1、2014 年宁夏中考真题数学 一、选择题 (下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题 3 分，共 24分 ) 1.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2 a3=a6 B. a8a 4=a2 C. a3+a3=2a6 D. (a3)2=a6 解析： ： A、 a2 a3=a5a 6，故本选项错误； B、 a8a 4=a4a 2，故本选项错误； C、 a3+a3=2a32a 6，故本选项错误； D、 (a3)2=a32 =a6，正确 . 答案： D. 2.(3 分 )已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 解不等式 得： x 3，解不
2、等式 得： x -1， 不等式组的解集为： x 3， 在数轴上表示不等式组的解集为： 答案： B. 3.(3 分 )一元二次方程 x2-2x-1=0 的解是 ( ) A. x1=x2=1 B. x1=1+ ， x2=-1- C. x1=1+ ， x2=1- D. x1=-1+ ， x2=-1- 解析： 方程 x2-2x-1=0，变形得： x2-2x=1， 配方得： x2-2x+1=2，即 (x-1)2=2，开方得： x-1= ，解得： x1=1+ ， x2=1- . 答案： C. 4.(3 分 )实数 a， b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是 ( ) A. a+b=0 B. b a
3、C. ab 0 D. |b| |a| 解析： 根据图形可知： -2 a -1， 0 b 1，则 |b| |a|； 答案： D. 5.(3 分 )已知两点 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)在函数 y= 的图象上，当 x1 x2 0时，下列结论正确的是 ( ) A. 0 y1 y2 B. 0 y2 y1 C. y1 y2 0 D. y2 y1 0 解析： 把点 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)代入 y= 得 y1= ， y2= ，则 y1-y2= - = ， x 1 x2 0， y 1-y2= 0，即 y1 y2. 答案： A. 6.(3分 )甲种污水处理器处理 25吨的污
4、水与乙种污水处理器处理 35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理 20 吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率 .设甲种污水处理器的污水处理效率为 x 吨 /小时，依题意列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 设甲种污水处理器的污水处理效率为 x 吨 /小时，则乙种污水处理器的污水处理效率为 (x+20)吨 /小时， 由题意得， = . 答案： B. 7.(3 分 )如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 ( )A. cm 2 B. 2 cm 2 C. 6cm 2 D. 3cm 2 解析： 此几何体为圆锥； 半径为 1cm，高为 3c
5、m， 圆锥母线长为 cm， 侧面积 =2rR2= cm 2； 答案： A. 8.(3 分 )已知 a0 ，在同一直角坐标系中，函数 y=ax 与 y=ax2的图象有可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、函数 y=ax 中， a 0， y=ax2中， a 0，但当 x=1 时，两函数图象有交点 (1， a)，错误； B、函数 y=ax 中， a 0， y=ax2中， a 0，错误； C、函数 y=ax 中， a 0， y=ax2中， a 0，但当 x=1 时，两函数图象有交点 (1， a)，正确； D、函数 y=ax 中， a 0， y=ax2中， a 0，错误 . 答案： C.
6、二、填空题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 9.(3 分 )分解因式： x2y-y= . 解析： x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1)， 答案： y(x+1)(x-1). 10.(3 分 )菱形 ABCD 中，若对角线长 AC=8cm， BD=6cm，则边长 AB= cm. 解析： 如图， 菱形 ABCD 中，对角线长 AC=8cm， BD=6cm， AO= AC=4cm， BO= BD=3cm， 菱形的对角线互相垂直， 在 RtAOB 中， AB= = =5cm. 答案： 5. 11.(3分 )下表是我区八个旅游景点 6月份某日最高气温 ( )的统计结果 .该日这八个旅游景
7、点最高气温的中位数是 . 解析： 这组数据按照从小到大的顺序排列为： 24， 28， 28， 28， 30， 32， 32， 32，则中位数为： =29. 答案： 29. 12.(3 分 )若 2a-b=5， a-2b=4，则 a-b 的值为 . 解析： 将 2a-b=5， a-2b=4，相加得： 2a-b+a-2b=9，即 3a-3b=9，解得： a-b=3. 答案： 3. 13.(3 分 )一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、 2、 3、 4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是 . 解析： 如图， 随机地摸出一个
8、小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的占 3 种， 所有两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率 = . 答案： . 14.(3 分 )服装店销售某款服装，一件服装的标价为 300 元，若按标价的八折销售，仍可获利 20%，则这款服装每件的进价是 元 . 解析： 设这款服装每件的进价为 x 元，由题意，得 3000.8 -x=20%x，解得： x=200. 答案： 200. 15.(3 分 )如图，在四边形 ABCD 中， ADBC ， AB=CD=2， BC=5， BAD 的平分线交 BC 于点 E，且 AECD ，则四边形
9、ABCD 的面积为 . 解析： 如图，过点 A 作 AFBC 于点 F. ADBC ， DAE=AEB ， 又 BAE=DAE ， BAE=AEB ， AECD ， AEB=C ， ADBC ， AB=CD=2， 四边形是等腰梯形， B=C ， ABE 是等边三角形， AB=AE=BE=2 ， B=60 ， AF=AB sin60=2 = ， ADBC ， AECD ， 四边形 AECD 是平行四边形， AD=EC=BC -BE=5-2=3， 梯形的面积 = (AD+BC)AF= (3+5) =4 . 答案： 16.(3 分 )如图，将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、
10、 B、 C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ABC ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 . 解析： 如图所示：点 O 为 ABC 外接圆圆心，则 AO 为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： . 答案： . 三、解答题 (共 24 分 ) 17.(6 分 )计算： (- )-2+ -2sin45 -|1- |. 解析： 本题涉及负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 答案： 原式 = + - -( -1)= . 18.(6 分 )化简求值： ( - ) ，其中 a=1- ， b=1+ .
11、 解析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = = ， 当 a=1- ， b=1+ 时，原式 = . 19.(6 分 )在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-2， 1)， B(-4， 5)， C(-5，2). (1)画出 ABC 关于 y 轴对称的 A 1B1C1； (2)画出 ABC 关于原点 O 成中心对称的 A 2B2C2. 解析： (1)根据网格结构找出点 A、 B、 C 关于 y 轴对称的点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可； (2)根
12、据网格结构找出点 A、 B、 C 关于原点对称的点 A2、 B2、 C2的位置，然后顺次连接即可 . 答案： (1)A 1B1C1如图所示； (2)A 2B2C2如图所示 . 20.(6 分 )在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， C=45 ， sinB= ， AD=1.求 BC 的长 . 解析： 先由三角形的高的定义得出 ADB=ADC=90 ，再解 RtADB ，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2 ，解 RtADC ，得出 DC=1；然后根据 BC=BD+DC 即可求解 答案： 在 RtABD 中， ， 又 AD=1 ， AB=3 ， BD 2=AB2-AD2， . 在 R
13、tADC 中， C=45 ， CD=AD=1. BC=BD+DC= +1. 四、解答题 (共 48 分 ) 21.(6 分 )如图是银川市 6月 1 日至 15 日的空气质量指数趋势折线统计图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染 .某人随机选择 6月 1 日至 6 月 14 日中的某一天到达银川，共停留 2天 . (1)求此人到达当天空气质量优良的天数； (2)求此人在银川停留 2 天期间只有一天空气质量是重度污染的概率； (3)由折线统计图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大 (只写结论 ). 解析： (1)根据折线图找出空气质
14、量指数小于 100 的天数即可； (2)首先表示出连续两天的空气质量指数情况，再找出 2 天期间只有一天空气质量是重度污染的数量，再利用概率公式进行计算即可； (3)根据折线图可得 5、 6、 7 三天数据波动最大，因此方差最大 . 答案： (1)此人到达当天空气质量优良的有：第 1 天、第 2 天、第 3 天、第 7 天、第 12 天，共 5 天； (2)此人在银川停留两天的空气质 量指数是： (86， 25)， (25， 57)， (57， 143)， (143， 220)，(220， 158)， (158， 40)， (40， 217)， (217， 160)， (160， 128)，
15、(128， 167)， (167， 75)， (75， 106)， (106， 180)，(180， 175)， 共 14 个停留时间段，期间只有一天空气质量重度污染的有：第 4 天到、第 5 天到、第 7天到及第 8 天到 . 因此 P(在银川停留期间只有一天空气质量重度污染 )= ； (3)根据折线图可得从第 5 天开始的第 5 天、第 6 天、第 7天连续三天的空气质量指数方差最大 . 22.(6 分 )在平行四边形 ABCD 中，将 ABC 沿 AC 对折，使点 B 落在 B 处， A B 和 CD 相交于点 O.求证： OA=OC. 解析： 由在平行四边形 ABCD 中，将 ABC
16、沿 AC 对折，使点 B 落在 B 处，即可求得DCA=BAC ，则可证得 OA=OC. 答案： ABC 是由 ABC 沿 AC 对折得到的图形， BAC=BAC ， 在平行四边形 ABCD 中， ABCD ， BAC=DCA ， DCA=BAC ， OA=OC. 23.(8 分 )在等边 ABC 中，以 BC 为直径的 O 与 AB 交于点 D， DEAC ，垂足为点 E. (1)求证： DE 为 O 的切线； (2)计算 . 解析： (1)连接 OD，根据等边三角形性质得出 B=A=60 ，求出等边三角形 BDO，求出BDOA ，推出 ODAC ，推出 ODDE ，根据切线的判定推出即可；
17、 (2)求出 AD= AC，求出 AE= AC， CE= AC，即可求出答案 . 答案： (1)连接 OD， ABC 为等边三角形， ABC=60 ， 又 OD=OB ， OBD 为等边三角形， BOD=60=ACB ， ODAC ， 又 DEAC ， ODE=AED=90 ， DE 为 O 的切线； (2)连接 CD， BC 为 O 的直径， BDC=90 ， 又 ABC 为等边三角形， AD=BD= AB， 在 RtAED 中， A=60 ， ADE=30 ， AE= AD= AC， CE=AC-AE= AC， =3. 24.(8 分 )在平面直角坐标系中，已知反比例函数 y= 的图象经过
18、点 A(1， ). (1)试确定此反比例函数的解析式； (2)点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30 得到线段 OB，判断点 B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由 . 解析： (1)根据反比例函数图象上点的坐标特征计算 k 的值； (2)过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C，过点 B作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D，在 RtAOC 中，根据勾股定理计算出 OA=2，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OAC=30 ，则 AOC=60 ，再根据旋转的性质得 AOB=30 ， OB=OA=2，所以 BOD=30 ，在 RtBOD 中，计算出 BD= OB
19、=1， OD= BD= ，于是得到 B 点坐标为 ( ， 1)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断 B 点在反比例函数图象上 . 答案： (1)把 A(1， )代入 y= ，得 k=1 = ， 反比例函数的解析式为 y= ； (2)点 B 在此反比例函数的图象上 .理由如下： 过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C，过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D，如图， 在 RtAOC 中， OC=1， AC= ， OA= =2， OAC=30 ， AOC=60 ， 线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30 得到线段 OB， AOB=30 ， OB=OA=2， BOD=30 ， 在 R
20、tBOD 中， BD= OB=1， OD= BD= ， B 点坐标为 ( ， 1)， 当 x= 时， y= =1， 点 B( ， 1)在反比例函数 的图象上 . 25.(10 分 )某花店计划下个月每天购进 80 只玫瑰花进行销售，若下个月按 30 天计算，每售出 1 只玫瑰花获利润 5 元，未售出的玫瑰花每只亏损 3 元 .以 x(0 x80 )表示下个月内每天售出的只数， y(单位：元 )表示下个月每天销售玫瑰花的利润 .根据历史资料，得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图 (每个组距包含左边的数，但不包含右边的数 )如图所示： (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)根据频率分
21、布直方图，计算下个月内销售利润少于 320 元的天数； (3)根据历史资料，在 70x 80 这个组内的销售情况如下表： 计算该组内平均每天销售玫瑰花的只数 . 解析： (1)根据利润等于售出的玫瑰花的利润与未售出的玫瑰花亏损的钱数之和列式整理即可得解； (2)列不等式求出利润小于 320 元时卖出的玫瑰花的只数，然后根据频率求解即可； (3)利用加权平均数的计算方法列式计算即可得解 . 答案： (1)y=5x-(80-x)3=8x -240(0 x80) ； (2)根据题意，得 8x-240 320，解得， x 70， 表明玫瑰花的售出量小于 70 只时的利润小于 320 元， 则 50x
22、60 的天数为： 0.130=3( 天 )， 60x 70 的天数为： 0.230=6( 天 )， 利润少于 320 元的天数为 3+6=9(天 )； (3)该组内平均每天销售玫瑰： 75+=75(只 ). 26.(10 分 )在 RtABC 中， C=90 ， P 是 BC 边上不同于 B、 C 的一动点，过 P 作 PQAB ，垂足为 Q，连接 AP. (1)试说明不论点 P 在 BC 边上何处时，都有 PBQ 与 ABC 相似； (2)若 AC=3， BC=4，当 BP 为何值时， AQP 面积最大，并求出最大值； (3)在 RtABC 中，两条直角边 BC、 AC满足关系式 BC=AC
23、 ，是否存在一个 的值，使 RtAQP既与 RtACP 全等，也与 RtBQP 全等 . 解析： (1)利用 “ 两角法 ” 可以证得 PBQ 与 ABC 相似； (2)设 BP=x(0 x 4).由勾股定理、 (1)中相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出 S 与 x 的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值； (3)利用全等三角形的对应边相等得到 AQ=AC， AQ=QB，即 AQ=QB=AC.在 RtABC 中，由勾股定理得 BC2=AB2-AC2，易求得： BC= AC，则 = . 答案： (1)不论点 P 在 BC 边上何处时，都有 PQB=C=90 ， B=B ， PBQABC ； (2)设 BP=x(0 x 4)，由勾股定理，得 AB=5， 由 (1)知， PBQABC ， ，即 ， ， SAPQ = = = ， 当 x= 时， APQ 的面积最大，最大值是 ； (3)存在 .RtAQPRtACP ， AQ=AC ， 又 RtAQPRtBQP ， AQ=QB ， AQ=QB=AC ， 在 RtABC 中，由勾股定理得 BC2=AB2-AC2， BC= AC， = 时， RtAQP 既与 RtACP 全等，也与 RtBQP 全等 .
