1、2014 年四川省广安市中考 真题 数学 一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将正确选项填涂到机读卡上相应的位置 (本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 1.(3 分 )- 的相反数是 ( ) A. B. - C. 5 D. -5 解 析 ： - 的相反数是 . 答案 ： A. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (-a2) a3=-a6 B. x6x 3=x2 C. | -3|= -3 D. (a2)3=a6 解 析 ： A、 (-a2)a3=-a5，故本选项错误； B、 x6x 3=x3，故本选项错误； C、 | -3|=3- ，故
2、本选项错误； D、 (a2)3=a6，故本选项正确 . 答案 ： D. 3.(3 分 )参加广安市 2014 年高中阶段教育学生招生考试的学生大约有 4.3 万人，将 4.3 万人用科学记数法表示应为 ( ) A. 4.310 4人 B. 4310 5人 C. 0.4310 5人 D. 4.310 5人 解 析 ： 4.3 万 =4 3000=4.310 4， 答案 ： A. 4.(3 分 )我市某校举办 “ 行为规范在身边 ” 演讲比赛中， 7 位评委给其中一名选手的评分 (单位：分 )分别为： 9.25， 9.82， 9.45， 9.63， 9.57， 9.35， 9.78.则这组数据的中
3、位数和平均数分别是 ( ) A. 9.63 和 9.54 B. 9.57 和 9.55 C. 9.63 和 9.56 D. 9.57 和 9.57 解 析 ：这组数据按照从小到大的顺序排列为： 9.25， 9.35， 9.45， 9.57， 9.63， 9.78， 9.82， 则中位数为： 9.57， 平均数为： =9.55. 答案 ： B. 5.(3 分 )要使二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x= B. x C. x D. x 解 析 ：由题意得： 5x-30 ， 解得： x ， 答案 ： C. 6.(3 分 )下列说法正确的是 ( ) A. 为了了解全国中
4、学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式 B. 若甲组数据的方差 s =0.03，乙组数据的方差是 s =0.2，则乙组数据比甲组数据稳定 C. 广安市明天一定会下雨 D. 一组数据 4、 5、 6、 5、 2、 8 的众数是 5 解 析 ： A.了解全国中学生每天体育锻炼的时间，由于人数较多，应当采用抽样调查，故本选项错误； B.甲的方差小于乙的方差所以甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误； C.广安市明天会不会下雨不确定，故本选项错误； D.数据 4、 5、 6、 5、 2、 8 中 5 的个数最多，所以众数为 5，故本项正确 . 答案 ： D. 7.(3 分 )如图所示的几何体的俯视图是
5、 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：该几何体的俯视图为： . 答案 ： D. 8.(3 分 )如图，一次函数 y1=k1x+b(k1、 b 为常数，且 k10 )的图象与反比例函数 y2= (k2为常数，且 k20 )的图象都经过点 A(2， 3).则当 x 2 时， y1与 y2的大小关系为 ( ) A. y1 y2 B. y1=y2 C. y1 y2 D. 以上说法都不对 解 析 ： 两图象都经过点 A(2， 3)， 根据图象当 x 2 时， y1 y2， 答案 ： A. 9.(3 分 )如图，在 ABC 中， AC=BC，有一动点 P 从点 A 出发，沿 ACBA 匀速运动 .则
6、CP 的长度 s 与时间 t 之间的函数关系用图象描述大致是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D. 在 ABC 中， AC=BC， AD=BD . 点 P 在边 AC 上时， s 随 t 的增大而减小 .故 A、 B 错误； 当点 P 在边 BC 上时， s 随 t 的增大而增大； 当点 P 在线段 BD 上时， s 随 t 的增大而减小，点 P 与点 D 重合时， s 最小，但是不等于零 .故 C 错误； 当点 P 在线段 AD 上时， s 随 t 的增大而增大 .故 D 正确 . 答案 ： D. 10.(3 分 )如图，矩形 ABCD 的长为
7、6，宽为 3，点 O1为矩形的中心， O 2的半径为 1， O1O2AB于点 P， O1O2=6.若 O 2绕点 P 按顺时针方向旋转 360 ，在旋转过程中， O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 解 析 ：如图， O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现 4 次， 答案 ： B. 二、填空题：请把最简答案直接填写在题目后的横线上 (本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18分 ) 11.(3 分 )直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位，则平移后直线与 y 轴的交点坐标为 . 解 析 ：直线直线 y
8、=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位可得 y=3x+2-5， 即 y=3x-3， 则平移后直线与 y 轴的交点坐标为： (0， -3). 答案 ： (0， -3). 12.(3 分 )分解因式： my2-9m= . 解 析 ： my2-9m=m(y2-9)=m(y+3)(y-3). 答案 ： m(y+3)(y-3). 13.(3 分 )化简 (1- ) 的结果是 . 解 析 ：原式 = =x-1. 答案 ： x-1. 14.(3 分 )若 的补角为 7628 ，则 = . 解 析 ： 的补角为 7628 ， =180 -7628=10332 ， 答案 ： 10332 . 15.(3 分
9、)一个多边形的内角和比四边形内角和的 3 倍多 180 ，这个多边形的边数是 . 解 析 ：设这个多边形的边数是 n，由题意得， (n-2)180=3603+180 解得 n=9. 答案 ： 9. 16.(3 分 )如图，在直角梯形 ABCD 中， ABC=90 ，上底 AD 为 ，以对角线 BD 为直径的O 与 CD 切于点 D，与 BC 交于点 E，且 ABD 为 30 .则图中阴影部分的面积为 _ (不取近似值 ). 解 析 ：连接 OE，过点 O 作 OFBE 于点 F. ABC=90 ， AD= ， ABD 为 30 ， BD=2 ， AB=3 ， OB=OE ， DBC=60 ，
10、OFBE ， OF= ， CD 为 O 的切线， BDC=90 ， C=30 ， BC=4 ， S 阴影 =S 梯形 ABCD-SABD -SOBE -S 扇形 ODE = - - - = - - - = - . 答案 ： - . 三、解答题 (本大题共 4 个小题，第 17小题 5分，第 18、 19、 20 小题各 6分，共 23 分 ) 17.(5 分 ) +(- )-1+( -5)0- cos30 . 解析： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案： 原式 =4-2+1- =4-2+
11、1- = . 18.(6 分 )解不等式组 ，并写出不等式组的整数解 . 解析： 首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再根据 x 的取值范围找出整数解 . 答案： ， 解 得： x4 ， 解 得： x 2， 不等式组的解集为： 2 x4 . 则不等式组的整数解为： 3， 4. 19.(6 分 )如图，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、 DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE.求证： PDC=PEC . 解析： 根据正方形的四条边都相等可得 BC=CD，对角线平分一组对角可得 BCP=DCP ，再利用 “ 边角边 ” 证明
12、 BCP 和 DCP 全等，根据全等三角形对应角相等可得 PDC=PBC ，再根据等边对等角可得 PBC=PEC ，从而得证 . 答案： 在正方形 ABCD 中， BC=CD， BCP=DCP ， 在 BCP 和 DCP 中， ， BCPDCP (SAS)， PDC=PBC ， P B=PE， PBC=PEC ， PDC=PEC . 20.(6 分 )如图，反比例函数 y= (k 为常数，且 k0 )经过点 A(1， 3). (1)求反比例函数的解析式； (2)在 x 轴正半轴上有一点 B，若 AOB 的面积为 6，求直线 AB 的解析式 . 解析： (1)利用待定系数法把 A(1， 3)代入
13、反比例函数 y= 可得 k 的值，进而得到解析式； (2)根据 AOB 的面积为 6 求出 B 点坐标，再设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把 A、 B两点代入可得 k、 b 的值，进而得到答案 . 答案： (1) 反比例函数 y= (k 为常数，且 k0 )经过点 A(1， 3)， 3= ， 解得： k=3， 反比例函数解析式为 y= ； (2)设 B(a， 0)，则 BO=a， AOB 的面积为 6， a 3=6， 解得： a=4， B (4， 0)， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 经过 A(1， 3)， B(4， 0)， ， 解得 ， 直线 AB 的解析式为 y=-x+
14、4. 四、实践应用：本大题共 4 个小题，第 21题 6分，第 23、 24、 25 题各 8分，共 30 分 ) 21.(6 分 )大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字 -1， 0， 1 的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为 p 的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为 q 值，两次结果记为 (p， q). (1)请你帮他们用树状图或列表法表示 (p， q)所有可能出现的结果； (2)求满足关于 x 的方程 x2+px+q=0 没有实数解的概率 . 解析： (1
15、)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； (2)由 (1)可求得满足关于 x 的方程 x2+px+q=0 没有实数解的有： (-1， 1)， (0， 1)， (1， 1)，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)画树状图得： 则共有 9 种等可能的结果； (2)方程 x2+px+q=0 没有实数解，即 =p 2-4q 0， 由 (1)可得：满足 =p 2-4q 0 的有： (-1， 1)， (0， 1)， (1， 1)， 满足关于 x 的方程 x2+px+q=0 没有实数解的概率为： = . 22.(8 分 )广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共 140 千克
16、，这两种水果的进价、售价如表所示： (1)若该水果店预计进货款为 1000 元，则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 解析： (1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共 140 千克，进而利用该水果店预计进货款为 1000 元，得出等式求出即可； (2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可 . 答案： (1)设购进甲种水果 x 千克，则购进乙种水果 (140-x)千克，根据题意可得： 5x+9(140-x)=1000， 解得
17、： x=65， 140 -x=75(千克 )， 答：购进甲种水果 65 千克，乙种水果 75 千克； (2)由图表可得：甲种水果每千克利润为： 3 元，乙种水果每千克利润为： 4 元， 设总利润为 W，由题意可得出： W=3x+4(140-x)=-x+560， 故 W 随 x 的增大而减小，则 x 越小 W越大， 因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍， 140 -x3x ， 解得： x35 ， 当 x=35 时， W 最大 =-35+560=525(元 )， 故 140-35=105(kg). 答：当甲购进 35 千克，乙种水果 105 千克时，此时利润最大为 52
18、5 元 . 23.(8 分 )为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角 (即 BAC )为 45 ， BCAC ，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE(下面两个小题结果都保留根号 ). (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为 ： 1，求休闲平台 DE 的长是多少米？ (2)一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远 (即 AG=33 米 )，小亮在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角 (即HDM )为 30 .点 B、 C、 A、 G， H 在同一个平面内，点 C、 A
19、、 G 在同一条直线上，且 HGCG ，问建筑物 GH 高为多少米？ 解析： (1)由三角函数的定义，即可求得 DF 与 BF 的长，又由坡度的定义，即可求得 EF 的长，继而求得平台 DE 的长； (2)首先设 GH=x 米，用 x 表示出 MH 的长，在 RtDMH 中由三角函数的定义，即可求得 x的值，进而得到 GH 的长 . 答案： (1)FMCG ， BDF=BAC=45 ， 斜坡 AB 长 60 米， D 是 AB 的中点， BD=30 米， DF=BDcosBDF=30 =30(米 )， BF=DF=30 米， 斜坡 BE 的坡比为 ： 1， = ， 解得： EF=10 (米 )
20、， DE=DF -EF=30-10 (米 )； 答：休闲平台 DE 的长是 (30-10 )米； (2)设 GH=x 米，则 MH=GH-GM=x-30(米 )， DM=AG+AP=33+30=63(米 )， 在 RtDMH 中， tan30= ，即 = ， 解得： x=30+21 ， 答：建筑物 GH 的高为 (30+21 )米 . 24.(8 分 )在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室 .现有平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 1， a(a 1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形， 依此类推，请画出剪三次后余下的四边形
21、是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出 a 的值 . 解析： 平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 1， a(a 1)，剪三次后余下的四边形是菱形的 4 种情况画出示意图 . 答案： 如图， a=4， 如图， a= ， 如图， a= ， 如图， a= ， 五、推理论证 (9 分 ) 25.(9 分 )如图， AB 为 O 的直径，以 AB 为直角边作 RtABC ， CAB=90 ，斜边 BC与 O交于点 D，过 点 D 作 O 的切线 DE 交 AC于点 E， DGAB 于点 F，交 O 于点 G. (1)求证： E 是 AC 的中点； (2)若 AE=3， cosACB= ，求弦 DG 的长
22、. 解析： (1)连 AD，由 AB 为直径，根据圆周角定理得推论得到 ADB=90 ，从而有C+EAD=90 ， EDA+CDE=90 ，而 CAB=90 ，根据切线的判定定理得到 AC 是 O的切线，而 DE 与 O 相切，根据切线长定理得 ED=EA，则 EDA=EAD ，利用等角的余角相等可得到 C=CDE ，则 ED=EC，即可得到 EA=EC； (2)由 (1)可得 AC=2AE=6，结合 cosACB= 推知 sinACB= ，然后利用圆周角定理、垂径定理，解直角三角形即可求得 DG 的长度 . 答案： (1)连 AD，如图 AB 为 O 的直径， CAB=90 ， AC 是 O
23、 的切线， 又 DE 与 O 相切， ED=EA ， EAD=EDA ， 而 C=90 -EAD ， CDE=90 -EDA ， C=CDE ， ED=EC ， EA=EC ， 即 E 为 AC 的中点； (2)由 (1)知， E 为 AC 的中点，则 AC=2AE=6. cosACB= ， sinACB= = . 连接 AD，则 ADC=90 ， ACB+CAD=90 ， CAD+DAF=90 ， DAF=ACB ， 在 RtACD 中， AD=ACsinACB=6 = . 在 RtADF 中， DF=ADsinDAF=ADsinACB= = ， DG=2DF= . 六、拓展探究 (10 分
24、 ) 26.(10 分 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3与 x 轴交于点 A(-4， 0)， B(-1，0)两点 . (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限的抛物线上有一动点 D. 如图 (1)，若四边形 ODAE 是以 OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形 ODAE 的面积为 6时，请判断平行四边形 ODAE 是否为菱形？说明理由 . 如图 (2)，直线 y= x+3 与抛物线交于点 Q、 C 两点，过点 D 作直线 DFx 轴于点 H，交 QC于点 F.请问是否存在这样的点 D，使点 D到直线 CQ的距离与点 C到直线 DF的距离之比为 ：2？若存在，请求出
25、点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2) 本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析 .如答图 2-1，作辅助线，求出点 D 的坐标，进而判断平行四边形 ODAE 是否为菱形； 本问为存在型问题 .如答图 2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点 D 的坐标 . 答案： (1)把点 A(-4， 0)、 B(-1， 0)代入解析式 y=ax2+bx+3， 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为： y= x2+ x+3. (2) 如答图 2-1，过点 D 作 DHx 轴于点 H. S ODAE=6， OA=4， S
26、AOD = OADH=3， DH= . 因为 D 在第三象限，所以 D 的纵坐标为负，且 D 在抛物线上， x2+ x+3=- ， 解得： x1=-2， x2=-3. 点 D 坐标为 (-2， - )或 (-3， - ). 当点 D 为 (-2， - )时， DH 垂直平分 OA，平行四边形 ODAE 为菱形； 当点 D 为 (-3， - )时， ODAD ，平行四边形 ODAE 不为菱形 . 假设存在 . 如答图 2-2，过点 D 作 DMCQ 于 M，过点 C作 CNDF 于 N，则 DM： CN= ： 2. 设 D(m， m2+ m+3)(m 0)，则 F(m， m+3). CN= -m， NF=- m CF= =- m. DMF=CNF=90 ， DFM=CFN ， DMFCNF ， ， DF= CF=- m. DN=NF+DF= - m- m=- m. 又 DN=3-( m2+ m+3)=- m2- m， - m2- m=- m 解得： m=- 或 m=0(舍去 ) m2+ m+3=- D (- ， - ). 综上所述，存在满足条件的点 D，点 D 的坐标为 (- ， - ).
