1、2014 年四川省遂宁市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 .) 1.(4 分 )在下列各数中，最小的数是 ( ) A. 0 B. -1 C. D. -2 解析 ： -2 -1 0 ， 答案： D. 2.(4 分 )下列计算错误的是 ( ) A. 4 (-2)=-2 B. 4-5=-1 C. (-2)-2=4 D. 20140=1 解析 ： A、 4 (-2)=-2，正确，但不符合题意； B、 4-5=-1，正确，但不符合题意； C、 (-2)-2= = ，错误，符合题意 . D、 20140=1，
2、正确，但不符合题意； 答案： C. 3.(4 分 )一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 ( ) A. 棱柱 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 解析 ： 根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体， 根据俯视图是圆可判断出该几何体为圆柱 . 答案： B. 4.(4 分 )数据： 2， 5， 4， 5， 3， 4， 4 的众数与中位数分别是 ( ) A. 4， 3 B. 4， 4 C. 3， 4 D. 4， 5 解析 ： 将数据从小到大排列为： 2， 3， 4， 4， 4， 5， 5， 众数是 4，中位数是 4. 答案： B. 5.(4 分 )在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是
3、( ) A. x 1 B. x 1 C. x1 D. x=1 解析 ： 由题意得， x-10 ，解得 x1 . 答案： C. 6.(4 分 )点 A(1， -2)关于 x 轴对称的点的坐标是 ( ) A. (1， -2) B. (-1， 2) C. (-1， -2) D. (1， 2) 解析 ： 点 A(1， -2)关于 x 轴对称的点的坐标是 (1， 2)， 答案： D. 7.(4 分 )若 O 1的半径为 6， O 2与 O 1外切，圆心距 O1O2=10，则 O 2的半径为 ( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 4 或 16 解析 ： 因两圆外切，可知两圆的半径之和等于圆心距，即
4、 R+r=O1O2， 所以 R=0102-r=10-6=4. 答案： A. 8.(4 分 )不等式组 的解集是 ( ) A. x 2 B. x3 C. 2 x3 D. 无解 解析 ： 解不等式 得： x 2，解不等式 得： x3 ， 不等式组的解集为 2 x3 ， 答案： C. 9.(4 分 )如图， AD 是 ABC 中 BAC 的角平分线， DEAB 于点 E， SABC =7， DE=2， AB=4，则AC 长是 ( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 解析 ： 如图，过点 D 作 DFAC 于 F， AD 是 ABC 中 BAC 的角平分线， DEAB ， DE=DF ， 由图
5、可知， SABC =SABD +SACD ， 42+ AC2=7 ，解得 AC=3. 答案： A. 10.(4 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， ABC=30 ，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转至ABC ，使得点 A 恰好落在 AB 上，则旋转角度为 ( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 150 解析 ： ACB=90 ， ABC=30 ， A=90 -30=60 ， ABC 绕点 C 顺时针旋转至 ABC 时点 A 恰好落在 AB 上， AC=AC ， AAC 是等边三角形， ACA=60 ， 旋转角为 60 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 5 个小题
6、，每小题 4分，共 20 分 ) 11.(4 分 )正多边形一个外角的度数是 60 ，则该正多边形的边数是 . 解析 ： 这个正多边形的边数： 36060=6 . 答案： 6. 12.(4 分 )四川省第十二届运动会将于 2014 年 8 月 16 日在我市举行，我市约 3810000 人民热烈欢迎来自全省的运动健儿 .请把数据 3810000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 3810000 用科学记数法表示为： 3.8110 6. 答案： 3.8110 6. 13.(4 分 )已知圆锥的底面半径是 4，母线长是 5，则该圆锥的侧面积是 (结果保留 ). 解析 ： 底面圆的半径为 4，
7、底面周长 =8 ， 侧面面积 = 85=20 . 答案： 20 . 14.(4 分 )我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩 (单位：环 )如下： 则应派 运动员参加省运动会比赛 . 解析 ： 甲的平均数是： (10+9+8+9+9)=9， 乙的平均数是： (10+8+9+8+10)=9， 甲的方差是： S2 甲 = (10-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2=0.4； 乙的方差是： S2 乙 = (10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(10-9)2=0.8； S 2 甲 S
8、2 乙 ， 甲的成绩稳定， 应派甲运动员参加省运动会比赛 . 答案： 甲 . 15.(4 分 )已知：如图，在 ABC 中，点 A1， B1， C1分别是 BC、 AC、 AB 的中点， A2， B2， C2分别是 B1C1， A1C1， A1B1的中点，依此类推 .若 ABC 的周长为 1，则 A nBnCn的周长为 . 解析 ： A 1、 B1、 C1分别是 ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点， A 1B1、 A1C1、 B1C1是 ABC 的中位线， A 1B1C1ABC ，且相似比为 ， A 2、 B2、 C2分别是 A 1B1C1的边 B1C1、 C1A1、 A1B1的中点，
9、 A 2B2C2A 1B1C1且相似比为 ， A 2B2C2ABC 的相似比为 依此类推 A nBnCnABC 的相似比为 ， ABC 的周长为 1， A nBnCn的周长为 . 答案： . 三、计算题 (本大题共 3 个小题，每小题 7分，共 21 分 ) 16.(7 分 )计算： (-2)2- +2sin45+| - | 解析 ： 分别根据有理数乘方的法则、数的开方法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； 答案： 原式 =4-2 +2 + =4-2 + + =4. 17.(7 分 )解方程： x2+2x-3=0. 解析 ： 观察方程 x2+2x-3=0，可因式分
10、解法求得方程的解 . 答案： x2+2x-3=0， (x+3)(x-1)=0， x 1=1， x2=-3. 18.(7 分 )先化简，再求值： ( + ) ，其中 x= -1. 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = = ， 当 x= -1 时，原式 = . 四、 (本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27分 ) 19.(9 分 )我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售 .打折前，购买 3 件甲商品和 1 件乙商品需用 190 元；购买 2 件甲商品和 3件
11、乙商品需用 220元 .而店庆期间，购买 10 件甲商品和 10 件乙商品仅需 735 元，这比不打折前少花多少钱？ 解析 ： 设甲商品单价为 x 元，乙商品单价为 y 元，根据购买 3 件甲商品和 1件乙商品需用190 元；购买 2 件甲商品和 3 件乙商品需用 220 元，列出方程组，继而可计算购买 10 件甲商品和 10 件乙商品需要的花费，也可得出比不打折前少花多少钱 . 答案： 设甲商品单价为 x 元，乙商品单价为 y 元， 由题意得： ，解得： ， 则购买 10 件甲商品和 10 件乙商品需要 900 元， 打折后实际花费 735 元， 这比不打折前少花 165 元 . 答：这比不
12、打折前少花 165 元 . 20.(9 分 )已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O， E 是 CD 中点，连结 OE.过点 C 作 CFBD 交线段 OE 的延长线于点 F，连结 DF.求证： (1)ODEFCE ； (2)四边形 ODFC 是菱形 . 解析 ： (1)根据两直线平行，内错角相等可得 ODE=FCE ，根据线段中点的定义可得 CE=DE，然后利用 “ 角边角 ” 证明 ODE 和 FCE 全等； (2)根据全等三角形对应边相等可得 OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形 ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平
13、分且相等可得 OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 . 答案： (1)CFBD ， ODE=FCE ， E 是 CD 中点， CE=DE ， 在 ODE 和 FCE 中， ， ODEFCE (ASA)； (2)ODEFCE ， OD=FC ， CFBD ， 四边形 ODFC 是平行四边形， 在矩形 ABCD 中， OC=OD， 四边形 ODFC 是菱形 . 21.(9 分 )同时抛掷两枚材质均匀的正方体骰子， (1)通过画树状图或列表，列举出所有向上点数之和的等可能结果； (2)求向上点数之和为 8 的概率 P1； (3)求向上点数之和不超过 5 的概率 P2. 解析 ： (
14、1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； (2)由 (1)可求得向上点数之和为 8 的情况，再利用概率公式即可求得答案； (3)由 (1)可求得向上点数之和不超过 5 的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)列表得： 则共有 36 种等可能的结果； (2) 向上点数之和为 8 的有 5 种情况， P 1= ； (3) 向上点数之和不超过 5 的有 10 种情况， P 2= = . 五、 (本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20分 ) 22.(10 分 )如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： sin2A1+sin2B1= ； sin2A2+sin2
15、B2= ； sin2A3+sin2B3= . (1)观察上述等式，猜想：在 RtABC 中， C=90 ，都有 sin2A+sin2B= . (2)如图 ，在 RtABC 中， C=90 ， A 、 B 、 C 的对边分别是 a、 b、 c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想 . (3)已知： A+B=90 ，且 sinA= ，求 sinB. 解析 ： (1)由前面的结论，即可猜想出：在 RtABC 中， C=90 ，都有 sin2A+sin2B=1； (2)在 RtABC 中， C=90 .利用锐角三角函数的定义得出 sinA= ， sinB= ，则sin2A+sin2B= ，再根据
16、勾股定理得到 a2+b2=c2，从而证明 sin2A+sin2B=1； (3)利用关系式 sin2A+sin2B=1，结合已知条件 sinA= ，进行求解 . 答案： (1)由图可知： sin2A1+sin2B1=( )2+( )2=1； sin2A2+sin2B2=( )2+( )2=1； sin2A3+sin2B3=( )2+( )2=1. 观察上述等式，可猜想： sin2A+sin2B=1. (2)如图，在 RtABC 中， C=90 . sinA= ， sinB= ， sin 2A+sin2B= ， C=90 ， a 2+b2=c2， sin 2A+cos2A=1. (3)sinA=
17、， sin2A+sin2B=1， sinB= = . 23.(10 分 )已知：如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=x+b 的图象交于点 A(1， 4)、点 B(-4， n). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求 OAB 的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围 . 解析 ： (1)把 A 的坐标代入反比例函数解析式求出 A 的坐标，把 A 的坐标代入一次函数解析式求出即可； (2)求出直线 AB 与 y 轴的交点 C 的坐标，分别求出 ACO 和 BOC 的面积，然后相加即可； (3)根据 A、 B 的坐标结合图象即可得出答案 . 答
18、案： (1)把 A 点 (1， 4)分别代入反比例函数 y= ，一次函数 y=x+b，得 k=14 ， 1+b=4， 解得 k=4， b=3， 反比例函数的解析式是 y= ，一次函数解析式是 y=x+3； (2)如图，设直线 y=x+3 与 y 轴的交点为 C， 当 x=-4 时， y=-1， B (-4， -1)， 当 y=0 时， x+3=0，解得 x=-3， C (-3， 0) S AOB =SAOC +SBOC = = ； (3)B (-4， -1)， A(1， 4)， 根据图象可知：当 x 1 或 -4 x 0 时，一次函数值大于反比例函数值 . 六、 (本大题共 2 个小题，第 2
19、4 题 10分，第 25 题 12 分，共 22 分 ) 24.(10 分 )已知：如图， O 的直径 AB 垂直于弦 CD，过点 C 的切线与直径 AB 的延长线相交于点 P，连结 PD. (1)求证： PD 是 O 的切线 . (2)求证： PD2=PB PA. (3)若 PD=4， tanCDB= ，求直径 AB 的长 . 解析 ： (1)连接 OD、 OC，证 PDOPCO ，得出 PDO=PCO=90 ，根据切线的判定推出即可； (2)求出 A=ADO=PDB ，根据相似三角形的判定推出 PDBPAD ，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案； (3)根据相似得出比例式，求得
20、PA、 PB 的值，利用 AB=PA-PB 即可求出答案 . 答案： (1)连接 OD， OC， PC 是 O 的切线， PCO=90 ， ABCD ， AB 是直径， 弧 BD=弧 BC， DOP=COP ， 在 DOP 和 COP 中， ， DOPCOP (SAS)， PDO=PCO=90 ， D 在 O 上， PD 是 O 的切线； (2)证明： AB 是 O 的直径， ADB=90 ， PDO=90 ， ADO=PDB=90 -BDO ， OA=OD ， A=ADO ， A=PDB ， P=P ， PDBPAD ， ， PD 2=PA PB； (3)DCAB ， ADB=DMB=90
21、， A+DBM=90 ， CDB+DBM=90 ， A=CDB ， tanCDB= ， tanA= = ， PDBPAD ， = = = PD=4 ， PB=2 ， PA=8， AB=8 -2=6. 25.(12 分 )已知：直线 l： y=-2，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 y 轴，且经过点 (0， -1)，(2， 0). (1)求该抛物线的解析式； (2)如图 ，点 P 是抛物线上任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，求证： PO=PQ. (3)请你参考 (2)中结论解决下列问题： (i)如图 ，过原点作任意直线 AB，交抛物线 y=ax2+bx+c 于点 A、
22、B，分别过 A、 B 两点作直线 l 的垂线，垂足分别是点 M、 N，连结 ON、 OM，求证： ONOM . (ii)已知：如图 ，点 D(1， 1)，试探究在该抛物线上是否存在点 F，使得 FD+FO 取得最小值？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 y 轴，就可以得出 - =0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式； (2)由 (1)设出 P 的坐标，可得 PE 和 OE 的值，从而用勾股定理求出 PO的值，和 PQ=PE+EQ的值进行对比即得出结论； (3) 由 (2)的结论就可以得出 BO=BN， AO=AM
23、，由三角形的内角和定理及平行线的性质就可以求出 MON=90 而得出结论； 如图 ，作 FHl 于 H， DFl 于 G，交抛物线与 F，作 FEDG 于 E，由 (2)的结论和根据矩形的性质可以得出结论 . 答案： (1)由题意，得 ，解得： ， 抛物线的解析式为： y= (2)如图 ，设 P(a， a2-1)，则 OE=a， PE= a2-1， PQl ， EQ=2 ， QP= a2+1. 在 RtPOE 中，由勾股定理，得 PO= = ， PO=PQ ； (3) 如图 ， BNl ， AMl ， BN=BO ， AM=AO， BNAM ， BNO=BON ， AOM=AMO ， ABN+
24、BAM=180 . BNO+BON+NBO=180 ， AOM+AMO+OAM=180 ， BNO+BON+NBO+AOM+AMO+OAM=360 2BON+2AOM=180 ， BON+AOM=90 ， MON=90 ， ONOM ； 如图 ，作 FHl 于 H， DFl 于 G，交抛物线与 F，作 FEDG 于 E， EGH=GHF=FEG=90 ， FO=FG， FH=FO ， 四边形 GHFE 是矩形， FO+FD=FG+FD=DG， FO+FD=FH+FD EG=FH ， DE DF ， DE+GE HF+DF ， DG FO+DF ， FO +FD FO+DF ， F 是所求作的点 . D (1， 1)， F 的横坐标为 1， F (1， ).
