1、2014 年四川省自贡市中考真题数学 一、选择题： (共 10 小题，每小题 4分，共 40分 ) 1.(4 分 )比 -1 大 1 的数是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-2 解 析 ： (-1)+1=0， 故比 -1 大 1 的数是 0， 答案： C. 2.(4 分 )(x4)2等于 ( ) A.x6 B.x8 C.x16 D.2x4 解 析 ：原式 =x42 =x8， 答案： B. 3.(4 分 )如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的正视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：由俯视图可知，几个小立方体所搭
2、成的几何体如图所示， 故正视图为 ， 答案： D. 4.(4分 )拒绝 “ 餐桌浪费 ” 刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为 50000000000千克，这个数据用科学记数法表示为 ( ) A.510 10 B.0.510 11 C.510 11 D.0.510 10 解 析 ：将 50000000000 用科学记数法表示为： 510 10. 答案： A. 5.(4 分 )一元二次方程 x2-4x+5=0 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解 析 ： a=1 ， b=-4， c=5， =b 2-4ac=(-4)2-
3、415= -4 0， 所以原方程没有实数根 . 答案： D. 6.(4 分 )下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误 . 答案： C. 7.(4 分 )一组数据， 6、 4、 a、 3、 2 的平均数是 5，这组数据的方差为 ( ) A.8 B.5 C. D.3 解 析 ： 6 、 4、 a、 3、 2 的平均数是 5，
4、 (6+4+a+3+2)5=5 ， 解得： a=10， 则这组数据的方差 S2= (6-5)2+(4-5)2+(10-5)2+(3-5)2+(2-5)2=8； 答案： A. 8.(4 分 )一个扇形的半径为 8cm，弧长为 cm，则扇形的圆心角为 ( ) A.60 B.120 C.150 D.180 解 析 ：设扇形圆心角为 n ，根据弧长公式可得： = ， 解得： n=120 ， 答案： B. 9.(4 分 )关于 x 的函数 y=k(x+1)和 y= (k0 )在同一坐标系中的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：当 k 0 时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过
5、第一、二、三象限，故 A、 C 错误； 当 k 0 时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限，故 B 错误， D正确； 答案： D. 10.(4 分 )如图，在半径为 1 的 O 中， AOB=45 ，则 sinC 的值为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：过点 A 作 ADOB 于点 D， 在 RtAOD 中， AOB=45 ， OD=AD=OAcos45= 1= ， BD=OB -OD=1- ， AB= = ， AC 是 O 的直径， ABC=90 ， AC=2， sinC= . 答案： B. 二 .填空题： (共 5 小题，每小题 4 分，共 20分 ) 11
6、.(4 分 )分解因式： x2y-y= . 解 析 ： x2y-y， =y(x2-1)， =y(x+1)(x-1)， 答案： y(x+1)(x-1). 12.(4 分 )不等式组 的解集是 . 解 析 ： ，由 得， x ，由 得， x 1， 故此不等式组的解集为： 1 x . 答案： 1 x . 13.(4 分 )一个多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180 ，则它的边数是 . 解 析 ：根据题意，得 (n-2) 180=3360+180 ， 解得： n=9. 则这个多边形的边数是 9. 答案： 9. 14.(4 分 )一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与 O 等高，如图放置， O
7、 与 BC 相切于点 C，O 与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为 cm. 解 析 ：连接 OC，并过点 O 作 OFCE 于 F， 且 ABC 为等边三角形，边长为 4， 故高为 2 ，即 OC= ， 又 ACB=60 ，故有 OCF=30 ， 在 RtOFC 中，可得 FC=OCcos30= ， OF 过圆心，且 OFCE ，根据垂径定理易知 CE=2FC=3. 答案： 3. 15.(4 分 )一次函数 y=kx+b，当 1x4 时， 3y6 ，则 的值是 . 解 析 ：当 k 0 时，此函数是增函数， 当 1x4 时， 3y6 ， 当 x=1 时， y=3；当 x=4 时， y=6，
8、 ，解得 ， =2； 当 k 0 时，此函数是减函数， 当 1x4 时， 3y6 ， 当 x=1 时， y=6；当 x=4 时， y=3， ，解得 ， =-7. 答案： 2 或 -7. 三 .解答题： (共 2 小题，每小题 8 分，共 16分 ) 16.(8 分 )解方程： 3x(x-2)=2(2-x) 解析： 先移项，然后提取公因式 (x-2)，对等式的左边进行因式分解 . 答案： 由原方程，得 (3x+2)(x-2)=0， 所以 3x+2=0 或 x-2=0， 解得 x1=- ， x2=2. 17.(8 分 )计算： (3.14- )0+(- )-2+|1- |-4cos45 . 解析：
9、 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案： 原式 =1+4+2 -1-4 =4. 四 .解答题： (共 2 小题，每小题 8 分，共 16分 ) 18.(8 分 )如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑 2.7 米的 A 处自 B 点看雕塑头顶 D 的仰角为 45 ，看雕塑底部 C 的仰角为 30 ，求塑像 CD 的高度 .(最后结果精确到 0.1 米，参考数据： ) 解析： 首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形 DEB 、 CEB ，再利用其公共边 BE 求得 DE、
10、 CE，再根据 CD=DE-CE 计算即可求出答案 . 答案 ：在 RtDEB 中， DE=BE tan45=2.7 米， 在 RtCEB 中， CE=BE tan30=0.9 米， 则 CD=DE-CE=2.7-0.9 1.2 米 . 故塑像 CD 的高度大约为 1.2 米 . 19.(8 分 )如图，四边形 ABCD 是正方形， BEBF ， BE=BF， EF 与 BC 交于点 G. (1)求证： AE=CF； (2)若 ABE=55 ，求 EGC 的大小 . 解析： (1)利用 AEBCFB 来求证 AE=CF. (2)利用角的关系求出 BEF 和 EBG ， EGC=EBG+BEF
11、求得结果 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是正方形， ABC=90 ， AB=BC， BEBF ， FBE=90 ， ABE+EBC=90 ， CBF+EBC=90 ， ABE=CBF ， 在 AEB 和 CFB 中， AEBCFB (SAS)， AE=CF. (2)BEBF ， FBE=90 ， 又 BE=BF ， BEF=EFB=45 ， 四边形 ABCD 是正方形， ABC=90 ， 又 ABE=55 ， EBG=90 -55=35 ， EGC=EBG+BEF=45+35=80. 五 .解答题： (共 2 小题，每小题 10 分，共 20分 ) 20.(10 分 )为了提高学生书写
12、汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届 “ 汉字听写大赛 ” ，经选拔后有 50 名学生参加决赛，这 50 名学生同时听写 50 个汉字，若每正确听写出一个汉字得 1 分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 请结合图表完成下列各题： (1)求表中 a 的值； (2)请把频数分布直方图补充完整； (3)若测试成绩不低于 40 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ (4)第 5 组 10 名同学中，有 4 名男同学，现将这 10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4 名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同 学能分在同一组的概率 . 解析： (1)用总人数减去第 1
13、、 2、 3、 5 组的人数，即可求出 a 的值； (2)根据 (1)得出的 a 的值，补全统计图； (3)用成绩不低于 40 分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率； (4)用 A 表示小宇， B 表示小强， C、 D 表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可 . 答案： (1)表中 a 的值是： a=50-4-8-16-10=12； (2)根据题意画图如下： (3)本次测试的优秀率是 =0.44. 答：本次测试的优秀率是 0.44； (4)用 A 表示小宇， B 表示小强， C、 D 表示其他两名同学，根据题意画树状图如下： 共有 12 种情况，小宇与小强两名男同学分在
14、同一组的情况有 4 种， 则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是 = . 21.(10 分 )学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要 40 分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理 20 分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了 20 分钟才完成任务 . (1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？ (2)学校要求王师傅的工作时间不能超过 30 分钟，要完成整理这批器材，李 老师至少要工作多少分钟？ 解析： (1)设王师傅单独整理这批实验器材需要 x 分钟，则王师傅的工作效率为 ，根据李老师与工人王师傅共同整理 20 分钟的工作量 +王师傅再单独整理了
15、 20 分钟的工作量 =1，可得方程，解出即可； (2)根据王师傅的工作时间不能超过 30 分钟，列出不等式求解 . 答案： (1)设王师傅单独整理这批实验器材需要 x 分钟，则王师傅的工作效率为 ， 由题意，得： 20( + )+20 =1， 解得： x=80， 经检验得： x=80 是原方程的根 . 答：王师傅单独整理这批实验器材需要 80 分钟 . (2)设李老师要工作 y 分钟， 由题意，得： (1- ) 30 ， 解得： y25. 答：李老师至少要工作 25 分钟 . 六 .解答题： (本题满分 12 分 ) 22.(12 分 )如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象交于
16、 A(m， 6)， B(3，n)两点 . (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出 的 x 的取值范围； (3)求 AOB 的面积 . 解析： (1)先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 6m=6， 3n=6，解得 m=1， n=2，这样得到 A 点坐标为 (1， 6)， B 点坐标为 (3， 2)，然后利用待定系数求一次函数的解析式； (2)观察函数图象找出反比例函数图象都在一次函数图象上方时 x 的取值范围； (3)先确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标，然后利用 SAOB =SCOD -SCOA -SBOD 进行计算 . 答案： (1)分别把 A(m， 6)， B(3， n)代
17、入 得 6m=6， 3n=6， 解得 m=1， n=2， 所以 A 点坐标为 (1， 6)， B 点坐标为 (3， 2)， 分别把 A(1， 6)， B(3， 2)代入 y=kx+b 得 ， 解得 ， 所以一次函数解析式为 y=-2x+8； (2)当 0 x 1 或 x 3 时， ； (3)如图，当 x=0 时， y=-2x+8=8，则 C 点坐标为 (0， 8)， 当 y=0 时， -2x+8=0，解得 x=4，则 D 点坐标为 (4， 0)， 所以 SAOB =SCOD -SCOA -SBOD = 48 - 81 - 42 =8. 七 .解答题： (本题满分 12 分 ) 23.(12 分
18、 )阅读理解： 如图 ，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与 A、 B 重合 )，分别连接 ED、 EC，可以把四边形 ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD的边 AB 上的 “ 相似点 ” ；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB上的 “ 强相似点 ” .解决问题： (1)如图 ， A=B=DEC=45 ，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由； (2)如图 ，在矩形 ABCD 中， A、 B、 C、 D 四点均在正方形网格 (网格中每个小正方形的边长为 1)
19、的格点 (即每个小正方形的顶点 )上，试在图 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的强相似点； (3)如图 ，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB边上的点 E处，若点 E恰好是四边形ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 与 BC 的数量关系 . 解析： (1)要证明点 E 是四边形 ABCD的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明 ADEBEC ，所以问题得解 . (2)以 CD 为直径画弧，取该弧与 AB 的一个交点即为所求； (3)由点 E 是矩形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点，得 AEMBCEECM ，根据相似三角形的对
20、应角相等，可求 得 BCE= BCD=30 ，利用含 30 角的直角三角形性质可得 BE 与AB， BC 边之间的数量关系，从而可求出 AB 与 BC 边之间的数量关系 . 答案： (1)A=B=DEC=45 ， AED+ADE=135 ， AED+CEB=135 ADE=CEB ， 在 ADE 和 BEC 中， ， ADEBEC ， 点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 . (2)如图所示：点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点， (3) 点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点， AEMBCEECM ， BCE=ECM=AEM. 由折叠可知： E
21、CMDCM ， ECM=DCM ， CE=CD， BCE= BCD=30 ， BE= ， 在 RtBCE 中， tanBCE= =tan30= ， . 八 .解答题： (本题满分 14 分 ) 24.(14 分 )如图，已知抛物线 y=ax2- x+c 与 x 轴相交于 A、 B两点，并与直线 y= x-2交于B、 C 两点，其中点 C 是直线 y= x-2 与 y 轴的交点，连接 AC. (1)求抛物线的解析式； (2)证明： ABC 为直角三角形； (3)ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFG？ (顶点 D、 E、 F、 G 在 ABC 各边上 )若能，求出最大面积；若不能，请说明理
22、由 . 解析： (1)由直线 y= x-2 交 x 轴、 y 轴于 B、 C 两点，则 B、 C 坐标可求 .进而代入抛物线y=ax2- x+c，即得 a、 c 的值，从而有抛物线解析式 . (2)求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为 90 或勾股定理 .本题中未提及特殊角度，而已知 A、 B、 C 坐标，即可知 AB、 AC、 BC，则显然可用勾股定理证明 . (3)在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形， 一点为 C， AB、 AC、 BC 边上各有一点， AB 边上有两点， AC、 BC 边上各有一点 .讨论时可设矩形一边长 x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而
23、描述面积函数 .利用二次函数最值性质可求得最大面积 . 答案： (1) 直线 y= x-2 交 x 轴、 y 轴于 B、 C 两点， B (4， 0)， C(0， -2)， y=ax 2- x+c 过 B、 C 两点， ， 解得 ， y= x2- x-2. (2)如图 1，连接 AC， y= x2- x-2 与 x 负半轴交于 A 点， A (-1， 0)， 在 RtAOC 中， AO=1 ， OC=2， AC= ， 在 RtBOC 中， BO=4 ， OC=2， BC=2 ， AB=AO+BO=1+4=5 ， AB 2=AC2+BC2， ABC 为直角三角形 . (3)ABC 内部可截出面积
24、最大的矩形 DEFG，面积为 ，理由如下： 一点为 C， AB、 AC、 BC 边上各有一点，如图 2，此时 AGFACBFEB. 设 GC=x， AG= -x， ， ， GF=2 -2x， S=GCGF=x (2 )=-2x2+2 x=-2(x- )2- =-2(x- )2+ ， 即当 x= 时， S 最大，为 . AB 边上有两点， AC、 BC 边上各有一点，如图 3，此时 CDECABGAD ， 设 GD=x， ， ， AD= x， CD=CA -AD= - x， ， ， DE=5 - x， S=GDDE=x (5- x)=- x2+5x=- (x-1)2-1=- (x-1)2+ ， 即 x=1 时， S 最大，为 . 综上所述， ABC 内部可截出面积最大的矩形 DEFG，面积为 .
