1、2014 年四川省甘孜州中考 真题 数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分 ) 1.(4 分 )- 的倒数是 ( ) A. B. - C. -5 D. 5 解 析 ： - 的倒数是 -5； 答案 ： C. 2.(4 分 )使代数式 有意义的 x 的取值范围是 ( ) A. x0 B. -5x 5 C. x5 D. x -5 解 析 ：由题意得， x+50 ， 解得 x -5. 答案 ： D. 3.(4 分 )下列图形一定是轴对称图形的是 ( ) A. 平行四边形 B. 正方形 C. 三角形 D. 梯形 解 析 ： A、不一定是轴对称图形 .故本选项错误； B、是轴
2、对称图形 .故本选项正确； C、不一定是轴对称图形 .故本选项错误； D、不一定是轴对称图形 .故本选项错误 . 答案 ： B. 4.(4 分 )将数据 37000 用科学记数法表示为 3.710 n，则 n 的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解 析 ： 37 000=3.710 4， 所以， n 的值为 4. 答案 ： B. 5.(4 分 )如图，一个简单几何体的三视图的主视图与左视图都为正三角形，其俯视图为正方形，则这个几何体是 ( ) A. 四棱锥 B. 正方体 C. 四棱柱 D. 三棱锥 解 析 ：由题意，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是正三角形，俯
3、视图轮廓为正方形， 即此几何体是一个四棱锥， 答案 ： A. 6.(4 分 )下列运算结果正确的是 ( ) A. a2 a3=a6 B. (a2)3=a5 C. x6x 2=x4 D. a2+a5=2a3 解 析 ： A、底数不变指数相加，故 A 错误； B、底数不变指数相乘，故 B 错误； C、底数不变指数相减，故 C 正确； D、不是同类项不能合并，故 D 错误； 答案 ： C. 7.(4 分 )在平面直角坐标系中，反比例函数 y= 的图象的两支分别在 ( ) A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 解 析 ：因为反比例函数 y= 中的 k=2 0，
4、 所以在平面直角坐标系中，反比例函数 y= 的图象的两支分别在第一、三象限 . 答案 ： A. 8.(4 分 )一元二次方程 x2+px-2=0 的一个根为 2，则 p 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 解 析 ： 一元二次方程 x2+px-2=0 的一个根为 2， 2 2+2p-2=0， 解得 p=-1. 答案 ： C. 9.(4 分 )如图，点 D 在 ABC 的边 AC 上，将 ABC 沿 BD 翻折后，点 A 恰好与点 C 重合，若BC=5， CD=3，则 BD 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 析 ： 将 ABC 沿 BD 翻折后，
5、点 A 恰好与点 C 重合， ABDCBD ， ADB=CDB=90 ， 在 RtBCD 中， BD= = =4. 答案 ： D. 10.(4 分 )如图，圆锥模具的母线长为 10cm，底面半径为 5cm，则这个圆锥模具的侧面积是( ) A. 10cm 2 B. 50cm 2 C. 100cm 2 D. 150cm 2 解 析 ： 底面圆的底面半径为 5cm， 底面周长 =10cm ， 侧面面积 = 1010=50cm 2. 答案 ： B. 二、填空题 (共 4 小题，每小题 4 分，共 16分 ) 11.(4 分 )不等式 3x-2 4 的解是 . 解 析 ：移项得， 3x 4+2， 合并同
6、类项得， 3x 6， 把 x 的系数化为 1 得， x 2. 答案 ： x 2. 12.(4 分 )如图，点 A， B， C 在圆 O 上， OCAB ，垂足为 D，若 O 的半径是 10cm， AB=12cm，则 CD= cm. 解 析 ： O 的半径是 10cm，弦 AB 的长是 12cm， OC 是 O 的半径且 OCAB ，垂足为 D， OA=OC=10cm ， AD= AB= 12=6cm ， 在 RtAOD 中， OA=10cm， AD=6cm， OD= = =8cm， CD=OC -OD=10-8=2cm. 答案 ： 2. 13.(4 分 )已知一组数据 1， 2， x， 2，
7、3， 3， 5， 7 的众数是 2，则这组数据的中位数是 . 解 析 ： 一组数据 1， 2， x， 2， 3， 3， 5， 7 的众数是 2， x=2 ， 这组数据的中位数是 (2+3)2=2.5 ； 答案 ： 2.5. 14.(4 分 )从 0， 1， 2 这三个数中任取一个数作为点 P 的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点 P 的纵坐标，则点 P 落在抛物线 y=-x2+x+2 上的概率为 _ . 解 析 ：列表得： 所有等可能的情况有 6 种，其中落在抛物线 y=-x2+x+2 上的情况有 (2， 0)， (0， 2)， (1， 2)共 3 种， 则 P= = . 答案 ： 三
8、、解答题 (本大题共 6 小题，共 44 分 ) 15.(6 分 )(1)计算： +| -1|+( )-1-2sin45 ； (2)解方程组： . 解析： (1)原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； (2)方程组利用加减消元法求出解即可 . 答案： (1)原式 =2+ -1+2-2 =3； (2) - 得： 5y=5，即 y=1， 将 y=1 代入 得： x=4， 则方程组的解为 . 16.(6 分 )先化简，再求值： - ，其中 a= +1， b= -1. 解析： 原式利用同分母分式的减法法
9、则计算，约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = =a+b， 当 a= +1， b= -1 时，原式 = +1+ -1=2 . 17.(7 分 )为了了解某地初中三年级学生参加消防知识竞赛成绩 (均为整数 )，从中抽取了 1%的同学的竞赛成绩，整理后绘制了如下的频数分布直方图，请结合图形解答下列问题： (1)指出这个问题中的总体； (2)求竞赛成绩在 84.5-89.5 这一小组的频率； (3)如果竞赛成绩在 90 分以上 (含 90 分 )的同学可以获得奖励，请估计该地初三年级约有多少人获得奖励 . 解析： (1)根据总体的概念：所要考查的对象的全体
10、即总体进行回答； (2)根据频率 =频数 总数进行计算即可； (3)根据题意先求出初中三年级学生总数，再用样本估计整体让整体 样本的百分比即可得出答案 . 答案： (1)某地初中三年级学生参加消防知识竞赛成绩是这个问题中的总体； (2)根据题意得： =0.32， 答：竞赛成绩在 84.5-89.5 这一小组的频率为 0.32. (3)根据题意得： 初中三年级学生总数是； (4+10+16+13+7)1%=5000 (人 )， 该地初三年级获得奖励的人数是： (13+7) (6+12+18+15+9)5000=2000 (人 )， 答：该地初三年级约有 2000 人获得奖励 . 18.(7 分
11、)如图，在 ABC 中， ABC=90 ， A=30 ， D 是边 AB 上一点， BDC=45 ， AD=4，求 BC 的长 .(结果保留根号 ) 解析： 由题意得到三角形 BCD 为等腰直角三角形，得到 BD=BC，在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义求出 BC 的长即可 . 答案： B=90 ， BDC=45 ， BCD 为等腰直角三角形， BD=BC ， 在 RtABC 中， tanA=tan30= ，即 = ， 解得： BC=2( +1). 19.(8 分 )如图，在 AOB 中， ABO=90 ， OB=4， AB=8，反比例函数 y= 在第一象限内的图象分别交 OA，
12、AB 于点 C 和点 D，且 BOD 的面积 SBOD =4. (1)求反比例函数解析式； (2)求点 C 的坐标 . 解析： (1)根据反比例函数 k 的几何意义得到 k=4 ，解得 k=8，所以反比例函数解析式为y= ； (2)先确定 A 点坐标，再利用待定系数法求出直线 OA 的解析式为 y=2x，然后解方程组即可得到 C 点坐标 . 答案： (1)ABO=90 ， SBOD =4， k=4 ，解得 k=8， 反比例函数解析式为 y= ； (2)ABO=90 ， OB=4， AB=8， A 点坐标为 (4， 8)， 设直线 OA 的解析式为 y=kx， 把 A(4， 8)代入得 4k=8
13、，解得 k=2， 直线 OA 的解析式为 y=2x， 解方程组 得 或 ， C 在第一象限， C 点坐标为 (2， 4). 20.(10 分 )如图，在 ABCD 中， E， F 分别为 BC， AB 中点，连接 FC， AE，且 AE与 FC交于点G， AE 的延长线与 DC 的延长线交于点 N. (1)求证： ABENCE ； (2)若 AB=3n， FB= GE，试用含 n 的式子表示线段 AN 的长 . 解析： (1)根据平行四边形的性质可得 ABCN ，由此可知 B=ECN ，再根据全等三角形的判定方法 ASA 即可证明 ABENCE ； (2)因为 ABCN ，所以 AFGCNG
14、，利用相似三角形的性质和已知条件即可得到含 n 的式子表示线段 AN 的长 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCN ， B=ECN ， E 是 BC 中点， BE=CE ， 在 ABE 和 NCE 中， ， ABENCE (ASA). (2)ABCN ， AFGCNG ， AF ： CN=AG： GN， AB=CN ， AF ： AB=AG： GN， AB=3n ， FB= GE， GE=n ， AN=AG+GE+EN= n. 四、填空题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 21.(4 分 )已知 a+b=3， ab=2，则代数式 (a-2)(b-2)的值是 . 解 析
15、 ：原式 =ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4， 当 a+b=3， ab=2 时，原式 =2-6+4=0. 答案 ： 0 22.(4 分 )设 a， b， c， d 为实数，现规定一种新的运算 =ad-bc，则满足等式 =1的 x 的值为 . 解 析 ：根据题中的新定义得： - =1， 去分母得： 3x-4x-4=6， 移项合并得： -x=10， 解得： x=-10， 答案 ： -10. 23.(4 分 )给出下列函数： y=2x -1； y= ； y= -x2.从中任取一个函数，取出的函数符合条件 “ 当 x 1 时，函数值 y 随 x 增大而减小 ” 的概率是 _ . 解 析 ：
16、 函数： y=2x -1； y= ； y= -x2中当 x 1 时，函数值 y 随 x 增大而减小的有 y= 、y=-x2， 从中任取一个函数，取出的函数符合条件 “ 当 x 1 时，函数值 y 随 x 增大而减小 ” 的概率是 ， 答案 ： . 24.(4 分 )已知抛物线 y=x2-k 的顶点为 P，与 x 轴交于点 A， B，且 ABP 是正三角形，则 k的值是 . 解 析 ： 抛物线 y=x2-k 的顶点为 P， P 点的坐标为： (0， -k)， PO=k ， 抛物线 y=x2-k 与 x 轴交于 A、 B 两点，且 ABP 是正三角形， OA=OB ， OPB=30 ， tan30
17、= = ， OB= k， 点 B 的坐标为： ( k， 0)，点 B 在抛物线 y=x2-k 上， 将 B 点代入 y=x2-k，得： 0=( k)2-k， 整理得： -k=0， 解得： k1=0(不合题意舍去 )， k2=3. 答案 ： 3. 25.(4 分 )如图，我国古代数学家得出的 “ 赵爽弦图 ” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为 1： 13，则直角三角形较短的直角边 a 与较长的直角边 b 的比值为 2： 3 . 解 析 ： 小正方形与大正方形的面积之比为 1： 13， 设大正方形的面积是 13，边长为 c， c 2=13，
18、 a 2+b2=c2=13， 直角三角形的面积是 =3， 又 直角三角形的面积是 ab=3， ab=6 ， (a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+26=13+12=25 ， a+b=5. 则 a、 b 是方程 x2-5x+6=0 的两个根， 故 b=3， a=2， = . 答案 ： 2： 3. 五、解答题 (共 3 小题，共 30 分 ) 26.(8 分 )已知某工厂计划用库存的 302m3木料为某学校生产 500 套桌椅，供该校 1250 名学生使用，该厂生产的桌椅分为 A， B 两种型号，有关数据如下： 设生产 A型桌椅 x(套 )，生产全部桌椅并运往该校的总费用 (总费用
19、 =生产成本 +运费 )为 y元 . (1)求 y 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围； (2)当总费用 y 最小时，求相应的 x 值及此时 y 的值 . 解析： (1)利用总费用 y=生产桌椅的费用 +运费列出函数关系，根据需用的木料不大于 302列出一个不等式，两种桌椅的椅子数不小于学生数 1250 列出一个不等式，两个不等式组成不等式组得出 x 的取值范围； (2)利用一次函数的增减性即可确定费用最少的方案以及费用 . 答案： (1)设生产 A 型桌椅 x 套，则生产 B 型桌椅的套数 (500-x)套， 根据题意得， ， 解这个不等式组得， 240x250 ； 总费用 y=(
20、100+2)x+(120+4)(500-x)=102x+62000-124x=-22x+62000， 即 y=-22x+62000， (240x250 )； (2)y= -22x+62000， -22 0， y 随 x 的增大而减小， 当 x=250 时，总费用 y 取得最小值， 此时，生产 A 型桌椅 250 套， B 型桌椅 250 套，最少总费用 y=-22250+62000=56500 元 . 27.(10 分 )如图，在 ABC 中， ABC=90 ，以 AB 的中点 O 为圆心， OA 为半径的圆交 AC 于点 D， E 是 BC 的中点，连接 DE， OE. (1)判断 DE 与
21、 O 的位置关系，并说明理由； (2)求证： BC2=2CD OE； (3)若 cosBAD= ， BE= ，求 OE 的长 . 解析： (1)连接 OD， BD，由 AB 为圆 O 的直径，得到 ADB 为直角，可得出三角形 BCD 为直角三角形， E 为斜边 BC 的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到 CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由 OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形 ABC 中两锐角互余，利用等角的余角相等得到 ADO 与 CDE 互余，可得出 ODE 为直角，即 DE 垂直于半径 OD，可得出 DE 为圆 O 的切线； (2)证明 OE 是
22、ABC 的中位线，则 AC=2OE，然后证明 ABCBDC ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得； (3)在直 角 ABC 中，利用勾股定理求得 AC 的长，根据三角形中位线定理 OE 的长即可求得 . 答案： (1)连接 OD， BD， AB 为圆 O 的直径， ADB=90 ， 在 RtBDC 中， E 为斜边 BC 的中点， CE=DE=BE= BC， C=CDE ， OA=OD ， A=ADO ， ABC=90 ，即 C+A=90 ， ADO+CDE=90 ，即 ODE=90 ， DEOD ，又 OD 为圆的半径， DE 为圆 O 的切线； (2)E 是 BC 的中点， O 点是
23、 AB 的中点， OE 是 ABC 的中位线， AC=2OE ， C=C ， ABC=BDC ， ABCBDC ， ，即 BC2=ACCD. BC 2=2CD OE； (3)cosBAD= ， sinBAC= = ， 又 BE= ， E 是 BC 的中点，即 BC= ， AC= . 又 AC=2OE ， OE= AC= . 28.(12 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 (O 为坐标原点 )，已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 A(4， 0)，B(1， -3). (1)求 b， c 的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)设抛物线的对称轴为直线 l，点 P(m， n)是抛物线上在第
24、一象限的点，点 E 与点 P 关于直线 l 对称，点 E 与点 F 关于 y轴对称，若四边形 OAPF的面积为 48，求点 P 的坐标； (3)在 (2)的条件下，设 M 是直线 l 上任意一点，试判断 MP+MA 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)用待定系数法就可求出 b 和 c，再将抛物线的解析式配成顶点式，就可解决问题 . (2)由条件可得 E(4-m， n)、 F(m-4， n)，从而得到 PF=4，由四边形 OAPF 的面积为 48 可求出点 P 的纵坐标，然后代入抛物线的解析式就可求出 点 P 的坐标 . (3)由
25、点 E与点 P关于直线 l对称可得 MP=ME，则有 MP+MA=ME+MA，根据 “ 两点之间线段最短 ”可得 AE 的长就是 MP+MA 的最小值，只需运用勾股定理就可解决问题 . 答案： (1) 抛物线 y=x2+bx+c 过点 A(4， 0)， B(1， -3)， . 解得： . y=x 2-4x=(x-2)2-4. 抛物线的对称轴为 x=2，顶点为 (2， -4). (2)如图 1， 点 P(m， n)与点 E 关于直线 x=2 对称， 点 E 的坐标为 (4-m， n). 点 E 与点 F 关于 y 轴对称， 点 F 的坐标为 (m-4， n). PF=m -(m-4)=4. PF
26、=OA=4. PFOA ， 四边形 OAPF 是平行四边形 . S OAPF=OA =4n=48， n=12. m 2-4m=n=12. 解得： m1=6， m2=-2. 点 P 是抛物线上在第一象限内的点， m=6. 点 P 的坐标为 (6， 12). (3)过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2， 在 (2)的条件下，有 P(6， 12)， E(-2， 12)， 则 AH=4-(-2)=6， EH=12. EHx 轴，即 EHA=90 ， EA 2=EH2+AH2=122+62=180. EA=6 . 点 E 与点 P 关于直线 l 对称， MP=ME. MP+MA=ME+MA. 根据 “ 两点之间线段最短 ” 可得： 当点 E、 M、 A 共线时， MP+MA 最小，最小值等于 EA 的长，即 6 .
