1、2014 年四川省绵阳市中考 真题 数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分 ) 1.(3 分 )2 的相反数是 ( ) A. -2 B. - C. D. 2 解 析 ： 2 的相反数是 -2. 答案 ： A. 2.(3 分 )下列四个图案中，属于中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确 . 答案 ： D. 3.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a2 a=a2 B. a2a=a C. a2+a=
2、a3 D. a2-a=a 解 析 ： A、 a2a=a3，故 A 选项错误； B、 a2a=a ，故 B 选项正确； C、 a2+a=a3，不是同类项不能计算，故 C 选项错误； D、 a2-a=a，不是同类项不能计算，故 D 选项错误； 答案 ： B. 4.(3 分 )若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x B. x C. x D. x 解 析 ：由题意得， 3x-10 ， 解得 x . 答案 ： D. 5.(3 分 )一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：观察这个图可知：黑色区域 (3 块
3、)的面积占总面积 (9 块 )的 ，故其概率为 . 答案 ： A. 6.(3 分 )如图所示的正三棱柱，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从几何体的正面看所得到的形状是矩形 . 答案 ： B. 7.(3 分 )线段 EF 是由线段 PQ 平移得到的，点 P(-1， 4)的对应点为 E(4， 7)，则点 Q(-3， 1)的对应点 F 的坐标为 ( ) A. (-8， -2) B. (-2， -2) C. (2， 4) D. (-6， -1) 解 析 ： 点 P(-1， 4)的对应点为 E(4， 7)， E 点是 P 点横坐标 +5，纵坐标 +3 得到的， 点 Q(-3， 1
4、)的对应点 F 坐标为 (-3+5， 1+3)， 即 (2， 4). 答案 ： C. 8.(3 分 )如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30 方向，距离灯塔 80 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B处与灯塔 P 的距离为 ( ) A. 40 海里 B. 40 海里 C. 80 海里 D. 40 海里 解 析 ：过点 P 作 PCAB 于点 C， 由题意可得出： A=30 ， B=45 ， AP=80 海里， 故 CP= AP=40(海里 )， 则 PB= =40 (海里 ). 答案 ： A. 9.(3 分 )下
5、列命题中正确的是 ( ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 解 析 ： A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B 选项错误； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以 C 选项正确； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以 D 选项错误 . 答案 ： C. 10.(3 分 )某商品的标价比成本价高 m%，根据市场需要，该商品需降价 n%出售，为了不亏本，n 应满足 ( ) A.
6、 nm B. n C. n D. n 解 析 ：设进价为 a 元，由题意可得： a(1+m%)(1-n%)-a0 ， 则 (1+m%)(1-n%)-10 ， 整理得： 100n+mn100m ， 故 n . 答案 ： B. 11.(3 分 )在边长为正整数的 ABC 中， AB=AC，且 AB 边上的中线 CD 将 ABC 的周长分为 1：2 的两部分，则 ABC 面积的最小值为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：设这个等腰三角形的腰为 x，底为 y，分为的两部分边长分别为 n 和 2n，得 或 ， 解得 或 ， 2 (此时不能构成三角形，舍去 ) 取 ，其中 n 是 3 的倍数 三角
7、形的面积 S = = n2，对于 S = n2= n2， 当 n 0 时， S 随着 n 的增大而增大，故当 n=3 时， S = 取最小 . 答案 ： C. 12.(3 分 )如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是半圆 O 上一点， OQBC 于点 Q，过点 B 作半圆 O的切线，交 OQ 的延长线于点 P， PA 交半圆 O 于 R，则下列等式中正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. = 解 析 ： (1)连接 AQ，如图 1， BP 与半圆 O 切于点 B， AB 是半圆 O 的直径， ABP=ACB=90 . OQBC ， OQB=90 . OQB=OBP=90 .
8、又 BOQ=POB ， OQBOBP . . OA=OB ， . 又 AOQ=POA ， OAQOPA . OAQ=APO . OQB=ACB=90 ， ACOP . CAP=APO . CAP=OAQ . CAQ=BAP . ACQ=ABP=90 ， ACQABP . . 故 A 正确 . (2)如图 1， OBPOQB ， . . AQOP ， . 故 C 不正确 . (3)连接 OR，如图 2 所示 . OQBC ， BQ=CQ . AO=BO ， OQ= AC. OR= AB. = ， =2. . . 故 B 不正确 . (4)如图 2， ， 且 AC=2OQ， AB=2OB， OB=
9、OR， . ABAP ， . 故 D 不正确 . 答案 ： A. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分 ) 13.(4 分 )2-2=_ . 解析： 2-2= = . 答案 ： . 14.(4 分 )“ 五一 ” 小长假，以生态休闲为特色的绵阳近郊游倍受青睐 .假期三天，我市主要景区景点人气火爆，据市旅游局统计，本次小长假共实现旅游收入 5610 万元，将这一数据用科学记数法表示为 元 . 解析： 将 5610 万元用科学记数法表示为： 5.6110 7. 答案 ： 5.6110 7. 15.(4 分 )如图， lm ，等边 ABC 的顶点 A 在直线 m 上，则 = .
10、解析： 如图，延长 CB 交直线 m 于 D， ABC 是等边三角形， ABC=60 ， lm ， 1=40 . =ABC -1=60 -40=20 . 答案 ： 20 . 16.(4 分 )如图， O 的半径为 1cm，正六边形 ABCDEF 内接于 O ，则图中阴影部分面积为 _ cm2.(结果保留 ) 解析： 如图所示：连接 BO， CO， 正六边形 ABCDEF 内接于 O ， AB=BC=CO=1 ， ABC=120 ， OBC 是等边三角形， COAB ， 在 COW 和 ABW 中 ， COWABW (AAS)， 图中阴影部分面积为： S 扇形 OBC= = . 答案 ： . 1
11、7.(4 分 )如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是边 BC、 CD 上的点， EAF=45 ， ECF 的周长为 4，则正方形 ABCD 的边长为 . 解析： 将 DAF 绕点 A 顺时针旋转 90 度到 BAF 位置， 由题意可得出： DAFBAF ， DF=BF ， DAF=BAF ， EAF=45 ， 在 FAE 和 EAF 中 ， FAEEAF (SAS)， EF=EF ， ECF 的周长为 4， EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=DF+FC+BC=4 ， 2BC=4 ， BC=2 . 答案 ： 2. 18.(4 分 )将边长为 1 的正方形纸片按图
12、1 所示方法进行对折，记第 1 次对折后得到的图形面积为 S1，第 2 次对折后得到的图形面积为 S2， ，第 n 次对折后得到的图形面积为 Sn，请根据图 2 化简， S1+S2+S3+S 2014= . 解析： 观察发现 S1+S2+S3+S 2014= + + + =1- ， 答案 ： 1- . 三、解答题 (共 7 小题，满分 90 分 ) 19.(16 分 )计算： (2014- )0+|3- |- ； 解析： 根据零指数幂和分母有理化得到原式 =1+2 -3-2 ，然后合并即可； 答案： 原式 =1+2 -3-2 =-2； 20.(12 分 )四川省 “ 单独两孩 ” 政策于 20
13、14年 3月 20 日正式开始实施，该政策的实施可能给我们的生活带来一些变化，绵阳市人口计生部门抽样调查了部分市民 (每个参与调查的市民必须且只能在以下 6 种变化中选择一项 )，并将调查结果绘制成如下统计图： 根据统计图，回答下列问题： (1)参与调查的市民一共有 人； (2)参与调查的市民中选择 C 的人数是 人； (3)= ； (4)请补全条形统计图 . 解析： (1)根据 A 类的有 700 人，所占的比例是 35%，据此即可求得总人数； (2)利用总人数乘以对应的比例即可求解； (3)利用 360 乘以对应的比例即可求解； (4)利用总人数乘以对应的比例求得 D 类的人数，然后根据
14、(1)即可作出统计图 . 答案： (1)参与调查的市民一共有： 70035%=2000 (人 )； (2)参与调查的市民中选择 C 的人数是： 2000 (1-35%-5%-10%-15%-15%)=400(人 )； (3)=36015%=54 ； (4)D 的人数： 200010%=200 (人 ). 21.(12 分 )绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张 20 元，学生票每张 5 元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案 1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案 2：按总价的 90%付款，某校有 4 名老师与若干名 (不少于 4 人 )学生听音乐会 .
15、(1)设学生人数为 x(人 )，付款总金额为 y(元 )，分别建立两种优惠方案中 y与 x 的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案 . 解析： (1)首先根据优惠方案 ：付款总金额 =购买成人票金额 +除去 4 人后的学生票金额； 优惠方案 ：付款总金额 =(购买成人票金额 +购买学生票金额 ) 打折率，列出 y 关于 x 的函数关系式， (2)根据 (1)的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数 .再就三种情况讨论 . 答案： (1)按优惠方案 可得 y1=204+ (x-4)5=5x+60 (x4 )， 按优惠方案 可得 y2=(5x+204 )90%=4.
16、5x+72 (x4 )； (2)因为 y1-y2=0.5x-12(x4 )， 当 y1-y2=0 时，得 0.5x-12=0，解得 x=24， 当购买 24 张票时，两种优惠方案付款一样多 . 当 y1-y2 0 时，得 0.5x-12 0，解得 x 24， 4x 24 时， y1 y2，优惠方案 付款较少 . 当 y1-y2 0 时，得 0.5x-12 0，解得 x 24， 当 x 24 时， y1 y2，优惠方案 付款较少 . 22.(12 分 )如图，已知反比例函数 y= (k 0)的图象经过点 A(1， m)，过点 A 作 ABy 轴于点 B，且 AOB 的面积为 1. (1)求 m，
17、 k 的值； (2)若一次函数 y=nx+2(n0 )的图象与反比例函数 y= 的图象有两个不同的公共点，求实数n 的取值范围 . 解析： (1)根据三角形的面积公式即可求得 m 的值； (2)若一次函数 y=nx+2(n0 )的图象与反比例函数 y= 的图象有两个不同的公共点，则方程=nx+2 有两个不同的解，利用根的判别式即可求解 . 答案： (1)由已知得： SAOB = 1m=1 ， 解得： m=2， 把 A(1， 2)代入反比例函数解析式得： k=2； (2)由 (1)知反比例函数解析式是 y= ， 由题意得： 有两个不同的解，即 =nx+2 有两个不同的解， 方程去分母，得： nx
18、2+2x-2=0， 则 =4+8n 0， 解得： n - 且 n0 . 23.(12 分 )如图，已知 ABC 内接于 O ， AB 是 O 的直径，点 F 在 O 上，且满足 = ，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于 D 点，交 AF 的延长线于 E 点 . (1)求证： AEDE ； (2)若 tanCBA= ， AE=3，求 AF 的长 . 解析： (1)首先连接 OC，由 OC=OA， = ，易证得 OCAE ，又由 DE 切 O 于点 C，易证得AEDE ； (2)由 AB 是 O 的直径，可得 ABC 是直角三角形，易得 AEC 为直角三角形，根据 AE=3 求得 AC
19、的长，然后连接 OF，可得 OAF 为等边三角形，知 AF=OA= ，在 ACB 中，利用已知条件求得答案 . 答案： (1)连接 OC， OC=OA ， BAC=OCA ， = ， BAC=EAC ， EAC=OCA ， OCAE ， DE 切 O 于点 C， OCDE ， AEDE ； (2)AB 是 O 的直径， ABC 是直角三角形， tanCBA= ， CBA=60 ， BAC=EAC=30 ， AEC 为直角三角形， AE=3， AC=2 ， 连接 OF， OF=OA ， OAF=BAC+EAC=60 ， OAF 为等边三角形， AF=OA= AB， 在 RtACB 中， AC=2
20、 ， tanCBA= ， BC=2 ， AB=4 ， AF=2 . 24.(12 分 )如图 1，矩形 ABCD 中， AB=4， AD=3，把矩形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE. (1)求证： DECEDA ； (2)求 DF 的值； (3)如图 2，若 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作 AEC 的内接矩形，使其定点 Q 落在线段 AE上，定点 M、 N 落在线段 AC 上，当线段 PE 的长为何值时，矩形 PQMN 的面积最大？并求出其最大值 . 解析： (1)由矩形和翻折的性质可知 AD=CE， DC=EA，根据 “SSS” 可
21、求得 DECEDA ； (2)根据勾股定理即可求得 . (3)由矩形 PQMN 的性质得 PQCA ，所以 ，从而求得 PQ，由 PNEG ，得出 = ，求得 PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得 . 答案： (1)由矩形和翻折的性质可知： AD=CE， DC=EA， 在 ADE 与 CED 中， DECEDA (SSS)； (2)如图 1， ACD=BAC ， BAC=CAE ， ACD=CAE ， AF=CF ， 设 DF=x，则 AF=CF=4-x， 在 RtADF 中， AD2+DF2=AF2， 即 32+x2=(4-x)2， 解得： x= ， 即 DF= . (3)如图
22、2，由矩形 PQMN 的性质得 PQCA 又 CE=3 ， AC= =5 设 PE=x(0 x 3)，则 ，即 PQ= 过 E 作 EGAC 于 G，则 PNEG ， = 又 在 RtAEC 中， EGAC=AECE，解得 EG= ， = ，即 PN= (3-x)， 设矩形 PQMN 的面积为 S， 则 S=PQPN=- x2+4x=- +3(0 x 3) 所以当 x= ，即 PE= 时，矩形 PQMN 的面积最大，最大面积为 3. 25.(14 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )的图象过点 M(-2， )，顶点坐标为 N(-1， )，且与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y
23、轴交于 C点 . (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 为抛物线对称轴上的动点，当 PBC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标； (3)在直线 AC 上是否存在一点 Q，使 QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)先由抛物线的顶点坐标为 N(-1， )，可设其解析式为 y=a(x+1)2+ ，再将M(-2， )代入，得 =a(-2+1)2+ ，解方程求出 a 的值即可得到抛物线的解析式； (2)先求出抛物线 y=- x2- x+ 与 x 轴交点 A、 B，与 y 轴交点 C 的坐标，再根据勾股定理得到 BC= =2 .设 P(-1， m)，当 PB
24、C 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB ； BP=BC ； PB=PC ； (3)先由勾股定理的逆定理得出 BCAC ，连结 BC 并延长至 B ，使 BC=BC ，连结 BM ，交直线 AC 于点 Q，由轴对称的性质可知此时 QBM 的周长最小，由 B(-3， 0)， C(0， )，根据中点坐标公式求出 B (3， 2 )，再运用待定系数法求出直线 MB 的解析式为y= x+ ，直线 AC 的解析式为 y=- x+ ，然后解方程组 ，即可求出Q 点的坐标 . 答案： (1)由抛物线顶点坐标为 N(-1， )，可设其解析式为 y=a(x+1)2+ ， 将 M(-2， )代入，得 =a
25、(-2+1)2+ ， 解得 a=- ， 故所求抛物线的解析式为 y=- x2- x+ ； (2)y= - x2- x+ ， x=0 时， y= ， C (0， ). y=0 时， - x2- x+ =0， 解得 x=1 或 x=-3， A (1， 0)， B(-3， 0)， BC= =2 . 设 P(-1， m)， 当 CP=CB 时，有 CP= =2 ，解得 m= ； 当 BP=BC 时，有 BP= =2 ，解得 m=2 ； 当 PB=PC 时， = ，解得 m=0， 综上，当 PBC 为等腰三角形时，点 P 的坐标为 (-1， + )， (-1， - )， (-1，2 )， (-1， -2
26、 )， (-1， 0)； (3)由 (2)知 BC=2 ， AC=2， AB=4， 所以 BC2+AC2=AB2，即 BCAC . 连结 BC 并延长至 B ，使 BC=BC ，连结 BM ，交直线 AC 于点 Q， B 、 B 关于直线 AC 对称， QB=QB ， QB+QM=QB+QM=MB ， 所以此时 QBM 的周长最小 . 由 B(-3， 0)， C(0， )，易得 B (3， 2 ). 设直线 MB 的解析式为 y=kx+n， 将 M(-2， )， B (3， 2 )代入， 得 ，解得 ， 即直线 MB 的解析式为 y= x+ . 同理可求得直线 AC 的解析式为 y=- x+ . 由 ，解得 ，即 Q(- ， ). 所以在直线 AC 上存在一点 Q(- ， )，使 QBM 的周长最小 .
