1、2014 年四川省宜宾市中考真题 数学 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 . 1.(3 分 )2 的倒数是 ( ) A. B.- C. D.2 解析： 2 的倒数是 答案： A. 2.(3 分 )下列运算的结果中，是正数的是 ( ) A.(-2014) 1 B.-(2014) 1 C.(-1) (-2014) D.(-2014)2014 解析： A、原式 = 0，故 A 错误； B、原式 = 0，故 B 错误； C、原式 =12014=2014 0，故 C 正确； D、原式 = 20142014= 1 0，故 D 错误； 答案： C. 3.(3 分 )如图 1 放置的一
2、个机器零件，若其主 (正 )视图如图 2，则其俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从上面看可得到左右相邻的 3 个矩形 . 答案： D. 4.(3 分 )一个袋子中装有 6 个黑球 3 个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 6 个黑球 3 个白球一共有 9 个球，所以摸到白球的概率是 . 答案： B. 5.(3 分 )若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1， x2=2，则这个方程是 ( ) A. x2+3x-2=0 B. x2-3x+2=0 C. x2
3、-2x+3=0 D. x2+3x+2=0 解析： 两个根为 x1=1， x2=2 则两根的和是 3，积是 2. A、两根之和等于 -3，两根之积却等于 -2，所以此选项不正确 . B、两根之积等于 2，两根之和等于 3，所以此选项正确 . C、两根之和等于 2，两根之积却等 3，所以此选项不正确 . D、两根之和等于 -3，两根之积等于 2，所以此选项不正确 . 答案： B. 6.(3 分 )如图，过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B，则这个一次函数的解析式是 ( ) A. y=2x+3 B. y=x-3 C. y=2x-3 D. y=-x+3 解析： B 点在
4、正比例函数 y=2x 的图象上，横坐标为 1 y=21=2 B (1， 2) 设一次函数解析式为： y=kx+b 过点 A 的一次函数的图象过点 A(0， 3)，与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B(1， 2) 可得出方程组 解得 则这个一次函数的解析式为 y=-x+3 答案： D. 7.(3 分 )如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1， A2， A n分别是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是 ( ) A. n B. n-1 C.( )n 1 D.n 解析： 由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 4=1 ， 5 个这样的正方形重叠
5、部分 (阴影部分 )的面积和为： 14 ， n 个这样的正方形重叠部分 (阴影部分 )的面积和为： 1 (n-1)=n-1. 答案： B. 8.(3 分 )已知 O 的半径 r=3，设圆心 O 到一条直线的距离为 d，圆上到这条直线的距离为 2的点的个数为 m，给出下列命题： 若 d 5，则 m=0； 若 d=5，则 m=1； 若 1 d 5，则 m=3； 若 d=1，则 m=2； 若 d 1，则 m=4. 其中正确命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 解析： 若 d 5 时，直线与圆相离，则 m=0，正确； 若 d=5 时，直线与圆相切，则 m=1，故正确； 若 1
6、d 5，则 m=3，正确； 若 d=1 时，直线与圆相交，则 m=2 正确； 若 d 1 时，直线与圆相交，则 m=2，故错误 . 答案： C. 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 . 9.(3 分 )分解因式： x3 x= _. 解析： x3-x， =x(x2-1)， =x(x+1)(x-1). 答案： x(x+1)(x-1) 10.(3 分 )分式方程 =1 的解是 _ . 解析： 去分母得： x(x+2)-1= x2-4， 整理得： x2+2x-1= x2-4， 移项合并得： 2x=-3 解得： x=-1.5， 经检验 x=-1.5 是分式方程的解 . 答案： x=
7、-1.5 11.(3 分 )如图，直线 a、 b 被第三条直线 c 所截，如果 ab ， 1=70 ，那么 3 的度数是 _ . 解析： ab 2=1=70 3=2=70 答案： 70 12.(3 分 )菱形的周长为 20cm，两个相邻的内角的度数之比为 1： 2，则较长的对角线长度是_ cm. 解析： 菱形的周长为 20cm 菱形的边长为 5cm 两邻角之比为 1： 2 较小角为 60 画出图形如下所示： ABO=30 ， AB=5cm， 最长边为 BD， BO=ABcosABO=5 = BD=2BO= . 答案： . 13.(3 分 )在平面直角坐标系中，将点 A(-1， 2)向右平移 3
8、 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是 _ . 解析： 点 A(-1， 2)向右平移 3 个单位长度得到的 B 的坐标为 (-1+3， 2)，即 (2， 2)， 则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是 (2， -2)， 答案： (2， -2). 14.(3 分 )如图，在 RtABC 中， B=90 ， AB=3， BC=4，将 ABC 折叠，使点 B 恰好落在边AC 上，与点 B 重合， AE 为折痕，则 EB= _ . 解析： 根据折叠可得 BE=EB ， AB=AB=3 设 BE=EB=x ，则 EC=4-x B=90 ， AB=3， BC=4 在 R
9、tABC 中，由勾股定理得， BC=5 -3=2 在 RtBEC 中，由勾股定理得， x2+22=(4-x)2 解得 x=1.5 答案： 1.5. 15.(3 分 )如图，已知 AB 为 O 的直径， AB=2， AD 和 BE 是圆 O 的两条切线， A、 B为切点，过圆上一点 C 作 O 的切线 CF，分别交 AD、 BE 于点 M、 N，连接 AC、 CB，若 ABC=30 ，则AM= _ . 解析： 连接 OM， OC OB=OC ，且 ABC=30 BCO=ABC=30 AOC 为 BOC 的外角 AOC=2ABC=60 MA ， MC 分别为圆 O 的切线 MA=MC ，且 MAO
10、=MCO=90 在 RtAOM 和 RtCOM 中 RtAOMRtCOM (HL) AOM=COM= AOC=30 在 RtAOM 中， OA= AB=1， AOM=30 tan30= ，即 = 解得： AM= 答案： . 16.(3 分 )规定： sin( x)= sinx， cos( x)=cosx， sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny. 据此判断下列等式成立的是 _ (写出所有正确的序号 ) cos ( 60 )=- ； sin75= ； sin2x=2sinxcosx ； sin (x-y)=sinxcosy-cosxsiny. 解析： cos (-60 )=cos6
11、0= ，命题错误； sin75=sin (30+45 )=sin30cos45+cos30sin45= + = += ，命题正确； sin2x=sinxcosx+cosxsinx2sinxcosx ，故命题正确； sin (x-y)=sinxcos(-y)+cosxsin(-y)=sinxcosy-cosxsiny，命题正确 . 答案： . 三、解答题 (共 8 小题，满分 72 分 )解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(10 分 )(1)计算： |-2|-(- )0+( ) 1 (2)化简： ( - ) . 解析： (1)分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的
12、性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； (2)根据分式混合运算的法则进行计算即可 . 答案： (1)原式 =2-1+3=4 (2)原式 = = = =2a+12 18.(6 分 )如图，已知：在 AFD 和 CEB 中，点 A、 E、 F、 C 在同一直线上， AE=CF， B=D ，ADBC .求证： AD=BC. 解析： 根据平行线求出 A=C ，求出 AF=CE，根据 AAS 证出 ADFCBE 即可 . 答案： ADBC A=C AE=CF AE+EF=CF+EF 即 AF=CE 在 ADF 和 CBE 中 ADFCBE (AAS) AD=BC 19.(8 分 )我市中
13、小学全面开展 “ 阳光体育 ” 活动，某校在大课间中开设了 A：体操， B：跑操， C：舞蹈， D：健美操四项活动，为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 _ 人 . (2)请将统计图 2 补充完整 . (3)统计图 1 中 B 项目对应的扇形的圆心角是 _ 度 . (4)已知该校共有学生 3600 人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数 . 解析： (1)利用 C 的人数 所占百分比可得被调查的学生总数； (2)利用总人数减去其它各项的人数 =A 的人数，再补图即可；
14、(3)计算出 B 所占百分比，再用 360B 所占百分比可得答案； (4)首先计算出样本中喜欢健美操的学生所占百分比，再利用样本估计总体的方法计算即可 . 答案： (1)14028%=500 (人 ) 故答案为： 500； (2)A 的人数： 500 75 140 245=40； (3)75500100%=15% 36015%=54 故答案为： 54； (4)245500100%=49% 360049%=1764 (人 ). 20.(8 分 )在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有 20 道题 .每一题答对得 5 分，答错或不答都扣 3 分 . (1)小李考了 60 分，那么小李答对了多少道题？
15、 (2)小王获得二等奖 (75 85 分 )，请你算算小王答对了几道题？ 解析： (1)设小李答对了 x 道题，则有 (20-x)道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是 60 分，即可得到一个关于 x 的方程，解方程即可求解； (2)先设小王答对了 y 道题，根据二等奖在 75 分 85 分之间，列出不等式组，求出 y 的取值范围，再根据 y 只能取正整数，即可得出答案 . 答案： (1)设小李答对了 x 道题 依题意得 5x 3(20 x)=60 解得 x=15 答：小李答对了 16 道题 . (2)设小王答对了 y 道题，依题意得： 解得： y ，即 y 是正整数 y
16、=17 或 18 答：小王答对了 17 道题或 18 道题 . 21.(8 分 )在平面直角坐标系中，若点 P(x， y)的坐标 x、 y 均为整数，则称点 P 为格点，若一个多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L，例如图中 ABC是格点三角形，对应的 S=1， N=0， L=4. (1)求出图中格点四边形 DEFG 对应的 S， N， L. (2)已知格点多边形的面积可表示为 S=N+aL+b，其中 a， b 为常数，若某格点多边形对应的N=82， L=38，求 S 的值 . 解析： (1)理解题意，观察图形，即可求得结论； (2)根据格点多边形的面积 S=N+
17、aL+b，结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG，建立方程组，求出 a， b 即可求得 S. 答案： (1)观察图形，可得 S=3， N=1， L=6； (2)根据格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 中的 S、 N、 L 的值可得 解得 a S=N+ L-1 将 N=82， L=38 代入可得 S=82+ 38 -1=100. 22.(10 分 )如图，一次函数 y=-x+2 的图象与反比例函数 y=- 的图象交于 A、 B 两点，与 x轴交于 D 点，且 C、 D 两点关于 y 轴对称 . (1)求 A、 B 两点的坐标； (2)求 ABC 的面积 . 解析： (1)根
18、据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组 ，然后解方程组即可得到 A、 B 两点的坐标； (2)先利用 x 轴上点的坐标特征确定 D 点坐标，再利用关于 y 轴对称的点的坐标特征得到 C点坐标，然后利用 SABC =SACD +SBCD 进行计算 . 答案： (1)根据题意得 ，解方程组得 或 ， 所以 A 点坐标为 (-1， 3)， B 点坐标为 (3， -1)； (2)把 y=0 代入 y=-x+2 得 x+2=0，解得 x=2， 所以 D 点坐标为 (2， 0)， 因为 C、 D 两点关于 y 轴对称， 所以 C 点坐标为 (-2， 0)， 所以 SABC =SACD +SBCD =
19、(2+2)3+ (2+2)1 =8 23.(10 分 )如图，在 ABC 中，以 AC 为直径作 O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D是 BC 中点， DEAB ，垂足为 E，交 AC 的延长线于点 F. (1)求证：直线 EF 是 O 的切线； (2)若 CF=5， cosA= ，求 BE 的长 . 解析： (1)连结 OD.先证明 OD是 ABC 的中位线，根据中位线的性质得到 ODAB ，再由 DEAB ，得出 ODEF ，根据切线的判定即可得出直线 EF 是 O 的切线； (2)先由 ODAB ，得出 COD=A ，再解 RtDOF ，根据余弦函数的定义得到 cosFOD
20、= =，设 O 的半径为 R，解方程 = ，求出 R= ，那么 AB=2OD= ，解 RtAEF ，根据余弦函数的定义得到 cosA= = ，求出 AE= ，然后由 BE=AB-AE 即可求解 . 答案： (1)如图，连结 OD CD=DB ， CO=OA OD 是 ABC 的中位线 ODAB ， AB=2OD DEAB DEOD ，即 ODEF 直线 EF 是 O 的切线 (2)ODAB COD=A 在 RtDOF 中， ODF=90 cosFOD= = 设 O 的半径为 R，则 = 解得 R= AB=2OD= 在 RtAEF 中， AEF=90 cosA= = = AE= ， BE=AB
21、-AE= - =2 24.(12 分 )如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的顶点坐标为 M(0， 1)，与 x 轴交于 A、 B 两点 . (1)求抛物线的解析式； (2)判断 MAB 的形状，并说明理由； (3)过原点的任意直线 (不与 y 轴重合 )交抛物线于 C、 D 两点，连接 MC， MD，试判断 MC、 MD是否垂直，并说明理由 . 解析： (1)待定系数法即可解得 . (2)由抛物线的解析式可知 OA=OB=OC=1，得出 AMO=MAO=BMO=BOM=45 从而得出MAB 是等腰直角三角形 . (3)分别过 C 点， D 点作 y 轴的平行线，交 x 轴于 E、 F，过
22、M 点作 x 轴的平行线交 EC 于 G，交 DF 于 H，设 D(m， m2-1)， C(n， n2-1)，通过 FGDH ，得出 = ，从而求得 m、 n的关系，根据 m、 n 的关系，得出 CGMMHD ，即可求得结论 . 答案： (1) 抛物线 y=x2+bx+c 的顶点坐标为 M(0， -1) b=0 ， c=-1 抛物线的解析式为： y=x2-1 (2)MAB 是等腰直角三角形， 由抛物线的解析式为： y=x2-1 可知 A(-1， 0)， B(1， 0) OA=OB=OC=1 AMO=MAO=BMO=BOM=45 AMB=AMO+BMO=90 y 轴是对称轴 A 、 B 为对称点 AM=BM MAB 是等腰直角三角形 (3)MCMF 分别过 C 点， D 点作 y 轴的平行线，交 x 轴于 E、 F，过 M点作 x轴的平行线交 EC于 G，交DF 于 H 设 D(m， m2-1)， C(n， n2-1)， OE= n， CE=1-n2， OF=m， DF=m2-1 OM=1 CG=n 2， DH=m2 FGDH = 即 = 解得 m=- = =-n， = = = CGM=MHD=90 CGMMHD CMG=MDH MDH+DMH=90 CMG+DMH=90 CMD=90 即 MCMF .
