1、2014 年四川省乐山市中考 真题 数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分 ) 1.(3 分 )-2 的绝对值是 ( ) A. 2 B. -2 C. D. 解 析 ： -2 的绝对值是 2， 即 |-2|=2. 答案 ： A. 2.(3 分 )如图， OA 是北偏东 30 方向的一条射线，若射线 OB 与射线 OA 垂直，则 OB 的方位角是 ( ) A. 北偏西 30 B. 北偏西 60 C. 东偏北 30 D. 东偏北 60 解 析 ： 射线 OB 与射线 OA 垂直， AOB=90 ， 1=90 -30=60 ， 故射线 OB 的方位角是北偏西 60 ， 答案 ： B 3.(3
2、 分 )苹果的单价为 a 元 /千克，香蕉的单价为 b 元 /千克，买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需 ( ) A. (a+b)元 B. (3a+2b)元 C. (2a+3b)元 D. 5(a+b)元 解 析 ：买单价为 a 元的苹果 2 千克用去 2a 元，买单价为 b元的香蕉 3千克用去 3b元， 共用去： (2a+3b)元 . 答案 ： C. 4.(3 分 )如图所示的立体图形，它的正视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从正面看，应看到一个躺着的梯形，并且左边的底短， 答案 ： B. 5.(3 分 )如表是 10 支不同型号签字笔的相关信息，则这 10 支签字笔的平均价格
3、是 ( ) A. 1.4 元 B. 1.5 元 C. 1.6 元 D. 1.7 元 解 析 ：该组数据的平均数 = (13+1.52+25 )=1.6(元 ). 答案 ： C. 6.(3 分 )若不等式 ax-2 0 的解集为 x -2，则关于 y 的方程 ay+2=0的解为 ( ) A. y=-1 B. y=1 C. y=-2 D. y=2 解 析 ： ax-2 0，移项，得： ax 2， 解集为 x -2， 则 a=-1， 则 ay+2=0 即 -y+2=0， 解得： y=2. 答案 ： D. 7.(3 分 )如图， ABC 的顶点 A、 B、 C 在边长为 1 的正方形网格的格点上， B
4、DAC 于点 D.则 BD 的长为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：如图，由勾股定理得 AC= = . BC2= ACBD，即 22= BD BD= . 答案 ： C 8.(3 分 )反比例函数 y= 与一次函数 y=kx-k+2 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则 k 0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示不符，故本选项错误； B、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则 k 0.-k+2 0，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误； C、如图所示，反比例
5、函数图象经过第二、四象限，则 k 0.-k+2 0，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误； D、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则 k 0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示一致，故本选项正确； 答案 ： D. 9.(3 分 )在 ABC 中， AB=AC=5， sinB= ， O 过点 B、 C 两点，且 O 半径 r= ，则 OA的长为 ( ) A. 3 或 5 B. 5 C. 4 或 5 D. 4 解 析 ：如图，作 ADBC 于 D， AB=AC=5 ， AD 垂直平分 BC， 点 O 在直线 AD 上， 连结 OB， 在 RtABD 中，
6、 sinB= = ， AB=5 ， AD=4 ， BD= =3， 在 RtOBD 中， OB= ， BD=3， OD= =1， 当点 A 与点 O 在 BC 的两侧时， OA=AD+OD=4+1=5； 当点 A 与点 O 在 BC 的同侧时， OA=AD-OD=4-1=3， 故 OA 的长为 3 或 5. 答案 ： A. 10.(3 分 )如图，点 P(-1， 1)在双曲线上，过点 P 的直线 l1与坐标轴分别交于 A、 B两点，且 tanBAO=1 .点 M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点 M 的直线 l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点 C、点 D.则四边形 ABCD 的面
7、积最小值为 ( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 不确定 解 析 ：设反比例函数的解析式为 y= ， 点 P(-1， 1)在反比例函数 y= 的图象上， k=xy= -1. 反比例函数的解析式为 y=- . 设直线 l1的解析式为 y=mx+n， 当 x=0 时， y=n，则点 B 的坐标为 (0， n)， OB=n. 当 y=0 时， x=- ，则点 A 的坐标为 (- ， 0)， OA= . tanBAO=1 ， AOB=90 ， OB=OA . n= m=1 . 点 P(-1， 1)在一次函数 y=mx+n 的图象上， -m+n=1. n=2 . 点 A 的坐标为 (-2， 0)
8、，点 B 的坐标为 (0， 2). 点 M 在第四象限，且在反比例函数 y=- 的图象上， 可设点 M 的坐标为 (a， - )，其中 a 0. 设直线 l2的解析式为 y=bx+c， 则 ab+c=- . c= - -ab. y=bx - -ab. 直线 y=bx- -ab 与双曲线 y=- 只有一个交点， 方程 bx- -ab=- 即 bx2-( +ab)x+1=0 有两个相等的实根 . -( +ab)2-4b=( +ab)2-4b=( -ab)2=0. =ab. b= ， c=- . 直线 l2的解析式为 y= x- . 当 x=0 时， y=- ，则点 D 的坐标为 (0， - )；
9、当 y=0 时， x=2a，则点 C 的坐标为 (2a， 0). AC=2a -(-2)=2a+2， BD=2-(- )=2+ . ACBD ， S 四边形 ABCD= ACBD = (2a+2)(2+ ) =4+2(a+ ) =4+2( - )2+2 =8+2( - )2. 2 ( - )20 ， S 四边形 ABCD8 . 当且仅当 - =0 即 a=1 时， S 四边形 ABCD取到最小值 8. 答案 ： B 二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 11.(3 分 )当分式 有意义时， x 的取值范围是 . 解 析 ：当分母 x-20 ，即 x2 时，分式 有意义 . 答案 ：
10、x2 . 12.(3 分 )期末考试后，小红将本班 50 名学生的数学成绩进行分类统计，得到如图所示的扇形统计图，则优生人数为 . 解 析 ： 50 (1-16%-36%-28%) =5020% =10(人 ). 故优生人数为 10， 答案 ： 10. 13.(3 分 )若 a=2， a-2b=3，则 2a2-4ab 的值为 . 解 析 ： a=2 ， a-2b=3， 2a 2-4ab=2a(a-2b)=223=12 . 答案 ： 12. 14.(3分 )如图，在 ABC 中， BC边的中垂线交 BC 于 D，交 AB于 E.若 CE平分 ACB ， B=40 ，则 A= 度 . 解 析 ：
11、DE 是线段 BC 的垂直平分线， BE=CE ， B=BCE=40 ， CE 平分 ACB ， ACB=2BCE=80 ， A=180 -B -ACB=60 ， 答案 ： 60. 15.(3 分 )如图 .在正方形 ABCD 的边长为 3，以 A 为圆心， 2 为半径作圆弧 .以 D 为圆心， 3为半径作圆弧 .若图中阴影部分的面积分为 S1、 S2.则 S1-S2=_ . 解 析 ： S 正方形 =33=9 ， S 扇形 ADC= = ， S 扇形 EAF= = ， S 1-S2=S 扇形 EAF-(S 正方形 -S 扇形 ADC)= -(9- )= -9. 答案 ： -9. 16.(3
12、分 )对于平面直角坐标系中任意两点 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)，称 |x1-x2|+|y1-y2|为 P1、P2两点的直角距离，记作： d(P1， P2).若 P0(x0， y0)是一定点， Q(x， y)是直线 y=kx+b 上的一动点，称 d(P0， Q)的最小值为 P0到直线 y=kx+b 的直角距离 .令 P0(2， -3)， O为坐标原点 .则： (1)d(O， P0)= ； (2)若 P(a， -3)到直线 y=x+1 的直角距离为 6，则 a= . 解 析 ： (1)P 0(2， -3)， O 为坐标原点， d (O， P0)=|0-2|+|0-(-3)|=5.
13、 (2)P (a， -3)到直线 y=x+1 的直角距离为 6， 设直线 y=x+1 上一点 Q(x， x+1)，则 d(P， Q)=6， |a -x|+|-3-x-1|=6，即 |a-x|+|x+4|=6， 当 a-x0 ， x -4 时，原式 =a-x+x+4=6，解得 a=2； 当 a-x 0， x -4 时，原式 =x-a-x-4=6，解得 a=-10. 答案 ： 5； 2 或 -10. 三、每小题 9分，共 27 分 17.(9 分 )计算： +( -2014)0-2cos30 -( )-1. 解析： 本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分
14、别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =2 +1- -2 = -1. 18.(9 分 )解方程： - =1. 解析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： 去分母得： x2-3x+3=x2-x， 移项合并得： 2x=3， 解得： x= ， 经检验 x= 是分式方程的解 . 19.(9 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC，四边形 ADEF 是菱形，求证： BE=CE. 解析： 根据四边形 ADEF 是菱形，得 DE=EF， ABEF ， DEAC 可证明 DBEFCE ，即可得出 BE=CE. 答案
15、： 四边形 ADEF 是菱形， DE=EF ， ABEF ， DEAC ， C=BED ， B=CEF ， AB=AC ， B=C ， 在 DBE 和 FCE 中， ， DBEFCE ， BE=CE . 四、每小题 10分，共 30 分 20.(10 分 )在一个不透明的口袋里装有标号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球 . (1)下列说法： 摸一次，摸出 1 号球和摸出 5 号球的概率相同； 有放回的连续摸 10 次，则一定摸出 2 号球两次； 有放回的连续摸 4 次，则摸出四个球标号数字之和可能是 20. 其中正确的序号
16、是 . (2)若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是一奇一偶的概率 . 解析： (1) 摸一次， 1 号与 5 号球摸出概率相同，正确； 有放回的连续摸 10 次，不一定摸出 2 号球，错误； 有放回的连续摸 4 次，若 4 次均摸出 5 号球： 5+5+5+5=20，则摸出四个球标号数字之和可能是 20，正确； (2)列表得出所有等可能的情况数，找出两球标号数字是一奇一偶的情况数，即可求出所求的概率 . 答案： (1) 摸一次， 1 号与 5 号球摸出概率相同，正确； 有放回的连续摸 10 次，不一定摸出 2 号球，错误； 有放回的连续摸 4 次，若 4 次均摸出 5 号球： 5+5+5+
17、5=20，则摸出四个球标号数字之和可能是 20，正确； 故答案为： ； (2)列表如下： 所有等可能的情况有 20 种，其中数字是一奇一偶的情况有 12 种， 则 P(一奇一偶 )= = . 21.(10 分 )如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ， ADC=90 ， B=30 ， CEAB ，垂足为点 E.若 AD=1， AB=2 ，求 CE 的长 . 解析： 过点 A 作 AHBC 于 H，利用锐角三角函数关系得出 BH 的长，进而得出 BC 的长，再根据含 30 角的直角三角形的性质即可得出 CE 的长 . 答案： 过点 A 作 AHBC 于 H，则 AD=HC=1， 在 ABH 中
18、， B=30 ， AB=2 ， cos30= ， 即 BH=ABcos30=2 =3， BC=BH+HC=4 ， CEAB ， CE= BC=2. 选做题 22.(10 分 )已知 a 为大于 2 的整数，若关于 x 的不等式组 无解 . (1)求 a 的值； (2)化简并求 ( -1) 的值 . 解析： (1)首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解即可得到关于 a 的不等式从而求解； (2)首先对括号内的式子进行通分相减，然后进行同分母的分式的加法计算即可，最后代入a 的值计算即可 . 答案： (1)解不等式 2x-a0 得： x ， 不等式组 无解， 则 2， 解得： a 4， 又 a
19、为大于 2 的整数， a=3 ； (2)原式 = = =a+1. 当 a=3 时，原式 =3+1=4. 23.(10 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O.M为 AD 中点，连接 CM 交BD 于点 N，且 ON=1. (1)求 BD 的长； (2)若 DCN 的面积为 2，求四边形 ABNM 的面积 . 解析： (1)由四边形 ABCD 为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形 MND 与三角形 CNB 相似，由相似得比例，得到 DN： BN=1： 2，设 OB=OD=x，表示出 BN 与
20、 DN，求出 x 的值，即可确定出 BD 的长； (2)由相似三角形相似比为 1： 2，得到 CN=2MN， BN=2DN.已知 DCN 的面积，则由线段之比，得到 MND 与 CNB 的面积，从而得到 SABD =SBCD =SBC N+SCND ，最后由 S 四边形 ABNM=SABD -SMND 求解 . 答案： (1) 平行四边形 ABCD， ADBC ， AD=BC， OB=OD， DMN=BCN ， MDN=NBC ， MNDCNB ， = ， M 为 AD 中点， MD= AD= BC，即 = ， = ，即 BN=2DN， 设 OB=OD=x，则有 BD=2x， BN=OB+ON
21、=x+1， DN=x-1， x+1=2 (x-1)， 解得： x=3， BD=2x=6 ； (2)MNDCNB ，且相似比为 1： 2， MN ： CN=DN： BN=1： 2， S MND = SCND =1， SBNC =2SCND =4. S ABD =SBCD =SBCN +SCND =4+2=6 S 四边形 ABNM=SABD -SMND =6-1=5. 五、每小题 10分，共 20 分 24.(10 分 )某校一课外小组准备进行 “ 绿色环保 ” 的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下： 甲印刷社收费 y(元 )与印制数 x(张 )的函
22、数关系如下表： 乙印刷社的收费方式为： 500 张以内 (含 500 张 )，按每张 0.20 元收费；超过 500 张部分，按每张 0.10 元收费 . (1)根据表中规律，写出甲印刷社收费 y(元 )与印数 x(张 )的函数关系式； (2)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制 400 张宣传单，用去 65 元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (3)活动结束后，市民反映良好，兴趣小组决定再加印 800 张宣传单，若在甲、乙印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？ 解析： (1)设甲印刷社收费 y(元 )与印数 x(张 )的函数关系式为 y=kx+b，由待定系数法求出其解即可； (2)设
23、在甲印刷社印刷 a 张，则在乙印刷社印刷 (400-a)张，由总费用为 65 元建立方程求出其解即可； (3)分别计算在两家印刷社印刷的费用，比较大小就可以得出结论 . 答案： (1)设甲印刷社收费 y(元 )与印数 x(张 )的函数关系式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， y=0.15x . 甲印刷社收费 y(元 )与印数 x(张 )的函数关系式为 y=0.15x； (2)设在甲印刷社印刷 a 张，则在乙印刷社印刷 (400-a)张，由题意，得 0.15a+0.2(400-a)=65， 解得： a=300， 在乙印刷社印刷 400-300=100 张 . 答：在甲印刷社印刷 300
24、 张，在乙印刷社印刷 100 张； (3)由题意，得 在甲印刷社的费用为： y=0.15800=120 元 . 在乙印刷社的费用为： 5000.2+0.1 (800-500)=130 元 . 120 130， 印刷社甲的收费印刷社乙的收费 . 兴趣小组应选择甲印刷社比较划算 . 25.(10 分 )如图，一次函数 y=kx+b 的图象 l 与坐标轴分别交于点 E、 F，与双曲线 y=- (x 0)交于点 P(-1， n)，且 F 是 PE 的中点 . (1)求直线 l 的解析式； (2)若直线 x=a 与 l 交于点 A，与双曲线交于点 B(不同于 A)，问 a 为何值时， PA=PB？ 解析
25、： (1)先由 y=- ，求出点 P 的坐标，再根据 F为 PE 中点，求出 F 的坐标，把 P， F 的坐标代入求出直线 l 的解析式； (2)过 P 作 PDAB ，垂足为点 D，由 A 点的纵坐标为 -2a+2， B 点的纵坐标为 - ， D 点的纵坐标为 4，列出方程求解即可 . 答案： (1)由 P(-1， n)在 y=- 上，得 n=4， P (-1， 4)， F 为 PE 中点， OF= n=2， F (0， 2)， 又 P ， F 在 y=kx+b 上， ， 解得 . 直线 l 的解析式为： y=-2x+2. (2)如图，过 P 作 PDAB ，垂足为点 D， PA=PB ，
26、点 D 为 AB 的中点， 又由题意知 A 点的纵坐标为 -2a+2， B 点的纵坐标为 - ， D 点的纵坐标为 4， 得方程 -2a+2- =42 ， 解得 a1=-2， a2=-1(舍去 ). 当 a=-2 时， PA=PB. 六、 25题 12 分， 26 题 13 分，共 25分 26.(12 分 )如图， O 1与 O 2外切于点 D，直线 l 与两圆分别相切于点 A、 B，与直线 O1O2相交于点 M，且 tanAM0 1= ， MD=4 . (1)求 O 1的半径； (2)求 ADB 内切圆的面积； (3)在直线 l 上是否存在点 P，使 MO 2P 相似于 MDB ？若存在，
27、求出 PO2的长；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)设 O 1的半径为 r.连结 O1A，由切线性质可知 O1AMA .由题意得 AM0 1=30 ，因此 MAO 1是一个含 30 度角的直角三角形，所以 MO1=2O1A=2r，从而 MD=3r=4 ，由此求出 O 1的半径； (2)利用互余由 AM0 2=30 得到 MO 2B=60 ，则可判断 O 2BD 为等边三角形，所以BD=O2B=4 ， DBO 2=60 ，于是可计算出 ABD=30 ，同样可得 MO 1A=60 ，利用三角形外角性质可计算得 O 1AD= MO 1A=30 ，则 DAB=60 ，所以 ADB=90 ，在 R
28、tABD 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 AD= BD=4， AB=2AD=8，利用直角三角形内切圆的半径公式得到 ADB 内切圆的半径 = =2 -2，然后根据圆的面积公式求解； (3)先在 RtMBO 2中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 MB= O2B=12，然后分类讨论： MO 2P 与 MDB 有一个公共角，当 MO 2PMD B 时，利用相似比可计算出 O2P=8 ；当 MO 2PMBD 时，利用相似比可计算出 O2P=8. 答案： (1)设 O 1的半径为 r. 连结 O1A，如图， MA 为切线， O 1AMA . tanAM0 1= ， AM0 1=3
29、0 ， MO 1=2O1A=2r. MD=MO 1+O1D=3r=4 ， O 1的半径 r= . (2)连结 O1B，如图， AM0 2=30 ， MO 2B=60 ， 而 O2B=O2D， O 2BD 为等边三角形， BD=O 2B=4 ， DBO 2=60 ， ABD=30 ， AM0 1=30 ， MO 1A=60 ， 而 O1A=O1D， O 1AD=O 1DA， O 1AD= MO 1A=30 ， DAB=60 ， ADB=180 -30 -60=90 ， 在 RtABD 中， AD= BD=4， AB=2AD=8， ADB 内切圆的半径 = = =2 -2， ADB 内切圆的面积
30、= (2 -2)2=(16-8 ) ； (3)存在 . 在 RtMBO 2中， MB= O2B= 4 =12， 当 MO 2PMDB 时， = ，即 = ，解得 O2P=8 ； 当 MO 2PMBD 时， = ，即 = ，解得 O2P=8， 综上所述，满足条件的 O2P 的长为 8 或 8 . 27.(13 分 )如图，抛物线 y=x2-2mx(m 0)与 x 轴的另一个交点为 A，过 P(1， -m)作 PMx 轴于点 M，交抛物线于点 B.点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C. (1)若 m=2，求点 A 和点 C 的坐标； (2)令 m 1，连接 CA，若 ACP 为直角三角形，求 m
31、 的值； (3)在坐标轴上是否存在点 E，使得 PEC 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)令 y=0 即可求得 A 点坐标，令 x=1 求得 B点，根据对称轴的性质即可求得 C点的坐标 . (2)分别求出 PA、 PC、 AC 的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得 m 的值， (3)先求出 PC 的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线 PE 的斜率，然后求出解析式，分别求出与 x 轴的交点和与 y 轴的交点，从而求出 PE 的长，然后判断 PE2是否等于 PC2即可 . 答案： (1)若 m=2，抛物线 y=
32、x2-2mx=x2-4x， 对称轴 x=2， 令 y=0，则 x2-4x=0， 解得 x=0， x=4， A (4， 0)， P (1， -2)，令 x=1，则 y=-3， B (1， -3)， C (3， -3). (2) 抛物线 y=x2-2mx(m 0)， A (2m， 0)对称轴 x=m， P (1， -m) 令 x=1，则 y=1-2m， B (1， 1-2m)， C (2m-1， 1-2m)， PA 2=(-m)2+(2m-1)2=5m2-4m+1， PC2=(2m-2)2+(1-m)2=5m2-10m+5， AC2=1+(1-2m)2=2-4m+4m2， ACP 为直角三角形，
33、PA 2=PC2+AC2， 即 5m2-4m+1=5m2-10m+5+2-4m+4m2，整理得： 2m2-5m+6=0， 解得： m= ， m=1(舍去 )， 故 m= . (3)P (1， -m)， C(2m-1， 1-2m)，设直线 PC 的解析式为 y=kx+b， ，解得： k=- ， PEPC ， 直线 PE 的斜率 =2， 设直线 PE 为 y=2x+b ， -m=2+b ，解得 b= -2-m， 直线 PE： y=2x-2-m， 令 y=0，则 x=1+ ， E (1+ m， 0)， PE 2=(-m)2+( m)2= ， =5m2-10m+5，解得： m=2， m= ， E (2， 0)或 E( ， 0)， 在 x 轴上存在 E 点，使得 PEC 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，此时 E(2， 0)或 E( ，0)； 令 x=0，则 y=-2-m， E (0， -2-m) PE 2=(-2)2+12=5 5m 2-10m+5=5，解得 m=2， m=0(舍去 )， E (0， -4) y 轴上存在点 E，使得 PEC 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，此时 E(0， -4)， 在坐标轴上是存在点 E，使得 PEC 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形， E 点的坐标为(2， 0)或 ( ， 0)或 (0， -4).
