1、2014 年四川省资阳市中考真题数学 一、选择题： (本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分 )在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 . 1.(3 分 ) 的相反数是 ( ) A. B. -2 C. D. 2 解析： 由相反数的定义可知， - 的相反数是 -(- )= . 答案： C. 2.(3 分 )下列立体图形中，俯视图是正方形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、正方体的俯视图是正方形，故 A 正确； B、圆柱的俯视图是圆，故 B 错误； C、三棱锥的俯视图是三角形，故 C 错误； D、圆锥的俯视图是圆，故 D 错误， 答案： A. 3.(3 分 )下列运
2、算正确的是 ( ) A. a3+a4=a7 B. 2a3 a4=2a7 C. (2a4)3=8a7 D. a8a 2=a4 解析： A、 a3和 a4不是同类项不能合并，故本选项错误； B、 2a3 a4=2a7，故本选项正确； C、 (2a4)3=8a12，故本选项错误； D、 a8a 2=a6，故本选项错误； 答案： B. 4.(3 分 )餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心 .据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约 500 亿千克，这个数据用科学记数法表示为 ( ) A. 510 10千克 B. 5010 9千克 C. 510 9千克 D. 0.5
3、10 11千克 解析： 500 亿 =50 000 000 000=510 10. 答案： A. 5.(3 分 )一次函数 y=-2x+1 的图象不经过下列哪个象限 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 解析式 y=-2x+1 中， k=-2 0， b=1 0， 图象过第一、二、四象限， 图象不经过第三象限 . 答案： C. 6.(3 分 )下列命题中，真命题是 ( ) A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的梯形是等腰梯形 D. 对角线相等的菱形是正方形 解析： A、有可能是等
4、腰梯形，故错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； C、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误； D、正确， 答案： D. 7.(3 分 )如图，在 RtABC 中， BAC=90 .如果将该三角形绕点 A 按顺时针方向旋转到AB 1C1的位置，点 B1恰好落在边 BC 的中点处 .那么旋转的角度等于 ( ) A. 55 B. 60 C. 65 D. 80 解析： 在 RtABC 中， BAC=90 ，将该三角形绕点 A 按顺时针方向旋转到 AB 1C1的位置，点 B1恰好落在边 BC 的中点处， AB 1= BC， BB1=B1C， AB=AB1， BB 1=AB=AB1， ABB
5、 1是等边三角形， BAB 1=60 ， 旋转的角度等于 60 . 答案： B. 8.(3 分 )甲、乙两名同学进行了 6 轮投篮比赛，两人的得分情况统计如下： 下列说法不正确的是 ( ) A. 甲得分的极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 乙的成绩比甲的成绩稳定 解析： A、甲的极差是 20-10=10，乙的极差是： 22-9=13，则甲得分的极差小于乙得分的极差，正确； B、甲得分的中位数是 (14+16)2=15 ，乙得分的中位数是： (12+14)2=13 ，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，正确； C、甲得分的平
6、均数是： (10+14+12+18+16+20)6=15 ，乙得分的平均数是：(12+11+9+14+22+16)6=14 ，则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，正确； D、甲的方差是： (10-15)2+(14-15)2+(12-15)2+(18-15)2+(16-15)2+(20-15)2= ， 乙的方差是： (12-14)2+(11-14)2+(9-14)2+(14-14)2+(22-14)2+(16-14)2= ， 甲的方差乙的方差， 甲的成绩比乙的成绩稳定；故本选项错误； 答案： D. 9.(3 分 )如图，扇形 AOB 中，半径 OA=2， AOB=120 ， C 是 的中点，连接
7、 AC、 BC，则图中阴影部分面积是 ( ) A. -2 B. -2 C. - D. - 解析： 连接 OC， AOB=120 ， C 为弧 AB 中点， AOC=BOC=60 ， OA=OC=OB=2 ， AOC 、 BOC 是等边三角形， AC=BC=OA=2 ， AOC 的边 AC 上的高是 = ， BOC 边 BC 上的高为 ， 阴影部分的面积是 - 2 + - 2 = -2 ， 答案： A. 10.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图，给出下列四个结论： 4ac -b2 0； 4a+c 2b； 3b+2c 0； m (am+b)+b a(m -1)， 其中正
8、确结论的个数是 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析： 抛物线和 x 轴有两个交点， b 2-4ac 0， 4ac -b2 0， 正确； 对称轴是直线 x=-1，和 x 轴的一个交点在点 (0， 0)和点 (1， 0)之间， 抛物线和 x 轴的另一个交点在 (-3， 0)和 (-2， 0)之间， 把 (-2， 0)代入抛物线得： y=4a-2b+c 0， 4a+c 2b， 错误； 把 (1， 0)代入抛物线得： y=a+b+c 0， 2a+2b+2c 0， b=2a ， 3b+2c 0， 正确； 抛物线的对称轴是直线 x=-1， y=a -b+c 的值最大， 即
9、把 (m， 0)(m0 )代入得： y=am2+bm+c a-b+c， am 2+bm+b a，即 m(am+b)+b a， 正确； 即正确的有 3 个， 答案： B. 二、填空题： (本大题共 6 各小题，每小题 3分，共 18 分 )把答案直接填在题中横线上 . 11.(3 分 )计算： +( -1)0= . 解析： 原式 =2+1=3. 答案： 3. 12.(3 分 )某校男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校师生的总人数为 1500人，结合图中信息，可得该校教师人数为 人 . 解析： 1500 (1-48%-44%)=15008%=120 . 答案： 120. 13.(3
10、分 )函数 y=1+ 中自变量 x 的取值范围是 . 解析： 由题意得， x+30 ，解得 x -3. 答案： x -3. 14.(3 分 )已知 O 1与 O 2的圆心距为 6，两圆的半径分别是方程 x2-5x+5=0 的两个根，则 O 1与 O 2的位置关系是 . 解析： 两圆的半径分别是方程 x2-5x+5=0 的两个根， 两半径之和为 5， O 1与 O 2的圆心距为 6， 6 5， O 1与 O 2的位置关系是外离 . 答案： 外离 . 15.(3 分 )如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中， E 是 AB边上的一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则 BEQ
11、周长的最小值为 . 解析： 连接 BD， DE， 四边形 ABCD 是正方形， 点 B 与点 D 关于直线 AC 对称， DE 的长即为 BQ+QE 的最小值， DE=BQ+QE= = =5， BEQ 周长的最小值 =DE+BE=5+1=6. 答案： 6. 16.(3 分 )如图，以 O(0， 0)、 A(2， 0)为顶点作正 OAP 1，以点 P1和线段 P1A 的中点 B 为顶点作正 P 1BP2，再以点 P2和线段 P2B 的中点 C 为顶点作 P 2CP3， ，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点 P6的坐标是 . 解析： 由题意可得，每一个正三角形的边长都是上
12、个三角形的边长的 ，则第六个正三角形的边长是 ， 故顶点 P6的横坐标是 ， P5纵坐标是 = ， P6的纵坐标为 ， 答案： ( ， ). 三、解答题： (本大题共 8 小题，共 72 分 )解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(7 分 )先化简，再求值： (a+ ) (a-2+ )，其中， a 满足 a-2=0. 解析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = = ， 当 a-2=0，即 a=2 时，原式 =3. 18.(8 分 )阳光中学组织学生开展社会实践活动
13、，调查某社区居民对消防知识的了解程度 (A：特别熟悉， B：有所了解， C：不知道 )，在该社区随机抽取了 100 名居民进行问卷调查，将调查结果制成如图所示的统计图，根据统计图解答下列问题： (1)若该社区有居民 900 人，是估计对消防知识 “ 特别熟悉 ” 的居民人数； (2)该社区的管理人员有男、女各 2 名，若从中选 2 名参加消防知识培训，试用列表或画树状图的方法，求恰好选中一男一女的概率 . 解析： (1)先求得在调查的居民中，对消防知识 “ 特别熟悉 ” 的居民所占的百分比，再用该百分比乘以社区居民人数 900 即可； (2)记 A1、 A2表示两个男性管理人员， B1， B2
14、表示两个女性管理人员，列出树状图，再根据概率公式求解 . 答案： (1)在调查的居民中，对消防知识 “ 特别熟悉 ” 的居民所占的百分比为：100%=25% ， 该社区对消防知识 “ 特别熟悉 ” 的居民人数估计为 90025%=225 (人 )； (2)记 A1、 A2表示两个男性管理人员， B1， B2表示两个女性管理人员，列表或树状图如下： 故恰好选中一男一女的概率为： . 19.(8 分 )如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为 A，某人在岸边的 B 处测得 A在 B 的北偏东 30 的方向上，然后沿岸边直行 4 公里到达 C 处，再次测得 A 在 C 的北偏西45 的方向上 (
15、其中 A、 B、 C 在同一平面上 ).求这个标志性建筑物底部 A 到岸边 BC 的最短距离 . 解析： 过 A 作 ADBC 于 D，先由 ACD 是等腰直角三角形，设 AD=x，得出 CD=AD=x，再解RtABD ，得出 BD= = x，再由 BD+CD=4，得出方程 x+x=4，解方程求出 x 的值，即为 A 到岸边 BC 的最短距离 . 答案： 过 A 作 ADBC 于 D，则 AD 的长度就是 A 到岸边 BC 的最短距离 . 在 RtACD 中， ACD=45 ，设 AD=x，则 CD=AD=x， 在 RtABD 中， ABD=60 ，由 tanABD= ，即 tan60= ，所
16、以 BD= = x， 又 BC=4，即 BD+CD=4，所以 x+x=4，解得 x=6-2 . 答：这个标志性建筑物底部 A 到岸边 BC 的最短距离为 (6-2 )公里 . 20.(8 分 )如图，一次函数 y=kx+b(k0 )的图象过点 P(- ， 0)，且与反比例函数 y= (m0 )的图象相交于点 A(-2， 1)和点 B. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求点 B 的坐标，并根据图象回答：当 x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？ 解析： (1)根据待定系数法，可得函数解析式； (2)根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位
17、于反比例函数图象的下方，可得答案 . 答案： (1)一次函数 y=kx+b(k0 )的图象过点 P(- ， 0)和 A(-2， 1)， ，解得 ， 一次函数的解析式为 y=-2x-3， 反比例函数 y= (m0 )的图象过点 A(-2， 1)， ，解得 m=-2， 反比例函数的解析式为 y=- ； (2) ，解得 ，或 ， B ( ， -4) 由图象可知，当 -2 x 0 或 x 时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值 . 21.(9 分 )如图， AB 是 O 的直径，过点 A 作 O 的切线并在其上取一点 C，连接 OC 交 O于点 D， BD 的延长线交 AC 于 E，连接 AD.
18、(1)求证： CDECAD ； (2)若 AB=2， AC=2 ，求 AE 的长 . 解析： (1)根据圆周角定理由 AB 是 O 的直径得到 ADB=90 ，则 B+BAD=90 ，再根据切线的性质，由 AC 为 O 的切线得 BAD+CAD=90 ，则 B=CAD ，由于 B=ODB ，ODB=CDE ，所以 B=CDE ，则 CAD=CDE ，加上 ECD=DCA ，根据三角形相似的判定方法即可得到 CDECAD ； (2)在 RtAOC 中， OA=1， AC=2 ，根据勾股定理可计算出 OC=3，则 CD=OC-OD=2，然后利用 CDECAD ，根据相似比可计算出 CE，再由 AE
19、=AC-CE 可得 AE 的值 . 答案： (1)AB 是 O 的直径， ADB=90 ， B+BAD=90 ， AC 为 O 的切线， BAAC ， BAC=90 ，即 BAD+CAD=90 ， B=CAD ， OB=OD ， B=ODB ，而 ODB=CDE ， B=CDE ， CAD=CDE ， 而 ECD=DCA ， CDECAD ； (2)AB=2 ， OA=1 ， 在 RtAOC 中， AC=2 ， OC= =3， CD=OC -OD=3-1=2， CDECAD ， = ，即 = ， CE= .AE=AC -CE=2 - = . 22.(9 分 )某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种
20、产品共 20 台，空调的采购单价 y1(元 /台 )与采购数量 x1(台 )满足 y1=-20x1+1500(0 x120 ， x1为整数 )；冰箱的采购单价 y2(元 /台 )与采购数量 x2(台 )满足 y2=-10x2+1300(0 x220 ， x2为整数 ). (1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于 1200元，问该商家共有几种进货方案？ (2)该商家分别以 1760 元 /台和 1700 元 /台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完 .在 (1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润 . 解析： (1)设空调的采购数量为 x 台
21、，则冰箱的采购数量为 (20-x)台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到 x 的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案； (2)设总利润为 W 元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到 W 与 x 的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可 . 答案： (1)设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为 (20-x)台， 由题意得， ， 解不等式 得， x11 ， 解不等式 得， x15 ， 所以，不等式组的解集是 11x15 ， x 为正整数， x 可取的值为 11、 12、 13、 14、 15，所以，该商家共有 5 种进货方案； (2)设总
22、利润为 W 元，空调的采购数量为 x 台， y2=-10x2+1300=-10(20-x)+1300=10x+1100， 则 W=(1760-y1)x1+(1700-y2)x2， =1760x-(-20x+1500)x+(1700-10x-1100)(20-x)， =1760x+20x2-1500x+10x2-800x+12000， =30x2-540x+12000， =30(x-9)2+9570， 当 x 9 时， W 随 x 的增大而增大， 11x15 ， 当 x=15 时， W 最大值 =30(15-9)2+9570=10650(元 )， 答：采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利
23、润值为 10650 元 . 23.(11 分 )如图，已知直线 l1l 2，线段 AB 在直线 l1上， BC 垂直于 l1交 l2于点 C，且 AB=BC，P 是线段 BC 上异于两端点的一点，过点 P 的直线分别交 l2、 l1于点 D、 E(点 A、 E 位于点 B的两侧 )，满足 BP=BE，连接 AP、 CE. (1)求证： ABPCBE ； (2)连结 AD、 BD， BD 与 AP 相交于点 F.如图 2. 当 =2 时，求证： APBD ； 当 =n(n 1)时，设 PAD 的面积为 S1， PCE 的面积为 S2，求 的值 . 解析： (1)求出 ABP=CBE ，根据 SA
24、S 推出即可； (2) 延长 AP 交 CE 于点 H，求出 APCE ，证出 CPDBPE ，推出 DP=PE，求出平行四边形 BDCE，推出 CEBD 即可； 分别用 S 表示出 PAD 和 PCE 的面积，代入求出即可 . 答案： (1)BC 直线 l1， ABP=CBE ， 在 ABP 和 CBE 中 ， ABPCBE (SAS)； (2) 证明：连结 BD，延长 AP 交 CE 于点 H， ABPCBE ， APB=CEB ， PAB+APB=90 ， PAB+CEB=90 ， AHCE ， =2，即 P 为 BC 的中点，直线 l1 直线 l2， CPDBPE ， = = ， DP
25、=PE ， 四边形 BDCE 是平行四边形， CEBD ， AHCE ， APBD ； =n， BC=n BP， CP= (n-1) BP， CDBE ，易得 CPDBPE ， = =n-1， 设 PBE 的面积 SPBE =S，则 PCE 的面积 SPCE 满足 =n-1，即 S2=(n-1)S， S PAB =SBCE =n S， S PAE =(n+1) S， = =n-1， S 1=(n+1) SPAE ，即 S1=(n+1)(n-1) S， = =n+1. 24.(12分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴的一个交点为 A(3， 0)，与 y轴的交点为 B(0，3)，其
26、顶点为 C，对称轴为 x=1. (1)求抛物线的解析式； (2)已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当 ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标； (3)将 AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度 (0 m 3)得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC 重叠部分的面积记为 S，用 m 的代数式表示 S. 解析： (1)根据对称轴可知，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 (-1， 0)，根据待定系数法可得抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. (2)分三种情况： 当 MA=MB 时； 当 AB=AM 时； 当 AB=BM 时；三种情况讨论可得点 M的坐标 . (3)平移
27、后的三角形记为 PEF .根据待定系数法可得直线 AB 的解析式为 y=-x+3.易得 AB 平移 m 个单位所得直线 EF 的解析式为 y=-x+3+m.根据待定系数法可得直线 AC 的解析式 .连结BE，直线 BE交 AC于 G，则 G( ， 3).在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中 .根据图象，易知重叠部分面积有两种情况： 当 0 m 时； 当 m 3 时；讨论可得用 m 的代数式表示S. 解答 (1)由题意可知，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 (-1， 0)， 则 ，解得 .故抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. (2)依题意：设 M 点坐标为 (0，
28、m)， 当 MA=MB 时： 解得 m=0，故 M(0， 0)； 当 AB=AM 时： 解得 m=3(舍去 )或 m=-3，故 M(0， -3)； 当 AB=BM 时， 解得 m=33 ，故 M(0， 3+3 )或 M(0， 3-3 ). 所以点 M 的坐标为： (0， 0)、 (0， -3)、 (0， 3+3 )、 (0， 3-3 ). (3)平移后的三角形记为 PEF . 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则 ，解得 .则直线 AB 的解析式为 y=-x+3. AOB 沿 x轴向右平移 m个单位长度 (0 m 3)得到 PEF ，易得直线 EF的解析式为 y=-x+3+m. 设直线
29、AC 的解析式为 y=kx+b ，则 ，解得 . 则直线 AC 的解析式为 y=-2x+6.连结 BE，直线 BE 交 AC于 G，则 G( ， 3). 在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中 . 当 0 m 时，如图 1 所示 .设 PE 交 AB 于 K， EF 交 AC 于 M. 则 BE=EK=m， PK=PA=3-m，联立 ，解得 ， 即点 M(3-m， 2m). 故 S=SPEF -SPAK -SAFM = PE2- PK2- AF h= - (3-m)2- m 2m=- m2+3m. 当 m 3 时，如图 2 所示 .设 PE 交 AB 于 K，交 AC于 H. 因为 BE=m，所以 PK=PA=3-m， 又因为直线 AC 的解析式为 y=-2x+6，所以当 x=m 时，得 y=6-2m，所以点 H(m， 6-2m). 故 S=SPAH -SPAK = PA PH- PA2=- (3-m)( 6-2m)- (3-m)2= m2-3m+ . 综上所述，当 0 m 时， S=- m2+3m；当 m 3 时， S= m2-3m+ .
