1、 2014 年山东省中考模拟 数学 一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1.（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A. =2 B. C. D. | 2|=2 解析： A、根据算术平方根的定义即可判定； B、根据负整数指数幂的法则即可判定； C、根据立方根的定义即可判定； D、根据绝对值的定义即可判定 . 答案： C. 2.（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A. a3+a3=3a6 B.（ a） 3（ a） 5= a8 C.（ 2a2b） 34a= 24a6b3 D.
2、（ a 4b）（ a 4b） =16b2 a2 解析： 根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，单项式的乘法法则；平方差公式，对各选项 解析 判断后利用排除法求解 . 答案： D. 3.（ 3分）若一个圆锥的母线长是它底面半径的 3倍，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ） A. 120 B. 135 C. 150 D. 180 解析： 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得 . 设底面半径为 r，则母线为 3r， 则 2r= ， 解得 n=120. 答案： A. 4.（ 3 分）将
3、 y=（ 2x 1） （ x+2） +1 化成 y=a（ x+m） 2+n 的形式为（ ） A.B.C.D.解析： 化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 . y=（ 2x 1）（ x+2） +1 =2x2+3x 1 =2（ x2+ x+ ） 1 =2（ x+ ） 2 . 答案： C. 5.（ 3 分）计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 解析： 先计算括号里的，再相乘 . = = = . 答案： A. 6.（ 3 分）如图，在 ABC 中， ACB=90 ， CD AB于 D，若 AC=2 ， AB=3 ，则 tan
4、BCD 的值为（ ） A. B. C. D. 解析： 证明 BCD= A，求 tanA 即可 .根据三角函数的定义求解 .由勾股定理知， c2=a2+b2 BC= = . 根据同角的余角相等， BCD= A. tan BCD=tan A= = . 答案： B. 7.（ 3 分） 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF= CD，下列结论： BAE=30 ， ABE AEF， AE EF， ADF ECF.其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形 . 在正方形
5、ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD上一点，且 CF= CD， B= C=90 ， AB： EC=BE： CF=2： 1. ABE ECF. AB： EC=AE： EF， AEB= EFC. BE=CE， FEC+ EFC=90 ， AB： AE=BE： EF， AEB+ FEC=90 . AEF= B=90 . ABE AEF， AE EF. 正确 . 答案： B. 8.（ 3 分）如图， ABC 是等腰直角三角形，且 ACB=90 度 .曲线 CDEF 叫做 “ 等腰直角三角形的渐开线 ” ，其中 ， ， ， 的圆心依次按 A， B， C 循环 .如果 AC=1，那么曲线C
6、DEF 和线段 CF 围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 解析： 曲线 CDEF 和线段 CF 围成图形的面积为半径分别为 1， +1， +2，圆心角分别为 135 ， 135 ， 90 的扇形以及 ABC 组成的，代入扇形面积公式相加即可 . 曲线 CDEF 和线段 CF 围成图形的面积是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及 ABC 组成，所以根据面积公式可得：+112= . 答案： C. 9.（ 3 分） 已知三点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）， P3（ 1， 2）都在反比例函数 的图象上，若 x1 0， x2 0，则下列式子正确的是（ ） A. y1 y2
7、0 B. y1 0 y2 C. y1 y2 0 D. y1 0 y2 解析： 根据 k=xy 即横纵坐标相乘得比例系数 k，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可解答 . 点 P3（ 1， 2）都在反比例函数 的图象上， k=1 （ 2） = 2 0， 函数图象在二，四象限， 又 x1 0， x2 0， P1在第二象限， P2在第四象限， y1 0， y2 0， y1 0 y2. 答案： D. 10.（ 3 分）（ 2007泰安）半径分别为 13 和 15 的两圆相交，且公共弦长为 24，则两圆的圆心距为（ ） A. 或 14 B. 或 4 C. 14 D. 4 或 14 解析： 利用了连心线垂
8、直平分公共弦，勾股定理求解，注意两圆相交的情况有两种情况 . 如图，圆 A 与圆 B 相交于点 C， D， CD 与 AB交于点 E， AC=15， BC=13， 由于连心线 AB 垂直平分 CD，有 CE=12， ACE， BCE 是直角三角形， 由勾股定理得， AE=9， BE=5， 而两圆相交的情况有两种，当为左图时， AB=AE BE=9 5=4， 当为右图时， AB=AE+BE=14. 答案： D. 11.（ 3 分）若 x1， x2是方程 x2 2x 4=0 的两个不相等的实数根，则代数式 2x12 2x1+x22+3的值是（ ） A. 19 B. 15 C. 11 D.3 解析：
9、 欲求 2x12 2x1+x22+3 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 . x1， x2是方程 x2 2x 4=0 的两个不相等的实数根 . x12 2x1=4， x1x2= 4， x1+x2=2. 2x12 2x1+x22+3 =x12 2x1+x12+x22+3 =x12 2x1+（ x1+x2） 2 2x1x2+3 =4+4+8+3=19. 答案： A. 12.（ 3 分）（ 2007泰安）如图，四边形 ABCD 是边长为 2cm 的正方形，动点 P 在 ABCD 的边上沿 A B C D 的路径以 1cm/s 的速度运动（点 P 不与 A， D重合）
10、.在这个运动过程中， APD 的面积 S（ cm） 2随时间 t（ s）的变化关系用图象表示，正确的为（ ） A. B. C. D. 解析： 本题考查动点函数图象的问题 . 点 P 在 AB 上运动时， APD 的面积 S 将随着时间的增多而不断增大，排除 C. 点 P 在 BC 上运动时， APD 的面积 S 将随着时间的增多而不再变化，应排除 A， D. 答案： B. 二、填空题（本大题共 7 小题，满分 21分 .只要求填写最后结果，每小题填对得 3分） 13.（ 3 分）方程（ x+2）（ x+3） =20 的解是 . 解析： 此题很容易出错，解题时要注意方程右边为 0 才可用因式分解
11、法，因此解此题时先要变形：（ x+2）（ x+3） 20=0，再化简得： x2+5x 14=0，用因式分解法即可求得 . （ x+2）（ x+3） =20， （ x+2）（ x+3） 20=0， x2+5x 14=0， 即（ x 2）（ x+7） =0 解得 x1=2， x2= 7. 答案： 2 或 7 14.（ 3分）如图， ABE和 ACD是 ABC分别沿着 AB， AC边翻折 180 形成的，若 BAC=150 ，则 的度数是 度 . 解析： 解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角 . 根据对顶角相等，翻折得到的 E= ACB 可得到 = EAC， ABE 和 ACD 是 ABC 分
12、别沿着 AB， AC 边翻折 180 形成的， BAC=150 ， DAC= BAE= BAC=150 . DAE= DAC+ BAE+ BAC 360=150+150+150 360=90 . = EAC= DAC DAE=60 . 答案： 60. 15.（ 3 分）若关于 x 的不等式组 有解，则实数 a 的取值范围是 .权所有 解析： 解出不等式组的解集，根据已知不等式组 有解比较，可求出a 的取值范围 . 由（ 1）得 x 2， 由（ 2）得 x ， 不等式组 有解， 解集应是 2 x ，则 2， 即 a 4 实数 a 的取值范围是 a 4. 答案： a 4. 16.（ 3 分）如图所
13、示， M 与 x 轴相交于点 A（ 2， 0）， B（ 8， 0），与 y 轴相切于点 C，则圆心 M 的坐标是 . 解析： 连接 AM，作 MN x 轴于点 N，则根据垂径定理即可求得 AN 的长，从而球儿 ON 的长，即圆的半径，然后在直角 AMN 中，利用勾股定理即可求得 MN 的长，则 M 的坐标即可求出 . 连接 AM，作 MN x 轴于点 N.则 AN=BN. 点 A（ 2， 0）， B（ 8， 0）， OA=2， OB=8， AB=OB OA=6. AN=BN=3. ON=OA+AN=2+3=5，则 M 的横坐标是 5，圆的半径是 5. 在直角 AMN 中， MN= = =4，
14、则 M 的纵坐标是 4. 故 M 的坐标是（ 5， 4） . 答案： （ 5， 4） 17.（ 3 分）如图，图 1，图 2，图 3， 是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的 “ 山 ” 字 .则第 n 个 “ 山 ” 字中的棋子个数是 . 解析： 由题目得，第 1个 “ 山 ” 字中的棋子个数是 7；第 2个 “ 山 ” 字中的棋子个数是 12；第 3 个 “ 山 ” 字中的棋子个数是 17；第 4 个 “ 山 ” 字中的棋子个数是 22；进一步发现规律：第 n 个 “ 山 ” 字中的棋子个数是 5n+2. 答案： 5n+2. 18.（ 3 分）如图，一游人由山脚 A 沿坡角为 30 的山坡
15、AB 行走 600m，到达一个景点 B，再由 B 沿山破 BC 行走 200m 到达山顶 C，若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45 ，则山高CD 等于 m.（结果用根号表示） 版权所有 解析： 解此题时需两次用到三角函数，即求出 ED 和 CE 后相加即可 . 过 B 作 BF AD 于 F， BE CD 于 E，如图， 在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45 ， BEC 为等腰直角三角形， 而 BC=200m， CE= BC=100 m； A=30 ， AB=600m， BF= AB=300m， CD=CE+ED=（ 100 +300） m. 答案： (300+100 ） .
16、 19.（ 3 分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密） .已知加密规则为：明文 x， y， z 对应密文 2x+3y， 3x+4y， 3z.例如：明文 1， 2， 3 对应密文 8， 11， 9.当接收方收到密文 12， 17， 27 时，则解密得到的明文为 . 解析： 建立关于 x， y， z 的三元一次方程组，求解即可 . 根据题意列方程组得： ， 解得 . 答案： 3， 2， 9. 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 63分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 20.（ 6 分）灌云县实验中学为了解毕业年级 800 名学
17、生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级 60 名学生每学期参加社会实践活动的时间进行了统计，结果如下表： （ 1）补全右面的频率分布表； （ 2）请你估算这所学校该年级的学生中，每学期参加社会实践活动的时间大于 7 天的约有多少人？ 解析： 由统计表可以看出： 7.5 9.5 的频数为 8+13=21，频率为 2160=0 .35； 9.5 11.5的频数为 8+7=15，频率为 1560=0 .25；所学校该年级的学生中，每学期参加社会实践活动的时间大于 7 天的约有 800 =560. 答案：（ 1） 补全频数分布表： （ 2）每学期参加社会实践活动的时间大于 7 天的人数 =800
18、 =560 人 . 21.（ 8 分）如图，在梯形 ABCD 中， AD BC，对角线 BD 平分 ABC， BAD 的平分线 AE交BC 于 E， F， G 分别是 AB， AD 的中点 . （ 1）求证： EF=EG； （ 2）当 AB 与 EC 满足怎样的数量关系时， EG CD？并说明理由 . 解析： 1、易证得 ABD 是等腰三角形，再由 SAS 证得 AFE AGEEF=EG. 2、若 EG CD，则四边形 GDCE 为平行四边形，则应有 CE=GD= AD= AB. 答案： （ 1）证明： AD BC， DBC= ADB. 又 ABD= DBC， ABD= ADB. AB=AD.
19、 又 AF= AB， AG= AD， AF=AG. 又 BAE= DAE， AE=AE， AFE AGE. EF=EG. （ 2）解：当 AB=2EC 时， EG CD， 证明： AB=2EC， AD=2EC. GD= AD=EC. 又 GD EC， 四边形 GECD 是平行四边形 . EG CD. 22.（ 9 分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书 .第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完 .由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本 .当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价
20、的 4 折售完剩余的书 .试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 解析： 先考虑购书的情况，设第一次购书的单价为 x 元，则第二次购书的单价为 1.2x 元，第一次购书款 1200元，第二次购书款 1500元，第一次购书数目 ，第二次购书数目 ，第二次购书数目多 10 本 .关系式是：第一次购书数目 +10=第二次购书数目 . 再计算两次购书数目，赚钱情况：卖书数目 （实际售价当次进价），两次合计，就可以回答问题了 . 答案： 解：设第一次购书的单价为 x 元， 第二次每本书的批发价已比第一次提高了 20%， 第二次购书的单价为 1.
21、2x 元 . 根据题意得： .（ 4 分） 解得： x=5. 经检验， x=5 是原方程的解 .（ 6 分） 所以第一次购书为 12005=240 （本） . 第二次购书为 240+10=250（本） . 第一次赚钱为 240 （ 7 5） =480（元） . 第二次赚钱为 200 （ 7 51 .2） +50 （ 70 .4 51 .2） =40（元） . 所以两次共赚钱 480+40=520（元）（ 8 分） . 答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元 .（ 9 分） 23.（ 9 分）如图，在 ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的圆 O 交 BC于点 D，交 AC
22、于点 E，过点 D 作 DF AC，垂足为 F. （ 1）求证： DF 为 O 的切线； （ 2）若过 A点且与 BC平行的直线交 BE的延长线于 G点，连接 CG.当 ABC是等边三角形时，求 AGC 的度数 . 解析： （ 1）连接 AD， OD，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，可得 DF OD，故得到证明； （ 2）根据题意， ABC 是等边三角形，可得 BG 是 AC 的垂直平分线，再根据平行线的性质，可得 ACG 是等边三角形，故 AGC=60 . 答案： （ 1）证明：连接 AD， OD， AB 是 O 的直径， AD BC.（ 2 分） ABC 是等腰三角形， BD=DC，
23、又 AO=BO， OD 是 ABC 的中位线， OD AC. DF AC，（ 4 分） DF OD， DF 是 O 的切线 .（ 5 分） （ 2）解： AB 是 O 的直径， BG AC. ABC 是等边三角形， BG 是 AC 的垂直平分线， GA=GC.（ 7 分） 又 AG BC， ACB=60 ， CAG= ACB=60 . ACG 是等边三角形 . AGC=60 .（ 9 分） 24.（ 9 分）市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买 A， B 两种风景树共 900 棵 .A， B两种树的相关信息如下表： 若购买 A 种树 x 棵，购树所需的总费用为 y 元 . （ 1）求 y
24、与 x 之间的函数关系式； （ 2）若购树的总费用不超过 82 000 元，则购 A 种树不少于多少棵？ （ 3）若希望这批树的成活率不低于 94%，且使购树的总费用最低，应选购 A， B 两种树各多少棵？此时最低费用为多少？ 解析： （ 1）根据购树的总费用 =买 A 种树的费用 +买 B 种树的费用，化简后便可得出 y 与 x的函数关系式； （ 2）根据（ 1）得到的关系式，然后将所求的条件代入其中，然后判断出购买 A 种树的数量； （ 3）先用 A 种树的成活的数量 +B 种树的成活的数量 树的总量 平均成活率来判断出 x 的取值，然后根据函数的性质判断出最佳的方案 . 答案： 解：（
25、1） y=80x+100（ 900 x） = 20x+90000（ 0x900 且为整数）； （ 2）由题意得： 20x+9000082000 ， 解得： x400 ， 又因为计划购买 A， B 两种风景树共 900 棵， 所以 x900 ， 即购 A 种树为： 400x900 且为整数 . （ 3） 92%x+98%（ 900 x） 94%900 92x+98900 98x94900 6x 4900 x600 y= 20x+90000 随 x 的增大而减小 . 当 x=600 时，购树费用最低为 y= 20600+90000=78000 （元） . 当 x=600 时， 900 x=300，
26、 此时应购 A 种树 600 棵， B 种树 300 棵 . 25.（ 10 分）如图，在 OAB 中， B=90 ， BOA=30 ， OA=4，将 OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转至 OA B ， C 点的坐标为（ 0， 4） . （ 1）求 A 点的坐标； （ 2）求过 C， A ， A 三点的抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （ 3）在（ 2）中的抛物线上是否存在点 P，使以 O， A， P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： （ 1）由题意可知， A OA 的度数和旋转角的度数相同，可过 A 作 x 轴的垂线，在
27、构建的直角三角形中可根据 OA 的长和 A OA 的度数求出 A 的坐标； （ 2）已知了 C， A ， A 三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式； （ 3）本题要分三种情况进行讨论： 以 O 为直角顶点， OA=OP=4，而 OC=4，那么此时 C 点和 P 点重合，因此 P 点的坐标即为 C点的坐标 . 以 A 为直角顶点，那么 P 点的坐标必为（ 4， 4）或（ 4， 4） .可将这两个坐标代入抛物线的解析式中判定其是否在抛物线上即可 . 以 P 为直角顶点，那么 P 点在 OA 的垂直平分线上，且 P 点的坐标为（ 2， 2）或（ 2， 2）然后按 的方法进行求解即可 . 答案
28、： 解：（ 1）过点 A 作 A D 垂直于 x 轴，垂足为 D，则四边形 OB A D为矩形 . 在 A DO 中， A D=OA sin A OD=4sin60=2 ， OD=A B =AB=2， 点 A 的坐标为（ 2， 2 ）； （ 2） C（ 0， 4）在抛物线上， c=4， y=ax2+bx+4， A（ 4， 0）， A （ 2， 2 ），在抛物线 y=ax2+bx+4 上， ， 解之得 ， 所求解析式为 y= +（ 2 3） x+4； （ 3） 若以点 O 为直角顶点，由于 OC=OA=4，点 C 在抛物线上，则点 P（ 0， 4）为满足条件的点 . 若以点 A 为直角顶点，则使
29、 PAO 为等腰直角三角形的点 P 的坐标应为（ 4， 4）或（ 4， 4），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上 . 若以点 P 为直角顶点，则使 PAO 为等腰直角三角形的点 P 的坐标应为（ 2， 2）或（ 2， 2），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上 . 综上述在抛物线上只有一点 P（ 0， 4）使 OAP 为等腰直角三角形 . 26.（ 12 分） 如图，在 ABC 中， BAC=90 ， AD 是 BC 边上的高， E 是 BC边上的一个动点（不与 B， C 重合）， EF AB， EG AC，垂足分别为 F， G. （ 1）求证： ； （ 2） FD 与 DG 是否垂
30、直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （ 3）当 AB=AC 时， FDG 为等腰直角三角形吗？并说明理由 . 解析： （ 1）由比例线段可知，我们需要证明 ADC EGC，由两个角对应相等即可证得； （ 2）由矩形的判定定理可知，四边形 AFEG 为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到 AFD CGD，从而不难得到结论； （ 3）是，利用相似三角形的性质即可求得 . 答案： （ 1）证明：在 ADC 和 EGC 中， ADC= EGC， C= C， ADC EGC. .（ 3 分） （ 2）解： FD 与 DG 垂直 .（ 4 分） 证明如下： 在四边形 AFEG 中， FAG= AFE= AGE=90 ， 四边形 AFEG 为矩形 . AF=EG. ， .（ 6 分） 又 ABC 为直角三角形， AD BC， FAD= C=90 DAC， AFD CGD. ADF= CDG.（ 8 分） CDG+ ADG=90 ， ADF+ ADG=90 . 即 FDG=90 . FD DG.（ 10 分） （ 3）解：当 AB=AC 时， FDG 为等腰直角三角形，理由如下： AB=AC， BAC=90 ， AD=DC. AFD CGD， . FD=DG. FDG=90 ， FDG 为等腰直角三角形 .（ 12 分）
