1、2014 年四川省达州市中考 真题 数学 一、选择题： (每小题 3 分，共 30 分 ) 1.(3 分 )向东行驶 3km，记作 +3km，向西行驶 2km 记作 ( ) A.+2km B.-2km C.+3km D.-3km 解析： 向东行驶 3km，记作 +3km，向西行驶 2km 记作 -2km， 答案 ： B. 2.(3 分 )2014 年 5 月 21 日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了中俄东线供气购销合同，这份有效期为 30 年的合同规定，从 2018 年开始供气，每年的天然气供应量为 380 亿立方米， 380 亿立方米用科学记数法表示为 ( )
2、A.3.810 10m3 B.3810 9m3 C.38010 8m3 D.3.810 11m3 解析： 将 380 亿立方米用科学记数法表示为： 3.810 10m3. 答案 ： A. 3.(3 分 )二次根式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ( ) A. x -2 B. x -2 C. x 2 D. x2 解析： 由题意得， -2x+40 ， 解得 x2 . 答案 ： D. 4.(3 分 )小颖同学到学校领来 n 盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则 n 的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析： 由俯视图可得最底层有 4 盒，由正视图和左视图可得第二层有 2 盒
3、，第三层有 1 盒，共有 7 盒， 答案 ： B. 5.(3 分 )一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径 20 厘米卖价10 元，乙种煎饼直径 30 厘米卖价 15 元，请问：买哪种煎饼划算？ ( ) A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 无法确定 解析： 甲的面积 =100 平方厘米，甲的卖价为 元 /平方厘米； 乙的面积 =225 平方厘米，乙的卖价为 元 /平方厘米； ， 乙种煎饼划算， 答案 ： B. 6.(3 分 )下列说法中错误的是 ( ) A. 将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件 B. 1、 2、 3、 4 这组数据的中位数是 2.5 C. 一组数据
4、的方差越小，这组数据的稳定性越差 D. 要了解某种灯管的使用寿命，一般采用抽样调查 解析： A.必然事件是一定会发生的事件，将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件，故A 选项正确； B.1、 2、 3、 4 这组数据的中位数是 =2.5，故 B 选项正确； C.一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越强，故 C 选项错误； D.要了解某种灯管的使用寿命，具有破坏性，一般采用抽样调查，故 D 选项正确 . 答案 ： C. 7.(3 分 )如图，在四边形 ABCD 中， A+D= ， ABC 的平分线与 BCD 的平分线交于点 P，则 P= ( ) A. 90 - B. 90+ C. D. 360
5、 - 解析： 四边形 ABCD 中， ABC+BCD=360 -(A+D )=360 - ， PB 和 PC 分别为 ABC 、 BCD 的平分线， PBC+PCB= (ABC+BCD )= (360 - )=180 - ， 则 P=180 -(PBC+PCB )=180 -(180 - )= . 答案 ： C. 8.(3 分 )直线 y=kx+b 不经过第四象限，则 ( ) A. k 0， b 0 B. k 0， b 0 C. k0 ， b0 D. k 0， b0 解析： 直线 y=kx+b 不经过第四象限，即直线过第一、二、三象限且与 y 轴的交点不在 x轴的下方， k0 ， b0 . 答
6、案 ： C. 9.(3 分 )如图，以点 O 为支点的杠杆，在 A 端用竖直向上的拉力将重为 G 的物体匀速拉起，当杠杆 OA 水平时，拉力为 F；当杠杆被拉至 OA1时，拉力为 F1，过点 B1作 B1COA ，过点 A1作 A1DOA ，垂足分别为点 C、 D. OB 1COA 1D； OA OC=OB OD； OC G=OD F1； F=F 1. 其中正确的说法有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析： B 1COA ， A1DOA ， B 1CA 1D， OB 1COA 1D，故 正确； = ， 由旋转的性质得， OB=OB1， OA=OA1， OA O
7、C=OB OD，故 正确； 由杠杆平衡原理， OC G=OD F1，故 正确； = = = 是定值， F 1的大小不变， F=F 1，故 正确 . 综上所述，说法正确的是 . 答案 ： D. 10.(3 分 )如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线 x=1. b 2 4ac； 4a -2b+c 0； 不等式 ax2+bx+c 0 的解集是 x3.5 ； 若 (-2， y1)， (5， y2)是抛物线上的两点，则 y1 y2. 上述 4 个判断中，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 抛物线与 x 轴有两个交点， b 2-4ac 0， b 2 4ac，故
8、正确； x= -2 时， y=4a-2b+c，而题中条件不能判断此时 y 的正负，即 4a-2b+c 可能大于 0，可能等于 0，也可能小于 0，故 错误； 如果设 ax2+bx+c=0 的两根为 、 ( )，那么根据图象可知不等式 ax2+bx+c 0 的解集是 x 或 x ，故 错误； 二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=1， x= -2 与 x=4 时的函数值相等， 4 5， 当抛物线开口向上时，在对称轴的右边， y 随 x 的增大而增大， y 1 y2，故 正确 . 答案 ： B. 二、填空题 (本题 6 个小题，每小题 3分，共 18分 .把最后答案直接填在题中的横线
9、上 ) 11.(3 分 )化简： (-a2b3)3= . 解析： 原式 =(-1)3a23 b33 =-a6b9， 答案 ： -a6b9. 12.(3 分 ) “ 每天锻炼一小时，健康生活一辈子 ” ，自开展 “ 阳光体育运动 ” 以来，学校师生的锻炼意识都增强了，某校有学生 8200 人，为了解学生每天的锻炼时间，学校体育组随机调查了部分学生，统计结果如表 . 表格中， m= ；这组数据的众数是 ；该校每天锻炼时间达到 1 小时的约有 人 . 解析： 每天锻炼时间在 29 分钟及以下的频数为 108，对应的频率为 0.54， 调查的总人数为 1080.54=200 (人 )， m=2000.
10、15=30 (人 )， 每天锻炼时间在 29 分钟及以下的有 108 人，人数最多， 这组数据的众数 是： 29 分钟及以下； 该校每天锻炼时间达到 1 小时的约有 82000.1=820 (人 ). 答案 ： 30； 29 分钟及以下； 820. 13.(3 分 )庄子 天下篇中写道： “ 一尺之棰，日取其半，万世不竭 ” 意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图 . 由图易得： =_ . 解析： =1 = . 答案 ： . 14.(3 分 )己知实数 a、 b 满足 a+b=5， ab=3，则 a b= . 解析： 将 a+b=5 两边平方得： (a+b)2=a2+
11、b2+2ab=25， 将 ab=3 代入得： a2+b2=19， (a-b)2=a2+b2-2ab=19-6=13， 则 a-b= . 答案 ： 15.(3 分 )如图，在 ABC 中， AB=BC=2， ABC=90 ，则图中阴影部分的面积是 . 解析： 在 ABC 中， AB=BC=2， ABC=90 ， ABC 是等腰直角三角形， 图中阴影部分的面积是： S 阴影部分面积 =S 半圆 AB 的面积 +S 半圆 BC 的面积 SABC 的面积 = = -2. 答案 ： -2. 16.(3 分 )如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 落在边 AD 上，折痕 EF的两端分别在 AB、 BC上
12、 (含端点 )，且 AB=6cm， BC=10cm.则折痕 EF 的最大值是 _ cm. 解析： 如图，点 F 与点 C 重合时，折痕 EF 最大， 由翻折的性质得， BC=BC=10cm ， 在 RtBDC 中， BD= = =8cm， AB=AD -BD=10 -8=2cm， 设 BE=x，则 BE=BE=x ， AE=AB-BE=6 x， 在 RtABE 中， AE2+AB 2=BE 2， 即 (6-x)2+22=x2， 解得 x= ， 在 RtBEF 中， EF= = = cm. 答案 ： . 三、解答题 (72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(6 分
13、)计算： . 解析： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果 . 答案： 原式 = +1+2 -1= +2 . 18.(6 分 )化简求值： ， a 取 -1、 0、 1、 2 中的一个数 . 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 a 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 = - = - =- ， 当 a=2 时，原式 =- =-1. 19.(7 分 )四张背面完全相同的纸牌 (如图，用 、 、 、 表示 )，正面分别写有四个不同的条件 .小明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后，先随
14、机抽出一张 (不放回 )，再随机抽出一张 . (1)写出两次摸牌出现的所有可能的结果 (用 、 、 、 表示 )； (2)以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形 ABCD 为平行四边形的概率 . 解析： (1)利用树状图展示所有等可能的结果数； (2)由于共有 12 种等可能的结果数，根据平行四边形的判定能判断四边形 ABCD 为平行四边形有 6 种，则根据概率公式可得到能判断四边形 ABCD 为平行四边形的概率 = . 答案： (1)画树状图为： (2)共有 12 种等可能的结果数，其中能判断四边形 ABCD 为平行四边形有 6 种： 、 、 、 、 、 ，所以能判断四边形 ABCD
15、 为平行四边形的概率 = = . 20.(7 分 )某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 8000 元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用 17600 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的 2倍，但单价贵了 8 元 .商家销售这种衬衫时每件定价都是 100 元，最后剩下 10 件按 8 折销售，很快售完 .在这两笔生意中，商家共盈利多少元？ 解析： 设第一批进货的单价为 x 元，则第二批进货的单价为 (x+8)元，根据第二批进货是第一批购进数量的 2 倍，列方程求出 x 的值，然后求出盈利 . 答案： 设第一批进货的单价为 x 元，则第二批进货的单价为 (x+8)元，
16、 由题意得， 2= ， 解得： x=80， 经检验； x=80 是原分式方程的解，且符合题意， 则第一次进货 100 件， 第二次进货的单价为 88 元，第二次进货 200 件， 总盈利为： (100-80)100+ (100-88) (200-10)+10 (1000.8 -88)=4200(元 ). 答：在这两笔生意中，商家共盈利 4200 元 . 21.(8 分 )如图，直线 PQ 与 O 相交于点 A、 B， BC 是 O 的直径， BD平分 CBQ 交 O 于点D，过点 D 作 DEPQ ，垂足为 E. (1)求证： DE 与 O 相切； (2)连结 AD，己知 BC=10， BE=
17、2，求 sinBAD 的值 . 解析： (1)连结 OD，利用角平分线的定义得 CBD=QBD ，而 OBD=ODB ，则 ODB=QBD ，于是可判断 ODBQ ，由于 DEPQ ，根据平行线的性质得 ODDE ，则可根据切线的判定定理得到 DE 与 O 相切； (2)连结 CD，根据圆周角定理由 BC 是 O 的直径得到 BDC=90 ，再证明 RtBCDBDE ，利用相似比可计算出 BD=2 ，在 RtBCD 中，根据正弦的定义得到 sinC= = ，然后根据圆周角定理得 BAD=C ，即有 sinBAD= . 答案： (1)连结 OD，如图， BD 平分 CBQ 交 O 于点 D， C
18、BD=QBD ， OB=OD ， OBD=ODB ， ODB=QBD ， ODBQ ， DEPQ ， ODDE ， DE 与 O 相切； (2)BC 是 O 的直径， BDC=90 ， DEAB ， BED=90 ， CBD=QBD ， RtBCDBDE ， = ，即 = ， BD=2 ， 在 RtBCD 中， sinC= = = ， BAD=C ， sinBAD= . 22.(8 分 )达州市凤凰小学位于北纬 21 ，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为 35.5 ；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为 82.5 .己知该校一教学楼窗户朝南，窗高 207cm，如图 (1)
19、.请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚 BCD，如图 (2)，要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡 . (1)在图 (3)中画出设计草图； (2)求 BC、 CD 的长度 (结果精确到个位 )(参考数据： sin35.50.58 ， cos35.50.81 ，tan35.50.71 ， sin82.50.99 ， cos82.50.13 ， tan82.57.60 ) 解析： 根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可； (2)首先设 CD=x，则 tan35.5= ，表示出 BC 的长，进而利用 tan82.5= 求出 DC 的长，进而得出答
20、案 . 答案： (1)如图所示： (2)由题意可得出： CDB=35.5 ， CDA=82.5 ， 设 CD=x，则 tan35.5= ， BC=0.71x ， 在 RtACD 中， tan82.5= = =0.76， 解得： x30 ， BC=0.713021 (cm)， 答： BC 的长度是 21cm， CD 的长度是 30cm. 23.(8 分 )如图，直线 L： y=-x+3 与两坐标轴分别相交于点 A、 B. (1)当反比例函数 (m 0， x 0)的图象在第一象限内与直线 L 至少有一个交点时，求 m的取值范围 . (2)若反比例函数 (m 0， x 0)在第一象限内与直线 L 相
21、交于点 C、 D，当 CD= 时，求 m 的值 . (3)在 (2)的条件下，请你直接写出关于 x 的不等式 -x+3 的解集 . 解析： (1)根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于 0，可得答案； (2)根据韦达定理，可得方程两根的关系，根据两点间距离公式，可得答案； (3)根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集 . 答案： (1)当反比例函数 (m 0， x 0)的图象在第一象限内与直线 L 至少有一个交点，得 -x+3= ，整理得： x2-3x+m=0， = (-3)2-4m0 ， 解得 m . m 的取值范围为： 0 m . (2)x 2-3x+m=0， x 1+x2=
22、3， x1 x2=m， CD= ， ， 即 2(9-4m)=8， 解得 m= ； (3)当 m= 时， x2 3x+m=0， 解得 x1= ， x2= ， 由反比例函数图象在直线上方的区域得 0 x 或 x . 24.(10 分 )倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径 .下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成 “ 类比猜想 ” 及后面的问题 . 习题解答： 如图 (1)，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上， EAF=45 ，连接 EF，则 EF=BE+DF，说明理由 . 正方形 ABCD 中， AB=AD，
23、BAD=ADC=B=90 ， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADE ，点 F、 D、 E 在一条直线上 . EAF=90 45=45=EAF ， 又 AE=AE ， AF=AF AEFAEF (SAS) EF=EF=DE+DF=BE+DF . 习题研究 观察分析：观察图 (1)，由解答可知，该题有用的条件是 ABCD 是四边形，点 E、 F 分别在边 BC、 CD 上； AB=AD ； B=D=90 ； EAF= BAD . 类比猜想： (1)在四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 BC、 CD 上，当 AB=AD， B=D 时，还有EF=BE+DF 吗？ 研究一个问题，常
24、从特例入手，请同学们研究：如图 (2)，在菱形 ABCD 中，点 E、 F 分别在BC、 CD 上，当 BAD=120 ， EAF=60 时，还有 EF=BE+DF 吗？ (2)在四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 BC、 CD 上，当 AB=AD， B+D=180 ， EAF= BAD时， EF=BE+DF 吗？ 归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论 “EF=BE+DF” 的一般命题： . 解析： (1)把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 120 至 ADE ，如图 (2)，连结 EF ， 根据菱形和旋转的性质得到 AE=AE ， EAF=EAF ，利用 “S
25、AS” 证明 AEFAEF ，得到 EF=EF ；由于 ADE+ADC=120 ，则点 F、 D、 E 不共线，所以 DE+DF EF，即由 BE+DF EF； (2)把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 BAD 的度数至 ADE ，如图 (3)，根据旋转的性质得到AE=AE ， EAF=EAF ，然后利用 “SAS” 证明 AEFAEF ，得到 EF=EF ，由于ADE+ADC=180 ，知 F、 D、 E 共线，因此有 EF=DE+DF=BE+DF ；根据 前面的条件和结论可归纳出结论 . 答案： (1)当 BAD=120 ， EAF=60 时， EF=BE+DF 不成立， EF BE+DF.
26、 理由如下： 在菱形 ABCD 中， BAD=120 ， EAF=60 ， AB=AD ， 1+2=60 ， B=ADC=60 ， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 120 至 ADE ，如图 (2)，连结 EF ， EAE=120 ， 1=3 ， AE=AE ， DE=BE ， ADE=B=60 ， 2+3=60 ， EAF=EAF ， 在 AEF 和 AEF 中 ， AEFAEF (SAS)， EF=EF ， ADE+ADC=120 ，即点 F、 D、 E 不共线， DE+DF EF BE+DF EF； (2)当 AB=AD， B+D=180 ， EAF= BAD 时， EF=BE+DF
27、成立 . 理由如下：如图 (3)， AB=AD ， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 BAD 的度数至 ADE ，如图 (3)， EAE=BAD ， 1=3 ， AE=AE ， DE=BE ， ADE=B ， B+D=180 ， ADE+D=180 ， 点 F、 D、 E 共线， EAF= BAD ， 1+2= BAD ， 2+3= BAD ， EAF=EAF ， 在 AEF 和 AEF 中 ， AEFAEF (SAS)， EF=EF ， EF=DE+DF=BE+DF ； 归纳：在四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 BC、 CD 上，当 AB=AD， B+D=180 ， EAF= BA
28、D时， EF=BE+DF. 25.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中，己知点 O(0， 0)， A(5， 0)， B(4， 4). (1)求过 O、 B、 A 三点的抛物线的解析式 . (2)在第一象限的抛物线上存在点 M，使以 O、 A、 B、 M 为顶点的四边形面积最大，求点 M 的坐标 . (3)作直线 x=m 交抛物线于点 P，交线段 OB 于点 Q，当 PQB 为等腰三角形时，求 m 的值 . 解析： (1)由于抛物线与 x 轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点 B 的坐标代入，即可求出抛物线的解析式 . (2)以 O、 A、 B、 M 为顶点的四边形中，
29、OAB 的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确 定其最值；本问需分类讨论： 当 0 x 4 时，点 M 在抛物线 OB 段上时，如答图 1所示； 当 4 x 5 时，点 M 在抛物线 AB 段上时，图略 . (3)PQB 为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解： 若点 B 为顶点，即 BP=BQ，如答图 2-1 所示； 若点 P 为顶点，即 PQ=PB，如答图 2-2 所示； 若点 P 为顶点，即 PQ=QB，如答图 2-3 所示 . 答案： (1) 该抛物线经过点 A(5， 0)， O(0， 0)， 该抛
30、物线的解析式可设为 y=a(x-0)(x-5)=ax(x-5). 点 B(4， 4)在该抛物线上， a4 (4-5)=4. a= -1. 该抛物线的解析式为 y=-x(x-5)=-x2+5x. (2)以 O、 A、 B、 M 为顶点的四边形中， OAB 的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大 . 当 0 x 4 时，点 M 在抛物线 OB 段上时，如答图 1所示 . B (4， 4)， 易知直线 OB 的解析式为： y=x. 设 M(x， -x2+5x)， 过点 M 作 MEy 轴，交 OB 于点 E，则 E(x， x)， ME= (-x2+5x)-x=-x2+4x.
31、SOBM =SMEO +SMEB = ME(xE-0)+ ME(xB-xE)= ME xB= ME4=2ME ， S OBM =-2x2+8x=-2(x-2)2+8 当 x=2 时， SOBM 最大值为 8，即四边形的面积最大 . 当 4 x 5 时，点 M 在抛物线 AB 段上时，图略 . 可求得直线 AB 解析式为： y=-4x+20. 设 M(x， -x2+5x)， 过点 M 作 MEy 轴，交 AB 于点 E，则 E(x， -4x+20)， ME= (-x2+5x)-(-4x+20)=-x2+9x-20. SABM =SMEB +SMEA = ME(xE-xB)+ ME(xA-xE)=
32、 ME(xA-xB)= ME1= ME， S ABM =- x2+ x-10=- (x- )2+ 当 x= 时， SABM 最大值为 ，即四边形的面积最大 . 比较 可知，当 x=2 时，四边形面积最大 . 当 x=2 时， y=-x2+5x=6， M (2， 6). (3)由题意可知，点 P 在线段 OB 上方的抛物线上 . 设 P(m， -m2+5m)，则 Q(m， m) 当 PQB 为等腰三角形时， 若点 B 为顶点，即 BP=BQ，如答图 2-1 所示 . 过点 B 作 BEPQ 于点 E，则点 E 为线段 PQ 中点， E (m， ). BEx 轴， B(4， 4)， =4， 解得：
33、 m=2 或 m=4(与点 B 重合，舍去 ) m=2 ； 若点 P 为顶点，即 PQ=PB，如答图 2-2 所示 . 易知 BOA=45 ， PQB=45 ，则 PQB 为等腰直角三角形 . PBx 轴， -m2+5m=4， 解得： m=1 或 m=4(与点 B 重合，舍去 ) m=1 ； 若点 P 为顶点，即 PQ=QB，如答图 2-3 所示 . P (m， -m2+5m)， Q(m， m)， PQ= -m2+4m. 又 QB= (xB-xQ)= (4-m)， -m2+4m= (4-m)， 解得： m= 或 m=4(与点 B 重合，舍去 )， m= . 综上所述，当 PQB 为等腰三角形时， m 的值为 1， 2 或 .
