1、2014 年四川省凉山州中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题,满分 48 分 ) 1.(4 分 )在实数 , , 0, , , -1.414,有理数有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解 析 : , 0, , -1.414,是有理数, 答案 : D. 2.(4 分 )下列图形中, 1 与 2 是对顶角的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 : A.1 、 2 没有公共顶点,不是对顶角,故本选项错误; B.1 、 2 两边不互为反向延长线,不是对顶角,故本选项错误; C.1 、 2 有公共顶点,两边互为反向延长线,是对顶角,故本选项正确; D.1 、
2、2 两边不互为反向延长线,不是对顶角,故本选项错误; 答案 : C. 3.(4 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a a=a2 B. (-a)3=a3 C. (a2)3=a5 D. a0=1 解 析 : A、底数不变指数相加,故 A 正确; B、 (-a)3=-a3,故 B 错误; C、底数不变指数相乘,故 C 错误; D、 a=0 时错误,故 D 错误; 答案 : A. 4.(4 分 )某班数学学习小组某次测验成绩分别是 63, 72, 70, 49, 66, 81, 53, 92, 69,则这组数据的极差是 ( ) A. 47 B. 43 C. 34 D. 29 解 析 :这大值组数据
3、的最是 92,最小值是 49, 则这组数据的极差是 92-49=43; 答案 : B. 5.(4 分 )拦水坝横断面如图所示,迎水坡 AB 的坡比是 1: ,坝高 BC=10m,则坡面 AB 的长度是 ( ) A. 15m B. 20 m C. 10 m D. 20m 解 析 : RtABC 中, BC=10m, tanA=1: ; AC=BCtanA=10 m, AB= =20m. 答案 : D. 6.(4 分 )凉山州的人口约有 473 万人,将 473 万人用科学记数法表示应为 ( ) A. 47310 4人 B. 4.7310 6人 C. 4.710 6人 D. 47.310 5人 解
4、 析 : 473 万 =4 730 000=4.7310 6. 答案 : B. 7.(4 分 )如果两个相似多边形面积的比为 1: 5,则它们的相似比为 ( ) A. 1: 25 B. 1: 5 C. 1: 2.5 D. 1: 解 析 : 两个相似多边形面积的比为 1: 5, 它们的相似比为 1: . 答案 : D. 8.(4 分 )分式 的值为零,则 x 的值为 ( ) A. 3 B. -3 C. 3 D. 任意实数 解 析 :依题意,得 |x|-3=0 且 x+30 , 解得, x=3. 答案 : A. 9.(4 分 )下列图形中阴影部分的面积相等的是 ( ) A. B. C. D. 解
5、析 : :图中的函数为正比例函数,与坐标轴只有一个交点 (0, 0),由于缺少条件,无法求出阴影部分的面积; :直线 y=-x+2 与坐标轴的交点坐标为: (2, 0), (0, 2),故 S 阴影 = 22=2 ; :此函数是反比例函数,那么阴影部分的面积为: S= xy= 4=2 ; :该抛物线与坐标轴交于: (-1, 0), (1, 0), (0, -1),故阴影部分的三角形是等腰直角三角形,其面积 S= 21=1 ; 的面积相等, 答案 : A. 10.(4 分 )在 ABC 中,若 |cosA- |+(1-tanB)2=0,则 C 的度数是 ( ) A. 45 B. 60 C. 75
6、 D. 105 解 析 :由题意,得 cosA= , tanB=1, A=60 , B=45 , C=180 -A -B=180 -60 -45=75 . 答案 : C. 11.(4 分 )函数 y=mx+n 与 y= ,其中 m0 , n0 ,那么它们在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 解 析 : A、 函数 y=mx+n 经过第一、三、四象限, m 0, n 0, 0, 函数 y= 图象经过第二、四象限 . 与图示图象不符 . 故本选项错误; B、 函数 y=mx+n 经过第一、三、四象限, m 0, n 0, 0, 函数 y= 图象经过第二、四象限 . 与图示图象一
7、致 . 故本选项正确; C、 函数 y=mx+n 经过第一、二、四象限, m 0, n 0, 0, 函数 y= 图象经过第二、四象限 . 与图示图象不符 . 故本选项错误; D、 函数 y=mx+n 经过第二、三、四象限, m 0, n 0, 0, 函数 y= 图象经过第一、三象限 . 与图示图象不符 . 故本选项错误 . 答案 : B. 12.(4 分 )已知 O 的直径 CD=10cm, AB 是 O 的弦, AB=8cm,且 ABCD ,垂足为 M,则 AC的长为 ( ) A. cm B. cm C. cm 或 cm D. cm 或 cm 解 析 :连接 AC, AO, O 的直径 CD
8、=10cm, ABCD , AB=8cm, AM= AB= 8=4cm , OD=OC=5cm, 当 C 点位置如图 1 所示时, OA=5cm , AM=4cm, CDAB , OM= = =3cm, CM=OC+OM=5+3=8cm , AC= = =4 cm; 当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm, OC=5cm , MC=5 -3=2cm, 在 RtAMC 中, AC= = =2 cm. 答案 : C. 二、填空题 13.(4 分 )函数 y= + 中,自变量 x 的取值范围是 . 解 析 :由题意得, x+10 且 x0 , 解得 x -1 且 x0 . 答案 :
9、x -1 且 x0 . 14.(4 分 )顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 .学校的一块菱形花园两对角线的长分别是 6m 和 8m,则这个花园的面积为 . 解 析 :连接 AC、 BD, 在 ABD 中, AH=HD , AE=EB EH= BD, 同理 FG= BD, HG= AC, EF= AC, 又 在矩形 ABCD 中, AC=BD, EH=HG=GF=FE , 四边形 EFGH 为菱形; 这个花园的面积是 6m8m=24m 2, 答案 : 菱形, 24m2. 15.(4 分 )已知 x1= + , x2= - ,则 x12+x22= . 解 析 : x 1= + , x2= -
10、, x 12+x22 =(x1+x2)2-2x1x2 =( + + - )2-2( + )( - ) =12-2 =10. 答案 : 10. 16.(4 分 )已知直角三角形的两边的长分别是 3 和 4,则第三边长为 . 解 析 : 长为 3 的边是直角边,长为 4 的边是斜边时: 第三边的长为: = ; 长为 3、 4 的边都是直角边时: 第三边的长为: =5; 综上,第三边的长为: 5 或 . 答案 : 5 或 . 17.(4 分 )“ 服务社会,提升自我 .” 凉山州某学校积极开展志愿者服务活动,来自九年级的5 名同学 (三男两女 )成立了 “ 交通秩序维护 ” 小分队 .若从该小分队任
11、选两名同学进行交通秩序维护,则恰是一男一女的概率是 _ . 解 析 :根据题意画出树状图如下: 一共有 20 种情况,恰好是一男一女的有 12 种情况, 所以, P(恰好是一男一女 )= = . 答案 : . 三、解答题 18.(6 分 )计算: ( )-2-6sin30 -( )0+ +| - | 解析: 先算负指数幂,特殊角的三角函数值, 0 指数幂,以及绝对值,再算乘法,最后算加减,由此顺序计算即可 . 答案: 原式 =4-6 -1+ - + =4-3-1+ = . 19.(6 分 )先化简,再求值: (a+2- ),其中 a2+3a-1=0. 解析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式
12、的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,已知方程变形后代入计算即可求出值 . 答案: 原式 = = = , 当 a2+3a-1=0,即 a2+3a=1 时,原式 = . 四、解答题 20.(8 分 )州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况,随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据检测了两幅统计图,下面给出了两幅不完整的统计图 (如图 ) 请根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)a= %,并写出该扇形所对圆心角的度数为 ,请补全条形图 . (2)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少? (3)如果该县共有八年级学生 2000 人,
13、请你估计 “ 活动时间不少于 7 天 ” 的学生人数大约有多少人? 解析: (1)根据各部分所占的百分比的和等于 1 列式计算即可求出 a,再用 360 乘以所占的百分比求出所对圆心角的度数,然后用被抽查的学生人数乘以 8 天所占百分比求出 8 天的人数,补全条形统计图即可; (2)用众数和中位数的定义解答; (3)用总人数乘以 “ 活动时间不少于 7 天 ” 的百分比,计算即可得解 . 答案: (1)a=1-(40%+20%+25%+5%)=1-90%=10%, 所对的圆心角度数 =36010%=36 , 被抽查的学生人数: 24040%=600 人, 8 天的人数: 60010%=60 人
14、, 补全统计图如图所示: 故答案为: 10, 36 ; (2)参加社会实践活动 5 天的人数最多, 所以,众数是 5 天, 600 人中,按照参加社会实践活动的天数从少到多排列,第 300 人和 301 人都是 6 天, 所以,中位数是 6 天; (3)2000 (25%+10%+5%)=200040%=800 人 . 21.(8 分 )如图,分别以 RtABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 ACD 及等边 ABE .已知BAC=30 , EFAB ,垂足为 F,连接 DF. (1)试说明 AC=EF; (2)求证:四边形 ADFE 是平行四边形 . 解析: (1)首先 RtABC
15、 中,由 BAC=30 可以得到 AB=2BC,又因为 ABE 是等边三角形,EFAB ,由此得到 AE=2AF,并且 AB=2AF,然后即可证明 AFEBCA ,再根据全等三角形的性质即可证明 AC=EF; (2)根据 (1)知道 EF=AC,而 ACD 是等边三角形,所以 EF=AC=AD,并且 ADAB ,而 EFAB ,由此得到 EFAD ,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形 ADFE 是平行四边形 . 答案: (1)RtABC 中, BAC=30 , AB=2BC , 又 ABE 是等边三角形, EFAB , AB=2AF AF=BC , 在 RtAFE 和 RtBCA 中,
16、, AFEBCA (HL), AC=EF ; (2)ACD 是等边三角形, DAC=60 , AC=AD, DAB=DAC+BAC=90 又 EFAB , EFAD , AC=EF , AC=AD, EF=AD , 四边形 ADFE 是平行四边形 . 22.(8 分 )实验与探究: 三角点阵前 n 行的点数计算 如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有 1 个点,第二行有 2 个点 第n 行有 n 个点 容易发现, 10 是三角点阵中前 4 行的点数的和,你能发现 300 是前多少行的点数的和吗? 如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现 1+2+3+4+23
17、+24=300 .得知 300 是前 24 行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前 n 行的点数的和与 n 的数量关系 前 n 行的点数的和是 1+2+3+ (n-2)+(n-1)+n,可以发现 . 21+2+3+ (n-2)+(n-1)+n =1+2+3+ (n-2)+(n-1)+n+n+(n-1)+(n-2)+3+2+1 把两个中括号中的第一项相加,第二项相加 第 n 项相加,上式等号的后边变形为这 n 个小括号都等于 n+1,整个式子等于 n(n+1),于是得到 1+2+3+ (n-2)+(n-1)+n= n(n+1) 这就是说,三角点阵中前 n 项的点数的和是 n(n+
18、1) 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中前 n 行的点数的和为 300,则有 n(n+1) 整理这个方程,得: n2+n-600=0 解方程得: n1=24, n2=-25 根据问题中未知数的意义确定 n=24,即三角点阵中前 24 行的点数的和是 300. 请你根据上述材料回答下列问题: (1)三角点阵中前 n 行的点数的和能是 600 吗?如果能,求出 n;如果不能,试用一元二次方程说明道理 . (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成 2、 4、 6、 、 2n、 ,你能探究出前 n行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前 n 行的点数的和能是 600 吗?如果能,求
19、出 n;如果不能,试用一元二次方程说明道理 . 解析: (1)由于第一行有 1 个点,第二行有 2 个点 第 n 行有 n个点 ,则前 n行共有(1+2+3+4+5+n )个点,然后求它们的和,前 n 行共有 个点,则 =600,然后解 方程得到 n 的值; (2)根据 2+4+6+2n=2 (1+2+3+n )=2 个进而得出规律;根据规律可得n(n+1)=600,求 n 的值即可 . 答案: (1)由题意可得: =600, 整理得 n2+n-1200=0, 此方程无正整数解, 所以,三角点阵中前 n 行的点数的和不可能是 600; (2)由题意可得: 2+4+6+2n=2 (1+2+3+n
20、 )=2 =n(n+1); 依题意,得 n(n+1)=600, 整理得 n2+n-600=0, (n+25)(n-24)=0, n 1=-25, n2=24, n 为正整数, n=24 . 故 n 的值是 24. 五、解答题 23.(8 分 )如图所示,正方形网格中, ABC 为格点三角形 (即三角形的顶点都在格点上 ). (1)把 ABC 沿 BA 方向平移后,点 A 移到点 A1,在网格中画出平移后得到的 A 1B1C1; (2)把 A 1B1C1绕点 A1按逆时针方向旋转 90 ,在网格中画出旋转后的 A 1B2C2; (3)如果网格中小正方形的边长为 1,求点 B 经过 (1)、 (2
21、)变换的路径总长 . 解析: (1)利用平移的性质画图,即对应点都移动相同的距离; (2)利用旋转的性质画图,对应点都旋转相同的角度; (3)利用弧长公式求点 B 经过 (1)、 (2)变换的路径总长 . 答案: (1)连接 AA1,然后从 C 点作 AA1的平行线且 AA1=CC1. 同理找到点 B. (2)画图如下: (3)B 经过 (1)、 (2)变换的路径如图红色部分所示: , 弧 B1B2的长 = , 故点 B 所走的路径总长 = . 24.(8 分 )我州某校计划购买甲、乙两种树苗共 1000 株用以绿化校园,甲种树苗每株 25 元,乙种树苗每株 30 元,通过调查了解,甲,乙两种
22、树苗成活率分别是 90%和 95%. (1)若购买这种树苗共用去 28000 元,则甲、乙两种树苗各购买多少株? (2)要使这批树苗的总成活率不低于 92%,则甲种树苗最多购买多少株? (3)在 (2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低?并求出最低费用 . 解析: (1)设购甲种树苗 x 株,乙种树苗 y 株,根据两种树苗总数为 1000 株及购买两种树苗的总价为 28000 元建立方程组求出其解即可; (2)购买甲种树苗 a 株,则购买乙种树苗 (1000-a)株,由这批树苗的总成活率不低于 92%建立不等式求出其解即可; (3)设购买树苗的总费用为 W 元,根据总费用 =两种
23、树苗的费用之和建立解析式,由一次函数的性质求出结论 . 答案: (1)设购甲种树苗 x 株,乙种树苗 y 株,由题意,得 , 解得: . 答:购甲种树苗 400 株,乙种树苗 600 株; (2)购买甲种树苗 a 株,则购买乙种树苗 (1000-a)株,由题意,得 90%a+95%(1000-a)92%1000 , 解得: a600 . 答:甲种树苗最多购买 600 株; (3)设购买树苗的总费用为 W 元,购买甲种树苗 a 株,由题意,得 W=25a+30(1000-a)=-5a+30000. k= -5 0, W 随 a 的增大而减小, 0 a600 , 当 a=600 时, W 最小 =
24、27000 元 . 购买甲种树苗 600 株,乙种树苗 400 株时总费用最低,最低费用为 27000 元 . 六、填空题 25.(5 分 )关于 x 的方程 =-1 的解是正数,则 a 的取值范围是 . 解析: 根据解分式方程的步骤,可得分式方程的解,根据分式方程的解是正数,可得答案 . 答案: =-1, 解得 x= , =-1 的解是正数, x 0 且 x2 , 即 0 且 2 , 解得 a -1 且 a - . 故答案为: a -1 且 a - . 26.(5 分 )如图,圆柱形容器高为 18cm,底面周长为 24cm,在杯内壁离杯底 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯
25、外壁,离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁从外壁A 处到达内壁 B 处的最短距离为 cm. 解析: 将杯子侧面展开,建立 A 关于 EF 的对称点 A ,根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求 . 答案: 如图: 将杯子侧面展开,作 A 关于 EF 的对称点 A , 连接 AB ,则 AB 即为最短距离, AB= = =20(cm). 故答案为: 20. 七、解答题 27.(8 分 )已知:如图, P 是 O 外一点,过点 P 引圆的切线 PC(C 为切点 )和割线 PAB,分别交 O 于 A、 B,连接 AC, BC. (1)求证: PCA=PBC ; (2)利用 (1)
26、的结论,已知 PA=3, PB=5,求 PC 的长 . 解析: (1)连结 OC, OA,先根据等腰三角形的性质得出 ACO=CAO ,再由 PC 是 O 的切线,C 为切点得出 PCO=90 , PCA+ACO=90 ,在 AOC 中根据三角形内角和定理可知ACO+CAO+AOC=180 ,由圆周角定理可知 AOC=2PBC ,故可得出 ACO+PBC=90 ,再根据 PCA+ACO=90 即可得出结论; (2)先根据相似三角形的判定定理得出 PACPCB ,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论 . 答案: (1)连结 OC, OA, OC=OA , ACO=CAO , PC 是 O 的切
27、线, C 为切点, PCOC , PCO=90 , PCA+ACO=90 , 在 AOC 中, ACO+CAO+AOC=180 , AOC=2PBC , 2ACO+2PBC=180 , ACO+PBC=90 , PCA+ACO=90 , PCA=PBC ; (2)PCA=PBC , CPA=BPC , PACPCB , = , PC 2=PA PB, PA=3 , PB=5, PC= = . 28.(12 分 )如图 ,在平面直角坐标中,点 A 的坐标为 (1, -2),点 B 的坐标为 (3, -1),二次函数 y=-x2的图象为 l1. (1)平移抛物线 l1,使平移后的抛物线经过点 A,
28、但不过点 B. 满足此条件的函数解析式有 个 . 写出向下平移且经点 A 的解析式 . (2)平移抛物线 l1,使平移后的抛物线经过 A, B 两点,所得的抛物线 l2,如图 ,求抛物线l2的函数解析式及顶点 C 的坐标,并求 ABC 的面积 . (3)在 y 轴上是否存在点 P,使 SABC =SABP ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 . 解析: (1) 根据实际情况可以直接写出结果; 设平移以后的二次函数解析式是: y=-x2+c,把 (1, -2)代入即可求得 c 的值,得到函数的解析式; (2)利用待定系数法即可求得函数的解析式; (3)过点 A、 B、 C 三点分
29、别作 x 轴的垂线,垂足分别为 D、 E、 F,求得 ABC 的面积,然后分当点 P 位于点 G 的下方和上方两种情况进行讨论求解 . 答案: (1) 满足此条件的函数解析式有无数个; 设平移以后的二次函数解析式是: y=-x2+c,把 A(1, -2)代入得: -1+c=-2, 解得: c=-1, 则函数的解析式是: y=-x2-1; (2)设 l2的解析式是 y=-x2+bx+c, l 2经过点 A(1, -2)和 B(3, -1), 根据题意得: , 解得: , 则 l2的解析式是: y=-x2+ x- , 则顶点 C 的坐标是 ( , - ). (3)过点 A、 B、 C 三点分别作
30、x 轴的垂线,垂足分别为 D、 E、 F,则 AD=2, CF= , BE=1,DE=2, DF= , FE= . 得: SABC =S 梯形 ABED-S 梯形 BCFE-S 梯形 ACFD= . 延长 BA 交 y 轴于点 G,直线 AB 的解析式为 y= x- ,则点 G的坐标为 (0, - ),设点 P的坐标为 (0, h) 当点 P 位于点 G 的下方时, PG=- -h,连结 AP、 BP,则 SABP =SBPG -SAPG =- -h, 又 S ABC =SABP = ,得 h=- ,点 P 的坐标为 (0, - ). 当点 P 位于点 G 的上方时, PG= +h,同理得 h=- ,点 P 的坐标为 (0, - ). 综上所述所求点 P 的坐标为 (0, - )或 (0, - )