1、2014 年四川省成都市中考真题 数学 A 组 一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )在 -2， -1， 0， 2 这四个数中，最大的数是 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 解析： -2 -1 0 2， 答案 ： D 2.(3 分 )下列几何体的主视图是三角形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、圆柱的主视图是矩形，故此选项错误； B、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确； C、球的主视图是圆，故此选项错误； D、正方体的主视图是正方形，故此选项错误； 答案 ： B 3 (3 分 )正在建设的成都第二绕城高速全长超过
2、220 公里，串起我市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达到 290 亿元用科学记数法表示 290 亿元应为 ( ) A. 29010 8元 B. 29010 9元 C. 2.9010 10元 D. 2.9010 11元 解析： 290 亿 =290 0000 0000=2.9010 10， 答案 ： C 4 (3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. x+x2=x3 B. 2x+3x=5x C.(x2)3=x5 D. x6x 3=x2 解析： A、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故 A 错误； B、系数相加字母部分不变，故 B 正确； C、底数不变指数相乘，故 C 错误； D、底数
3、不变指数相减，故 D 错误； 答案 ： B 5 (3 分 )下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 答案 ： A 6 (3 分 )函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x -5 B. x -5 C. x5 D. x5 解析： 由题意得， x-50 ， 解得 x5 答案 ： C 7.(3 分 )如图，把三角板的直角顶点放
4、在直尺的一边上，若 1=30 ，则 2 的度数为 ( ) A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 解析： 1=30 ， 3=180 -90 -30=60 ， 直尺两边互相平行， 2=3=60 答案 ： A 8.(3 分 )近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了 “ 建设宜居成都，关注环境保护 ” 的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 则该班学生成绩的众数和中位数分别是 ( ) A. 70 分， 80 分 B. 80 分， 80 分 C. 90 分， 80 分 D. 80 分， 90 分 解析： 总人数为： 4+8+12+11
5、+5=40(人 )， 成绩为 80 分的人数为 12 人，最多， 众数为 80， 中位数为第 20 和 21 人的成绩的平均值， 则中位数为： 80 答案 ： B 9.(3 分 )将二次函数 y=x2-2x+3 化为 y=(x-h)2+k 的形式，结果为 ( ) A. y=(x+1)2+4 B. y=(x+1)2+2 C. y=(x-1)2+4 D. y=(x-1)2+2 解析： y=x2-2x+3， =(x2-2x+1)+2， =(x-1)2+2 答案 ： D 10.(3 分 )在圆心角为 120 的扇形 AOB 中，半径 OA=6cm，则扇形 OAB 的面积是 ( ) A. 6cm 2 B
6、. 8cm 2 C. 12cm 2 D. 24cm 2 解析： 在圆心角为 120 的扇形 AOB 中，半径 OA=6cm， 扇形 OAB 的面积是： =12 (cm2)， 答案 ： C 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 4分，共 16 分 ) 11 (4 分 )计算： |- |= 解析： | |= 答案 ： 12.(4 分 )如图，为估计池塘岸边 A， B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点 O，分别取 OA，OB 的中点 M， N，测得 MN=32m，则 A， B 两点间的距离是 m 解析： M 、 N 是 OA、 OB 的中点，即 MN 是 OAB 的中位线 MN= AB AB=
7、2CD=232=64 (m) 答案 ： 64 13.(4 分 )在平面直角坐标系中，已知一次函数 y=2x+1 的图象经过 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)两点，若 x1 x2，则 y1 y2 (填 “ ”“ ” 或 “=” ) 解析： 一次函数 y=2x+1 中 k=2 0 y 随 x 的增大而增大 x 1 x2 y 1 y2 答案 ： 14.(4分 )如图， AB是 O 的直径，点 C在 AB的延长线上， CD切 O 于点 D，连接 AD若 A=25 ，则 C= 度 解析： 连接 OD CD 与圆 O 相切 ODDC OA=OD A=ODA=25 COD 为 AOD 的外角 C
8、OD=50 C=40 答案 ： 40 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 54分 ) 15.(12 分 )(1)计算： 4sin30+ (2014 )0-22 (2)解不等式组： 解析： (1)原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果； (2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 答案： (1)原 3-4 +1 4=3-2+1 4=-2； (2)由 得： x 2；由 得： x 3， 则不等式的解集为 2 x 3 16.(6 分 )如图，在一次数学课外实践活动，小文在点 C 处
9、测得树的顶端 A 的仰角为 37 ，BC=20m，求树的高度 AB (参考数据： sin370.60 ， cos370.80 ， tan370.75 ) 解析： 通过解直角 ABC 可以求得 AB 的长度 答案： 如图，在直角 ABC 中， B=90 ， C=37 ， BC=20m tanC= 则 AB=BCtanC=20tan37200.75=15 (m) 答：树的高度 AB 为 15m 17.(8 分 )先化简，再求值： ( 1) ，其中 a= +1， b= 1 解析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即
10、可求出值 答案： 原式 = = =a+b， 当 a= +1， b= 1 时，原式 = +1+ 1=2 18.(8 分 )第十五届中国 “ 西博会 ” 将于 2014年 10 月底在成都召开，现有 20 名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生 8 人，女生 12 人 (1)若从这 20 人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率； (2)若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为 2， 3， 4， 5 的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取 2 张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加试问这个游戏公平吗？请用树
11、状图或列表法说明理由 解析： (1)直接利用概率公式求出即可； (2)利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出即可 答案： (1) 现有 20 名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生 8 人，女生 12 人 从这 20 人中随机选取一人作为联络员，选到女生的概率为： = (2)如图所示： 牌面数字之和为： 5， 6， 7， 5， 7， 8， 6， 7， 9， 7， 9， 8 偶数为： 4 个，得到偶数的概率为： = 得到奇数的概率为： 甲参加的概率乙参加的概率 这个游戏不公平 19 (10 分 )如图，一次函数 y=kx+5(k 为常数，且 k0 )的图象与反比例函数 y=- 的函数交于
12、 A( 2， b)， B 两点 (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线 AB 向下平移 m(m 0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求 m 的值 解析： (1)先利用反比例函数解析式 y= 求出 b=4，得到 A 点坐标为 ( 2， 4)，然后把 A点坐标代入 y=kx+5 中求出 k，从而得到一次函数解析式为 y= x+5； (2)由于将直线 AB向下平移 m(m 0)个单位长度得直线解析式为 y= x+5 m，则直线 y= x+5 m 与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组 只有一组解， 然后消去 y 得到关于 x 的一元二次函数，再根据判别式的意义得到关于 m 的
13、方程，最后解方程求出 m 的值 答案： (1)把 A( 2， b)代入 y= 得 b= =4， 所以 A 点坐标为 ( 2， 4)， 把 A( 2， 4)代入 y=kx+5 得 2k+5=4，解得 k= ， 所以一次函数解析式为 y= x+5； (2)将直线 AB 向下平移 m(m 0)个单位长度得直线解析式为 y= x+5-m， 根据题意方程组 只有一组解， 消去 y 得 = x+5-m， 整理得 x2-(m-5)x+8=0， = (m-5)2-4 8=0 ，解得 m=9 或 m=1， 即 m 的值为 1 或 9 20 (10 分 )如图，矩形 ABCD 中， AD=2AB， E 是 AD
14、边上一点， DE= AD(n 为大于 2 的整数 )，连接 BE，作 BE 的垂直平分线分别交 AD， BC 于点 F， G， FG 与 BE 的交点为 O，连接 BF 和 EG (1)试判断四边形 BFEG 的形状，并说明理由； (2)当 AB=a(a 为常数 )， n=3 时，求 FG 的长； (3)记四边形 BFEG 的面积为 S1，矩形 ABCD 的面积为 S2，当 = 时，求 n 的值 (直接写出结果，不必写出解答过程 ) 解析： (1)先求证 EFOCBO ，可得 EF=BG，再根据 BOFEOF ，可得 EF=BF；即可证明四边形 BFEG 为菱形； (2)根据菱形面积不同的计算
15、公式 (底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式 )可计算 FG 的长度； (3)根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出 BG 长度，根据勾股定理可求出 AF 的长度，即可求出 ED 的长度，即可计算 n 的值 答案： (1)ADBC EFO=BGO FG 为 BE 的垂直平分线 BO=OE 在 EFO 和 CBO 中， EFOCBO EF=BG ADBC 四边形 BGEF 为平行四边形 在 BOF 和 EOF 中， BOFEOF EF=BF 邻边相等的平行四边形为菱形，故四边形 BGEF 为菱形 (2)当 AB=a， n=3 时， AD=2a， AE= 根据勾股定理可以计算 BE= AF=AE -
16、EF=AE-BF，在 RtABF 中 AB2+AF2=BF2，计算可得 AF= ， EF= 菱形 BGEF 面积 = BEFG=EFAB，计算可得 FG= (3)设 AB=x，则 DE= 当 = 时， = ，可得 BG= 在 RtABF 中 AB2+AF2=BF2，计算可得 AF= AE=AF+FE=AF+BG= ， DE=AD AE= n=6 B 组 一 、填空题 (本大题共 5 分，每小题 4分，共 20分 ) 21 (4 分 )在开展 “ 国学诵读 ” 活动中，某校为了解全校 1300 名学生课外阅读的情况，随机调查了 50 名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图根据图中
17、数据，估计该校 1300 名学生一周的课外阅读时间不少于 7 小时的人数是 解析： 该校 1300 名学生一周的课外阅读时间不少于 7 小时的人数是 1300 =520 人， 答案 ： 520 22 (4 分 )已知关于 x 的分式方程 - =1 的解为负数，则 k 的取值范围是 解析： 去分母得： (x+k)(x-1)-k(x+1)=x2-1， 去括号得： x2-x+kx-k-kx-k=x2-1， 移项合并得： x=1-2k， 根据题意得： 1-2k 0，且 1-2k1 解得： k 且 k1 答案 ： k 且 k1 23 (4 分 )在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为
18、 “ 格点 ” ，顶点全在格点上的多边形为 “ 格点多边形 ” 格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L，例如，图中三角形 ABC 是格点三角形，其中 S=2， N=0， L=6；图中格点多边形 DEFGHI 所对应的 S， N， L 分别是 经探究发现，任意格点多边形的面积 S可表示为 S=aN+bL+c，其中 a， b， c 为常数，则当 N=5， L=14 时， S= (用数值作答 ) 解析： (1)观察图形，可得 S=7， N=3， L=10； (2)不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成，此时， S=4， N=1， L=8， 格点多边形的面积 S=aN
19、+bL+c， 结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 可得 ， 解得 ， S=N+ L-1， 将 N=5， L=14 代入可得 S=5+14 -1=11 答案 ： ( )7， 3， 10； ( )11 24 (4 分 )如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中， A=60 ， M是 AD 边的中点， N是 AB 边上的一动点，将 AMN 沿 MN所在直线翻折得到 AMN ，连接 AC ，则 AC 长度的最小值是 解析： 如图所示： MN， MA 是定值， AC 长度的最小值时，即 A 在 MC 上时， 过点 M 作 MDC 于点 F， 在边长为 2 的菱形 ABCD 中， A=6
20、0 ， CD=2 ， ADCB=120 ， FDM=60 ， FMD=30 ， FD= MD= ， FM=DMcos30= ， MC= = ， AC=MC MA= -1 答案 ： -1 25.(4 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x 与双曲线 y= 相交于 A， B 两点， C是第一象限内双曲线上一点，连接 CA 并延长交 y 轴于点 P，连接 BP， BC若 PBC 的面积是 20，则点 C 的坐标为 解析： BC 交 y 轴于 D，如图， 设 C 点坐标为 (a， ) 解方程组 得 或 ， A 点坐标为 (2， 3)， B 点坐标为 ( 2， 3)， 设直线 BC 的
21、解析式为 y=kx+b， 把 B( 2， 3)、 C(a， )代入得 ，解得 ， 直线 BC 的解析式为 y= x+ 3， 当 x=0 时， y= x+ 3= 3， D 点坐标为 (0， 3) 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n， 把 A(2， 3)、 C(a， )代入得 ，解得 ， 直线 AC 的解析式为 y= x+ +3， 当 x=0 时， y= x+ +3= +3， P 点坐标为 (0， +3) S PBC =SPBD +SCPD ， 26+ a6=20 ，解得 a= ， C 点坐标为 ( ， ) 答案 ： ( ， ) 二 、解答题 (本大题共 3 个小题，共 30分 ) 26 (8
22、 分 )在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 (两边足够长 )，用28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB， BC 两边 )，设 AB=xm (1)若花园的面积为 192m2，求 x 的值； (2)若在 P处有一棵树与墙 CD， AD的距离分别是 15m和 6m，要将这棵树围在花园内 (含边界，不考虑树的粗细 )，求花园面积 S 的最大值 解析： (1)根据题意得出长 宽 =192，进而得出答案； (2)由题意可得出： S=x(28 x)= x2+28x= (x 14)2+196，再利用二次函数增减性得出答案 答案： (1)AB=xm ，则 BC=(28 x
23、)m， x (28 x)=192， 解得： x1=12， x2=16， 答： x 的值为 12m 或 16m； (2)由题意可得出： S=x(28 x)= x2+28x= (x 14)2+196， 在 P 处有一棵树与墙 CD， AD 的距离分别是 15m 和 6m， x=15 时， S 取到最大值为： S= (15 14)2+196=195， 答：花园面积 S 的最大值为 195 平方米 27 (10 分 )如图，在 O 的内接 ABC 中， ACB=90 ， AC=2BC，过 C 作 AB 的垂线 l 交 O于另一点 D，垂足为 E设 P 是 上异于 A， C 的一个动点，射线 AP 交
24、l 于点 F，连接 PC与 PD， PD 交 AB 于点 G (1)求证： PACPDF ； (2)若 AB=5， = ，求 PD 的长； (3)在点 P 运动过程中，设 =x， tanAFD=y ，求 y 与 x 之间的函数关系式 (不要求写出x 的取值范围 ) 解析： (1)证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角 DPF ，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得 DPF=APC ，则结论易证 (2)求 PD 的长，且此线段在上问已证相似的 PDF 中，很明显用相似得成比
25、例，再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长 ，则 PD 可求 (3)因为题目涉及 AFD 与也在第一问所得相似的 PDF 中，进而考虑转化， AFD=PCA ，连接 PB 得 AFD=PCA=PBG ，过 G 点作 AB 的垂线，若此线过 PB与 AC 的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形 ABC 相似可用 AG表示 PBG 所对的这条高线但是 “ 此线是否过 PB 与 AC 的交点 ” ？此时首先需要做的是多画几个动点 P，观察我们的猜想验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过 PB与 AC 的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论，我们可
26、以换另外的辅助线 作法，先做垂线，得交点 H，然后连接交点与 B，再证明 HBG=PCA=AFD 因为 C、 D 关于 AB 对称，可以延长CG 考虑 P 点的对称点根据等弧对等角，可得 HBG=PCA ，进而得解题思路 答案： (1) ， DPF=180 APD=180 所对的圆周角 =180 所对的圆周角 = 所对的圆周角 =APC 在 PAC 和 PDF 中， ， PACPDF (2)如图 1，连接 PO，则由 ，有 POAB ，且 PAB=45 ， APO 、 AEF 都为等腰直角三角形 在 RtABC 中， AC=2BC ， AB 2=BC2+AC2=5BC2， AB=5 ， BC=
27、 ， AC=2 ， CE=ACsinBAC=AC =2 =2， AE=ACcosBAC=AC =2 =4， AEF 为等腰直角三角形， EF=AE=4 ， FD=FC+CD= (EF CE)+2CE=EF+CE=4+2=6 APO 为等腰直角三角形， AO= AB= ， AP= PDFPAC ， ， ， PD= (3)如图 2，过点 G作 GHAB ，交 AC于 H，连接 HB，以 HB 为直径作圆，连接 CG 并延长交 O于 Q， HCCB ， GHGB ， C 、 G 都在以 HB 为直径的圆上， HBG=ACQ ， C 、 D 关于 AB 对称， G 在 AB 上， Q 、 P 关于 A
28、B 对称， ， PCA=ACQ ， HBG=PCA PACPDF ， PCA=PFD=AFD ， y=tanAFD=tanPCA=tanHBG= HG=tanHAGAG=tanBACAG= = ， y= = x 28 (12 分 )如图，已知抛物线 y= (x+2)(x 4)(k 为常数，且 k 0)与 x 轴从左至右依次交于 A， B 两点，与 x 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y= x+b 与抛物线的另一交点为 D (1)若点 D 的横坐标为 5，求抛物线的函数表达式； (2)若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A， B， P 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 k的值； (3)
29、在 (1)的条件下，设 F 为线段 BD 上一点 (不含端点 )，连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？ 解析： (1)首先求出点 A、 B 坐标，然后求出直线 BD 的解析式，求得点 D 坐标，代入抛物线解析式，求得 k 的值； (2)因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以 ABP 为钝角因此若两个三角形相似，只可能是 ABCAPB 或 ABCABP 如答图 2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算； (3)由题意，动
30、点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间： t=AF+ DF如答图 3，作辅助线，将 AF+ DF 转化为 AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段 AH 与直线 BD 的交点，即为所求的F 点 答案： (1)抛物线 y= (x+2)(x 4)， 令 y=0，解得 x= 2 或 x=4， A ( 2， 0)， B(4， 0) 直线 y= x+b 经过点 B(4， 0)， 4+b=0 ，解得 b= ， 直线 BD 解析式为： y= x+ 当 x= 5 时， y=3 ， D ( 5， 3 ) 点 D( 5， 3 )在抛物线 y= (x+2)(x 4)上， ( 5+2)( 5 4)=3 ， k=
31、 (2)由抛物线解析式，令 x=0，得 y=k， C (0， k)， OC=k 因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以 ABP 为钝角 因此若两个三角形相似，只可能是 ABCAPB 或 ABCABP 若 ABCAPB ，则有 BAC=PAB ，如答图 2 1 所示 设 P(x， y)，过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ON=x， PN=y tanBAC=tanPAB ，即： ， y= x+k D (x， x+k)，代入抛物线解析式 y= (x+2)(x 4)， 得 (x+2)(x 4)= x+k，整理得： x2 6x 16=0， 解得： x=8 或 x=2(与点 A 重合，舍去 )， P
32、 (8， 5k) ABCAPB ， ，即 ， 解得： k= 若 ABCABP ，则有 ABC=PAB ，如答图 2 2 所示 与 同理，可求得： k= 综上所述， k= 或 k= (3)由 (1)知： D( 5， 3 )， 如答图 2 2，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN=3 ， ON=5， BN=4+5=9， tanDBA= = = ， DBA=30 过点 D 作 DKx 轴，则 KDF=DBA=30 过点 F 作 FGDK 于点 G，则 FG= DF 由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间： t=AF+ DF， t=AF+FG ，即运动时间等于折线 AF+FG 的长度 由垂线段最短可知，折线 AF+FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AHDK 于点 H，则 t 最小 =AH， AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点 A 点横坐标为 -2，直线 BD 解析式为： y=- x+ ， y= - (-2)+ =2 ， F (-2， 2 ) 综上所述，当点 F 坐标为 (-2， 2 )时，点 M 在整个运动过程中用时最少
