1、2014 年四川省资阳市中考模拟数学 一、选择题： (本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30 分 )在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 . 1.(3 分 )下列各数中，最小的数是 ( ) A.-1 B.-6 C.2 D.3 解 析 ：四个选项中，最小的数是 -6. 答案： B. 2.(3 分 )在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 60 个，除颜色外其他完全相同 .小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 25%左右，则口袋中红色球可能有 ( ) A.5 个 B.10 个 C.15 个 D.45 个 解 析 ： 摸到红色球的频率稳定在 25%左右， 口袋
2、中红色球的频率为 25%，故红球的个数为 6025%=15( 个 ). 答案 ： C. 3.(3 分 )函数 中自变量 x 的取值范围是 ( ) A.x2 B.x -2 C.x 2 D.x -2 解 析 ： 依题意，得 x+20 ， 解得 x -2， 答案 ： B. 4.(3 分 )若一个正多边形的一个外角是 40 ，则这个正多边形的边数是 ( ) A.10 B.9 C.8 D.6 解 析 ： 多边形的每个外角相等，且其和为 360 ， 据此可得 =40，解得 n=9. 答案 ： B. 5.(3 分 )预计全国参加高等院校统一招生考试的学生约 10 153 000 人，其中 10 153 00
3、0 用科学记数法表示应为 ( ) A.10.15310 6 B.1.015310 7 C.0.1015310 8 D.1.015310 9 解 析 ： 10 153 000=1.015310 7， 答案 ： B. 6.(3 分 )若两圆的直径分别是 3cm 和 9cm，圆心距为 8cm，则这两个圆的位置关系是 ( ) A.内切 B.外离 C.相交 D.外切 解 析 ： 两圆的直径分别为 3cm 和 9cm， 两圆的半径分别为 1.5cm 和 4.5cm， 两圆圆心距 d 4.5+1.5=6 故两圆外离 . 答案 ： B. 7.(3 分 )如图，把矩形 ABCD 沿 EF 折叠后使 A 与 A
4、、 B 与 B 重合，若 1=50 ，则AEF=( ) A.130 B.110 C.120 D.115 解 析 ： 矩形 ABCD 沿 EF 折叠后使 A 与 A 、 B与 B 重合， BFE=EFB ， 1=50 ， BFE=65 ， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC ， AEF+BFE=180 ， AEF=180 -65=115 ， 答案 ： D. 8.(3 分 )若不等式组 有解，则 a 的取值范围是 ( ) A.a 1 B.a1 C.a -1 D.a -1 解 析 ： ， 解 得 x -a， 解 得 x -1， 不等式组的解集为： -ax -1. 不等式组有解， -a -1，即 a
5、 1， a 的取值范围是 a 1， 答案 ： A. 9.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，有以下结论： 4a+2b+c 0； 4a -2b+c 2； abc 0； 16a -4b+c 0； c -a 2 其中所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由图示知，当 x=2 时， y=4a+2b+c 0，故 正确； 当 x=-2 时， y=4a-2b+c 2，故 正确； 由抛物线的开口向下知 a 0，与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上， c 0，对称轴为 x=- =-2，得 4a=b， a 、 b 同号，即 b 0， abc 0，故 正确； 对
6、称轴为 x=- =-2， 点 (0， 2)的对称点为 (-4， 2)， 当 x=-4 时， y=16a-4b+c=2 0.故 错误； x= -1 时， a-b+c 2，又 - =-2，即 b=4a， c -a 2.故 正确 . 综上所述，正确的结论是 . 答案 ： C. 10.(3 分 )在矩形 ABCD 中， AB=1， AD= ， AF 平分 DAB ，过 C 点作 CEBD 于 E，延长 AF、EC 交于点 H，下列结论中： AF=FH ； BO=BF ； CA=CH ； BE=3ED. 正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： AB=1 ， AD= ， BD=AC=2 ，
7、OB=OA=OD=OC=1. OB=OA=OD=OC=AB=CD=1 ， OAB ， OCD 为等边三角形 . AF 平分 DAB ， FAB=45 ，即 ABF 是一个等腰直角三角形 . BF=AB=1 ， BF=BO=1. FAB=45 ， CAH=45 -30=15. ACE=30( 正三角形上的高的性质 ) AHC=15 ， CA=CH ， 由正三角形上的高的性质可知： DE=OD2 ， OD=OB， BE=3ED. 答案 ： D 二、填空题： (本大题共 6 个小题，每小题 3分，共 18 分 ). 11.(3 分 )分解因式： x3-x= . 解 析 ： x3-x， =x(x2-1
8、)， =x(x+1)(x-1). 答案 ： x(x+1)(x-1). 12.(3 分 )一组数据 4， 3， 5， x， 4， 5 的众数是 5，则 x= . 解 析 ： 4 ， 3， 5， x， 4， 5 的众数是 5， x=5. 答案 ： 5. 13.(3 分 )一次函数 y=-2x+4，当函数值为正时， x 的取值范围是 . 解 析 ： 一次函数 y=-2x+4，当函数值为正，即 -2x+4 0， 解得： x 2. 答案 ： x 2. 14.(3 分 )如图，在 ABCD 中， BD 为对角线， E、 F 分别是 AD、 BD 的中点，连接 EF.若 EF= ，则 CD 的长为 . 解
9、析 ： E 、 F 分别是 AD、 BD 的中点， EF 是 ABD 的中位线， AB=2EF=2 =9， 在 ABCD 中， CD=AB=9. 答案 ： 9. 15.(3 分 )某小区为美化小区环境，要打造一块等腰三角形的草地，它的一边长为 20m，面积为 160m2，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 m. 解 析 ： (1)当 20 是等腰三角形的底边时， 根据面积求得底边上的高 AD 是 16， 再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半 BD=10， 根据勾股定理即可求得其腰长 AB= = =2 ，此时三角形的周长是20+4 ；
10、(2)当 20 是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况 . 根据面积求得腰上的高是 16； 当高在三角形的外部时， 在 RTADC 中， AD= =12，从而可得 BD=32， 进一步根据勾股定理求得其底边是 BC= = =16 ，此时三角形的周长是 40+16 ； 当高在三角形的内部时， 根据勾股定理求得 AD= =12， BD=AB-AD=8， 在 RTCDB 中， BC= 是 =8 ，此时三角形的周长是 40+8 ； 答案 ： 20+ 或 40+ 或 40+ . 16.(3 分 )将一根绳子对折 1 次从中间剪断，绳子变成 3 段；将一根绳子对折 2 次，从
11、中间剪断，绳子变成 5 段；依此类推，将一根绳子对折 2014 次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成 段 . 解 析 ： 对折 1 次从中间剪断，有 21+1=3；对折 2 次，从中间剪断，有 22+1=5. 对折 n 次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成 2n+1 段， 对折 2014 次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成 22014+1 段 . 答案 ： (22014+1) 三、解答题 (本大题共 8 个小题，共 72分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 ). 17.(7 分 )(1)计算： (x-1)2+2(1+x)； (2)解分式方程： = . 解 析 ： (1)首先利用
12、完全平方公式计算，然后合并同类项，即可求解； (2)去分母即可化成整式方程求得 x 的值，然后进行检验即可 . 答案 ： (1)原式 =x2-2x+1+2+2x =3x+6； (2)去分母得： 2(x+1)=x-4， 解得 x=-6， 检验 x=-6 是原方程的解 . 所以，原方程的解为 x=-6. 18.(8 分 )某工厂用 A、 B、 C 三台机器加工生产一种产品 .对 2009 年第一季度的生产情况进行统计，图 1 是三台机器的产量统计图，图 2 是三台机器产量的比例分布图 . (图中有部分信息未给出 ) (1)利用图 1 信息，写出 B 机器的产量，并估计 A 机器的产量； (2)综合
13、图 1 和图 2 信息，求 C 机器的产量 . 解 析 ： (1)根据条形统计图读出数据即可； (2)根据扇形统计图求得 C 所占的百分比，根据 A 所占得百分比计算总数，再进一步根据总数进行计算 . 答案 ： (1)B 机器 的产量为 150 件， A 机器的产量约为 210 件； (2)C 机器产量的百分比为 40%. 设 C 机器的产量为 x， 由 ，得 x=240，即 C 机器的产量为 240 件 . 19.(8 分 )某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润 y(元 /千度 )与电价 x(元 /千度 )的函数图象如图：
14、 (1)当电价为 600 元 /千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？ (2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价 x(元 /千度 )与每天用电量 m(千度 )的函数关系为 x=5m+600， 且该工厂每天用电量不超过 60 千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？ 解 析 ： (1)设 y=kx+b(k0) ，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； (2)根据利润 =每天的用电量 每千度电产生利润 y，然后整理得到 W 与 m 的关系式，再根据二次函数的最值问题解答 . 答案 ： (1)设工厂每千度电产生利润 y(元 /千度 )与电
15、价 x(元 /千度 )的函数解析式为： y=kx+b， 该函数图象过点 (0， 300)， (500， 200)， ， 解得 . 所以 y=-0.2x+300(x0) ， 当电价 x=600 元 /千度时，该工厂消耗每千度电产生利润 y=-0.2600+300=180( 元 /千度 )； (2)设工厂每天消耗电产生利润为 w 元，由题意得： w=my=m(-0.2x+300) =m-0.2(5m+600)+300 =-m2+180m =-(m-90)2+8100， 在 m90 时， W 随 m 的增大而最大， 由题意， m60 ， 当 m=60 时， w 最大 =-(60-90)2+8100=
16、7200， 即当工厂每天消耗 60 千度电时，工厂每天消耗电产生利润为最大，最大 利润为 7200 元 . 20.(8 分 )如图，点 A、 B、 D、 E 在 O 上，弦 AE、 BD 的延长线相交于点 C.若 AB 是 O 的直径， D 是 BC 的中点 . (1)试判断 AB、 AC 之间的大小关系，并给出证明； (2)在上述题设条件下，当 ABC 为正三角形时，点 E 是否 AC 的中点？为什么？ 解 析 ： (1)连接 AD，根据圆周角定理求出 ADB=90 ，根据线段垂直平分线性质推出即可； (2)根据圆周角定理求出 AEB=90 ，根据等腰三角形性质求出即可 . 答案 ： (1)
17、AB=AC，连结 AD， AB 是 O 的直径 ADB=90 ， 即 ADBC ， BD=DC ， AB=AC ； (2)当 ABC 为正三角形时， E 是 AC 的中点， 连接 BE， AB 为直径， BEA=90 ， 即 BEAC ， ABC 为正三角形， AE=EC ， 即 E 是 AC 的中点 . 21.(9 分 )近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是 CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中 CO 的浓度达到 4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第 7 小时达到最高值 46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的 CO 浓度成反比例 下降 .
18、如图，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中 CO 浓度 x 与时间 y 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中的 CO 浓度达到 36mg/L 时，井下 6km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少 km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的 CO 浓度降到 16mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 解 析 ： (1)根据图象可以得到函数关系式， y=k1x+b(k10) ，再由图象所经过点的坐标 (0， 4)，(7， 46)求出 k1与 b 的值，然后得出函数式 y=6x+4，从
19、而求出自变量 x 的取值范围 .再由图象知 (k20) 过点 (7， 46)，求出 k2的值，再由函数式求出自变量 x 的取值范围 . (2)结合以上关系式，当 y=34 时，由 y=6x+4 得 x=5，从而求出撤离的最长时间，再由 v= 求速度 . (3)由关系式 知， y=4 时， x=80.5，矿工至少在爆炸后 80.5-7=73.5(小时 )才能下井 . 答案 ： (1)因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设 y 与 x 的函数关系式为 y=k1x+b 由图象知 y=k1x+b 过点 (0， 4)与 (7， 46) 解 得 y=6x+4 ，此时自变量 x 的取值范围是 0x7. 因为
20、爆炸后浓度成反比例下降，所以可设 y 与 x 的函数关系式为 . 由图象知 过点 (7， 46)， =46， k 2=322， y= ，此时自变量 x 的取值范围是 x 7. (2)当 y=36 时，由 y=6x+4 得， 6x+4=36， x= 撤离的最长时间为 7- = (小时 ). 撤离的最小速度为 6 =3.6(km/h). (3)当 y=16 时，由 得， x= ， -7= (小时 ). 矿工至少在爆炸后 小时能才下井 . 22.(9 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P在 O 上， 1=C. (1)试判断 CB、 PD 的位置关系，并证明你的结论； (
21、2)若 BC=28， sinP= ，求 O 的直径 . 解 析 ： (1)根据同弧所对的圆周角相等，判断出 1=P ，从而求出 CBPD ； (2)根据 AB 为 O 直径，判断出 ACB=90 ，再根据 ，判断出 A=P ，利用三角函数求出 O 的直径 . 答案 ： (1)CBPD. ， C=P. 又 1=DCB ， 1=P. CBPD. (2)连接 AC. AB 为 O 的直径， ACB=90. 又 CDAB ， . A=P. sinA=sinP. 在 RtABC 中， ， ， . BC=28 ， AB=35. 即 O 的直径为 35. 23.(13 分 )如图所示， (1)正方形 ABC
22、D 及等腰 RtAEF 有公共顶点 A， EAF=90 ，连接 BE、 DF.将 RtAEF 绕点A 旋转，在旋转过程中， BE、 DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图 (1)给予证明； (2)将 (1)中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 RtAEF 变为 RtAEF ，且 AD=kAB， AF=kAE，其他条件不变 .(1)中的结论是否发生变化？结合图 (2)说明理由； (3)将 (2)中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 RtAEF 变为 AEF ，且 BAD=EAF=a ，其他条件不变 .(2)中的结论是否发生变化？结合图 (3)，如果不变，直接写出结论；如
23、果变化，直接用 k 表示出线段 BE、 DF 的数量关系，用 a 表示出直线 BE、 DF形成的锐角 . 解 析 ： (1)根据旋转的过程中线段的长度不变，得到 AF=AE，又 BAE 与 DAF 都与 BAF 互余，所以 BAE=DAF ，所以 FADEAB ，因此 BE 与 DF 相等，延长 DF 交 BE于 G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360 求出 EGF=90 ，所以 DFBE ； (2)等同 (1)的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以FADEAB ，所以 DF=kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360
24、求出 EHF=90 ，所以 DFBE ； (3)与 (2)的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形 的内角和等于 360 求出 EAF+EHF=180 ，所以 DF 与 BE 的夹角 =180 -. 答案 ： (1)DF 与 BE 互相垂直且相等 . 证明：延长 DF 分别交 AB、 BE 于点 P、 G(1 分 ) 在正方形 ABCD 和等腰直角 AEF 中 AD=AB， AF=AE， BAD=EAF=90 FAD=EAB FADEAB(2 分 ) AFD=AEB ， DF=BE(3 分 ) AFD+AFG=180 ， AEG+AFG=180 ， EAF=90 ， EGF=180
25、 -90=90 ， DFBE(5 分 ) (2)数量关系改变，位置关系不变 .DF=kBE， DFBE.(7 分 ) 延长 DF 交 EB 于点 H， AD=kAB ， AF=kAE =k， =k = BAD=EAF=a FAD=EAB FADEAB(9 分 ) =k DF=kBE(10 分 ) FADEAB ， AFD=AEB ， AFD+AFH=180 ， AEH+AFH=180 ， EAF=90 ， EHF=180 -90=90 ， DFBE(5 分 ) (3)不改变 .DF=kBE， =180 -a.(7 分 ) 证法 (一 )：延长 DF 交 EB 的延长线于点 H， AD=kAB
26、， AF=kAE =k， =k = BAD=EAF=a FAD=EAB FADEAB(9 分 ) =k DF=kBE(10 分 ) 由 FADEAB 得 AFD=AEB AFD+AFH=180 AEB+AFH=180 四边形 AEHF 的内角和为 360 ， EAF+EHF=180 EAF= ， EHF= a+=180=180 -a(12 分 ) 证法 (二 )： DF=kBE 的证法与证法 (一 )相同 延长 DF 分别交 EB、 AB 的延长线于点 H、 G.由 FADEAB 得 ADF=ABE ABE=GBH ， ADF=GBH ， =BHF=GBH+G=ADF+G. 在 ADG 中，
27、BAD+ADF+G=180 ， BAD=a a+=180=180 -a(12 分 ) 证法 (三 )：在平行四边形 ABCD 中 ABCD 可得到 ABC+C=180 EBA+ABC+CBH=180C=EBA+CBH 在 BHP 、 CD P 中，由三角形内角和等于 180 可得 C+CDP=CBH+BHP EBA+CBH+CDP=CBH+BHP EBA+CDP=BHP 由 FADEAB 得 ADP=EBA ADP+CDP=BHP 即 ADC=BHP BAD+ADC=180 ， BAD=a ， BHP= a+=180=180 -a(12 分 ) (有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分 .
28、) 24.(10 分 )如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， OA=16cm，OC=8cm，现有两动点 P、 Q 分别从 O、 C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动， Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1cm 的速度匀速运动 .设运动时间为 t 秒 . (1)用含 t 的式子表示 OPQ 的面积 S； (2)判断四边形 OPBQ 的面积是否是一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)当 OPQABP 时，抛物线 y= x2+bx+c 经过 B、 P 两点，求抛物线的解析式； (4)
29、在 (3)的条件下，过线段 BP 上一动点 M作 y 轴的平行线交抛物线于 N，求线段 MN 的最大值 . 解 析 ： (1)根据速度与时间的关系分别表示出 CQ、 OP、 OQ 的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解； (2)用矩形 OABC 的面积减去 ABP 与 BCQ 的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解； (3)根据相似三角形对应边成比例列出比例式 = ，然后代入数据求解即可得到 t 值，从而得到点 P 的坐标； (4)先求出直线 BP 的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点 M、 N 的坐标，再根据两点间的距离表示出 MN 的长度 ，根据二次函数的最值
30、问题解答 . 答案 ： (1)CQ=t ， OP=2t， CO=8， OQ=8 -t， S OPQ = (8-t)2t= -t2+8t(0 t 8)； (2)S 四边形 OPBQ=S 矩形 ABCD-SPAB -SCBQ ， =816 - 8(16 -2t)- 16t ， =128-64+8t-8t， =64， 四边形 OPBQ 的面积为一个定值，且等于 64； (3)当 OPQABP 时， = ， = ， 解得： t1=2， t2=8(舍去 )， 此时 P(4， 0)， B(16 ， 8)， ， 解得 ， 抛物线解析式是 y= x2- x+ ； (4)设直线 BP 的解析式为 y=kx+b， 则 ， 解得 ， 直线 BP 的解析式是： y= x- ， 设 M(m， m- )、 N(m， m2- m+ )， M 在 BP 上运动， 4m16 ， MN= m- -( m2- m+ )=- m2+5m-16， 当 m=- =10 时， MN 有最大值是 9.
