1、2014 年吉林省长春市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 1.(3 分 )- 的相反数是 ( ) A. B. - C. 7 D. -7 解析 ： - 的相反数是 ， 答案： A. 2.(3 分 )下列图形中，是正方体表面展开图的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、 B、 D 经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体， C 能折成正方体 . 答案： C. 3.(3 分 )计算 (3ab)2的结果是 ( ) A. 6ab B. 6a2b C. 9ab2 D. 9a2b2 解析 ： (3ab)2=32a2b2=9a2b2. 答案： D. 4.(3 分 )
2、不等式组 的解集为 ( ) A. x2 B. x -1 C. -1 x2 D. -1x2 解析 ： ， 解 得： x -1， 解 得： x2 ， 则不等式组的解集是： -1 x2 . 答案： C. 5.(3 分 )如图，直线 a 与直线 b 交于点 A，与直线 c 交于点 B， 1=120 ， 2=45 ，若使直线 b 与直线 c 平行，则可将直线 b 绕点 A逆时针旋转 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 解析 ： 1=120 ， 3=60 ， 2=45 ， 当 3=2=45 时， bc ， 直线 b 绕点 A 逆时针旋转 60 -45=15 . 答案： A. 6.(3
3、分 )如图，在 O 中， AB 是直径， BC 是弦，点 P 是 上任意一点 .若 AB=5， BC=3，则AP 的长不可能为 ( ) A. 3 B. 4 C. D. 5 解析 ： 连接 AC， 在 O 中， AB 是直径， C=90 ， AB=5 ， BC=3， AC= =4， 点 P 是 上任意一点 .4AP5 . 答案： A. 7.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，点 A(2， m)在第一象限，若点 A 关于 x 轴的对称点 B在直线 y=-x+1 上，则 m 的值为 ( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析 ： 点 A(2， m)， 点 A 关于 x 轴的对称点 B(2， -
4、m)， B 在直线 y=-x+1 上， -m=-2+1=-1， m=1， 答案： B. 点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关 8.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B 均在函数 y= (k 0， x 0)的图象上， A与 x 轴相切， B 与 y 轴相切 .若点 B 的坐标为 (1， 6)， A 的半径是 B 的半径的 2 倍，则点 A 的坐标为 ( ) A. (2， 2) B. (2， 3) C. (3， 2) D. (4， ) 解析 ： 把 B 的坐标为 (1， 6)代入反比例函数解析式得： k=6，则函数的解析式是： y= ，
5、B 的坐标为 (1， 6)， B 与 y 轴相切， B 的半径是 1，则 A 是 2， 把 y=2 代入 y= 得： x=3，则 A 的坐标是 (3， 2). 答案： C. 二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 9.(3 分 )计算： = . 解析 ： 原式 = = . 答案： . 10.(3 分 )为落实 “ 阳光体育 ” 工程，某校计划购买 m 个篮球和 n 个排球，已知篮球每个 80元，排球每个 60 元，购买这些篮球和排球的总费用为 元 . 解析 ： 购买这些篮球和排球的总费用为 (80m+60n)元 . 答案： (80m+60n). 11.(3 分 )如图，在 ABC 中，
6、 C=90 ， AB=10， AD 是 ABC 的一条角平分线 .若 CD=3，则ABD 的面积为 . 解析 ： 作 DEAB 于 E. AD 平分 BAC ， DEAB ， DCAC ， DE=CD=3 .ABD 的面积为 310=15 . 答案： 15. 12.(3 分 )如图，在 O 中，半径 OA 垂直弦于点 D.若 ACB=33 ，则 OBC 的大小为 度 . 解析 ： OABC ， ODB=90 ， ACB=33 ， AOB=2ACB=66 ， OBC=90 -AOB=24 . 答案： 24. 13.(3 分 )如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点
7、F 为 BE 延长线与 AD 延长线的交点 .若 DE=1，则 DF 的长为 . 解析 ： DE=1 ， DC=3， EC=3 -1=2， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC ， DEFCEB ， = ， = ， DF= ， 答案： . 14.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限，以 A 为顶点的抛物线经过原点，与 x 轴负半轴交于点 B，对称轴为直线 x=-2，点 C 在抛物线上，且位于点 A、 B 之间 (C 不与A、 B 重合 ).若 ABC 的周长为 a，则四边形 AOBC 的周长为 a+4 (用含 a 的式子表示 ). 解析 ： 如图， 对称轴为直线 x=-2，
8、抛物线经过原点、 x 轴负半轴交于点 B， OB=4 ， 由抛物线的对称性知 AB=AO， 四边形 AOBC的周长为 AO+AC+BC+OB=ABC 的周长 +OB=a+4. 答案： a+4. 三、解答题 (本大题共 10 小题，共 78分 ) 15.(6 分 )先化简，再求值： - ，其中 x=10. 解析： 原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = - = - = ， 当 x=10 时，原式 = . 16.(6 分 )在一个不透明的袋子里装有 3 个乒乓球，分别标有数字 1， 2， 3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均
9、相同 .先从袋子里随机摸出 1 个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出 1 个乒乓球记下标号，请用画树状图 (或列表 )的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率 . 解析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的有 5 种情况， 两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率为： . 17.(6 分 )某文具厂计划加工 3000 套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 4 天
10、完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量 . 解析： 根据题意设出该文具厂原计划每天加工 x 套这种画图工具，再根据已知条件列出方程即可求出答案 . 答案： 设文具厂原计划每天加工 x 套这种画图工具 . 根据题意，得 - =4.解得 x=125. 经检验， x=125 是原方程的解，且符合题意 . 答：文具厂原计划每天加工 125 套这种画图工具 . 18.(7 分 )如图，为测量某建筑物的高度 AB，在离该建筑物底部 24 米的点 C 处，目测建筑物顶端 A 处，视线与水平线夹角 ADE 为 39 ，且高 CD 为 1.5 米，求建筑物的高度 AB.(结果精确到 0.1 米 )
11、(参考数据： sin39=0 .63， cos39=0 .78， tan39=0 .81) 解析： 过 D作 DEAB 于点 E，继而可得出四边形 BCDE 为矩形， DE=BC=24 米， CD=BE=1.5 米，根据 ADE=39 ，在 RtADE 中利用三角函数求出 AE 的长度，继而可求得 AB 的长度 . 答案： 过 D 作 DEAB 于点 E， 四边形 BCDE 为矩形， DE=BC=24 米， CD=BE=1.5 米， 在 RtADE 中， ADE=39 ， tanADE= =tan39=0 .81， AE=DE tan39=240 .81=19.44(米 )， AB=E+EB=
12、19 .44+1.5=20.9420 .9(米 ). 答：建筑物的高度 AB 约为 20.9 米 . 19.(7 分 )如图，在 ABCD 中，点 O 是对角线 AC、 BD 的交点，点 E是边 CD的中点，点 F在BC 的延长线上，且 CF= BC，求证：四边形 OCFE 是平行四边形 . 解析： 利用三角形中位线定理判定 OEBC ，且 OE= BC.结合已知条件 CF= BC，则 OE CF，由 “ 有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 ” 证得结论 . 答案： 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， 点 O 是 BD 的中点 . 又 点 E 是边 CD 的中点， OE 是 BCD
13、 的中位线， OEBC ，且 OE= BC. 又 CF= BC， OE=CF . 又 点 F 在 BC 的延长线上， OECF ， 四边形 OCFE 是平行四边形 . 20.(7 分 )某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案： (A)对各班班长进行调查； (B)对某班的全体学生进行调查； (C)从全校每班随机抽取 5 名学生进行调查 . 在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图 . (1)为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象
14、时选择了方案 (填 A、 B或 C)； (2)被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 小时； (3)根据以上统计结果，估计该校 800 名学生中每天做作业用 1.5 小时的人数 . 解析： (1)收集的方法必须具有代表性，据此即可确定； (2)根据众数的定义即可求解； (3)利用总人数 800 乘以对应的比例即可求解 . 答案： (1)为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案 C； (2)众数是： 1.5 小时； (3)800 =304(人 ). 则估计该校 800 名学生中每天做作业用 1.5 小时的人数是 304 人 . 21.(8 分 )甲、乙两支清雪队同时开始清理
15、某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了 3 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪 50 吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量 y(吨 )与清雪时间 x(时 )之间的函数图象如图所示 . (1)乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 吨； (2)求此次任务的清雪总量 m； (3)求乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式 . 解析： (1)由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 270 吨； (2)先求出甲队每小时的清雪量，再求出 m. (3)设乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式为： y=kx+b，把 A， B 两点代入求出
16、函数关系式 . 答案： (1)由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 270 吨； 故答案为： 270. (2)乙队调离前，甲、乙两队每小时的清雪总量为 =90 吨； 乙队每小时清雪 50 吨， 甲队每小时的清雪量为： 90-50=40 吨， m=270+403=390 吨， 此次任务的清雪总量为 390 吨 . (3)由 (2)可知点 B 的坐标为 (6， 390)，设乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式为：y=kx+b(k0 )， 图象经过点 A(3， 270)， B(6， 390)， 解得， 乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式： y=40x+150. 22.
17、(9 分 )探究：如图 ，在 ABC 中， AB=AC， ABC=60 ，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD， AE，求证： ACECBD . 应用：如图 ，在菱形 ABCF 中， ABC=60 ，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD， EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求 CGE 的度数 . 解析： 探究：先判断出 ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 BC=AC， ACB=ABC ，再求出 CE=BD，然后利用 “ 边角边 ” 证明即可； 应用：连接 AC，易知 ABC 是等边三角形，由探究可知 ACE 和
18、 CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得 E=D ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 CGE=ABC 即可 . 答案： 探究 ： AB=AC ， ABC=60 ， ABC 是等边三角形， BC=AC ， ACB=ABC ， BE=AD ， BE+BC=AD+AB ，即 CE=BD， 在 ACE 和 CBD 中， ， ACECBD (SAS)； 应用：如图，连接 AC，易知 ABC 是等边三角形， 由探究可知 ACECBD ， E=D ， BAE=DAG ， E+BAE=D+DAG ， CGE=ABC ， ABC=60 ， CGE=60 . 23.(10 分 )如图，
19、在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 (1， -1)，且对称轴为在线x=2，点 P、 Q 均在抛物线上，点 P 位于对称轴右侧，点 Q 位于对称轴左侧， PA 垂直对称轴于点 A， QB 垂直对称轴于点 B，且 QB=PA+1，设点 P 的横坐标为 m. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式； (2)求点 Q 的坐标 (用含 m 的式子表示 )； (3)请探究 PA+QB=AB 是否成立，并说明理由； (4)抛物线 y=a1x2+b1x+c1(a10 )经过 Q、 B、 P 三点，若其对称轴把四边形 PAQB 分成面积为 1：5 的两部分，直接写出此时 m 的值 . 解析：
20、(1)根据经过的点的坐标和对称轴列出关于 b、 c 的方程组，然后求解得到 b、 c 的值，即可得解； (2)根据点 P 在抛物线上表示点 P 的坐标，再求出 PA，然后表示出 QB，从而求出点 Q 的横坐标，代入抛物线解析式求出点 Q 的纵坐标，从而得解； (3)根据点 P、 Q 的坐标表示出点 A、 B 的坐标，然后分别求出 PQ、 BQ、 AB，即可得解； (4)根据抛物线的对称性，抛物线 y=a1x2+b1x+c1的对称轴为 QB 的垂直平分线，然后根据四边形 PAQB 被分成的两个部分列出方程求解即可 . 答案： (1) 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 (1， -1)， 且对称轴
21、为在线 x=2， ，解得 . 这条抛物线所对应的函数关系式 y=x2-4x+2； (2) 抛物线上点 P 的横坐标为 m， P (m， m2-4m+2)， PA=m -2， QB=PA+1=m-2+1=m-1， 点 Q 的横坐标为 2-(m-1)=3-m， 点 Q 的纵坐标为 (3-m)2-4(3-m)+2=m2-2m-1， 点 Q 的坐标为 (3-m， m2-2m-1)； (3)PA+QB=AB 成立 .理由如下： P (m， m2-4m+2)， Q(3-m， m2-2m-1)， A (2， m2-4m+2)， B(2， m2-2m-1)， AB= (m2-2m-1)-(m2-4m+2)=2
22、m-3， 又 PA=m -2， QB=m-1， PA+QB=m -2+m-1=2m-3， PA+QB=AB ； (4) 抛物线 y=a1x2+b1x+c1(a10 )经过 Q、 B、 P 三点， 抛物线 y=a1x2+b1x+c1的对称轴为 QB 的垂直平分线， 对称轴把四边形 PAQB 分成面积为 1： 5 的两部分， = (2m-3) (2m-3)，整理得， (2m-3)(m-3)=0， 点 P 位于对称轴右侧， m 2， 2m -30 ， m -3=0，解得 m=3. 24.(12 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=3，点 O 为对角线 BD 的中点，点 P 从点 A
23、 出发，沿折线 AD-DO-OC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 运动，当点 P与点 A不重合时，过点P 作 PQAB 于点 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与 ABD 重叠部分图形的面积为 S(平方单位 )，点 P 运动的时间为 t(秒 ). (1)求点 N 落在 BD 上时 t 的值； (2)直接写出点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围； (3)当点 P 在折线 AD-DO 上运动时，求 S 与 t之间的函数关系式； (4)直接写出直线 DN 平分 BCD 面积时 t 的值 . 解析： (1)可证 DPNDQB ，从而有 ，即可求出 t
24、的值 . (2)只需考虑两个临界位置 (MN 经过点 O， 点 P 与点 O 重合 )下 t的值，就可得到点 O在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围 . (3)根据正方形 PQMN 与 ABD 重叠部分图形形状不同分成三类，如图 4、图 5、图 6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出 S 与 t 之间的函数关系式 . (4)由于点 P 在折线 AD-DO-OC 运动，可分点 P 在 AD上，点 P在 DO上，点 P在 OC上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线 DN 平分 BCD 面积时 t 的值 . 答案： (1)当点 N 落在 BD 上时，如图 1. 四
25、边形 PQMN 是正方形， PNQM ， PN=PQ=t.DPNDQB . . PN=PQ=PA=t ， DP=3-t， QB=AB=4， .t= . 当 t= 时，点 N 落在 BD 上 . (2) 如图 2，则有 QM=QP=t， MB=4-t. 四边形 PQMN 是正方形， MNDQ . 点 O 是 DB 的中点， QM=BM .t=4 -t.t=2 . 如图 3， 四边形 ABCD 是矩形， A=90 . AB=4 ， AD=3， DB=5 . 点 O 是 DB 的中点， DO= .1t=AD+DO=3+ .t= . 当点 O 在正方形 PQMN 内部时， t 的范围是 2 t . (
26、3) 当 0 t 时，如图 4. S=S 正方形 PQMN=PQ2=PA2=t2. 当 t3 时，如图 5， tanADB= = ， = .PG=4 - t.GN=PN -PG=t-(4- t)= -4. tanNFG=tanADB= ， .NF= GN= ( -4)= t-3. S=S 正方形 PQMN-SGNF =t2- ( -4) ( t-3)=- t2+7t-6. 当 3 t 时，如图 6， 四边形 PQMN 是正方形，四边形 ABCD 是矩形 . PQM=DAB=90 .PQAD .BQPBAD . = = . BP=8 -t， BD=5， BA=4， AD=3， . BQ= ， P
27、Q= .QM=PQ= .BM=BQ -QM= . tanABD= ， FM= BM= . S=S 梯形 PQMF= (PQ+FM) QM= + = (8-t)2=t2- t+ . 综上所述：当 0 t 时， S=t2. 当 t3 时， S=- t2+7t-6. 当 3 t 时， S= t2- t+ . (4)设直线 DN 与 BC 交于点 E， 直线 DN 平分 BCD 面积， BE=CE= . 点 P 在 AD 上，过点 E 作 EHPN 交 AD于点 H，如图 7， 则有 DPNDHE . . PN=PA=t ， DP=3-t， DH=CE= ， EH=AB=4， .解得； t= . 点
28、P 在 DO 上，连接 OE，如图 8， 则有 OE=2， OEDCABPN .DPNDOE . . DP=t -3， DO= ， OE=2， PN= (t-3). PQ= (8-t)， PN=PQ， (t-3)= (8-t).解得： t= . 点 P 在 OC 上，设 DE 与 OC交于点 S，连接 OE，交 PQ于点 R，如图 9， 则有 OE=2， OEDC .DSCESO . .SC=2SO . OC= ， SO= = . PNABDCOE ， SPNSOE . . SP=3+ + -t= ， SO= ， OE=2， PN= . PRMNBC ， ORPOEC . . OP=t - ， OC= ， EC= ， PR= . QR=BE= ， PQ=PR+QR= . PN=PQ ， = .解得： t= . 综上所述：当直线 DN 平分 BCD 面积时， t 的值为 、 、 .
