD 的边长分别为 a， b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形 AEFG 各边中点，得到菱形 I1；连接矩形 FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形 FNPQ 各边中点，得到菱形 I2；如此操作下去，得到菱形 In，则 In的面积是 . 解析 ： 由题意得：菱形 I1
13、的面积为： 12 AG AE=12 12a 12b=(12)3 ab； 菱形 I2的面积为： 12 FQ FN=12 (12 12a) (12 12b)=(12)5 ab； ， 菱形 In的面积为： (12)2n+1ab， 答案： (12)2n+1ab. 三、解答题 (第 19 题 10 分，第 20 题 12分，共 22分 ) 19.先化简，再求值： (x-2+ 32x) 2 212xxx，其中 x=( -2015)0- 4 +(13)-1. 解析 ： 先通分，然后进行四则运算，最后将 x 的值求出来，再代入计算即可 . 答案 ：原式 = 222 3222 1xx xxx x = 224 3
14、 22 1xxx x = 211 22 1xx xx x = 11xx. x=( -2015)0- 4 +(13)-1=1-2+3=2，当 x=2 时，原式 =2121=13. 20.某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题： (1)本次调查的学生总数为 人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是 小时，众数是 小时； (2)请你补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度数是 ； (4)若全校九年级共有学生 700人，估计九年级一周课外阅
15、读时间为 6小时的学生有多少人？ 解析 ： (1)根据统计图可知，课外阅读达 3 小时的共 10 人，占总人数的 20%，由此可得出总人数；求出课外阅读时间 4 小时与 6 小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论； (2)根据 (1)中求出的人数补全条形统计图即可； (3)求出课外阅读时间为 5 小时的人数，再求出其人数与总人数的比值即可得出扇形的圆心角度数； (4)求出总人数与课外阅读时间为 6 小时的学生人数的百分比的积即可 . 答案 ： (1)课外阅读达 3 小时的共 10 人，占总人数的 20%， 1020%=50(人 ). 课外阅读 4 小时的人数是 32%， 50 3
16、2%=16(人 )，男生人数 =16-8=8(人 )； 课外阅读 6 小时的人数 =50-6-4-8-8-8-12-3=1(人 )， 课外阅读 3 小时的是 10 人， 4 小时的是 16 人， 5小时的是 20人， 6 小时的是 4 人， 中位数是 4 小时，众数是 5 小时 . (2)如图所示 . (3)课外阅读 5 小时的人数是 20 人， 2050 360 =144 . (4)课外阅读 5 小时的人数是 4 人， 700 450=56(人 ). 答：九年级一周课外阅读时间为 6 小时的学生大约有 56 人 . 四、解答题 (第 21 题 12 分，第 22 题 12分，共 24分 )
17、21.暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游，报名的人数共有 69 人，其中成人的人数比儿童人数的 2 倍少 3 人 . (1)旅游团中成人和儿童各有多少人？ (2)旅行社为了吸引游客，打算给游客准备一件 T 恤衫，成人 T 恤衫每购买 10 件赠送 1 件儿童 T 恤衫 (不足 10 件不赠送 )，儿童 T 恤衫每件 15 元，旅行社购买服装的费用不超过 1200元，请问每件成人 T 恤衫的价格最高是多少元？ 解析： (1)设旅游团中儿童有 x 人，则成人有 (2x-3)人，根据报名的人数共有 69 人，列方程求解； (2)根据题意可得能赠送 4 件儿童 T 恤
18、衫，设每件成人 T 恤衫的价格是 m 元，根据旅行社购买服装的费用不超过 1200 元，列不等式求解 . 答案 ： (1)设旅游团中儿童有 x 人，则成人 有 (2x-3)人， 根据题意得 x+(2x-3)=69， 解得： x=24， 则 2x-3=2 24-3=45. 答：旅游团中成人有 45 人，儿童有 24 人 . (2) 45 10=4.5， 可赠送 4 件儿童 T 恤衫， 设每件成人 T 恤衫的价格是 m 元， 根据题意可得 45x+15(24-4) 1200， 解得： x 20. 答：每件成人 T 恤衫的价格最高是 20 元 . 22. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树
19、 CD 的高度，如图，山坡与水平面成30角 (即 MAN=30 )，在山坡底部 A 处测得大树顶端点 C 的仰角为 45，沿坡面前进 20米，到达 B 处，又测得树顶端点 C 的仰角为 60 (图中各点均在同一平面内 )，求这棵大树CD 的高度 (结果精确到 0.1 米，参考数据： 3 1.732) 解析： 过 B 作 BE CD交 CD 延长线于 E，由 CAN=45， MAN=30，得到 CAB=15，由 CBD=60， DBE=30，得到 CBD=30于是有 CAB= ACB=15所以 AB=BC=20，解 Rt BCE，可求得 CE，解 Rt DBE 可求得 DE， CE-DE 即得到
20、树高 CD. 答案 ：如图，过 B 作 BE CD 交 CD 延长线于 E， CAN=45， MAN=30， CAB=15 CBD=60， DBE=30， CBD=30， CBE= CAB+ ACB， CAB= ACB=15， AB=BC=20， 在 Rt BCE 中， CBE=60， BC=20， CE=BCsin CBE=20 32=10 3 BE=BCcos CBE=20 0.5=10， 在 Rt DBE 中， DBE=30， BE=10， DE=BEtan DBE=10 33=10 33， CD=CE-DE=10 3 -10 33=20 33 11.5， 答：这棵大树 CD 的高度大约
21、为 11.5 米 . 五、解答题 (满分 12 分 ) 23.如图，点 D 是等边 ABC中 BC 边的延长线上一点，且 AC=CD，以 AB 为直径作 O，分别交边 AC、 BC 于点 E、点 F (1)求证： AD 是 O 的切线； (2)连接 OC，交 O 于点 G，若 AB=4，求线段 CE、 CG 与 弧 GE围成的阴影部分的面积 S. 解析： (1)求出 DAC=30，即可求出 DAB=90，根据切线的判定推出即可； (2)连接 OE，分别求出 AOE、 AOC，扇形 OEG 的面积，即可求出答案 . 答案 ： (1) ABC 为等边三角形， AC=BC， 又 AC=CD， AC=
22、BC=CD， ABD 为直角三角形， AB AD， AB 为直径， AD 是 O 的切线 . (2)连接 OE， OA=OE， BAC=60， OAE 是等边三角形， AOE=60， CB=BA， OA=OB， CO AB， AOC=90， EOC=30， ABC 是边 长为 4 的等边三角形， AO=2，由勾股定理得： OC= 2242 =2 3 ， 同理等边三角形 AOE 边 AO 上高是 2221 = 3 ， S 阴影 =S AOC-S 等边 AOE-S 扇形 EOG=12 2 2 3 12 2 3 - 230 2360= 3 - 3. 六、解答题 (满分 12 分 ) 24.某种商品的
23、进价为 40 元 /件，以获利不低于 25%的价格销售时，商品的销售单价 y(元 /件 )与销售数量 x(件 )(x 是正整数 )之间的关系如下表： (1)由题意知商品的最低销售单价是 元，当销售单价不低于最低销售单价时， y 是 x的一次函数 .求出 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围； (2)在 (1)的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 解析：(1)由 40(1+25%)即可得出最低销售单价；根据题意由待定系数法求出 y 与 x 的函数关系式和 x 的取值范围； (2)设所获利润为 P 元，由题意得出 P 是 x 的二次函数，即可得出结果 . 答案
24、 ： (1)40(1+25%)=50(元 ). 设 y=kx+b，根据题意得： 75 570 10kbkb，解得： k=-1， b=80， y=-x+80， 根据题意得： 080 50xx ，且 x 为正整数， 0 x 30， x 为正整数， y=-x+80(0 x 30，且 x 为正整数 ). (2)设所获利润为 P 元，根据题意得： P=(y-40) x=(-x+80-40)x=-(x-20)2+400，即 P 是 x 的二次函数， a=-1 0， P 有最大值，当 x=20 时， P 最大值 =400，此时 y=60， 当销售单价为 60 元时，所获利润最大，最大利润为 400 元 .
25、七、解答题 (满分 12 分 ) 25.如图 1，在 ABC 中， AB=AC，射线 BP 从 BA 所在位置开始绕点 B 顺时针旋转，旋转角为 (0 180 ) (1)当 BAC=60时，将 BP 旋转到图 2 位置，点 D 在射线 BP上 .若 CDP=120，则 ACD ABD(填“”、“ =”、“” )，线段 BD、 CD 与 AD 之间的数量关系是 ； (2)当 BAC=120时，将 BP 旋转到图 3 位置，点 D 在射线 BP 上，若 CDP=60，求证： BD-CD=3 AD； (3)将图 3 中的 BP 继续旋 转，当 30 180时，点 D 是直线 BP 上一点 (点 P
26、不在线段BD 上 )，若 CDP=120，请直接写出线段 BD、 CD 与 AD 之间的数量关系 (不必证明 ). 解析： (1)如图 2，由 CDP=120，根据邻补角互补得出 CDB=60，那么 CDB= BAC=60，所以 A、 B、 C、 D 四点共圆，根据圆周角定理得出 ACD= ABD；在 BP上截取 BE=CD，连接AE.利用 SAS 证明 DCA EBA，得出 AD=AE， DAC= EAB，再证明 ADE 是等边三角形，得到 DE=AD，进而得出 BD=CD+AD. (2)如图 3，设 AC 与 BD 相交于点 O，在 BP 上截取 BE=CD，连接 AE，过 A作 AF B
27、D 于 F.先由两角对应相等的两三角形相似得出 DOC AOB，于是 DCA= EBA.再利用 SAS 证明DCA EBA，得出 AD=AE， DAC= EAB.由 CAB= CAE+ EAB=120，得出 DAE=120，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 ADE= AED=180 1202 =30 .解 RtADF，得到 DF= 32AD，那么 DE=2DF= 3 AD，进而得出 BD=DE+BE= 3 AD+CD，即 BD-CD= 3AD； (3)分两种情况：当旋转角 30 150时；当旋转角 150 180时；进行讨论可得线段 BD、 CD 与 AD 之间的数量关系 . 答案
28、： (1)如图 2， CDP=120， CDB=60， BAC=60， CDB= BAC=60， A、 B、 C、 D 四点共圆， ACD= ABD. 在 BP 上截取 BE=CD，连接 AE. 在 DCA 与 EBA 中， A C A BA C D A B EC D B E ， DCA EBA(SAS)， AD=AE， DAC= EAB， CAB= CAE+ EAB=60， DAE=60， ADE 是等边三角形， DE=AD. BD=BE+DE， BD=CD+AD. (2)如图 3，设 AC 与 BD 相交于点 O，在 BP上截取 BE=CD，连接 AE，过 A作 AF BD于 F. CDP
29、=60， CDB=120 . CAB=120， CDB= CAB， DOC= AOB， DOC AOB， DCA= EBA. 在 DCA 与 EBA 中，A C A BA C D A B EC D B E ， DCA EBA(SAS)， AD=AE， DAC= EAB. CAB= CAE+ EAB=120， DAE=120， ADE= AED=180 1202 =30 . 在 Rt ADF 中， ADF=30， DF= 32AD， DE=2DF= 3 AD， BD=DE+BE= 3 AD+CD， BD-CD= 3 AD. (3)当旋转角 30 150时， BD+CD= 3 AD；当旋转角 15
30、0 180时， CD-BD=3AD. 八、解答题 (满分 14 分 ) 26.如图，抛物线 y=ax2+bx(a 0)经过点 A(2， 0)，点 B(3， 3)， BC x 轴于点 C，连接 OB，等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 在 x 轴上，点 E的坐标为 (-4， 0)，点 F与原点重合 (1)求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴； (2) DEF 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动，运动时间为 t 秒，当点 D 落在 BC边上时停止运动，设 DEF 与 OBC 的重叠部分的面积为 S，求出 S 关于 t 的函数关系式； (3)点 P 是抛物线对称轴上一点，当 ABP
31、时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点 P坐标 . 解析： (1)根据待定系数法解出解析式和对称轴即可； (2)从三种情况分析当 0 t 3 时， DEF 与 OBC 重叠部分为等腰直角三角形；当 3t 4 时， DEF 与 OBC 重叠部分是四边形；当 4 t 5 时， DEF 与 OBC 重叠部分是四边形得出 S 关于 t 的函数关系式即可； (3)直接写出当 ABP 时直角三角形时符合条件的点 P 坐标 . 答案： (1)根据题意得 0 4 23 9 3abab，解得 a=1， b=-2， 抛物线解析式是 y=x2-2x，对称轴是直线 x=1. (2)有 3 中情况： 当 0 t 3 时， DEF 与 OBC 重叠部分为等腰直角三角形，如图 1： S=14t2； 当 3 t 4 时， DEF 与 OBC 重叠部分是四边形，如图 2： S=-14t2+3t-92； 当 4 t 5 时， DEF 与 OBC 重叠部分是四边形，如图 3： S=-12t2+3t-12； (3)当 ABP 时直角三角形时，可得符合条件的点 P 坐标为 (1， 1)或 (1， 2)或 (1， 13)或 (1，113 ).
