1、 2014 年吉林省长春市中考模拟 数学 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.下列各数 0， 1， 4， 中，最小的数是（ ） A.0 B.4 C. 1 D. 解析： 1 0 4， 答案： C. 2.如图是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 解析：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最右边有一个正方形 . 答案 ： D. 3.下列运算中，正确的是（ ） A.a2+a3=a5 B.5a a=4a C.a4a5=a20 D.a12a 3=a4 解析： A、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故 A 错误； B、系数相加字母部
2、分不变，故 B 正确； C、底数不变指数相加，故 C 错误； D、底数不变指数相减，故 D 错误； 答案： B. 4.不等式 3x 6 的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 解析： 3x 6， x 2， 答案： A. 5.如图， BD 平分 ABC ，点 E 在 BC 上， EFAB .若 ABD=50 ，则 BEF 的大小为（ ） A.100 B.90 C.80 D.70 解析： BD 平分 ABC ， ABD=50 ， ABC=2ABD=100 ， EFAB ， BEF=180 ABC=80 . 答案 ： C. 6.如图，在 ABC 中， B=60 ， C=70 .以 AB
3、为直径的 O 交 AC 于点 D，则 BOD 的大小为（ ） A.130 B.120 C.110 D.100 解析： 在 ABC 中， B=60 ， C=70 ， A=180 B C=50 ， BOD=2A=100 . 答案 ： D. 7.如图，在 ABCD 中，点 E、 F 分别为边 AD、 BD 上的点， EFAB .若 DE= EA， EF=4，则 CD的长为（ ） A.6 B.8 C.12 D.16 解析： 如图， DE= EA， DE= DA. EFAB ， DEFDAB ， = ，即 = ， 又 EF=4 ， AB=12 . 又 四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB=12
4、. 答案： C. 8.如图，在平面直角坐标系中，点 P（ ， a）在直线 y=2x+2 与直线 y=2x+4 之间，则 a的取值范围是（ ） A.2 a 4 B.1 a 3 C.1 a 2 D.0 a 2 解析： 当 P 在直线 y=2x+2 上时， a=2 （ ） +2= 1+2=1， 当 P 在直线 y=2x+4 上时， a=2 （ ） +4= 1+4=3， 则 1 a 3， 答案： B. 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9.因式分解： 2x2 18= . 解析： 2x2 18=2（ x2 9） =2（ x+3）（ x 3）， 答案： 2（ x+3）（ x 3） . 10.买单
5、价为 3 元的笔记本 m 本，付出 n 元，应找回 元 .（用含有 m、 n 的代数式表示） 解析： 应找回（ n 3m）元 . 答案：（ n 3m） . 11.如图，在 O 中， OC 弦 AB 于点 C， AB=4， OC=1，则 OB 的长是 . 解析： OC 弦 AB 于点 C， BC=AC= AB= 4=2 ， 在 RtOBC 中， OC=1， BC=2， OB= = . 答案 ： 12.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对称轴与坐标轴重合，顶点 A 的坐标为 （ 3， 2） .若反比例函数 y= 的图象经过点 B，则 k 的值为 . 解析： 矩形 ABCD 的对称轴与坐标
6、轴重合， 点 D 和点 A 关于 y 轴对称， 而 A 点坐标为（ 3， 2）， D 点坐标为（ 3， 2）， k= 32= 6. 答案 ： 6. 13.如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，小正方形的各顶点均在大正方形的边或对角线上 .若两个小正方形的面积分别为 S1、 S2，则 S1与 S2的和为 . 解析： 如图， 由正方形的性质， 1=2=3=4=45 ， 所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形， 正方形的边长为 6， AC=6 ， 两个小正方形的边长分别为 6 =2 ， 6=3 ， S 1与 S2的和为（ 2 ） 2+32=8+9=17. 答案： 17. 14.如图，在平
7、面直角坐标系中， RtOAB 的顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y=ax2上，直角顶点B 在 x 轴上 .将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90 得到 OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P.则 DP的长为 . 解析： 把 A（ 2， 4）代入 y=ax2得 4a=4，解得 a=1， 抛物线的解析式为 y=x2， RtOAB 的顶点 A 的坐标为（ 2， 4）， ABx 轴， AB=4 ， OB=2， RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90 得到 OCD ， OD=OB=2 ， ODC=OBA=90 ， D 点坐标为（ 0， 2）， CDy 轴， P 点的纵坐标为 2， 把 y=2 代入
8、 y=x2得 x2=2，解得 x= （负值舍去）， P 点坐标为（ ， 2）， PD= . 答案： . 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78分） 15.先化简，再求值： ，其中 x= . 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 =（ ） = = ， 当 x= 时，原式 = =3 2 . 16.把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，卡片上分别标有数字 1， 2， 3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从每个盒中各随机抽取 1 张 .用画树状图（或列表）的方法求抽出的 2 张卡片上数字之和为奇数的概率 . 解析
9、： 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽出的 2 张卡片上数字之和为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： 列表得： 共有 9 种等可能的结果，抽出的 2 张卡片上数字之和为奇数的有 4 种情况， 抽出的 2 张卡片上数字之和为奇数的概率为： . 17.春城服装店用 4 500 元购进一批某款式 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，又用 4 950元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元，求第二批该款式 T 恤衫每件进价 . 解析： 设第二批 T 恤衫每件进价 x 元 .则第二批每件进价是（ x+9）元，再根据等量
10、关系：第二批进的件数 =第一批进的件数可得方程 . 答案： 设第二批 T 恤衫每件进价 x 元 . 依题意，得 . 解得 x=99. 经检验， x=99 是原方程的解，且符合题意 . 答：第二批 T 恤衫每件进价是 99 元 . 18.如图， D 为 ABC 边 BC 延长线上一点，且 CD=CA， E 是 AD的中点， CF 平分 ACB 交 AB于点 F.求证： CECF . 解析： 根据三线合一定理证明 CF 平分 ACB ，然后根据 CF 平分 ACB ，根据邻补角的定义即可证得 . 答案： CD=CA ， E 是 AD 的中点， ACE=DCE . CF 平分 ACB ， ACF=B
11、CF . ACE+DCE+ACF+BCF=180 ， ACE+ACF=90 . 即 ECF=90 . CECF . 19.某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面 ACFE 如图所示 . AE 为台面， AC 垂直于地面， AB 表示平台前方的斜坡 .斜坡的坡角 ABC 为 43 ，坡长 AB为 2m.为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡 AB 的坡角， AD 是改造后的斜坡（ D 在直线 BC 上），坡角 ADC为 31 .求斜坡 AD 底端 D 与平台 AC 的距离 CD.（结果精确到 0.01m） 参考数据： sin43=0.682 ， cos43=0.731 ， tan43=0
12、.933 ； sin31=0.515 ，cos31=0.857 ， tan31=0.601 . 解析： 首先根据 ABC=43 ， AB=2m，在 RtABC 中，求出 AC 的长度，然后根据 ADC=31 ，利用三角函数的知识在 RtACD 中求出 CD 的长度 . 答案： 在 RtABC 中， ABC=43 ， AB=2m， AC=AB sin43=20.682=1.364 （ m） 在 RtADC 中， ADC=31 ， CD= = 2.27 （ m） . 即斜坡 AD 底端 D 与平台 AC 的距离 CD为 2.27m. 20.某校就同学们对 “ 长春历史文化 ” 的了解程度进行随机抽
13、样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图 . （ 1）本次共凋查 名学生 . （ 2）求条形统计图中 m 的值 . （ 3）若该校共有学生 1 000 名，按上述统计结果，估计该校不了解 “ 长春历史文化 ” 的学生人数 . 解析： （ 1）根据了解很少的有 24 人，占 40%，即可求得总人数； （ 2）利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得； （ 3）利用 1000 乘以不了解 “ 长春历史文化 ” 的人所占的比例即可求解 . 答案： （ 1）调查的总人数是： 2440%=60 （人）， 故答案是： 60； （ 2） m=60 12 24 6=18， 答： m 的值为 18； （ 3）
14、60人中有 12人不了解长春历史文化，估计全校 1000人中不了解长春历史文化的占 20%， 100020%=200 . 估计全校 1 000 人中不了解长春历史文化的人约为 200 人 . 21.在一条笔直的公路上有 A、 B 两地 .甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从 A 地到 B 地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速 继续行驶到 B 地；乙骑摩托车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原路原速返回，结果两人同时到 B 地 .如图是甲、乙两人与 B 地的距离 y（ km）与乙行驶时间 x（ h）之间的函数图象 . （ 1）求甲修车前的速度 . （ 2）求甲、乙第一次相遇的时间 .
15、（ 3）若两人之间的距离不超过 10km 时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的 x 取值范围 . 解析： （ 1）由函数图象可以求出甲行驶的时间，就可以由路程 时间求出甲行驶的速度； （ 2）由相遇问题的数量关系直接求出结论； （ 3）设甲在修车前 y 与 x 之间的函数关系式为 y 甲 1=kx+b，甲在修车后 y与 x 之间的函数关系式为 y 甲 2=k3x+b3，乙前往 A 地的距离 y（ km）与乙行驶时间 x（ h）之间的关系式为 y 乙 1=k1x，设乙返回 B 地距离 B 地的距离 y（ km）与乙行驶时间 x（ h）之间的关系式为 y
16、乙 2=k2x+b2，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可 . 答案： （ 1）由题意，得 （ km/h） . 甲修车前的速度为 20km/h； （ 2）由函数图象，得 （ 30+20） x=30， 解得 x=0.6. 甲、乙第一次相遇是在出发后 0.6 小时； （ 3）设甲在修车前 y 与 x 之间的函数关系式为 y 甲 1=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， y 甲 1= 2x+30， 设甲在修车后 y 与 x 之间的函数关系式为 y 甲 2=k3x+b3，由题意，得 ， 解得： ， y 甲 2= 20x+40， 设乙前往 A 地的距离 y（ km）与乙行驶时间 x（ h）之间
17、的关系式为 y 乙 1=k1x，由题意，得 30=k1， y 乙 1=30x； 设乙返回 B 地距离 B 地的距离 y（ km）与乙行驶时间 x（ h）之间的关系式为 y 乙 2=k2x+b2，由题意，得 ， 解得： ， y= 30x+60. 当 时， ； ， 解得： . . 22.【感知】如图 ，四边形 ABCD、 CEFG 均为正方形 .可知 BE=DG. 【拓展】如图 ，四边形 ABCD、 CEFG 均为菱形，且 A=F .求证： BE=DG. 【应用】如图 ，四边形 ABCD、 CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G在 AD延长线上 .若AE=2ED， A=F ， EBC
18、的面积为 8，则菱形 CEFG 的面积为 . 解析： 拓展：由四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形，利用 SAS 易证得 BCEDCG ，则可得 BE=DG； 应用：由 ADBC ， BE=DG，可得 SABE +SCDE =SBEC =SCDG =8，又由 AE=2ED，可求得 CDE 的面积，继而求得答案 . 答案： 拓展： 四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形， BC=CD ， CE=CG， BCD=A ， ECG=F . A=F ， BCD=ECG . BCD ECD=ECG ECD ， 即 BCE=DCG . 在 BCE 和 DCG 中， ， BCEDCG （ SAS
19、）， BE=DG . 应用： 四边形 ABCD 为菱形， ADBC ， BE=DG ， S ABE +SCDE =SBEC =SCDG =8， AE=2ED ， S CDE = 8= ， S ECG =SCDE +SCDG = ， S 菱形 CEFG=2SECG = . 故答案为： . 23.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 在第一象限，点 C的坐标为（ 3， 0） .ABx 轴，且 OA=AB，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A、 B、 C.连 结 BC，过点 B 作 BDBC ，交 OA 于点 D.将 CBD 绕点 B 按顺时针方向旋转得到 EBF ，角
20、的两边分别交 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴于 E、 F. （ 1）求 a、 b 的值 . （ 2）当直线 BF 经过抛物线 y=ax2+bx+2 的顶点时，求 CE 的长 . （ 3）连结 EF.设 BEF 与 BEC 的面积之差为 S.当 CE 为何值时 S最小，求出这个最小值 . 解析： （ 1）把点 B、 C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于 a、 b 的方程组，通过解方程组来求它们的值； （ 2）如图，过点 G 作 GHAB 于点 H，过点 B 作 BMOC 于点 M.构建全等三角形： EBMFBA（ AAS） .则 EM=AF.tanABF= ，易求 AF= .故 CE=CM+
21、EM=1+ ； （ 3）设 CE=m，则 EM=m 1或 1 m.在直角 BEM 中，利用勾股定理得到 BE2=EM2+BM2=m2 2m+5.又由（ 2）中的全等三角形的对应边相等推知： BF=BE.易求 .根据抛物线的性质知：当 m=2 时， S 最小 = . 答案： 解：（ 1）根据题意， B（ 2， 2）， C（ 3， 0），则 ， 解得 ； （ 2）由（ 1）知，经过 A、 B、 C 的抛物线为 . 故顶点 G 的坐标为（ 1， ） . 如图，过点 G 作 GHAB 于点 H，则 AH=BH=1， GH= . 过点 B 作 BMOC 于点 M.则四边形 ABMO 为正方形 . BA=
22、BM . ABM=EBF=90 ， EBM=FBA . BME=BAF=90 ， 在 EBM 与 FBA 中， ， EBMFBA （ AAS） . EM=AF . tanABF= ， AF= . EM=AF= . 又 C （ 3， 0）， B（ 2， 2）， CM=1 . CE=CM+EM=1+ ； （ 3）如图，连接 EF. 设 CE=m，则 EM=m 1 或 1 m， BE 2=EM2+BM2=（ m 1） 2+2 2=m2 2m+5. 又 FBAEBM ， BF=BE . S=S BEF SBEC . 即 . 当 m=2 时， S 最小 = . 24.将 RtABC 和 RtDEF 按如
23、图 摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、 C（ E）、 F 在同一条直线上 .ABC 沿 EF 所在直线以每秒 1 个单位的速度向右匀速运动， AC 边与折线 ED DF 的交点为 P，如图 .当 ABC 的边 AB 经过点 D 时，停止运动 .已知 ACB=EDF=90 ， DEF=45 ，AC=4， BC=3， EF=6.设运动时间为 t（秒） . （ 1）当点 P 在 ED 边上时， AP 的长为 （用含 t 的代数式表示） . （ 2）当边 AB 经过点 D 时，求 t 的值 . （ 3）设 ABC 与 DEF 的重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系 . （ 4）在 A
24、BC 运动的同时，点 Q 从 ABC 的顶点 B 出发，沿 B A B 以每秒 2 个单位的速度匀速运动，当 ABC 停止运动时，点 Q 也随之停止 . 当 PQAB 时，求 t 的值 . 当以 A、 P、 Q 为顶点的四边形 APGQ 为菱形时，直接写出菱形 APGQ 的周长 . 解析： （ 1）判断出 PCE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 PC=EC，然后根据 AP=AC PC 答案； （ 2）过点 D 作 DMEF 于 M，根据等腰直角三角形的性质求出 ME=3，再表示出 BM，然后根据 DBM 和 ABC 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解得到 t= ； （ 3
25、）分 0t3 时，重叠部分为 PCE ，然后根据三角形的面积公式列式整理即可； 3 t 时，设 AB、 DE 相交于点 G，过点 G 作 GHEF 于 H，表示出 BE，再利用 ABC 的正切用 GH 表示出 BH，然后根据 EB+BH=GH 整理得到 GH 的表达式，再表示出 PC、 CF，然后根据重叠部分的面积 =SDEF SBEG SPCF 列式整理即可得解； （ 4） 根据两组角对 应相等的两个三角形相似判断出 AQPACB ，再根据相似三角形对应边成比例分点 P 在 DE 上，点 Q 从 B 到 A 和从 A 到 B 两种情况列式求即可，点 P 在 DF 上，表示出 AP，再根据相似
26、三角形对应边成比例列式求解即可； 根据 三种情况，利用菱形的邻边相等列出方程求解即可 . 答案： （ 1） DEF=45 ， ACB=90 ， PCE 是等腰直角三角形， PC=EC=t ， AP=AC PC=4 t； 故答案为： 4 t. （ 2）如图，过点 D 作 DMEF 于点 M， EDF=90 ， DEF=45 ， DEF 是等腰直角三角形， EF=6 ， DM=EM=MF=3 ， EC=t ， EB=t 3， BM=3 （ t 3） =6 t， ACB=90 ， DMEF ， DMC ， DBMABC ， = ， 即 = ， 解得 t= ； （ 3）由（ 2）知，当 t=3 时 A
27、B 经过点 D， 所以，当 0t3 时，重叠部分为 PCE ， S= PC EC= t2， 当 3t 时，设 AB、 DE 相交于点 G，过点 G 作 GHEF 于 H， 则 BE=t 3， tanABC= = ， = ， BH= GH， DEF=45 ， EH=GH ， 即 t 3+ GH=GH， GH=4t 12， 又 PC=CF=6 t， 重叠部分的面积 =SDEF SBEG SPCF ， = 63 （ t 3） （ 4t 12） （ 6 t）（ 6 t）， =9 2t2+12t 18 t2+6t 18， = t2+18t 27； （ 4） 当 PQAB 时， A=A ， ACB=AQP
28、=90 ， AQPACB ， = ， 点 Q 以每秒 2 个单位的速度匀速运动， 点 P 在 DE 上时，若点 Q 从 B到 A，则 AQ=5 2t，若点 Q从 A到 B，则 AQ=2t 5， = 或 = ， 解得 t= ， t= ， 点 P 在 DF 上时， PC=CF=6 t， AP=4（ 6 t） =t 2， = ， 解得 t= ， 3， t= 时，点 P 在 DE 上，不在 DF 上，不符合题意舍去， 综上所述， PQAB 时， t 的值为 或 秒； 若四边形 APGQ 为菱形，则 AQ=AP， 5 2t=4 t 或 2t 5=4 t 或 2t 5=t 2， 解得 t=1 或 t=3 或 t=3， 当 t=1 时， AP=4 1=3， 菱形的周长 =43=12 ， 当 t=3 时， AP=4 3=1， 菱形的周长 =41=4 ， 所以，菱形的周长为 12 或 4.
