1、2014 年内蒙古包头市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.(3 分 )下列实数是无理数的是 ( ) A. -2 B. C. D. 解析 ； A、 B、 C、都是有理数， D、 是无理数， 答案： D. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. (-1)-1=1 B. (-1)0=0 C. |-1|=-1 D. -(-1)2=-1 解析 ； A、 (-1)-1=-1，故 A 错误； B、 (-1)0=1，故 B 错误； C、 |-1|=1，故 C 错误； D、 -(-1)2=-1，故 D 正确； 答案： D. 3.(3 分 )2013 年
2、我国 GDP 总值为 56.9 万亿元，增速达 7.7%，将 56.9 万亿元用科学记数法表示为 ( ) A. 56.910 12元 B. 5.6910 13元 C. 5.6910 12元 D. 0.56910 13元 解析 ； 56.9 万亿元 =5.6910 13， 答案： B. 4.(3 分 )在一次信息技术考试中，抽得 6 名 学生的成绩 (单位：分 )如下： 8， 8， 10， 8， 7，9，则这 6 名学生成绩的中位数是 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解析 ； 把这组数据从小到大排列为： 7， 8， 8， 8， 9， 10， 最中间两个数的平均数是 (8+8)2
3、=8 ，则中位数是 8. 答案： ； B. 5.(3 分 )计算 sin245+cos30 tan60 ，其结果是 ( ) A. 2 B. 1 C. D. 解析 ； 原式 =( )2+ = + =2. 答案： A. 6.(3 分 )长为 9， 6， 5， 4 的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有 ( ) A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 解析 ； 四根木条的所有组合： 9， 6， 5 和 9， 6， 4 和 9， 5， 4 和 6， 5， 4； 根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有 9， 6， 5 和 9， 6， 4 和 6， 5， 4. 答案： C. 7.(3
4、分 )下列说法正确的是 ( ) A. 必然事件发生的概率为 0 B. 一组数据 1， 6， 3， 9， 8 的极差为 7 C. “ 面积相等的两个三角形全等 ” 这一事件是必然事件 D. “ 任意一个三角形的外角和等于 180” 这一事件是不可能事件 解析 ； A、必然事件发生的概率为 1，故 A 错误； B、一组数据 1， 6， 3， 9， 8 的极差为 8，故 B 错误； C、面积相等两个三角形全等，是随机事件，故 C 错误； D、 ” 任意一个三角形的外角和等于 180” 是不可能事件，故 D 正确； 答案： D. 8.(3 分 )在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2先向右平移 1
5、个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是 ( ) A. y=3(x+1)2+2 B. y=3(x+1)2-2 C. y=3(x-1)2+2 D. y=3(x-1)2-2 解析 ； 抛物线 y=3x2的对称轴为直线 x=0，顶点坐标为 (0， 0)， 抛物线 y=3x2向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为 (1， 2)， 平移后抛物线的解析式为 y=3(x-1)2+2. 答案： C. 9.(3 分 )如图，在正方形 ABCD 中，对角线 BD 的长为 .若将 BD 绕点 B 旋转后，点 D 落在BC 延长线上的点 D 处，点 D 经
6、过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ( ) A. -1 B. - C. - D. -2 解析 ； 四边形 ABCD 是正方形， DBD=45 ， BC=CD， BD 的长为 ， BC=CD=1 ， S 扇形 BDD = = ， SCBD = 11= ， 阴影部分的面积： - ， 答案： C. 10.(3 分 )如图，在 ABC 中，点 D， E， F 分别在边 AB， AC， BC 上，且 DEBC ， EFAB .若AD=2BD，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 解析 ； DEBC ， EFAB ， AD=2BD， = =2， = =2， = ， 答案： A. 11.(3 分 )
7、已知下列命题： 若 a b，则 ac bc； 若 a=1，则 =a； 内错角相等； 90 的圆周角所对的弦是直径 . 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析 ； 若 a b，则 ac bc 是假命题，逆命题是假命题； 若 a=1，则 =a 是真命题，逆命题是假命题； 内错角相等是假命题，逆命题是假命题； 90 的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题； 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 1 个； 答案： A. 12.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 x2+2(m-1)x+m2=0 的两个实数根分别为 x1， x2
8、，且 x1+x2 0，x1x2 0，则 m 的取值范围是 ( ) A. m B. m 且 m0 C. m 1 D. m 1 且 m0 解析： =2(m -1)2-4m2=-8m+40 ， m ， x 1+x2=-2(m-1) 0， x1x2=m2 0m 1， m0m 且 m0. 答案： B. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 ) 13.(3 分 )计算： - = . 解析： - = 2 - = - = . 答案： . 14.(3 分 )如图，已知 1=2 ， 3=73 ，则 4 的度数为 度 . 解析： 1=2 ， ab ， 5+3=180 ， 4=5 ， 3=73
9、， 4+3=180 ，则 4=107. 答案： 107 15.(3 分 )某学校举行演讲比赛， 5 位评委对某选手的打分如下 (单位：分 )9.5， 9.4， 9.4，9.5， 9.2，则这 5 个分数的平均分为 分 . 解析： 这 5 个分数的平均分为 (9.52+9.42+9.2)5=9.4 ； 答案： 9.4. 16.(3 分 )计算： (x+1)2-(x+2)(x-2)= . 解析： 原式 =x2+2x+1-x2+4=2x+5. 答案： 2x+5. 17.(3 分 )方程 - =0 的解为 x= . 解析： 去分母得： 3x-3-x-1=0，解得： x=2，经检验 x=2 是分式方程的
10、解 . 答案： 2 18.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， BC 是弦，点 E 是 的中点， OE 交 BC 于点 D.连接 AC，若 BC=6， DE=1，则 AC 的长为 . 解析： 连接 OC，如图所示 . 点 E 是 的中点， BOE=COE. OB=OC ， ODBC ， BD=DC. BC=6 ， BD=3. 设 O 的半径为 r，则 OB=OE=r.DE=1 ， OD=r -1. ODBC 即 BDO=90 ， OB 2=BD2+OD2. OB=r ， OD=r-1， BD=3， r 2=32+(r-1)2.解得： r=5.OD=4. AO=BO ， BD=CD， OD
11、= AC.AC=8. 答案： 8 19.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中， RtABO 的顶点 O 与原点重合，顶点 B 在 x轴上，ABO=90 ， OA 与反比例函数 y= 的图象交于点 D，且 OD=2AD，过点 D 作 x轴的垂线交 x轴于点 C.若 S 四边形 ABCD=10，则 k 的值为 . 解析： OD=2AD ， = ， ABO=90 ， DCOB ， ABDC ， DCOABO ， = = = ， =( )2= ， S 四边形 ABCD=10， S ODC =8， OCCD=8 ， OCCD=16 ， k= -16， 答案： -16. 20.(3 分 )如图，在矩形 A
12、BCD 中，点 E 为 AB 的中点， EFEC 交 AD 于点 F，连接 CF(AD AE)，下列结论： AEF=BCE ； AF+BC CF； S CEF =SEAF +SCBE ； 若 = ，则 CEFCDF . 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号 ) 解析： EFEC ， AEF+BEC=90 ， BEC+BCE=90 ， AEF=BCE ，故 正确； 又 A=B=90 ， AEFBCE ， = ， 点 E 是 AB 的中点， AE=BE ， = ， 又 A=CEF=90 ， AEFECF ， AFE=EFC ， 过点 E 作 EHFC 于 H， 则 AE=DH， 在 AEF
13、 和 HEF 中， ， AEFHEF(HL) ， AF=FH ， 同理可得 BCEHCE ， BC=CH ， AF+BC=CF ，故 错误； AEFHEF ， BCEHCE ， S CEF =SEAF +SCBE ，故 正确； 若 = ，则 cotBCE= = = = =2 = ， BCE=30 ， DCF=ECF=30 ， 在 CEF 和 CDF 中， ， CEFCDF(AAS) ，故 正确， 综上所述，正确的结论是 . 答案： . 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 60 分 ) 21.(8 分 )有四张正面分别标有数字 2， 1， -3， -4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，
14、现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为 m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为 n. (1)请画出树状图并写出 (m， n)所有可能的结果； (2)求所选出的 m， n 能使一次函数 y=mx+n 的图象经过第二、三、四象限的概率 . 解析： (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； (2)首先可得所选出的 m， n 能使一次函数 y=mx+n 的图象 经过第二、三四象限的有： (-3-4)，(-4， -3)，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)画树状图得： 则 (m， n)共有 12 种等可能的结果： (2， 1)，
15、 (2， -3)， (2， -4)， (1， 2)， (1， -3)， (1， -4)，(-3， 2)， (-3， 1)， (-3， -4)， (-4， 2)， (-4， 1)， (-4， -3)； (2) 所选出的 m， n 能使一次函数 y=mx+n 的图象经过第二、三四象限的有： (-3-4)， (-4，-3)， 所选出的 m， n 能使一次函数 y=mx+n 的图象经过第二、三四象限的概率为： = . 22.(8分 )如图，在梯形 ABCD中， ADBC ， ABC=90 ， BCD=45 ，点 E在 BC上，且 AEB=60 .若 AB=2 ， AD=1，求 CD 和 CE 的长 .
16、(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号 ) 解析： 过点 D 作 DFBC ，根据 BCD=45 ，得 DF=CF，再由 AB=2 ，可得 DF=CF=2 ，由勾股定理得 CD 的长，因为 AD=1，所以 BC=2 +1，根据 AEB=60 ，可得 BE，进而得出CE 的长 . 答案： 过点 D 作 DFBC ， ADBC ， ABC=90 ， 四边形 ABFD 为矩形， BCD=45 ， DF=CF ， AB=2 ， DF=CF=2 ， 由勾股定理得 CD=2 ； AD=1 ， BF=1 ， BC=2 +1， AEB=60 ， tan60= ， = ， BE=2 ， CE=BC -BE=2
17、 +1-2=2 -1. 23.(10 分 )甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为 3000 元，并且多买都有一定的优惠 .甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠 30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠 25%.设所买商品为 x 件时，甲商场收费为 y1元，乙商场收费为 y2元 . (1)分别求出 y1， y2与 x 之间的关系式； (2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？ (3)当所买商品为 5 件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由 . 解析： (1)根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可； (2)根据收费相同，列出方程求解即可； (3)根据函数解析式分别
18、求出 x=5 时的函数值，即可得解 . 答案： (1)当 x=1 时， y1=3000； 当 x 1 时， y1=3000+3000(x-1)(1 -30%)=2100x+900.y 1= ； y2=3000x(1-25%)=2250x， y 2=2250x； (2)当甲、乙两个商场的收费相同时， 2100x+900=2250x， 解得 x=6， 答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为 6 件； (3)x=5 时， y1=2100x+900=21005+900=11400 ， y2=2250x=22505=11250 ， 11400 11250， 所买商品为 5 件时，应选择乙商场更优惠
19、. 24.(10 分 )如图，已知 AB， AC 分别是 O 的直径和弦，点 G 为 上一点， GEAB ，垂足为点 E，交 AC 于点 D，过点 C 的切线与 AB的延长线交于点 F，与 EG 的延长线交于点 P，连接AG. (1)求证： PCD 是等腰三角形； (2)若点 D 为 AC 的中点，且 F=30 ， BF=2，求 PCD 的周长和 AG 的长 . 解析： (1)连结 OC，根据切线的性质得 OCP=90 ，即 1+PCD=90 ，由 GEAB 得GEA=90 ，则 2+ADE=90 ，利用 1=2 得到 PCD=ADE ，根据对顶角相等得ADE=PDC ，所以 PCD=PDC
20、，于是根据等腰三角形的判定定理得到 PCD 是等腰三角形； (2)连结 OD， BG，在 RtCOF 中根据含 30 度的直角三角形三边的关系可计算出 OC=2，由于FOC=90 -F=60 ，根据三角形外角性质可计算出 1=2=30 ，则PCD=90 -1=60 ，可判断 PCD 为等边三角形；再由 D为 AC 的中点，根据垂径定理得到 ODAC ， AD=CD，在 RtOCD 中，可计算出 OD= OC=1， CD= OD= ，所以 PCD 的周长为 3 ；然后在 RtADE 中，计算出 DE= AD= ， AE= DE= ，根据圆周角定理由 AB为直径得到 AGB=90 ，再证明 RtA
21、GERtABG ，利用相似比可计算出 AG. 答案： (1)连结 OC，如图， PC 为 O 的切线， OCPC ， OCP=90 ，即 1+PCD=90 ， GEAB ， GEA=90 ， 2+ADE=90 ， OA=OC ， 1=2 ， PCD=ADE ， 而 ADE=PDC ， PCD=PDC ， PCD 是等腰三角形； (2)连结 OD， BG，如图， 在 RtCOF 中， F=30 ， BF=2， OF=2OC ，即 OB+2=2OC， 而 OB=OC， OC=2 ， FOC=90 -F=60 ， 1=2=30 ， PCD=90 -1=60 ， PCD 为等边三角形， D 为 AC
22、的中点， ODAC ， AD=CD ， 在 RtOCD 中， OD= OC=1， CD= OD= ， PCD 的周长为 3 ； 在 RtADE 中， AD=CD= ， DE= AD= ， AE= DE= ， AB 为直径， AGB=90 ，而 GAE=BAG ， RtAGERtABG ， AG ： AB=AE： AG， AG 2=AEAB= 4=6 ， AG= . 25.(12 分 )如图，已知 MON=90 ， A 是 MON 内部的一点，过点 A 作 ABON ，垂足为点 B，AB=3 厘米， OB=4 厘米，动点 E， F 同时从 O 点出发，点 E以 1.5 厘米 /秒的速度沿 ON
23、方向运动，点 F 以 2 厘米 /秒的速度沿 OM 方向运动， EF 与 OA 交于点 C，连接 AE，当点 E 到达点 B时，点 F 随之停止运动 .设运动时间为 t 秒 (t 0). (1)当 t=1 秒时， EOF 与 ABO 是否相似？请说明理由； (2)在运动过程中，不论 t 取何值时，总有 EFOA .为什么？ (3)连接 AF，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得 SAEF = S 四边形 ABOF？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)运用 = 和夹角相等，得出 EOFABO. (2)证明 RtEOFRtABO ，进而证明 EFOA. (3)
24、由已知 SAEF = S 四边形 ABOF.得出 SFOE +SABE = S 梯形 ABOF，求出 t 的值 . 答案： (1)t=1 ， OE=1.5 厘米， OF=2 厘米， AB=3 厘米， OB=4 厘米， = = ， = = MON=ABE=90 ， EOFABO. (2)在运动过程中， OE=1.5t， OF=2t. AB=3 ， OB=4. . 又 EOF=ABO=90 ， RtEOFRtABO.AOB=EOF. AOB+FOC=90 ， EOF+FOC=90 ， EFOA. (3)如图，连接 AF， OE=1.5t ， OF=2t， BE=4 -1.5t S FOE = OE
25、OF= 1.5t2t= t2， SABE = (4 -1.5t)3=6 - t， S 梯形 ABOF= (2t+3)4=4t+6 S AEF = S 四边形 ABOFS FOE +SABE = S 梯形 ABOF， t2+6- t= (4t+6)，即 6t2-17t+12=0，解得 t= 或 t= . 当 t= 或 t= 时， SAEF = S 四边形 ABOF. 26.(12 分 )已知抛物线 y=ax2+x+c(a0 )经过 A(-1， 0)， B(2， 0)两点，与 y 轴相交于点 C，该抛物线的顶点为点 M，对称轴与 BC 相交于点 N，与 x 轴交于点 D. (1)求该抛物线的解析式
26、及点 M 的坐标； (2)连接 ON， AC，证明： NOB=ACB ； (3)点 E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点 E 到直线 BC 的距离为 时，求点 E的坐标； (4)在满足 (3)的条件下，连接 EN，并延长 EN交 y 轴于点 F， E、 F 两点关于直线 BC 对称吗？请说明理由 . 解析： (1)利用待定系数法即可求得解析式，把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标 . (2)根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得 ABCNBO ，由三角形相似的性质即可求得 . (3)作 EFBC 于 F，根据抛物线的解析式先设出 E 点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得 F 点
27、的坐标，根据勾股定理即可求得 . (4)延长 EF 交 y 轴于 Q，根据勾股定理求得 FQ 的长，再与 EF 比较即可 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+x+c(a0) 经过 A(-1， 0)， B(2， 0)两点， ， 解得 . 抛物线为 y=-x2+x+2； 抛物线为 y=-x2+x+2=-(x- )2+ ， 顶点 M( ， ). (2)如图 1， A( -1， 0)， B(2， 0)， C(0， 2)， 直线 BC 为： y=-x+2， 当 x= 时， y= ， N( ， )， AB=3 ， BC=2 ， OB=2， BN= = ， = = ， = = ， ABC=NBO ， A
28、BCNBO ， NOB=ACB ； (3)如图 2，作 EFBC 于 F， 直线 BC 为 y=-x+2， 设 E(m， -m2+m+2)，直线 EF 的解析式为 y=x+b， 则直线 EF 为 y=x+(-m2+2)， 解 得 ， F( m2， - m2+2)， EF= ， (m - m2)2+(- m2+2+m2-m-2)2=( )2，解得 m=1， -m2+m+2=2， E(1 ， 2)， (4)如图 2，延长 EF 交 y 轴于 Q， m=1 ， 直线 EF 为 y=x+1， Q(0 ， 1)， F( ， )， FQ= = ， EF= ， EFBC ， E 、 F 两点关于直线 BC 对称 .
