1、2014 年安徽省中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4分，满分 40 分 ) 1.(4 分 )(-2)3 的结果是 ( ) A. -5 B. 1 C. -6 D. 6 解析 ：原式 =-23= -6. 答案： C. 2.(4 分 )x2 x3=( ) A. x5 B. x6 C. x8 D. x9 解析 ： x2 x3=x2+3=x5. 答案： A. 3.(4 分 )如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 解析 ： 从几何体的上面看俯视图是 ， 答案： D. 4.(4 分 )下列四个多项式中，能因式分解的是
2、 ( ) A. a2+1 B. a2-6a+9 C. x2+5y D. x2-5y 解析 ： A、 C、 D 都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 A、 C、 D 不能因式分解； B、是完全平方公式的形式，故 B 能分解因式； 答案： B. 5.(4 分 )某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 20 根棉花纤维进行测量，其长度 x(单位： mm)的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在 8x 32 这个范围的频率为 ( ) A. 0.8 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.2 解析 ： 在 8x 32这个范围的频数是： 2+8+6=16，则在 8x 32这个范围的频率是：
3、 =0.8. 答案： A. 6.(4 分 )设 n 为正整数，且 n n+1，则 n 的值为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析 ： ， 8 9， n n+1， n=8 ， 答案： D. 7.(4 分 )已知 x2-2x-3=0，则 2x2-4x 的值为 ( ) A. -6 B. 6 C. -2 或 6 D. -2 或 30 解析 ： x2-2x-3=0 2 (x2-2x-3)=0 2 (x2-2x)-6=0 2x2-4x=6 答案： B. 8.(4 分 )如图， RtABC 中， AB=9， BC=6， B=90 ，将 ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D重合，折痕
4、为 MN，则线段 BN 的长为 ( ) A. B. C. 4 D. 5 解析 ： 设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9-x， D 是 BC 的中点， BD=3 ， 在 RtABC 中， x2+32=(9-x)2，解得 x=4.故线段 BN 的长为 4. 答案： C. 9.(4 分 )如图，矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 点 P 在 AB 上时， 0x3 ，点 D 到 AP的距离
5、为 AD的长度，是定值 4； 点 P 在 BC 上时， 3 x5 ， APB+BAP=90 ， PAD+BAP=90 ， APB=PAD ， 又 B=DEA=90 ， ABPDEA ， = ，即 = ， y= ， 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 . 答案： B. 10.(4 分 )如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2 ，若直线 l满足： 点 D 到直线 l 的距离为 ； A 、 C 两点到直线 l 的距离相等 . 则符合题意的直线 l 的条数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 如图，连接 AC 与 BD 相交于 O， 正方形 ABCD 的对角线 BD
6、长为 2 ， OD= ， 直线 lAC 并且到 D 的距离为 ， 同理，在点 D 的另一侧还有一条直线满足条件， 故共有 2 条直线 l. 答案： B. 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5分，满分 20 分 ) 11.(5 分 )据报载， 2014 年我国将发展固定宽带接入新用户 25000000 户，其中 25000000用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 25000000 用科学记数法表示为 2.510 7户 . 答案： 2.510 7. 12.(5 分 )某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x，则该厂今年三月份新产品的研发资
7、金 y(元 )关于 x 的函数关系式为y= . 解析 ： 一月份新产品的研发资金为 a 元， 2 月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x， 2 月份研发资金为 a (1+x)， 三月份的研发资金为 y=a (1+x) (1+x)=a(1+x)2. 答案： a(1+x)2. 13.(5 分 )方程 =3 的解是 x= . 解析 ： 去分母得： 4x-12=3x-6，解得： x=6，经检验 x=6 是分式方程的解 . 答案： 6. 14.(5 分 )如图，在 ABCD 中， AD=2AB， F 是 AD 的中点，作 CEAB ，垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF、 CF，则下列结
8、论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上 ) DCF= BCD ； EF=CF ； S BEC =2SCEF ； DFE=3AEF . 解析 ： F 是 AD 的中点， AF=FD ， 在 ABCD 中， AD=2AB， AF=FD=CD ， DFC=DCF ， ADBC ， DFC=FCB ， DCF=BCF ， DCF= BCD ，故此选项正确； 延长 EF，交 CD 延长线于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD ， A=MDF ， F 为 AD 中点， AF=FD ， 在 AEF 和 DFM 中， ， AEFDMF (ASA)， FE=MF ， AEF=M ，
9、 CEAB ， AEC=90 ， AEC=ECD=90 ， FM=EF ， FC=FM ，故 正确； EF=FM ， S EFC =SCFM ， MC BE， S BEC 2SEFC 故 SBEC =2SCEF 错误； 设 FEC=x ，则 FCE=x ， DCF=DFC=90 -x， EFC=180 -2x， EFD=90 -x+180 -2x=270 -3x， AEF=90 -x， DFE=3AEF ，故此选项正确 . 答案： . 三、 (本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16分 ) 15.(8 分 )计算： -|-3|-(- )0+2013. 解析 ： 原式第一项利用平方根定义化
10、简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，计算即可得到结果 . 答案： 原式 =5-3-1+2013=2014. 16.(8 分 )观察下列关于自然数的等式： 32-41 2=5 52-42 2=9 72-43 2=13 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式： 92-4 4 2= 17 ； (2)写出你猜想的第 n 个等式 (用含 n 的式子表示 )，并验证其正确性 . 解析 ： 由 三个等式可得，被减数是从 3 开始连续奇数的平方，减数是从 1 开始连续自然数的平方的 4 倍，计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1，由此规律得出答案即可 . 答案： (1)
11、32-41 2=5 52-42 2=9 72-43 2=13 所以第四个等式： 92-44 2=17； (2)第 n 个等式为： (2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1， 左边 =(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1， 右边 =2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1. 左边 =右边 ， (2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1. 四、 (本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16分 ) 17.(8 分 )如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 ABC (顶点是网格线的交点 ). (1)将 ABC 向上平移 3 个单位得到 A 1B1
12、C1，请画出 A 1B1C1； (2)请画一个格点 A 2B2C2，使 A 2B2C2ABC ，且相似比不为 1. 解析 ： (1)利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； (2)利用相似图形的性质，将各边扩大 2 倍，进而得出答案 . 答案： (1)如图所示： A 1B1C1即为所求； (2)如图所示： A 2B2C2即为所求 . 18.(8 分 )如图，在同一平面内，两条平行高速公路 l1和 l2间有一条 “Z” 型道路连通，其中AB 段与高速公路 l1成 30 角，长为 20km； BC 段与 AB、 CD段都垂直，长为 10km， CD段长为 30km，求两高速公路间的距离 (结果
13、保留根号 ). 解析 ： 过 B 点作 BEl 1，交 l1于 E， CD 于 F， l2于 G.在 RtABE 中，根据三角函数求得 BE，在 RtBCF 中，根据三角函数求得 BF，在 RtDFG 中，根据三角函数求得 FG，再根据EG=BE+BF+FG 即可求解 . 答案： 过 B 点作 BEl 1，交 l1于 E， CD于 F， l2于 G. 在 RtABE 中， BE=AB sin30=20 =10km， 在 RtBCF 中， BF=BCcos30=10 = km， CF=BF sin30= = km， DF=CD-CF=(30- )km， 在 RtDFG 中， FG=DF sin3
14、0= (30- ) =(15- )km， EG=BE+BF+FG= (25+5 )km. 故两高速公路间的距离为 (25+5 )km. 五、 (本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20分 ) 19.(10 分 )如图，在 O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F， D 是 CF 延长线与 O 的交点 .若 OE=4， OF=6，求 O 的半径和 CD 的长 . 解析 ： 由 OEAB 得到 OEF=90 ，再根据圆周角定理由 OC 为小圆的直径得到 OFC=90 ，则可证明 RtOEFRtOFC ，然后利用相似比可计算出 O 的
15、半径 OC=9；接着在 RtOCF中，根据勾股定理可计算出 C=3 ，由于 OFCD ，根据垂径定理得 CF=DF，所以 CD=2CF=6. 答案： OEAB ， OEF=90 ， OC 为小圆的直径， OFC=90 ，而 EOF=FOC ， RtOEFRtOFC ， OE ： OF=OF： OC，即 4： 6=6： OC， O 的半径 OC=9； 在 RtOCF 中， OF=6， OC=9， CF= =3 ， OFCD ， CF=DF ， CD=2CF=6 . 20.(10分 )2013年某企业按餐厨垃圾处理费 25元 /吨、建筑垃圾处理费 16元 /吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费
16、 5200 元 .从 2014 年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费 100 元 /吨，建筑垃圾处理费 30 元 /吨 .若该企业 2014 年处理的这两种垃圾数量与 2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费 8800 元 . (1)该企业 2013 年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？ (2)该企业计划 2014 年将上述两种垃圾处理总量减少到 240 吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的 3 倍，则 2014 年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？ 解析 ： (1)设该企业 2013 年处理的餐厨垃圾 x 吨，建筑垃圾 y 吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费 25 元
17、 /吨 餐厨垃圾吨数 +建筑垃圾处理费 16 元 /吨 建筑垃圾吨数 =总费用，列方程 . (2)设该企业 2014 年处理的餐厨垃圾 x 吨，建筑垃圾 y 吨，需要支付这两种垃圾处理费共 a元，先求出 x 的范围，由于 a 的值随 x 的增大而增大，所以当 x=60时， a 值最小，代入求解 . 答案： (1)设该企业 2013 年处理的餐厨垃圾 x 吨，建筑垃圾 y 吨， 根据题意，得 ，解得 . 答：该企业 2013 年处理的餐厨垃圾 80 吨，建筑垃圾 200 吨； (2)设该企业 2014 年处理的餐厨垃圾 x 吨，建筑垃圾 y 吨，需要支付这两种垃圾处理费共 a元，根据题意得， ，
18、解得 x60 . a=100x+30y=100x+30(240-x)=70x+7200， 由于 a 的值随 x 的增大而增大，所以当 x=60 时， a 值最小， 最小值 =7060+7200=11400 (元 ). 答： 2014 年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共 11400 元 . 六、 (本题满分 12 分 ) 21.(12 分 )如图，管中放置着三根同样的绳子 AA1、 BB1、 CC1； (1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子 AA1的概率是多少？ (2)小明先从左端 A、 B、 C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端 A1、 B1、 C1三个绳头中随机选两个打一
19、个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率 . 解析 ： (1)三根绳子选择一根，求出所求概率即可； (2)列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率 . 答案： (1)三种等可能的情况数，则恰好选中绳子 AA1的概率是 ； (2)列表如下： 所有等可能的情况有 9 种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有 6 种， 则 P= = . 七、 (本题满分 12 分 ) 22.(12 分 )若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为 “ 同簇二次函数 ” . (1)请写出两个为 “ 同簇二次函数 ” 的函数； (2)已知关于 x 的二次
20、函数 y1=2x2-4mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5，其中 y1的图象经过点 A(1， 1)，若 y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数 ” ，求函数 y2的表达式，并求出当 0x3 时， y2的最大值 . 解析 ： (1)只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为 “ 同簇二次函数 ” 的函数表达式即可 . (2)由 y1的图象经过点 A(1， 1)可以求出 m 的值，然后根据 y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数 ” 就可以求出函数 y2的表达式，然后将函数 y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题 . 答案： (1)设顶点为
21、(h， k)的二次函数的关系式为 y=a(x-h)2+k， 当 a=2， h=3， k=4 时， 二次函数的关系式为 y=2(x-3)2+4. 2 0， 该二次函数图象的开口向上 . 当 a=3， h=3， k=4 时， 二次函数的关系式为 y=3(x-3)2+4. 3 0， 该二次函数图象的开口向上 . 两个函数 y=2(x-3)2+4 与 y=3(x-3)2+4 顶点相同，开口都向上， 两个函数 y=2(x-3)2+4 与 y=3(x-3)2+4 是 “ 同簇二次函数 ” . 符合要求的两个 “ 同簇二次函数 ” 可以为： y=2(x-3)2+4 与 y=3(x-3)2+4. (2)y 1
22、的图象经过点 A(1， 1)， 21 2-4m1+2m 2+1=1. 整理得： m2-2m+1=0. 解得： m1=m2=1. y 1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1. y 1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8 y 1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数 ” ， y 1+y2=(a+2)(x-1)2+1=(a+2)x2-2(a+2)x+(a+2)+1. 其中 a+2 0，即 a -2. .解得： . 函数 y2的表达式为： y2=5x2-10x+5. y 2=5x2-10x+5=5(x-1)2. 函数 y2的图象的对称轴为 x=1. 5 0， 函数
23、 y2的图象开口向上 . 当 0x1 时， 函数 y2的图象开口向上， y 2随 x 的增大而减小 . 当 x=0 时， y2取最大值，最大值为 5(0-1)2=5. 当 1 x3 时， 函数 y2的图象开口向上， y 2随 x 的增大而增大 . 当 x=3 时， y2取最大值，最大值为 5(3-1)2=20. 综上所述：当 0x3 时， y2的最大值为 20. 八、 (本题满分 14 分 ) 23.(14 分 )如图 1，正六边形 ABCDEF 的边长为 a， P 是 BC 边上一动点，过 P 作 PMAB 交 AF于 M，作 PNCD 交 DE 于 N. (1)MPN= ； 求证： PM+
24、PN=3a； (2)如图 2，点 O 是 AD 的中点，连接 OM、 ON，求证： OM=ON； (3)如图 3，点 O 是 AD 的中点， OG 平分 MON ，判断四边形 OMGN 是否为特殊四边形？并说明理由 . 解析 ： (1) 运用 MPN=180 -BPM -NPC 求解， 作 AGMP 交 MP 于点 G， BHMP 于点 H，CLPN 于点 L， DKPN 于点 K，利用 MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN 求解， (2)连接 OE，由 OMAONE 证明， (3)连接 OE，由 OMAONE ，再证出 GOENOD ，由 ONG 是等边三角形和 MOG 是等边三角
25、形求出四边形 MONG 是菱形 .， 答案： (1) 四边形 ABCDEF 是正六边形， A=B=C=D=E=F=120 又 PMAB ， PNCD ， BPM=60 ， NPC=60 ， MPN=1 80 -BPM -NPC=180 -60 -60=60 ， 故答案为； 60 . 如图 1，作 AGMP 交 MP 于点 G， BHMP 于点 H， CLPN 于点 L， DKPN 于点 K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN. 正六边形 ABCDEF 中， PMAB ，作 PNCD ， AMG=BPH=CPL=DNK=60 ， GM= AM， HL= BP， PL= PM， NK=
26、 ND， AM=BP ， PC=DN， MG+HP+PL+KN=a ， GH=LK=a， MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a . (2)如图 2，连接 OE， 四边形 ABCDEF 是正六边形， ABMP ， PNDC ， AM=BP=EN ， 又 MAO=NOE=60 ， OA=OE， 在 ONE 和 OMA 中， OMAONE (SAS)OM=ON . (3)如图 3，连接 OE， 由 (2)得， OMAONE MOA=EON ， EFAO ， AFOE ， 四边形 AOEF 是平行四边形， AFE=AOE=120 ， MON=120 ， GON=60 ， GON=60 -EON ， DON=60 -EON ， GOE=DON ， OD=OE ， ODN=OEG ， 在 GOE 和 DON 中， GOENOD (ASA)， ON=OG ， 又 GON=60 ， ONG 是等边三角形， ON=NG ， 又 OM=ON ， MOG=60 ， MOG 是等边三角形， MG=GO=MO ， MO=ON=NG=MG ， 四边形MONG 是菱形 .
