1、2014 年山东省德州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，满分 36 分 ) 1.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. -(-3)2=9 B. =3 C. -(-2)0=1 D. |-3|=-3 解析 ： A、 -(-3)2=9 此选项错， B、 =3，此项正确， C、 -(-2)0=1，此项错误， D、 |-3|=-3，此项错 . 答案： B. 2.(3 分 )下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项
2、不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意； 答案： D. 3.(3 分 )图甲是某零件的直观图，则它的主视图为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看，主视图为 . 答案： A. 4.(3 分 )第六次全国人口普查数据显示，德州市常驻人口约为 556.82 万人，此数用科学记数法表示正确的是 ( ) A. 556.8210 4 B. 5.568210 2 C. 5.568210 6 D. 5.568210 5 解析 ： 将 556.82 万人用科学记数法表示为 5.568210 6元 . 故答案为
3、： 2.466 1910 13. 答案： C. 5.(3 分 )如图， AD 是 EAC 的平分线， ADBC ， B=30 ，则 C 为 ( ) A. 30 B. 60 C. 80 D. 120 解析 ： ADBC ， B=30 ， EAD=B=30 ， AD 是 EAC 的平分线， EAC=2EAD=230=60 ， C=EAC -B=60 -30=30 . 答案： A. 6.(3 分 )不等式组 的解集在数轴上可表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 解得 ， 答案： D. 7.(3 分 )如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1： 2，则斜坡A
4、B 的长为 ( ) A. 4 米 B. 6 米 C. 12 米 D. 24 米 解析 ： 在 RtABC 中， =i= ， AC=12 米， BC=6 米， 根据勾股定理得： AB= =6 米， 答案： B. 8.(3 分 )图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家 .其中 x表示时间， y表示张强离家的距离 .根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是 ( ) A. 体育场离张强家 2.5 千米 B. 张强在体育场锻炼了 15 分钟 C. 体育场离早餐店 4 千米 D. 张强从早餐店回家的平均速度是 3 千米 /小时 解析 ： A、由函数
5、图象可知，体育场离张强家 2.5 千米，故此选项正确； B 由图象可得出张强在体育场锻炼 30-15=15(分钟 )，故此选项正确； C、体育场离张强家 2.5 千米，体育场离早餐店 2.5-1.5=1(千米 )，故此选项错误； D、 张强从早餐店回家所用时间为 100-65=35 分钟，距离为 1.5km， 张强从早餐店回家的平均速度 1.5 = (千米 /时 )，故此选项正确 . 答案： C. 9.(3分 )雷霆队的杜兰特当选为 2013-2014赛季 NBA常规赛 MVP，下表是他 8场比赛的得分，则这 8 场比赛得分的众数与中位数分别为 ( ) A. 29 28 B. 28 29 C.
6、 28 28 D. 28 27 解析 ： 这组数据按照从小到大的顺序排列为： 23， 26， 28， 28， 30， 38， 39， 42， 则众数为： 28， 中位数为： =29. 答案： B. 10.(3 分 )下列命题中，真命题是 ( ) A. 若 a b，则 c-a c-b B. 某种彩票中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票一定会中奖 C. 点 M(x1， y1)，点 N(x2， y2)都在反比例函数 y= 的图象上，若 x1 x2，则 y1 y2 D. 甲、乙两射击运动员分别射击 10 次，他们射击成绩的方差分别为 S =4， S =9，这过程中乙发挥比甲更稳定 解析 ： A、
7、当 a b，则 -a -b，所以 c-a c-b，所以 A 选项正确； B、某种彩票中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票不一定会中奖，所以 B 选项错误； C、点 M(x1， y1)，点 N(x2， y2)都在反比例函数 y= 的图象上，若 0 x1 x2，则 y1 y2，所以 C 选项错误； D、甲、乙两射击运动员分别射击 10 次，他们射击成绩的方差分别为 S =4， S =9，这过程中甲发挥比乙更稳定，所以 D 选项错误 . 答案： A. 11.(3 分 )分式方程 -1= 的解是 ( ) A. x=1 B. x=-1+ C. x=2 D. 无解 解析 ： 去分母得： x(x+2)
8、-(x-1)(x+2)=3， 去括号得： x2+2x-x2-x+2=3， 解得： x=1， 经检验 x=1 是增根，分式方程无解 . 答案： D. 12.(3 分 )如图，在一张矩形纸片 ABCD 中， AB=4， BC=8，点 E， F 分别在 AD， BC 上，将纸片ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论： 四边形 CFHE 是菱形； EC 平分 DCH ； 线段 BF 的取值范围为 3BF4 ； 当点 H 与点 A 重合时， EF=2 . 以上结论中，你认为正确的有 ( )个 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9、解析 ： FH 与 CG， EH 与 CF 都是矩形 ABCD 的对边 AD、 BC 的一部分， FHCG ， EHCF ， 四边形 CFHE 是平行四边形， 由翻折的性质得， CF=FH， 四边形 CFHE 是菱形，故 正确； BCH=ECH ， 只有 DCE=30 时 EC 平分 DCH ，故 错误； 点 H 与点 A 重合时，设 BF=x，则 AF=FC=8-x， 在 RtABF 中， AB2+BF2=AF2，即 42+x2=(8-x)2，解得 x=3， 点 G 与点 D 重合时， CF=CD=4， BF=4 ， 线段 BF 的取值范围为 3BF4 ，故 正确； 过点 F 作 FMAD
10、于 M，则 ME=(8-3)-3=2， 由勾股定理得， EF= = =2 ，故 正确； 综上所述，结论正确的有 共 3 个 . 答案： C. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4分 ) 13.(4 分 )- 的相反数是 . 解析 ： - 的相反数是 -(- )= . 答案： 14.(4 分 )若 y= -2，则 (x+y)y= . 解析 ： 由题意得， x-40 且 4-x0 ， 解得 x4 且 x4 ，所以， x=4， y=-2， 所以 (x+y)y=(4-2)-2= . 答案 ： . 15.(4 分 )如图，正三角形 ABC 的边长
11、为 2， D、 E、 F 分别为 BC、 CA、 AB 的中点，以 A、 B、 C三点为圆心，半径为 1 作圆，则圆中阴影部分的面积是 . 解析 ： 连接 AD. ABC 是正三角形， BD=CD=2， BAC=B=C=60 ， ADBC .AD= . 阴影部分的面积 = 2 -3 = - . 答案 ： - . 16.(4 分 )方程 x2+2kx+k2-2k+1=0 的两个实数根 x1， x2满足 x12+x22=4，则 k 的值为 . 解析 ： x12+x22=4，即 x12+x22=x12+2x1 x2+x22-2x1 x2=(x1+x2)2-2x1 x2=4， 又 x 1+x2=-2k
12、， x1 x2=k2-2k+1，代入上式有 4k2-2(k2-2k+1)=4，解得 k=1. 答案： 1. 17.(4 分 )如图，抛物线 y=x2在第一象限内经过的整数点 (横坐标、纵坐标都为整数的点 )依次为 A1， A2， A3A n， .将抛物线 y=x2沿直线 L： y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： 抛物线的顶点 M1， M2， M3， M n， 都在直线 L： y=x 上； 抛物线依次经过点 A1， A2， A3A n， . 则顶点 M2014的坐标为 ( ， ). 解析 ： M1(a1， a1)是抛物线 y1=(x-a1)2+a1的顶点， 抛物线 y=x2与抛物线
13、 y1=(x-a1)2+a1相交于 A1，得 x2=(x-a1)2+a1，即 2a1x=a12+a1， x= (a1+1). x 为整数点 ， a 1=1， M1(1， 1)； M2(a2， a2)是抛物线 y2=(x-a2)2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点， 抛物线 y=x2与 y2相交于 A2， x2=x2-2a2x+a22+a2， 2a 2x=a22+a2， x= (a2+1). x 为整数点， a 2=3， M2(3， 3)， M3(a3， a3)是抛物线 y2=(x-a3)2+a3=x2-2a3x+a32+a3顶点， 抛物线 y=x2与 y3相交于 A3， x2=x2-2a
14、3x+a32+a3， 2a 3x=a32+a3， x= (a3+1). x 为整数点 ， a 3=5， M3(5， 5)，所以 M2014， 20142 -1=4027， (4027， 4027)， 答案： (4027， 4027) 三、解答题 (本大题共 7 小题，共 61 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 18.(6 分 )先化简，再求值： -1.其中 a=2sin60 -tan45 ， b=1. 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 a 的值，把 a、 b 的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = -1= -1= -1= ， 当 a=2sin60
15、 -tan45=2 -1= -1， b=1 时， 原式 = = = . 19.(8 分 )2011 年 5 月，我市某中学举行了 “ 中国梦 校园好少年 ” 演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为 A， B， C， D 四个等级，丙绘制了不完整的两种统计图 . 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)参加演讲比赛的学生共有 人，并把条形图补充完整； (2)扇形统计图中， m= ， n= ； C 等级对应扇形的圆心角为 度； (3)学校欲从或 A 等级的学生中随机选取 2 人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树形图法，求或 A 等级的小明参加市比赛的概率 . 解析 ： (1)根据 D 等级的有
16、 12 人，占总数的 30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它等级的人数求得 B 等级的人数，从而作出直方图； (2)根据百分比的定义求得 m、 n 的值，利用 360 乘以 C 等级所占的百分比即可求得对应的圆心角； (3)利用列举法即可求解 . 答案 ： (1)参加演讲比赛的学生共有： 1230%=40 (人 )， 则 B 等级的人数是： 40-4-16-12=8(人 ). (2)A 所占的比例是： 100%=10% ， C 所占的百分比： 100%=40% . C 等级对应扇形的圆心角是： 36040%=144 ； (3)设 A 等级的小明用 a 表示，其他的几个学生用 b、 c、 d
17、 表示 . 共有 12 种情况，其中小明参加的情况有 6 种，则 P(小明参加比赛 )= = . 20.(8 分 )目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共 1200 只，这两种节能灯的进价、售价如下表： (1)如何进货，进货款恰好为 46000 元？ (2)如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%，此时利润为多少元？ 解析 ： (1)设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯 (1200-x)只，根据两种节能灯的总价为 46000 元建立方程求出其解即可； (2)设商场购进甲型节能灯 a 只，则购进乙型
18、节能灯 (1200-a)只，商场的获利为 y 元，由销售问题的数量关系建立 y 与 a 的解析式就可以求出结论 . 答案 ： (1)设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯 (1200-x)只，由题意，得 25x+45(1200-x)=46000， 解得： x=400. 购进乙型节能灯 1200-400=800 只 . 答：购进甲型节能灯 400 只，购进乙型节能灯 800 只进货款恰好为 46000 元； (2)设商场购进甲型节能灯 a 只，则购进乙型节能灯 (1200-a)只，商场的获利为 y 元，由题意，得 y=(30-25)a+(60-45)(1200-a)， y=-10a+18
19、000. 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%， -10a+1800025a+45 (1200-a)30% ， a450 . y= -10a+18000， k= -10 0， y 随 a 的增大而减小， a=450 时， y 最大 =13500 元 . 商场购进甲型节能灯 450 只，购进乙型节能灯 750 只时的最大利润为 13500 元 . 21.(10 分 )如图，双曲线 y= (x 0)经过 OAB 的顶点 A 和 OB 的中点 C， ABx 轴，点 A 的坐标为 (2， 3). (1)确定 k 的值； (2)若点 D(3， m)在双曲线上，求直线 AD 的解析式； (3
20、)计算 OAB 的面积 . 解析 ： (1)将 A 坐标代入反比例解析式求出 k 的值即可； (2)将 D 坐标代入反比例解析式求出 m 的值，确定出 D 坐标，设直线 AD解析式为 y=kx+b，将 A 与 D 坐标代入求出 k 与 b的值，即可确定出直线 AD解析式； (3)过点 C 作 CNy 轴，垂足为 N，延长 BA，交 y轴于点 M，得到 CN 与 BM 平行，进而确定出三角形 OCN 与三角形 OBM 相似，根据 C 为 OB 的中点，得到相似比为 1： 2，确定出三角形OCN 与三角形 OBM 面积比为 1： 4，利用反比例函数 k 的意义确定出三角形 OCN 与三角形 AOM
21、面积，根据相似三角形面积之比为 1： 4，求出三角形 AOB 面积即可 . 答案 ： (1)将点 A(2， 3)代入解析式 y= ，得： k=6； (2)将 D(3， m)代入反比例解析式 y= ，得： m= =2， 点 D 坐标为 (3， 2)， 设直线 AD 解析式为 y=kx+b，将 A(2， 3)与 D(3， 2)代入得： ，解得： k=-1， b=5， 则直线 AD 解析式为 y=-x+5； (3)过点 C 作 CNy 轴，垂足为 N，延长 BA，交 y轴于点 M， ABx 轴， BMy 轴， MBCN ， OCNOBM ， C 为 OB 的中点，即 = ， =( )2， A ， C
22、 都在双曲线 y= 上， S OCN =SAOM =3， 由 = ，得到 SAOB =9，则 AOB 面积为 9. 22.(10 分 )如图， O 的直径 AB 为 10cm，弦 BC为 5cm， D、 E 分别是 ACB 的平分线与 O ，AB 的交点， P 为 AB 延长线上一点，且 PC=PE. (1)求 AC、 AD 的长； (2)试判断直线 PC 与 O 的位置关系，并说明理由 . 解析 ： (1) 连接 BD，先求出 AC，在 RTABC 中，运用勾股定理求 AC， 由 CD 平分 ACB ，得出 AD=BD，所以 RTABD 是直角等腰三角形，求出 AD， 连接 OC， (2)由
23、角的关系求出 PCB=ACO ，可得到 OCP=90 ，所以直线 PC 与 O 相切 . 答案 ： (1) 如图，连接 BD， AB 是直径， ACB=ADB=90 ， 在 RTABC 中， AC= = =5 ， CD 平分 ACB ， AD=BD ， RtABD 是直角等腰三角形， AD= AB= 10=5 cm； (2)直线 PC 与 O 相切，理由：连接 OC， OC=OA ， CAO=OCA ， PC=PE ， PCE=PEC ， PEC=CAE+ACE ， CD 平分 ACB ， ACE=ECB ， PCB=ACO ， ACB=90 ， OCP=OCB+PCB=ACO+OCB=ACB
24、=90 ， OCPC ， 直线 PC 与 O 相切 . 23.(10 分 )问题背景： 如图 1：在四边形 ABC 中， AB=AD， BAD=120 ， B=ADC=90 .E， F 分别是 BC， CD 上的点 .且 EAF=60 .探究图中线段 BE， EF， FD 之间的数量关系 . 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G.使 DG=BE.连结 AG，先证明 ABEADG ，再证明 AEFAGF ，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中， AB=AD， B+D=180 .E， F 分别是 BC， CD 上的点，且 EAF=BAD ，上述结
25、论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 (O 处 )北偏西 30 的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70 的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里 /小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50 的方向以 80 海里 /小时的速度前进 .1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E， F处，且两舰艇之间的夹角为 70 ，试求此时两舰艇之间的距离 . 解析 ： 问题背景：根据全等三角形对应边相等解答； 探索延伸：延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，根据同角的补角相等求出 B=ADG ，
26、然后利用 “ 边角边 ” 证明 ABE 和 ADG 全等，根据全等三角形对 应边相等可得 AE=AG， BAE=DAG ，再求出 EAF=GAF ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 AEF 和 GAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=GF，然后求解即可； 实际应用：连接 EF，延长 AE、 BF 相交于点 C，然后求出 EAF= AOB ，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可 . 答案 ：问题背景： EF=BE+DF； 探索延伸： EF=BE+DF 仍然成立 . 证明如下：如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG， B+ADC=180 ， ADC+ADG=
27、180 ， B=ADG ， 在 ABE 和 ADG 中， ， ABEADG (SAS)， AE=AG ， BAE=DAG ， EAF= BAD ， GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BAD -EAF=EAF ， EAF=GAF ， 在 AEF 和 GAF 中， ， AEFGAF (SAS)， EF=FG ， FG=DG+DF=BE+DF ， EF=BE+DF ； 实际应用：如图，连接 EF，延长 AE、 BF 相交于点 C， AOB=30+90+ (90 -70 )=140 ， EOF=70 ， EOF= AOB ， 又 OA=OB ， OAC+OBC= (90 -30 )+(70+50
28、 )=180 ， 符合探索延伸中的条件， 结论 EF=AE+BF 成立， 即 EF=1.5 (60+80)=210 海里 . 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里 . 24.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是 (4， 0)，并且 OA=OC=4OB，动点P 在过 A， B， C 三点的抛物线上 . (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点 P，使得 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D作 x轴的垂线 .垂足为
29、F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标 . 解析 ： (1)根据 A 的坐标，即可求得 OA 的长，则 B、 C 的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； (2)分点 A 为直角顶点时，和 C 的直角顶点两种情况讨论，根据 OA=OC，即可列方程求解； (3)据垂线段最短，可得当 ODAC 时， OD 最短，即 EF 最短，根据等腰三角形的性质， D是AC 的中点，则 DF= OC，即可求得 P 的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到 P 的坐标 . 答案 ： (1)由 A(4， 0)，可知 OA=4， OA=OC=4OB ， OA=OC=
30、4 ， OB=1， C (0， 4)， B(-1， 0). 设抛物线的解析式是 y=ax2+bx+x，则 ，解得： ， 则抛物线的解析式是： y=-x2+3x+4； (2)存在 . 第一种情况，当以 C 为直角顶点时，过点 C 作 CP1AC ，交抛物线于点 P1.过点 P1作 y 轴的垂线，垂足是 M. ACP 1=90 ， MCP 1+ACO=90 . ACO+OAC=90 ， MCP 1=OAC . OA=OC ， MCP 1=OAC=45 ， MCP 1=MP 1C， MC=MP 1， 设 P(m， -m2+3m+4)，则 m=-m2+3m+4-4，解得： m1=0(舍去 )， m2=
31、2. -m2+3m+4=6，即 P(2， 6). 第二种情况，当点 A 为直角顶点时，过 A作 AP2， AC 交抛物线于点 P2，过点 P2作 y 轴的垂线，垂足是 N， AP 交 y 轴于点 F.P 2Nx 轴， 由 CAO=45 ， OAP=45 ， FP 2N=45 ， AO=OF.P 2N=NF， 设 P2(n， -n2+3n+4)，则 n=(-n2+3n+4)-1，解得： n1=-2， n2=4(舍去 )， -n2+3n+4=-6， 则 P2的坐标是 (-2， -6). 综上所述， P 的坐标是 (2， 6)或 (-2， -6)； (3)连接 OD，由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD=EF. 根据垂线段最短，可得当 ODAC 时， OD 最短，即 EF 最短 . 由 (1)可知，在直角 AOC 中， OC=OA=4， 则 AC= =4 ， 根据等腰三角形的性质， D 是 AC 的中点 . 又 DFOC ， DF= OC=2， 点 P 的纵坐标是 2.则 -x2+3x+1=2，解得： x= ， 当 EF 最短时，点 P 的坐标是： ( ， 0)或 ( ， 0).
