1、2014 年内蒙古赤峰市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，共 24分 ) 1.(3 分 )有理数 -3 的相反数是 ( ) A. 3 B. -3 C. D. - 解析： -3 的相反数是 3. 答案： A. 2.(3 分 )下面的几何体中，主 (正 )视图为三角形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、主视图是长方形，故此选项错误； B、主视图是长方形，故此选项错误； C、主视图是三角形，故此选项正确； D、主视图是正方形，中间还有一条线，故此选项错误； 答案： C. 3.(3分 )赤峰市改革开放以来经济建设取得巨大成就， 2013年全市 GDP总值为 168
2、6.15亿元，将 1686.15 亿元用科学记数法表示应为 ( ) A. 16861510 2元 B. 16.861510 4元 C. 1.6861510 8元 D. 1.6861510 11元 解析： 1686.15 亿 =1686 1500 0000=1.6861510 11， 答案 ： D. 4.(3 分 )下面是扬帆中学九年八班 43 名同学家庭人口的统计表： 这 43 个家庭人口的众数和中位数分别是 ( ) A. 5， 6 B. 3， 4 C. 3， 5 D. 4， 6 解析： 数据 3 出现了 15 次，故众数为 3； 43 人的中位数应该是排序后的第 22 个学生的家庭人数，、
3、故中位数为家庭人数为 4 人， 答案： B. 5.(3 分 )如图，把一块含有 30 角 (A=30 )的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面CDEF 的一个顶点 C 处，桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F，如果 1=40 ，那么AFE= ( ) A. 50 B. 40 C. 20 D. 10 解析： 四边形 CDEF 为矩形， EFDC ， AGE=1=40 ， AGE 为 AGF 的外角，且 A=30 ， AFE=AGE -A=10. 答案： D. 6.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， C， D 是 O 上两点， CDAB .若 DAB=65 ，则 BOC= (
4、 ) A. 25 B. 50 C. 130 D. 155 解析： CDAB.DAB=65 ， ADC=90 -DAB=25 ， AOC=2ADC=50 ， BOC=180 -AOC=130. 答案： C. 7.(3 分 )化简 结果正确的是 ( ) A. ab B. -ab C. a2-b2 D. b2-a2 解析： = =-ab. 答案： B. 8.(3 分 )如图，一根长 5 米的竹杆 AB 斜立于墙 AC 的右侧，底端 B 与墙角 C 的距离为 3 米，当竹杆顶端 A 下滑 x 米时，底端 B 便随着向右滑行 y 米，反映 y与 x 变化关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 解
5、析： 由勾股定理得， AC= = =4m， 竹杆顶端 A 下滑 x 米时，底端 B 便随着向右滑行 y米后， AC=4-x， BC=3+y， 所以 y+3= = ， 所以 y= -3， 当 x=0 时， y=0， 当 A 下滑到点 C 时， x=4， y=2，由函数解析式可知 y 与 x的变化不是直线变化 . 答案： A. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，共 24分 ) 9.(3 分 )化简： 2x-x= . 解析： 2x-x=x. 答案： x. 10.(3 分 )一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是 . 解析： 由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的 ，
6、一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是： . 答案： . 11.(3 分 )下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有 个 .解析： 第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； 第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； 第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意； 第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意 . 答案： 1. 12.(3 分 )如图， E 的矩形 ABCD 中 BC 边的中点，将 ABE 沿 AE 折叠到 AEF ， F 在矩形 ABCD内部，延长 AF 交 DC 于 G 点 .若 AEB=55
7、 ，求 DAF= . 解析： ABE 沿 AE 折叠到 AEF ， BAE=FAE ， AEB=55 ， ABE=90 ， BAE=90 -55=35 ， DAF=BAD -BAE -FAE=90 -35 -35=20. 答案： 20 13.(3 分 )如图，反比例函数 y= (k 0)的图象与以原点 (0， 0)为圆心的圆交于 A， B 两点，且 A(1， )，图中阴影部分的面积等于 .(结果保留 ) 解析： 如图， A(1 ， )， AOD=60 ， OA=2. 又 点 A、 B 关于直线 y=x 对称， AOB=2(60 -45)=30. 又 反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称
8、图形， S 阴影 =S 扇形 AOB= = . 答案： . 14.(3 分 )如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使 “ 马 ” 位于点 (2， 2)， “ 炮 ” 位于点 (-1， 2)，写出 “ 兵 ” 所在位置的坐标 . 解析： 建立平面直角坐标系如图，兵的坐标为 (-2， 3). 答案： (-2， 3). 15.(3 分 )直线 l 过点 M(-2， 0)，该直线的解析式可以写为 .(只写出一个即可 ) 解析： 设该直线方程为 y=kx+b(k0). 令 k=1，把点 M(-2， 0)代入，得 0=-2+b=0，解得 b=2， 则该直线方程为： y=x+2. 答案： y=x+2(答
9、案不唯一，符合条件即可 ). 16.(3 分 )平移小菱形 可以得到美丽的 “ 中国结 ” 图案，下面四个图案是由 平移后得到的类似 “ 中国结 ” 的图案，按图中规律，第 20 个图案中，小菱形的个数是 个 . 解析： 第一个图形有 21 2=2 个小菱形； 第二个图形有 22 2=8 个小菱形； 第三个图形有 23 2=18 个小菱形； 第 n 个图形有 2n2个小菱形； 第 20 个图形有 220 2=800 个小菱形； 答案： 800. 三、解答题 (共 10 小题，满分 102 分 ) 17.(6 分 )计算： ( - )0+ -8sin45 -( )-1. 解析： 原式第一项利用零
10、指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果 . 答案： 原式 =1+4 -8 -4=-3. 18.(6 分 )求不等式组 的正整数解 . 解析： 先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解即可 . 解答 由 得 4x+4+3 x 解得 x - ， 由 得 3x-122x -10，解得 x2 ， 不等式组的解集为 - x2. 正整数解是 1、 2. 19.(10 分 )如图，已知 ABC 中 AB=AC. (1)作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB，连 AE，作
11、EAC的平分线 AF， AF 交 DE 于点 F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 )； (2)在 (1)的条件下，连接 CF，求证： E=ACF . 解析： (1)以 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，与 BD 的延长线的交点即为点 E，再以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与 AC、 AE 相交，然后以这两点为圆心，以大于它们 长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点 A 与这一点作出射线与 BE 的交点即为所求的点 F； (2)求出 AE=AC，根据角平分线的定义可 得 EAF=CAF ，再利用 “ 边角边 ” 证明 AEF 和ACF 全等，根据全等三角形对应角相等可得 E=ACF
12、. 答案： (1)如图所示； (2)AB=AC ， AE=AB， AE=AC ， AF 是 EAC 的平分线， EAF=CAF ， 在 AEF 和 ACF 中， ， AEFACF(SAS) ， E=ACF. 20.(10 分 )自从中央公布 “ 八项规定 ” 以来，光明中学积极开展 “ 厉行节约，反对浪费 ” 活动，为此，学校学生会对九年八班某日午饭浪费饭菜情况进行调查，调查内容分为四种： A.饭和菜全部吃光； B.有剩饭但菜吃光； C.饭吃光但菜有剩； D.饭和菜都有剩 .学生会根据统计结果，绘制了如图两个统计图，根据统计图提供的信息回答下列问题： (1)九年八班共有多少名学生？ (2)计算
13、图 2 中 B 所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； (3)光明中学有学生 2000 名，请估计这顿午饭有剩饭的学生人数，按每人平均剩 10 克米饭计算，这顿午饭将浪费多少千克米饭？ 解析： (1)用 A 的人数除以相对应的百分比就是总学生数； (2)B 的人数 =总人数 -A 的人数 -C 的人数 -D 的人数， B 所在扇形的圆心角的度数为：360=72 ， 再根据 B 的人数为 10，补全条形统计图； (3)先求出这顿午饭有剩饭的学生人数为： 2000 =600(人 )，再用人数乘每人平均剩10 克米饭，把结果化为千克 . 答案： (1)九年八班共有学生数为： 3060%=50(
14、人 )； (2)B 有剩饭但菜吃光的人数为： 50-30-5-5=10(人 )， B 所在扇形的圆心角的度数为： 360=72 ，补全条形统计图如图 1： (3)这顿午饭有剩饭的学生人数为： 2000 =600(人 )， 60010=6000( 克 )=6(千克 ). 21.(10 分 )位于赤峰市宁城的 “ 大明塔 ” 是我国辽代的佛塔，距今已有 1 千多年的历史 .如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点 E 处测得塔基 BC 上端 C 的仰角为 30 ，他又沿 BE 方向走了 26 米，到达点 F 处，测得塔顶端 A 飞仰角为 52 ，已知塔基是以 OB 为半径的圆内接正八边形， B
15、 点在正八边形的一个顶点上，塔基半径 OB=18 米，塔基高 BC=11 米，求大明塔的高 OA(结果保留到整数， 1.73 ， tan521.28 ). 解析： 在直角 CBE 中利用三角函数首先求得 EC 的长，则 OF 即可求解，然后在直角 AOF中，利用三角函数即可求解 . 答案： 在直角 CBE 中， CEB=30 ， BC=11， EC=22 ，则 EB= =11 19 ， 在直角 AOF 中， AFO=52 ， OF=18+19+26=63， OA=OF tanAFO631.28=81( 米 ). 答：大明塔高约 81 米 . 22.(10 分 )某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲
16、畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2 倍多 200 元，买 3 头甲种牲畜和 1 头乙种牲畜共需 5700 元 . (1)甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？ (2)若购买以上两种牲畜 50 头，共需资金 9.4 万元，求甲、乙两种牲畜各购买多少头？ (3)相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为 95%和 99%，若使这 50 头牲畜的成活率不低于 97%且购买的总费用最低，应如何购买？ 解析： (1)设甲种牲畜的单价是 x 元，列方程 3x+2x+200=5700，求出甲种牲畜的单价，再求出乙种牲畜的单价即可 . (2)设购买甲种牲畜 y 头，列方程 1100y+(50-y)=94000
17、 求出甲种牲畜购买 20 头，乙种牲畜购买 30 头， (3)设费用为 m，购买 甲种牲畜 n 头，则 m=1100n+240(50-n)=-1300n+120000 依题意得：n+ (50-n) 50 ，据 m 随 n 的增大而减小，求得 n=25 时，费用最低 . 答案： (1)设甲种牲畜的单价是 x 元，依题意得， 3x+2x+200=5700， 解得： x=1100， 乙种牲畜的单价是： 2x+200=2400 元， 即甲种牲畜的单价是 1100 元，乙种牲畜的单价是 2400 元 . (2)设购买甲种牲畜 y 头，依题意得， 1100y+(50-y)=94000， 解得 y=20，
18、50-20=30， 即甲种牲畜购买 20 头，乙种牲畜购买 30 头 . (3)设费用为 m，购买甲种牲畜 n 头，则 m=1100n+240(50-n)=-1300n+120000 依题意得： n+ (50-n) 50 ，解得： n25 ， k=-1300 0， m 随 n 的增大而减小， 当 n=25 时，费用最低，所以各购买 25 头时满足条件 . 23.(12 分 )如图，矩形 OABC 的顶点 A， C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为 (-4， 6)，双曲线 y= (x 0)的图象经过 BC 的中点 D，且于 AB 交于点 E. (1)求反比例函数解析式和 E 点坐标；
19、 (2)若 F 是 OC 上一点，且以 OAF 和 CFD 为对应角的 FDC 、 AFO 相似，求 F 点的坐标 . 解析： (1)由 ABCD 为矩形， D 为 BC 中点，根据 B 坐标确定出 D 坐标，代入反比例解析式求出中 k 的值，确定出反比例解析式，将 x=-4 代入反比例解析式求出 y 的值，确定出 E坐标即可； (2)如图所示，设 F(0， y)，根据以 OAF 和 CFD 为对应角的 FDC 、 AFO 相似，列出比例式，求出 y 的值，即可确定出 F 坐标 . 答案： (1) 四边形 ABCD 为矩形， D 为 BC 中点， B(-4， 6)， D( -2， 6)， 设反
20、比例函数解析式为 y= ， 将 D(-2， 6)代入得： k=-12， 反比例解析式为 y=- ， 将 x=-4 代入反比例解析式得： y=3，则 E(-4， 3)； (2)设 F(0， y)，如图所示，连接 DF， AF， OAF=DFC ， AOFFDC ， = ，即 = ， 整理得： y2-6y+8=0，即 (y-2)(y-4)=0，解得： y1=2， y2=4，则 F 坐标为 (0， 2)或 (0， 4). 24.(12 分 )如图 1， E 是直线 AB， CD 内部一点， ABCD ，连接 EA， ED. (1)探究猜想： 若 A=30 ， D=40 ，则 AED 等于多少度？ 若
21、 A=20 ， D=60 ，则 AED 等于多少度？ 猜想图 1 中 AED ， EAB ， EDC 的关系并证明你的结论 . (2)拓展应用： 如图 2，射线 FE 与矩形 ABCD 的边 AB 交于点 E，与边 CD交于点 F， 分别是被射线FE 隔开的 4 个区域 (不含边界，其中区域 、 位于直线 AB 上方， P 是位于以上四个区域上的点，猜想： PEB ， PFC ， EPF 的关系 (不要求证明 ). 解析： (1) 根据图形猜想得出所求角度数即可； 根据图形猜想得出所求角度数即可； 猜想得到三角关系，理由为：延长 AE 与 DC 交于 F 点，由 AB 与 DC 平行，利用两直
22、线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证； (2)分四个区域分别找出三个角关系即可 . 答案： (1)AED=70 ； AED=80 ； 猜想： AED=EAB+EDC ， 证明：延长 AE 交 DC 于点 F， ABDC ， EAB=EFD ， AED 为 EDF 的外角， AED=EDF+EFD=EAB+EDC ； (2)根据题意得： 点 P 在区域 时， EPF=360 -(PEB+P FC)； 点 P 在区域 时， EPF=PEB+PFC ； 点 P 在区域 时， EPF=PEB -PFC ； 点 P 在区域 时， EPF=PFC -PEB. 25.(12 分
23、)阅读下列材料： 如图 1，圆的概念：在平面内，线段 PA 绕它固定的一个端点 P 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆 .就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在 P(a， b)，半径为 r 的圆的方程可以写为： (x-a)2+(y-b)2=r2，如：圆心在 P(2， -1)，半径为 5 的圆方程为： (x-2)2+(y+1)2=25 (1)填空： 以 A(3， 0)为圆心， 1 为半径的圆的方程为 (x-3)2+y2=1 ； 以 B(-1， -2)为圆心， 为半径的圆的方程为 (x+1)2+(y+2)2=3 . (2)根据以上材料解决下列问题： 如图 2，以 B(-6
24、， 0)为圆心的圆与 y 轴相切于原点， C 是 B 上一点，连接 OC，作 BDOC垂足为 D，延长 BD 交 y 轴于点 E，已知 sinAOC= . 连接 EC，证明 EC 是 B 的切线； 在 BE 上是否存在一点 P，使 PB=PC=PE=PO？若存在，求 P 点坐标，并写出以 P 为圆心，以PB 为半径的 P 的方程；若不存在，说明理由 . 解析： (1)根据阅读材料中的定义求解； (2) 根据垂径定理由 BDOC 得到 CD=OD，则 BE 垂直平分 OC，再根据线段垂直平分线的性质得 EO=EC，则 EOC=ECO ， 加上 BOC=BCO ，易得 BOE=BCE=90 ，然后
25、根据切线的判定定理得到 EC是 B 的切线； 由 BOE=BCE=90 ，根据圆周角定理得点 C 和点 O 偶在以 BE 为直径的圆上，即当 P点为 BE 的中 点时，满足 PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得 BOE=AOC ，则sinBOE=sinAOC= ，在 RtBOE 中，利用正弦的定义计算出 BE=10，利用勾股定理计算出 OE=8，则 E 点坐标为 (0， 8)，于是得到线段 AB 的中点 P 的坐标为 (-3， 4)， PB=5，然后写出以 P(-3， 4)为圆心，以 5 为半径的 P 的方程 . 答案： (1) 以 A(3， 0)为圆心， 1 为半径的圆的方程为 (x
26、-3)2+y2=1； 以 B(-1， -2)为圆心， 为半径的圆的方程为 (x+1)2+(y+2)2=3； 故答案为 (x-3)2+y2=1； (x+1)2+(y+2)2=3； (1) 证明： BDOC ， CD=OD ， BE 垂直平分 OC， EO=EC ， EOC=ECO ， BO=BC ， BOC=BCO ， EOC+BOC=ECO+BCO ， BOE=BCE=90 ， BCCE ， EC 是 B 的切线； 存在 . BOE=BCE=90 ， 点 C 和点 O 偶在以 BE 为直径的圆上， 当 P 点为 BE 的中点时，满足 PB=PC=PE=PO， B 点坐标为 (-6， 0)， O
27、B=6 ， AOC+DOE=90 ， DOE+ BEO=90 ， BEO=AOC ， sinBEO=sinAOC= ， 在 RtBOE 中， sinBEO= ， = ， BE=10 ， OE= =8， E 点坐标为 (0， 8)， 线段 AB 的中点 P 的坐标为 (-3， 4)， PB=5， 以 P(-3， 4)为圆心，以 5 为半径的 P 的方程为 (x+3)2+(y-4)2=25. 26.(14 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )与 x 轴交于点 A(-1， 0)， B(3， 0)两点，与 y轴交于点 C(0， -3). (1)求该抛物线的解析式及顶点 M 坐标； (2)
28、求 BCM 面积与 ABC 面积的比； (3)若 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作射线 PQAC 交抛物线于点 Q，随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在这样的点 Q，使以 A， P， Q， C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)有抛物线与 x 轴交于点 A(-1， 0)， B(3， 0)两点，则可设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3).由与 y 轴交于点 C(0， -3)，则代入易得解析式，顶点易知 . (2)求 BCM 面积与 ABC 面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可 .因为 S
29、BCM =S 梯形 OCMD+SBMD -SBOC ， SABC = AB OC，则结论易得 . (3)由四边形为平行四边形，则对边 PQ、 AC 平行且相等，过 Q 点作 x 轴的垂线易得 Q到 x轴的距离 =OC=3，又 (1)得抛物线解析式，代入即得 Q 点横坐标，则 Q 点可求 . 答案： (1)设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-3)， 抛物线过点 (0， 3)， -3=a(0+1)(0-3)， a=1 ， 抛物线解析式为 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3， y=x 2-2x-3=(x-1)2-4， M(1 ， -4). (2)如图 1，连接 BC、 BM、 CM，作 M
30、Dx 轴于 D， S BCM =S 梯形 OCMD+SBMD -SBOC = (3+4) 1+ 2-4- 3 3= + - =3 SABC = AB OC= 4 3=6， S BCM ： SABC =3： 6=1： 2. (3)存在，理由如下： 如图 2，当 Q 在 x 轴下方时，作 QEx 轴于 E， 四边形 ACQP 为平行四边形， PQ 平行且相等 AC， PEQAOC ， EQ=OC=3 ， -3=x2-2x-3，解得 x=2 或 x=0(与 C 点重合，舍去 )， Q(2 ， -3). 如图 3，当 Q 在 x 轴上方时，作 QFx 轴于 F， 四边形 ACPQ 为平行四边形， QP 平行且相等 AC， PFQAOC ， FQ=OC=3 ， 3=x 2-2x-3，解得 x=1+ 或 x=1- ， Q(1+ ， 3)或 (1- ， 3). 综上所述， Q 点为 (2， -3)或 (1+ ， 3)或 (1- ， 3)
