1、2015 年陕西省中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合题意的 ) 1.计算： (-23)0=( ) A.1 B.-32C.0 D.23解析： 根据零指数幂： a0=1(a 0)，求出 (-23)0的值是多少即可 .(-23)0=1. 答案 ： A. 2.如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案 .从上面看外面是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆 . 答案 ： B 3.下列计算正确的是 ( ) A.a2 a3=a6 B.(-2ab)2=4a2b2 C.(a
2、2)3=a5 D.3a3b2 a2b2=3ab 解析： A、 a2 a3=a5，故正确； B、正确； C、 (a2)3=a6，故错误； D、 3a2b2 a2b2=3，故错误 . 答案 ： B 4.如图， AB CD，直线 EF分别交直线 AB， CD于点 E， F.若 1=46 30，则 2的度数为 ( ) A.43 30 B.53 30 C.133 30 D.153 30 解析： AB CD， 1=46 30， EFD= 1=46 30， 2=180 -46 30 =133 30 . 答案： C 5.设正比例函数 y=mx 的图象经过点 A(m， 4)，且 y 的值随 x 值的增大而减小，
3、则 m=( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析： 把 x=m， y=4 代入 y=mx 中，可得： m= 2， 因为 y 的值随 x 值的增大而减小，所以 m=-2. 答案： B 6.如图，在 ABC 中， A=36， AB=AC， BD 是 ABC 的角平分线 .若在边 AB 上截取 BE=BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有 ( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 解析： AB=AC， ABC 是等腰三角形； AB=AC， A=36， ABC= C=72， BD 是 ABC 的角平分线， ABD= DBC=12 ABC=36， A= ABD=36， BD=AD，
4、 ABD 是等腰三角形； 在 BCD 中， BDC=180 - DBC- C=180 -36 -72 =72， C= BDC=72， BD=BC， BCD 是等腰三角形； BE=BC， BD=BE， BDE 是等腰三角形； BED=(180 -36 ) 2=72， ADE= BED- A=72 -36 =36， A= ADE， DE=AE， ADE 是等腰三角形；图中的等腰三角形有 5 个 . 答案： D. 7.不等式组 1 1322 3 0xxx ，的最大整数解为 ( ) A.8 B.6 C.5 D.4 解析： 1 1322 3 0xxx ， ，解不等式得： x -8，解不等式得： x 6，
5、 不等式组的解集为 -8 x 6，不等式组的最大整数解为 5. 答案： C. 8.在平面直角坐标系中，将直线 l1： y=-2x-2 平移后，得到直线 l2： y=-2x+4，则下列平移作法正确的是 ( ) A.将 l1向右平移 3 个单位长度 B.将 l1向右平移 6 个单位长度 C.将 l1向上平移 2 个单位长度 D.将 l1向上平移 4 个单位长度 解析： 将直线 l1： y=-2x-2 平移后，得到直线 l2： y=-2x+4， -2(x+a)-2=-2x+4，解得： a=-3，故将 l1向右平移 3 个单位长度 . 答案： A 9.在 ABCD 中， AB=10， BC=14， E
6、， F 分别为边 BC， AD 上的点，若四边形 AECF 为正方形，则 AE 的长为 ( ) A.7 B.4 或 10 C.5 或 9 D.6 或 8 解析： 如图： 设 AE 的长为 x，根据正方形的性质可得 BE=14-x， 在 ABE 中，根据勾股定理可得 x2+(14-x)2=102，解得 x1=6， x2=8.故 AE的长为 6或 8. 答案： D 10.下列关于二次函数 y=ax2-2ax+1(a 1)的图象与 x 轴交点的判断，正确的是 ( ) A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于 y 轴右侧 C.有两个交点，且它们均位于 y 轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于 y 轴右
7、侧 解析： 当 y=0 时， ax2-2ax+1=0， a 1， =(-2a)2-4a=4a(a-1) 0， ax2-2ax+1=0 有两个根，函数与有两个交点， x= 2 4 12a a aa 0. 答案： D 二、填空题 (共 5 小题，每小题 3 分，计 12 分，其中 12、 13题为选做题，任选一题作答 ) 11.将实数 5 ， 0， -6 由小到大用“”号连起来，可表示为 . 解析： 5 2.236， 3.14， -6 0 2.236 3.14， -6 0 5 . 答案： -6 0 5 12.正八边形一个内角的度数为 . 解析： 正八边形的内角和为： (8-2) 180 =1080
8、，每一个内角的度数为 18 1080=135 . 答案： 135 13.如图，有一滑梯 AB，其水平宽度 AC为 5.3 米，铅直高度 BC 为 2.8 米，则 A 的度数约为 (用科学计算器计算，结果精确到 0.1 ). 解析： tan A= 2.85.3BCAC 0.5283， A=27.8 . 答案： 27.8 . 14.如图，在平面直角坐标系中，过点 M(-3， 2)分别作 x 轴、 y 轴的垂线与反比例函数 y=4x的图象交于 A， B 两点，则四边形 MAOB 的面积为 . 解析： 如图， 设点 A 的坐标为 (a， b)，点 B 的坐标为 (c， d)， 反比例函数 y=4x的图
9、象过 A， B 两点， ab=4， cd=4， S AOC=12|ab|=2， S BOD=12|cd|=2， 点 M(-3， 2)， S 矩形 MCDO=3 2=6，四边形 MAOB 的面积 =S AOC+S BOD+S 矩形 MCDO=2+2+6=10. 答案 ： 10. 15.如图， AB 是 O 的弦， AB=6，点 C 是 O 上的一个动点，且 ACB=45 .若点 M， N 分别是 AB， BC 的中点，则 MN 长的最大值是 . 解析： 点 M， N 分别是 AB， BC 的中点， MN=12AC， 当 AC 取得最大值时， MN 就取得最大值，当 AC 时直径时，最大，如图，
10、ACB= D=45， AB=6， AD=6 2 ， MN=12AD=3 2 . 答案 ： 3 2 . 三、解答题 (共 11 小题，计 78 分，解答时写出过程 ) 16.计算： 3 (- 6 )+|-2 2 |+(12)-3. 解析： 根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式 =- 36 +2 2 +8，然后化简后合并即可 . 答案 ：原式 =- 36 +2 2 +8=-3 2 +2 2 +8=8- 2 . 17.解分式方程： 2333xxx =1. 解析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案 ： 去分母得： x2-5
11、x+6-3x-9=x2-9，解得： x=34，经检验 x=34是分式方程的解 . 18.如图，已知 ABC，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将 ABC 分成面积相等的两部分 .(保留作图痕迹，不写作法 ) 解析： 作 BC 边上的中线，即可把 ABC 分成面积相等的两部分 . 答案 ： 如图，直线 AD 即为所求： 19.某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况，让体育老师随机抽查了该年级若干名女生，并严格地对她们进行了 1 分钟“仰卧起坐”测试，同时统计了每个人做的个数 (假设这个个数为 x)，现在我们将这些同学的测试结果分为四个等级：优秀 (x 44)、良好 (36
12、x 43)、及格 (25 x 35)和不及格 (x 24)，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图 . 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (2)被测试女生 1 分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在 等级； (3)若该年级有 650 名女生，请你估计该年级女生中 1 分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数 . 解析： (1)根据各个等级的百分比得出答案即可； (2)根据中位数的定义知道中位数是第 25 和 26 个数的平均数，由此即可得出答案； (3)首先根据扇形图得出优秀人数占的百分比，条形统计图可以求出平均数的最小值，然后即可求出答案 . 答案： (1)如图
13、. (2) 13+20+12+5=50， 50 2=25， 25+1=26， 中位数落在良好等级 . (3)650 26%=169(人 )， 即该年级女生中 1 分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数是 169. 20.如图，在 ABC 中， AB=AC，作 AD AB 交 BC 的延长线于点 D，作 AE BD， CE AC，且 AE，CE 相交于点 E，求证： AD=CE. 解析： 根据平行线的性质得出 EAC= ACB，再利用 ASA 证出 ABD CAE，从而得出 AD=CE. 答案 ： AE BD， EAC= ACB， AB=AC， B= ACB， B= EAC， 在 ABD 和 CAE
14、 中， B E A CA B A CB A D A C E ， ABD CAE， AD=CE. 21.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞 .小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高 .于是，两人在灯下沿直线 NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点 (距 N 点 5 块地砖长 )时，其影长 AD 恰好为 1块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点 (距 N 点 9 块地砖长 )时，其影长 BF 恰好为 2 块地砖长 .已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6 米， MN NQ， AC NQ，
15、BE NQ.请你根据以上信息，求出小军身高 BE 的长 .(结果精确到 0.01 米 ) 解析： 先证明 CAD MND，利用相似三角形的性质求得 MN=9.6，再证明 EFB MFN，即可解答 . 答案 ： 由题意得： CAD= MND=90， CDA=MDN， CAD MND， CA ADMN ND， 1 .6 1 0 .85 1 0 .8MN ， MN=9.6， 又 EBF= MNF=90， EFB= MFN， EFB MFN， EB BFMN NF， 2 0 .89 .6 2 9 0 .8EB ， EB 1.75，小军身高约为 1.75 米 . 22.胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延
16、安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人 640 元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过 20 人，每人都按九折收费，超过20 人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为 x人 . (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 y(元 )与 x(人 )之间的函数关系式； (2)若胡老师组团参加两日游的人数共有 32 人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家 . 解析： (1)根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得 y 甲 =640
17、 0.85x，对于乙两家旅行社的总费用，分类讨论：当 0 x 20 时， y 乙 =640 0.9x；当 x 20 时， y 乙 =640 0.9 20+640 0.75(x-20)； (2)把 x=32 分别代入 (1)中对应得函数关系计算 y 甲 和 y 乙 的值，然后比较大小即 可 . 答案 ： (1)甲两家旅行社的总费用： y 甲 =640 0.85x=544x； 乙两家旅行社的总费用：当 0 x 20 时， y 乙 =640 0.9x=576x；当 x 20 时， y 乙 =640 0.9 20+640 0.75(x-20)=480x+1920； (2)当 x=32 时， y 甲 =
18、544 32=17408(元 )， y 乙 =480 32+1920=17280， 因为 y 甲 y 乙 ，所以胡老师选择乙旅行社 . 23.某中学要在全校学生中举办“中国梦 我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛 .九年级 (1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛 .经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛 (胜者参赛 ). 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止 . 如果小亮和小丽按上述规
19、则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题： (1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？ (2)该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由 .(骰子：六个面 上分别刻有 1， 2，3， 4， 5， 6 个小圆点的小正方体 ) 解析： (1)首先判断出向上一面的点数为奇数有 3 种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可 . (2)首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可 . 答案 ： (1)向上一面的点数为奇数有 3 种情况， 小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是： 3162.
20、 (2)填表如下： 由上表可知，一共有 36 种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有 9 种结果 . P(小亮胜 )= 9136 4， P(小丽胜 )= 9136 4，游戏是公平的 . 24.如图， AB 是 O 的直径， AC 是 O 的弦，过点 B 作 O 的切线 DE，与 AC 的延长线交于点D，作 AE AC 交 DE 于点 E. (1)求证： BAD= E； (2)若 O 的半径为 5， AC=8，求 BE 的长 . 解析： (1)根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可； (2)根据勾股定理和相似三角形进行解答即可 . 答案： (1) AB 是 O 的直径， AC 是 O 的弦，过
21、点 B 作 O 的切线 DE， ABE=90， BAE+ E=90， DAE=90， BAD+ BAE=90， BAD= E. (2)连接 BC，如图： AB 是 O 的直径， ACB=90， AC=8， AB=2 5=10， BC= 22AB AC =6， BCA= ABE=90， BAD= E， ABC EAB， AC BCEB AB， 8610EB， BE=403. 25.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+5x+4 的顶点为 M，与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点 . (1)求点 A， B， C 的坐标； (2)求抛物线 y=x2+5x+4 关于坐标原点 O 对称
22、的抛物线的函数表达式； (3)设 (2)中所求抛物线的顶点为 M，与 x 轴交于 A， B两点，与 y 轴交于 C点，在以A， B， C， M， A， B， C， M这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积 . 解析： (1)令 y=0，求出 x 的值；令 x=0，求出 y，即可解答； (2)先求出 A， B， C 关于坐标原点 O 对称后的点为 (4， 0)， (1， 0)， (0， -4)，再代入解析式，即可解答； (3)取四点 A， M， A， M，连接 AM， MA， A M， M A， MM，由中心对称性可知， MM过点 O， OA=OA， OM=
23、OM，由此判定 四边形 AMA M为平行四边形，又知 AA与 MM不垂直，从而平行四边形 AMA M不是菱形，过点 M 作 MD x 轴于点 D，求出抛物线的顶点坐标 M，根据 S 平行四边形 AMA M =2S AMA ，即可解答 . 答案 ： (1)令 y=0，得 x2+5x+4=0， x1=-4， x2=-1， 令 x=0，得 y=4， A(-4， 0)， B(-1， 0)， C(0， 4). (2) A， B， C 关于坐标原点 O 对称后的点为 (4， 0)， (1， 0)， (0， -4)， 所求抛物线的函数表达式为 y=ax2+bx-4， 将 (4， 0)， (1， 0)代入上式
24、，得 1 6 4 4 040abab ，解得： 15ab， y=-x2+5x-4. (3)如图，取四点 A， M， A， M，连接 AM， MA， A M， M A， MM， 由中心对称性可知， MM过点 O， OA=OA， OM=OM，四边形 AMA M为平行四边形， 又知 AA与 MM不垂直，平行四边形 AMA M不是菱形，过点 M 作 MD x 轴于点 D， y=x2+5x+4=(x+52)2-94， M(-52， -94)， 又 A(-4， 0)， A (4， 0) AA =8， MD=94， S 平行四边形 AMA M =2S AMA =2 12 8 94=18. 26.如图，在每一
25、个四边形 ABCD 中，均有 AD BC， CD BC， ABC=60， AD=8， BC=12. (1)如图，点 M 是四边形 ABCD 边 AD 上的一点，则 BMC 的面积为 ； (2)如图，点 N 是四边形 ABCD 边 AD 上的任意一点，请你求出 BNC 周长的最小值； (3)如图，在四边形 ABCD 的边 AD 上，是否存在一点 P，使得 cos BPC 的值最小？若存在，求出此时 cos BPC 的值；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)如图，过 A作 AE BC，可得出四边形 AECF 为矩形，得到 EC=AD， BE=BC-EC，在直角三角形 ABE 中，求出 AE 的
26、长，即为三角形 BMC 的高，求出三角形 BMC面积即可； (2)如图，作点 C 关于直线 AD 的对称点 C，连接 C N， C D， C B 交 AD 于点 N，连接 CN，则 BN+NC=BN+NC BC =BN +CN，可得出 BNC 周长的最小值为 BN C 的周长 =BN +CN +BC=BC +BC，求出即可； (3)如图所示，存在点 P，使得 cos BPC 的值最小，作 BC的中垂线 PQ 交 BC于点 Q，交AD 于点 P，连接 BP， CP，作 BPC 的外接圆 O，圆 O 与直线 PQ 交于点 N，则 PB=PC，圆心 O在 PN 上，根据 AD 与 BC 平行，得到圆
27、 O与 AD 相切，根据 PQ=DC，判断得到 PQ 大于 BQ，可得出圆心 O 在 BC 上方，在 AD 上任取一点 P，连接 P B， P C， P B 交圆 O 于点 M，连接MC，可得 BPC= BMC BP C，即 BPC 最小， cos BPC 的值最小，连接 OB，求出即可 . 答案 ： (1)如图，过 A 作 AE BC， 四边形 AECD 为矩形， EC=AD=8， BE=BC-EC=12-8=4， 在 Rt ABE 中， ABE=60， BE=4， AB=2BE=8， AE= 2284 =4 3 ，则 S BMC=12BC AE=24 3 . (2)如图，作点 C 关于直线
28、 AD 的对称点 C，连接 C N， C D， C B 交 AD 于点 N 连接CN， 则 BN+NC=BN+NC BC =BN +CN， BNC 周长的最小值为 BN C 的周长 =BN +CN +BC=BC +BC， AD BC， AE BC， ABC=60，过点 A 作 AE BC，则 CE=AD=8， BE=4， AE=BE tan60 =4 3 ， CC =2CD=2AE=8 3 ， BC=12， BC = 22 4 2 1B C C C ， BNC 周长的最小值为 4 21 +12. (3)如图所示，存在点 P，使得 cos BPC 的值最小， 作 BC 的中垂线 PQ 交 BC
29、于点 Q，交 AD 于点 P，连接 BP， CP，作 BPC 的外接圆 O，圆 O 与直线 PQ 交于点 N，则 PB=PC，圆心 O 在 PN上， AD BC，圆 O 与 AD 相切于点 P， PQ=DC=4 3 6， PQ BQ， BPC 90，圆心 O 在弦 BC 的上方， 在 AD 上任取一点 P，连接 P B， P C， P B 交圆 O 于点 M，连接 MC， BPC= BMC BP C， BPC 最大， cos BPC 的值最小，连接 OB，则 BON=2 BPN= BPC， OB=OP=4 3 -OQ， 在 Rt BOQ 中，根据勾股定理得： OQ2+62=(4 3 -OQ)2，解得： OQ= 32， OB=732， cos BPC=cos BOQ=OQOB=17，则此时 cos BPC 的值为 17.
