1、2014 年四川省德阳市中考 真题 数学 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 3分，共 36 分 )在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的 1.(3 分 )实数 - 的相反数是 ( ) A. -2 B. C. 2 D. -|-0.5| 解 析 ： - 的相反数是 ， 答案 ： B. 2.(3 分 )如图，直线 ab ， A=38 ， 1=46 ，则 ACB 的度数是 ( ) A. 84 B. 106 C. 96 D. 104 解 析 ： ab ， ABC=1=46 ， A=38 ， ACB=180 -A -ABC=180 -38 -46=96. 答案 ： C. 3.(
2、3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2+a2=2a4 B. a3 a2=a6 C. 2a6a 2=2a3 D. (a2)4=a8 解 析 ： A、原式 =2a2，错误； B、原式 =a5，错误； C、原式 =2a4，错误； D、原式 =a8，正确， 答案 ： D 4.(3 分 )如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形， 第二横行有 3 个正方形， 第三横行中间有一个正方形 . 答案 ： B. 5.(3 分 )如图是某射击选手 5 次设计成绩的折线图，根据图示信息，这 5 次成
3、绩的众数、中位数分别是 ( ) A. 7、 8 B. 7、 9 C. 8、 9 D. 8、 10 解 析 ： 射击选手五次射击的成绩为： 7、 7、 8、 10、 9， 众数为 7，中位数为 8， 答案 ： A. 6.(3 分 )已知 O 1与 O 2的半径分别是 3cm和 5cm，两圆的圆心距为 4cm，则两圆的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 内切 C. 外离 D. 内含 解 析 ： O 1和 O 2的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 O1O2=4cm， 5 -3 4 5+3， 根据圆心距与半径之间的数量关系可知 O 1与 O 2相交 . 答案 ： A. 7.(3 分 )已知 0
4、x ，那么函数 y=-2x2+8x-6 的最大值是 ( ) A. -10.5 B. 2 C. -2.5 D. -6 解 析 ： y= -2x2+8x-6=-2(x-2)2+2. 该抛物线的对称轴是 x=2，且在 x 2 上 y 随 x 的增大而增大 . 又 0x ， 当 x= 时， y 取最大值， y 最大 =-2( -2)2+2=-2.5. 答案 ： C. 8.(3 分 )如图所示，边长为 2 的正三角形 ABO 的边 OB在 x 轴上，将 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 30 得到三角形 OA1B1，则点 A1的坐标为 ( ) A. ( ， 1) B. ( ， -1) C. (1， - )
5、 D. (2， -1) 解 析 ：如图，设 A1B1与 x 轴相交于 C， ABO 是等边三角形，旋转角为 30 ， A 1OC=60 -30=30 ， A 1B1x 轴， 等边 ABO 的边长为 2， OC= 2= ， A1C= 2=1 ， 又 A 1在第四象限， 点 A1的坐标为 ( ， -1). 答案 ： B. 9.(3 分 )下列说法中正确的个数是 ( ) 不可能事件发生的概率为 0； 一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大； 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值； 收集数据过程中的 “ 记录结果 ” 这一步，就是记录每个对象出现的频率 . A. 1 B.
6、 2 C. 3 D. 4 解 析 ： 不可能事件发生的概率为 0，正确； 一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大，正确； 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，正确； 收集数据过程中的 “ 记录结果 ” 这一步，就是记录每个对象出现的频率，错误， 答案 ： C. 10.(3 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ，点 D是 AB 的中点，且 CD= ，如果 RtABC的面积为 1，则它的周长为 ( ) A. B. +1 C. +2 D. +3 解 析 ：如图， 在 RtABC 中， ACB=90 ，点 D 是 AB 的中点，且 CD= ， AB=2CD=
7、 . AC 2+BC2=5 又 RtABC 的面积为 1， AC BC=1，则 AC BC=2. (AC+BC)2=AC2+BC2+2AC BC=9， AC+BC=3 (舍去负值 )， AC+BC+AB=3+ ，即 ABC 的周长是 3+ . 答案 ： D. 11.(3 分 )如图，四边形 ABCD 中， AB=AD， ADBC ， ABC=60 ， BCD=30 ， BC=6，那么ACD 的面积是 ( ) A. B. C. 2 D. 解 析 ：如图，过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F.设 AB=AD=x. 又 ADBC ， 四边形 AEFD 是矩形形， AD=EF
8、=x. 在 RtABE 中， ABC=60 ，则 BAE=30 ， BE= AB= x， DF=AE= = x， 在 RtCDF 中， FCD=30 ，则 CF=DF cot30= x. 又 BC=6 ， BE+EF+CF=6 ，即 x+x+ x=6， 解得 x=2 ACD 的面积是： AD DF= x x= 2 2= ， 答案 ： A. 12.(3 分 )已知方程 -a= ，且关于 x 的不等式组 只有 4 个整数解，那么 b 的取值范围是 ( ) A. -1 b3 B. 2 b3 C. 8b 9 D. 3b 4 解 析 ：分式方程去分母得： 3-a-a2+4a=-1，即 (a-4)(a+1
9、)=0， 解得： a=4 或 a=-1， 经检验 a=4 是增根，故分式方程的解为 a=-1， 已知不等式组解得： -1 xb ， 不等式组只有 4 个整数解， 3b 4. 答案 ： D 二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上 ) 13.(3 分 )下列运算正确的个数有 个 . 分解因式 ab2-2ab+a 的结果是 a(b-1)2； (-2)0=0； 3 - =3. 解 析 ： ab 2-2ab+a， =a(b2-2b+1)， =a(b-1)2，故本小题正确； (-2)0=1，故本小题错误； 3 - =2 ，故本小题错误； 综上所述，运算正确的是 ，
10、共 1 个 . 答案 ： 1. 14.(3 分 )一组数据 3， 4， 5， x， 7， 8 的平均数为 6，则这组数据的方差是 _ . 解 析 ： 3 ， 4， 5， x， 7， 8 的平均数是 6， 解得： x=9， s 2= (3-6)2+(4-6)2+(5-6)2+(9-6)2+(7-6)2+(8-6)2= 28= ， 答案 ： . 15.(3 分 )半径为 1 的圆内接正三角形的边心距为 _ . 解 析 ：如图， ABC 是 O 的内接等边三角形， OB=1， ODBC. 等边三角形的内心和外心重合， OB 平分 ABC ，则 OBD=30 ； ODBC ， OB=1， OD= .
11、答案 ： . 16.(3 分 )如图， ABC 中， A=60 ，将 ABC 沿 DE 翻折后，点 A 落在 BC 边上的点 A 处 .如果 AEC=70 ，那么 ADE 的度数为 . 解 析 ： AEA=180 -AEC=180 -70=110 ， 又 AED=AED= AEA=55 ， DAE=A=60 ， ADE=180 -AED -DAE=180 -55 -60=65. 答案 ： 65. 17.(3 分 )如图，直线 ab ， ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直线 b 上，把ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到 ABC (如图 )；继续以上的平移得到图
12、 ，再继续以上的平移得到图 ， ；请问在第 100 个图形中等边三角形的个数是 400 . 解 析 ：如图 ABC 是等边三角形， AB=BC=AC ， ABAB ， BB=BC= BC， BO= AB， CO= AC， BOC 是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形 . 又观察图可得，第 1 个图形中大等边三角形有 2 个，小等边三角形有 2 个， 第 2 个图形中大等边三角形有 4 个，小等边三角形有 4 个， 第 3 个图形中大等边三角形有 6 个，小等边三角形有 6 个， 依次可得第 n 个图形中大等边三角形有 2n 个，小等边三角形有 2n 个 . 故第 100 个图形中等边三
13、角形的个数是： 2100+2100=40 0. 答案 ： 400. 18.(3 分 )在四边形 ABCD 中， ADBC ， ABC=90 ， AB=BC， E 为 AB 边上一点， BCE=15 ，且 AE=AD.连接 DE 交对角线 AC 于 H，连接 BH.下列结论正确的是 .(填番号 ) ACDE ； = ； CD=2DH ； = . 解 析 ： ADBC ， ABC=90 BAD=90 ， 又 AB=BC ， BAC=45 ， CAD=BAD -BAC=90 -45=45 ， BAC=CAD ， AHED ， 即 ACED ，故 正确； CHE 为直角三角形，且 HEC=60 EC=
14、2EH ECB=15 ， EC4EB ， EH2EB ；故 错误 . 由证 中已知， BAC=CAD ， 在 ACD 和 ACE 中， ， ACDACE (SAS)， CD=CE ， BCE=15 ， BEC=90 -BCE=90 -15=75 ， CED=180 -BEC -AED=180 -75 -45=60 ， CDE 为等边三角形， DCH=30 ， CD=2DH ，故 正确； 过 H 作 HMAB 于 M， HMBC ， AMHABC ， ， DAC=ADH=45 ， DH=AH ， ， BEH 和 CBE 有公共底 BE， ，故 正确， 答案 ： . 三、解答题 (共 66 分 .
15、解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 ) 19.(6 分 )计算： -25+( )-1-| -8|+2cos60 . 解析： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案： 原式 =-32+2-4+1=-33. 20.(11 分 )为增强环境保护意识，争创 “ 文明卫生城市 ” ，某企业对职工进行了一次 “ 生产和居住环境满意度 ” 的调查，按年龄分组，得到下面的各组人数统计表： (1)求本次调查的样本容量及表中的 a、 b 的值； (2)调查结果得到对生产和居住环境满意的人数的频率分布直方
16、图如图所示 .政策规定：本次调查满意人数超过调查人数的一半，则称调查结果为满意 .如果第一组满意人数为 36，请问此次调查结果是否满意；并指出第五组满意人数的百分比； (3)从第二组和第四组对生产和居住环境满意的职工中分别抽取 3 人和 2 人作义务宣传员，在这 5人中随机 抽取 2人介绍经验，求第二组和第四组恰好各有 1人被抽中介绍经验的概率 . 解析： (1)根据第一组的人数是 50，频率是 0.05 即可求得总人数，则根据频率公式即可求得 a、 b 的值； (2)根据第一组的频数是 36 人，频率是 0.06 据此即可求得调查的总人数，则满意度和第五组满意人数的百分比即可求得； (3)用
17、 A 表示从第二组抽取的人，用 B 表示从第四组抽取的人，利用列举法即可求解 . 答案： (1)调查的总人数： 500.05=1000 (人 )， 则 a=10000.35=350 ， b= =0.2； (2)满意的总人数是： 360.06=600 (人 )， 则调查的满意率是： =0.6，则此次调查结果为满意； 第五组的满意的人数是： 6000.16=96 (人 )， 则第五组的满意率是： 100%=96% ； (3)用 A 表示从第二组抽取的人，用 B 表示从第四组抽取的人 . ， 总共有 20 种情况，则第二组和第四组恰好各有 1 人被抽中的概率是： = . 21.(10 分 )如图，已
18、知矩形 OABC 的一个顶点 B 的坐标是 (4， 2)，反比例函数 y= (x 0)的图象经过矩形的对称中心 E，且与边 BC 交于点 D. (1)求反比例函数的 解析式和点 D 的坐标； (2)若过点 D 的直线 y=mx+n 将矩形 OABC 的面积分成 3： 5的两部分，求此直线的解析式 . 解 ： (1)根据中心对称求出点 E 的坐标，再代入反比例函数解析式求出 k，然后根据点 D 的纵坐标与点 B 的纵坐标相等代入求解即可得到点 D 的坐标； (2)设直线与 x 轴的交点为 F，根据点 D 的坐标求出 CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF 的长，然后写出点 F 的坐标，再利用待
19、定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可 . 答案： (1) 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标是 (4， 2)， E 是矩形 ABCD 的对称中心， 点 E 的坐标为 (2， 1)， 代入反比例函数解析式得， =1， 解得 k=2， 反比例函数解析式为 y= ， 点 D 在边 BC 上， 点 D 的纵坐标为 2， y=2 时， =2， 解得 x=1， 点 D 的坐标为 (1， 2)； (2)如图，设直线与 x 轴的交点为 F， 矩形 OABC 的面积 =42=8 ， 矩形 OABC 的面积分成 3： 5 的两部分， 梯形 OFDC 的面积为 8=3 ， 或 8=5 ， 点 D 的坐标为 (
20、1， 2)， 若 (1+OF)2=3 ， 解得 OF=2， 此时点 F 的坐标为 (2， 0)， 若 (1+OF)2=5 ， 解得 OF=4， 此时点 F 的坐标为 (4， 0)，与点 A 重合， 当 D(1， 2)， F(2， 0)时， ， 解得 ， 此时，直线解析式为 y=-2x+4， 当 D(1， 2)， F(4， 0)时， ， 解得 ， 此时，直线解析式为 y=- x+ ， 综上所述，直线的解析式为 y=-2x+4 或 y=- x+ . 22.(11 分 )为落实国家 “ 三农 ” 政策，某地政府组织 40 辆汽车装运 A、 B、 C 三种农产品共200 吨到外地销售，按计划， 40
21、辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题： (1)如果装运 C 种农产品需 13 辆汽车，那么装运 A、 B 两种农产品各需多少辆汽车？ (2)如果装运每种农产品至少需要 11 辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案 . 解析： (1)设装运 A、 B 两种农产品各需 x、 y 辆汽车 .等量关系： 40 辆车都要装运， A、 B、 C三种农产品共 200 吨； (2)关系式为：装运每种农产品的车辆数 11. 答案： (1)设装运 A、 B 两种农产品各需 x、 y 辆汽车 .则 ， 解得 . 答：装运 A、 B 两种农产品各需 13、
22、 14 辆汽车； (2)设装运 A、 B 两种农产品各需 x、 y 辆汽车 .则 4x+5y+6(40-x-y)=200， 解得： y=-2x+40. 由题意可得如下不等式组： ，即 ， 解得： 11x14.5 因为 x 是正整数， 所以 x 的值可为 11， 12， 13， 14 共 4 个值，因而有四种安排方案 . 方案一： 11 车装运 A， 18 车装运 B， 11 车装运 C 方案二： 12 车装运 A， 16 车装运 B， 12 车装运 C. 方案三： 13 车装运 A， 14 车装运 B， 13 车装运 C. 方案四： 14 车装运 A， 12 车装运 B， 14 车装运 C.
23、23.(14 分 )如图， O 中， FG、 AC 是直径， AB 是弦， FGAB ，垂足为点 P，过点 C 的直线交AB 的延 长线于点 D，交 GF 的延长线于点 E，已知 AB=4， O 的半径为 . (1)分别求出线段 AP、 CB 的长； (2)如果 OE=5，求证： DE 是 O 的切线； (3)如果 tanE= ，求 DE 的长 . 解析： (1)根据圆周角定理由 AC 为直径得 ABC=90 ，在 RtABC 中，根据勾股定理可计算出 BC=2，再根据垂径定理由直径 FGAB 得到 AP=BP= AB=2； (2)易得 OP 为 ABC 的中位线，则 OP= BC=1，再计算
24、出 = = ，根据相似三角形的判定方法得到 EOCAOP ，根据相似的性质得到 OCE=O PA=90 ，然后根据切线的判定定理得到 DE 是 O 的切线； (3)根据平行线的性质由 BCEP 得到 DCB=E ，则 tanDCB=tanE= ，在 RtBCD 中，根据正切的定义计算出 BD=3，根据勾股定理计算出 CD= ，然后根据平行线分线段成比例定理得 = ，再利用比例性质可计算出 DE= . 答案： (1)AC 为直径， ABC=90 ， 在 RtABC 中， AC=2 ， AB=4， BC= =2， 直径 FGAB ， AP=BP= AB=2； (2)AP=BP ， AO=OC OP
25、 为 ABC 的中位线， OP= BC=1， = ， 而 = = ， = ， EOC=AOP ， EOCAOP ， OCE=OPA=90 ， OCDE ， DE 是 O 的切线； (3)BCEP ， DCB=E ， tanDCB=tanE= 在 RtBCD 中， BC=2， tanDCB= = ， BD=3 ， CD= = ， BCEP ， = ，即 = ， DE= . 24.(14 分 )如图，已知抛物线经过点 A(-2， 0)、 B(4， 0)、 C(0， -8). (1)求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标； (2)直线 CD 交 x 轴于点 E，过抛物线上在对称轴的右边的点 P，作 y
26、轴的平行线交 x轴于点F，交直线 CD 于 M，使 PM= EF，请求出点 P 的坐标； (3)将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与 (2)中的线段 EM 总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度 . 解析： (1)由于抛物线与 x 轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a(x+2)(x-4)，然后将点 C 的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点式，即可得到顶点坐标 . (2)先求出直线 CD 的解析式，再求出点 E 的坐标，然后设点 P 的坐标为 (m， n)，从而可以用m 的代数式表示出 PM、 EF，然后根据 PM= EF 建立
27、方程，就可求出 m，进而求出点 P 的坐标 . (3)先求出点 M 的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为 y=x2-2x-8+c，然后只需考虑三个临界位置 ( 向上平移到与直线 EM 相切的位置， 向下平移到经过点 M 的位置， 向下平移到经过点 E 的位置 )所对应的 c 的值，就可以解决问题 . 答案： (1)根据题意可设抛物线的解析式为 y=a(x+2)(x-4). 点 C(0， -8)在抛物线 y=a(x+2)(x-4)上， -8a=-8. a=1. y= (x+2)(x-4) =x2-2x-8 =(x-1)2-9. 抛物线的解析式为 y=x2-2x-8，顶点 D 的坐标为 (1，
28、-9). (2)如图， 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b. 解得： . 直线 CD 的解析式为 y=-x-8. 当 y=0 时， -x-8=0， 则有 x=-8. 点 E 的坐标为 (-8， 0). 设点 P 的坐标为 (m， n)， 则 PM=(m2-2m-8)-(-m-8)=m2-m， EF=m-(-8)=m+8. PM= EF， m 2-m= (m+8). 整理得： 5m2-6m-8=0. (5m+4)(m-2)=0 解得： m1=- ， m2=2. 点 P 在对称轴 x=1 的右边， m=2. 此时， n=22-22 -8=-8. 点 P 的坐标为 (2， -8). (3)当 m
29、=2 时， y=-2-8=-10. 点 M 的坐标为 (2， -10). 设平移后的抛物线的解析式为 y=x2-2x-8+c， 若抛物线 y=x2-2x-8+c 与直线 y=-x-8 相切， 则方程 x2-2x-8+c=-x-8 即 x2-x+c=0 有两个相等的实数根 . (-1)2-41c=0. c= . 若抛物线 y=x2-2x-8+c 经过点 M， 则有 22-22 -8+c=-10. c= -2. 若抛物线 y=x2-2x-8+c 经过点 E， 则有 (-8)2-2 (-8)-8+c=0. c= -72. 综上所述：要使抛物线与 (2)中的线段 EM 总有交点，抛物线向上最多平移 个单位长度，向下最多平移 72 个单位长度 .
