1、2014 年北京市中考真题数学 一、选择题 (本题共 32 分，每小题 4分 )下面各题均有四个选项，其中只有一个 .是符合题意的 . 1.(4 分 )2 的相反数是 ( ) A. 2 B. -2 C. - D. 解析： 根据相反数的定义可知： 2 的相反数是 -2. 答案： B. 2.(4 分 )据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水 300 000 吨 .将 300 000 用科学记数法表示应为 ( ) A. 0.310 6 B. 310 5 C. 310 6 D. 3010 4 解析： 300 000=310 5， 答案： B. 3.(4 分 )如图，
2、有 6 张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析： 有 6 张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有 3 种情况， 从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是： = . 答案： D. 4.(4 分 )如图是几何体的三视图，该几何体是 ( ) A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正三棱柱 D. 正三棱锥 解析： 该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形， 则可得出该几何体为三棱柱 . 答案： C. 5.(4 分 )某篮球队 12 名队员的年龄如表： 则这 12 名队员年龄的众数和平均数分别是 ( ) A. 18， 19 B. 19， 19 C.
3、 18， 19.5 D. 19， 19.5 解析： 年龄为 18 岁的队员人数最多，众数是 18； 平均数 = =19. 答案： A. 6.(4 分 )园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间 .已知绿化面积 S(单位：平方米 )与工作时间 t(单位：小时 )的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为( ) A. 40 平方米 B. 50 平方米 C. 80 平方米 D. 100 平方米 解析： 根据图象可得，休息后园林队 2 小时绿化面积为 160-60=100 平方米， 每小时绿化面积为 1002=50( 平方米 ). 答案： B. 7.(4 分 )如图，圆 O 的直径 AB
4、垂直于弦 CD，垂足是 E， A=22.5 ， OC=4， CD 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 解析： A=22.5 ， BOC=2A=45 ， 圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD， CE=DE ， OCE 为等腰直角三角形， CE= OC=2 ， CD=2CE=4 . 答案： C. 8.(4 分 )已知点 A 为某封闭图形边界上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周 .设点 P 运动的时间为 x，线段 AP 的长为 y.表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、等边三角形，点
5、P 在开始与结束的两边上直线变化， 在点 A 的对边上时，设等边三角形的边长为 a， 则 y= (a x 2a)，符合题干图象； B、菱形，点 P 在开始与结束的两边上直线变化， 在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合； C、正方形，点 P 在开始与结束的两边上直线变化， 在另两边上，先变速增加至 A 的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合； D、圆， AP 的长度，先变速增加至 AP 为直径，然后再变速减小至点 P 回到点 A，题干图象不符合 . 答案： A. 二、填空题 (本题共 16 分，每小题 4分 ) 9.(4 分 )分解因式： ax4-9ay2= . 解
6、析： ax4-9ay2=a(x4-9y2)=a(x2-3y)(x2+3y). 答案 ： a(x2-3y)(x2+3y). 10.(4 分 )在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m. 解析： 设旗杆高度为 x 米，由题意得， = ，解得 x=15. 答案 ： 15. 11.(4 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2.写出一个函数 y= (k0 )，使它的图象与正方形 OABC 有公共点，这个函数的表达式为 . 解析： 正方形 OABC 的边长为 2， B 点坐标为 (2， 2)， 当函
7、数 y= (k0) 过 B 点时， k=22=4 ， 满足条件的一个反比例函数解析式为 y= . 答案 ： y= ， y= (0 k4)( 答案不唯一 ). 12.(4 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x， y)，我们把点 P(-y+1， x+1)叫做点 P 的伴随点 .已知点 A1的伴随点为 A2，点 A2的伴随点为 A3，点 A3的伴随点为 A4， ，这样依次得到点 A1， A2， A3， ， An， .若点 A1的坐标为 (3， 1)，则点 A3的坐标为 ，点 A2014的坐标为 ；若点 A1的坐标为 (a， b)，对于任意的正整数 n，点 An均在 x 轴上方，则 a，
8、b 应满足的条件为 . 解析： A 1的坐标为 (3， 1)， A 2(0， 4)， A3(-3， 1)， A4(0， -2)， A5(3， 1)， ， 依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环， 20144=503 余 2， 点 A2014的坐标与 A2的坐标相同，为 (0， 4)； 点 A1的坐标为 (a， b)， A 2(-b+1， a+1)， A3(-a， -b+2)， A4(b-1， -a+1)， A5(a， b)， ， 依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环， 对于任意的正整数 n，点 An均在 x 轴上方， ， ， 解得 -1 a 1， 0 b 2. 答案 ： (-3， 1
9、)， (0， 4)； -1 a 1 且 0 b 2. 三、解答题 (本题共 30 分，每小题 5分 ) 13.(5 分 )如图，点 B 在线段 AD 上， BCDE ， AB=ED， BC=DB.求证： A=E . 解析： 由全等三角形的判定定理 SAS 证得 ABCEDB ，则对应角相等： A=E. 答案 ：如图， BCDE ， ABC=BDE. 在 ABC 与 EDB 中， ABCEDB(SAS) ， A=E. 14.(5 分 )计算： (6- )0+(- )-1-3tan30+| - | 解析： 本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进
10、行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案 ：原式 =1-5- + =-4. 15.(5 分 )解不等式 x-1 x- ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解析： 去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成 1 即可求解 . 答案 ：去分母，得： 3x-64x -3， 移项，得： 3x-4x6 -3， 合并同类项，得： -x3 ， 系数化成 1 得： x -3. 则解集在数轴上表示出来为： . 16.(5 分 )已知 x-y= ，求代数式 (x+1)2-2x+y(y-2x)的值 . 解析： 先把代数式计算，进一步化简，再整体代入 x-y= ，求得数值即可 . 答案 ： x -y= ，
11、 (x+1) 2-2x+y(y-2x) =x2+2x+1-2x+y2-2xy =x2+y2-2xy+1 =(x-y)2+1 =( )2+1 =3+1 =4. 17.(5 分 )已知关于 x 的方程 mx2-(m+2)x+2=0(m0 ). (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值 . 解析： (1)先计算判别式的值得到 =(m+2) 2-4m2=(m -2)2，再根据非负数的值得到 0 ，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； (2)利用因式分解法解方程得到 x1=1， x2= ，然后利用整数的整除性确定正整数 m 的值 . 答案 ： (1)
12、m0 ， =(m+2) 2-4m2=m 2-4m+4=(m-2)2， 而 (m-2)20 ，即 0 ， 方程总有两个实数根； (2)(x-1)(mx-2)=0， x-1=0 或 mx-2=0， x 1=1， x2= ， 当 m 为正整数 1 或 2 时， x2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， 正整数 m 的值为 1 或 2. 18.(5 分 )列方程或方程组解应用题： 小马自驾私家车从 A 地到 B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费 108 元，驾驶新购买的纯电动车所需电费 27 元，已知每行驶 1 千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多 0.54 元，求新购买的纯
13、电动汽车每行驶 1 千米所需的电费 . 解析： 设新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 x 元，则原来的燃油汽车所需的油费为 (x+0.54)元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费 108 元，驾驶新购买的纯电动车所需电费 27 元，所行的路程相等列出方程解决问题 . 答案 ：设新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 x 元，由题意得 = 解得： x=0.18 经检验 x=0.18 为原方程的解 答：纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 0.18 元 . 四、解答题 (本题共 20 分，每小题 5分 ) 19.(5 分 )如图，在 ABCD 中， AE 平分 BAD ，交 BC
14、 于点 E， BF 平分 ABC，交 AD于点 F， AE与 BF 交于点 P，连接 EF， PD. (1)求证：四边形 ABEF 是菱形； (2)若 AB=4， AD=6， ABC=60 ，求 tanADP 的值 . 解析： (1)先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得 AB=BE，AB=AF， AF=BE，从而证明四边形 ABEF 是菱形； (2)作 PHAD 于 H，根据四边形 ABEF 是菱形， ABC=60 ， AB=4，得到 AB=AF=4，ABF=ADB=30 ， APBF ， 从而得到 PH= ， DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可 . 答案：
15、 (1) 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC.DAE=AEB. AE 是角平分线， DAE=BAE.BAE=AEB.AB=BE. 同理 AB=AF.AF=BE. 四边形 ABEF 是平行四边形 . AB=BE ， 四边形 ABEF 是菱形 . (2)作 PHAD 于 H， 四边形 ABEF 是菱形， ABC=60 ， AB=4， AB=AF=4 ， ABF=ADB=30 ， APBF ， AP= AB=2， PH= ， DH=5， tanADP= = . 20.(5 分 )根据某研究院公布的 2009 2013 年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据以上信
16、息解答下列问题： (1)直接写出扇形统计图中 m 的值； (2)从 2009到 2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算 2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本； (3)2013 年某小区倾向图书阅读的成年国民有 990 人，若该小区 2014 年与 2013 年成年国民的人数基本持平，估算 2014 年该小区成年国民阅读图 书的总数量约为 本 . 解析： (1)1 直接减去个部分的百分数即可； (2)设从 2009 到 2013 年平均增长幅度为 x，列方程求出 x 的值即可； (3)根据 (2)的结果直接计算 . 答案 ： (1)m%=1-1.0%-15
17、.6%-2.4%-15.0%=66%， m=66. (2)设从 2009 到 2013 年平均增长幅度为 x，列方程得， 3.88(1+x) 4=4.78， 1+x1.05 ， x0.05 ， 4.78(1+0.05)5. (3)9900.665=7500 ， 故 2014 年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 7500 本 . 故答案为 5， 7500. 21.(5 分 )如图， AB是 eO 的直径， C 是 AB 的中点， eO 的切线 BD交 AC 的延长线于点 D， E 是OB 的中点， CE 的延长线交切线 BD 于点 F， AF 交 eO于点 H，连接 BH. (1)求证： AC
18、=CD； (2)若 OB=2，求 BH 的长 . 解析： (1)连接 OC，由 C 是 的中点， AB 是 O 的直径，则 OCAB ，再由 BD 是 O 的切线，得 BDAB ，从而得出 OCBD ，即可证明 AC=CD； (2)根据点 E 是 OB 的中点，得 OE=BE，可证明 COEFBE(ASA) ，则 BF=CO，即可得出 BF=2，由勾股定理得出 AF= ，由 AB 是直径，得 BHAF ，可证明 ABFBHF ，即可得出 BH 的长 . 答案： (1)连接 OC， C 是 AB 的中点， AB 是 O 的直径， OAB ， BD 是 O 的切线， BDAB ， OCBD ， O
19、A=OB ， AC=CD ； (2)E 是 OB 的中点， OE=BE ， 在 COE 和 FBE 中， ， COEFBE(ASA) ， BF=CO ， OB=2 ， BF=2 ， AF = =2 ， AB 是直径， BHAF ， ABFBHF ， = ， AB BF=AF BH， BH= = = . 22.(5 分 )阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图 1，在 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，BAD=75 ， CAD=30 ， AD=2， BD=2DC，求 AC 的长 . 小腾发现，过点 C 作 CEAB ，交 AD 的延长线于点 E，通过构造 ACE ，经过推理和计算能够使问题
20、得到解决 (如图 2). 请回答： ACE 的度数为 ， AC 的长为 . 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中， BAC=90 ， CAD=30 ， ADC=75 ， AC 与 BD 交于点 E，AE=2， BE=2ED，求 BC 的长 . 解析： 根据相似的三角形的判定与性质，可得 =2，根据等腰三角形的判定，可得 AD=AC，根据正切函数，可得 DF 的长，根据直角三角形的性质，可得 AB 与 DF 的关系，根据勾股定理，可得答案 . 答案 ： ACE=75 ， AC 的长为 3.过点 D 作 DFAC 于点 F. BAC=90=DFA ， ABDF ，
21、ABEFDE ， =2， EF=1 ， AB=2DF. 在 ACD 中， CAD=30 ， ADC=75 ， ACD=75 ， AC=AD. DFAC ， AFD=90 ， 在 AFD 中， AF=2+1=3， FAD=30 ， DF=AFtan30= ， AD=2DF=2 . AC=AD=2 ， AB=2DF=2 .BC= =2 . 五、解答题 (本题共 22 分，第 23 题 7分，第 24 题 7 分，第 25 题 8分 ) 23.(7 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A(0， -2)， B(3， 4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)
22、设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A， B 之间的部分为图象 G(包含 A， B 两点 ).若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围 . 解析： (1)将 A 与 B 坐标代入抛物线解析式求出 m 与 n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； (2)由题意确定出 C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出 D 纵坐标的最小值，求出直线 BC解析式，令 x=1 求出 y 的值，即可确定出 t 的范围 . 答案 ： (1) 抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A(0， -2)， B(3， 4)， 代入得： ，解
23、得： ， 抛物线解析式为 y=2x2-4x-2，对称轴为直线 x=1； (2)由题意得： C(-3， -4)，二次函数 y=2x2-4x-2 的最小值为 -4， 由函数图象得出 D 纵坐标最小值为 -4， 设直线 BC 解析式为 y=kx+b， 将 B 与 C 坐标代入得： ，解得： k= ， b=0， 直线 BC 解析式为 y= x， 当 x=1 时， y= ，则 t 的范围为 -4t . 24.(7 分 )在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP的对称点为 E，连接 BE， DE，其中 DE 交直线 AP 于点 F. (1)依题意补全图 1； (2)若 PAB=20 ，
24、求 ADF 的度数； (3)如图 2，若 45 PAB 90 ，用等式表示线段 AB， FE， FD 之间的数量关系，并证明 . 解析： (1)根据题意直接画出图形得出即可； (2)利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案； (3)由轴对称的性质可得： EF=BF， AE=AB=AD， ABF=AEF=ADF ，进而利用勾股定理得出答案 . 答案 ： (1)如图 1 所示： (2)如图 2，连接 AE，则 PAB=PAE=20 ， AE=AB=AD， 四边形 ABCD 是正方形， BAD=90 ， EAP=BAP=20 ， EAD=130 ， ADF= =25 ； (3)如图 3，连接 AE、
25、 BF、 BD， 由轴对称的性质可得： EF=BF， AE=AB=AD， ABF=AEF=ADF ， BFD=BAD=90 ， BF 2+FD2=BD2， EF 2+FD2=2AB2. 25.(8 分 )对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M 0，对于任意的函数值 y，都满足 -M yM ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值 .例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1. (1)分别判断函数 y= (x 0)和 y=x+1(-4x2 )是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； (2)若函数 y=-x+1(axb ， b a)的边界值是 2，且这
26、个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围； (3)将函数 y=x2(-1xm ， m0 )的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界值是 t，当m 在什么范围时，满足 t1 ？ 解析： (1)根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题； (2)根据函数的增减性、边界值确定 a=-1；然后由 “ 函数的最大值也是 2” 来求 b 的取值范围； (3)需要分类讨论： m 1 和 m1 两种情况 .由函数解析式得到该函数图象过点 (-1， 1)、 (0，0)，根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是 (-1， 1-m)、 (0， -m)；最后由函数边界值的定义列出不等式 1 -m1 或 -
27、1 -m - ，易求 m 取值范围： 0m 或 m1. 答案 ： (1)根据有界函数的定义知，函数 y= (x 0)不是有界函数 . y=x+1(-4x2) 是有界函数 .边界值为： 2+1=3； (2) 函数 y=-x+1 的图象是 y 随 x 的增大而减小， 当 x=a时， y=-a+1=2，则 a=-1， 当 x=b 时， y=-b+1.则 ， -1 b3 ； (3)若 m 1，函数向下平移 m 个单位后， x=0 时，函数值小于 -1，此时函数的边界 t1 ，与题意不符，故 m1. 当 x=-1 时， y=1 即过点 (-1， 1) 当 x=0 时， y 最小 =0，即过点 (0， 0)，都向下平移 m 个单位，则 (-1， 1-m)、 (0， -m) 1 -m1 或 -1 -m - ， 0m 或 m1.
